《电动力学(第三版)》静电场chapter2_3

第二章 静电场
§2.3 分离变量法解拉普拉斯方程
内容概要
1. 直角坐标系下的通解 2. 球坐标系下的通解 3. 柱坐标系下的通解 4. 拉普拉斯方程解的应用
唯一性定理
泊松方程
给定电荷分布和边界条件
空间电场
自由电荷分布在具体的区域内 大部分空间没有自由电荷分布
表面作为求解 空间的边界
泊松方程
拉普拉斯方程
E0r
0 20
cos
E0 R03r 2
cos
(r R0 ) (r R0 )
介质球内为均匀电场： Ein
球内极化强度： P e0Ein
球内总极化电偶极矩：
p
4π 3
(R033P2000)EE0in20034(π20R0003)E00
E0
偶极子产生的电势：
p
1
4π 0
pr r3
例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场
2b1R03
0
c1
ab00
0 c0
b1
c1
0 20
E0 R03
3 0 20
E0
n2
(n
b R(n1) n0
cn R0n
1)bn
R(n2) 0
0
ncn
R0
n1
bcnn
0 0
系数行列式非零
空间电势：
out (r, ) c0 E0r cos
in (r, )
c0
3 0 20
(2) r 0, in有限 dn 0
in (r, ) cnr nPn (cos ) n0
out (r, ) a0 E0rP1(cos ) bnr (n1)Pn (cos ) n0
in (r, ) cnr nPn (cos ) n0
(r R0 ) (r R0 )
(3) 边界连接条件:
0
n
(cos
)
c0
n0
a0 c0
b1
Rn2 0
E0
bn 0 (n 2)
p
4π
0
R03E0
空间电势： out (r, ) c0 E0r cos E0R03r 2 cos
表面电荷密度：
0
out
r
r R0
30E0 cos
p
1
4π 0
pr r3
静电情况下，导体相当于介质 .
例4 导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场. 解：用柱坐标系. 取 z 轴沿尖边. 设尖劈以外的空间, 即电场存在的
g
d
d
sin
dg
d
sin
2
1 h
d2h
d 2
0 (2)
(2)式左边两项分别仅与和相关，故为常数，记为 和-，实现第二次变量分离：
sin d sin dg ( sin 2 )g 0 (3) d d
d2h
d 2
h
0 (4)
电场为
Er
r
1A1r11sin 1
E
1 r
1 A1r1 1cos 1
尖劈两面上的电荷面密度为
0En 0E0E 01 A1r11
0 2π
很小时,v1趋于1/2， 电荷面密度很大，趋于r-1/2.
作
业
2
3
6
X x dx2
Y
1
y
d2Y dy 2
1 d2Z
Zz dz2
0
1 X
d2 X dx 2
2
1 d2Y Y dy 2
2
1 d2Z 2
Z dz 2
2 2 2
e e e ix iy 2 2 z
为了确定 2, 2,必须对势加上特殊的边界条件.
以一个长方盒为例，在
z
=V(x,y)
2
2 0
产生电场的电荷分布在区域的边界上, 其作用通
过边界条件反映出来. 这类问题的解法是求解拉普拉
斯方程的满足边界条件的解.
在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成：
2 0 ——拉普拉斯（Laplace）方程
区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部.
拉普拉斯算符： 2
直角坐标：
2
2 2x
n,m
(cnmr n dnmr (n1) )Pnm (cos ) sin m
n,m
若系统具有轴对称性，取对称轴为z轴， 0 m 0
(r, ) anrn bnr (n1) Pn (cos )
n
P0 (x) 1 P1(x) x
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
勒让德函数
Pn
(x)
1 2n n!
d2h
d 2
h
0
(4)
电势的单值性要求，h()应为周期2的周期函数
m2 (m 0,1,2,)
(4)式通解为 h() sin m;cos m
sin d sin dg ( sin 2 )g 0 (3) d d
sin d sin dg ( sin 2 m2 )g 0 (5)
解：有球对称性 ,电势不依赖于角度, n＝0.
导体壳外的电势为 1 a b / R (R R3)
导体壳内的电势为 2 c d / R (R2 R R1)
边界条件为：
(1) 内导体球接地 (2) 导体是等势体 (3) 球壳总电荷Q
2 |RR1 1 |R 0
2 |RR2 1 |RR3
r
2
1 sin
2
d2h
d 2
fg 0
或
1 f
d dr
r 2
df dr
g
1 sin
d
d
sin
dg
d
1
h sin 2
d2h
d
2
0
左边两项分别仅与r和(,)相关，故两项必须是与变 量无关的常数，记为和-，实现第一次变量分离：
1 d r2 df (1)
f dr dr
sin
dn dxn
(x2 1)n
若问题具有球对称性
a b
R
3. 柱坐标下的通解
一般用于二维问题.
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
[rn (An sin n Bn cos n）
边界条件z = c时, = V(x,y)
V x, y Anm sin n xsin m ysinh nmc n,m1 ——V(x,y)的二重傅里叶展开
Anm
4
absinh nmc
a
dx
0
b 0
dyV
x,
y
sin
n
xsin
m
y
如果长方盒所有六个面的势都不等于零,我们就可 以通过六个解的线性叠加,得到盒内势的解.
d dz
d
(1 z2 )
dg dz
d
m2 1 z2
g
z cos
0
(6)
——缔合勒让德(Legendre)方程
缔合勒让德方程，在 | z | 1 内具有有限解的条件：
n(n 1) (n 0,1,2,)
缔合勒让德函数： Pnm (z)
1 d r2 df (1)
f dr dr
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数. ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解. 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解.
② 正确写出边界条件，不能有遗漏.
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷Q,同心地
包围着一个半径为R1的导体球(R1＜R2). 使这个导体球接地,求空 间各点的电势和这个导体球的感应电荷.
a0 E0R0P1(cos )
bn
R0
(
P n1) n
(cos
)
cnR0nPn (cos )
n0
n0
E0P1(cos ) (n 1)bnR0(n2)Pn (cos )
n0
0
Fra Baidu bibliotekncnR0n1Pn (cos )
n1
n 0 a0bb0R0R00210c0
n 1
E0R0
E0
b0R02 c1R0
解：
轴对称(z轴)，分区均匀
z
介质球外：
out (r, ) (anr n bnr (n1) )Pn (cos ) n0
介质球内：
in (r, ) (cnr n dnr (n1) )Pn (cos ) n0
(r R0 ) (r R0 )
out (r, ) (anr n bnr (n1) )Pn (cos ) n0
n rn (Cn sin n Dn cos n）]
若二维问题又具有轴对称性，则电势与θ无关
A B ln r
4. 拉普拉斯方程解的应用
分离变量法的解题步骤：
① 根据界面的形状选择适当坐标系. ② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通解.
③ 写出边界条件和衔接条件(即不同区域分界面 上的边值关系).
X sin x
Y sin y
Z sinh(
2
2
z)
为使x = a与y = b时, = 0,必须有a = n, b = m
n
nπ a
m
mπ b
nm π
n2 m2
a2
b2
nm sin nxsin m ysinh nmz
x, y, z Anm sin n xsin m ysinh nmz n,m1
1 R2dΩ 2 R2dΩ Q
RR3 R
RR2 R
0
把电势表达式代入边值条件,联立方程求解,得
1
Q Q1
4π 0 R
(R R3)
其中
2
Q1
4π 0
1 R
1 R1
(R2 R R1)
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
导体球上的感应电荷为
0 R R1
2
R
R2dΩ
Q1
例2 电容率为的介质球置于均匀外电场 E0中,求电势.
通解为 f (r) r n; r (n1)
球坐标下拉普拉斯方程的通解：
(r, ,) anmr n bnmr (n1) Pnm (cos ) cos m
n,m
cnmr n dnmr (n1) Pnm (cos ) sin m
n,m
球坐标下拉普拉斯方程的通解：
(r, ,) (anmr n bnmr (n1) )Pnm (cos ) cos m
(r R0 )
in (r, ) (cnr n dnr (n1) )Pn (cos ) n0
(r R0 )
边界条件:
(1) r , E E0 E0k , out 0 E0z 0 E0r cos
a1 E0, an 0 (n 0,1)
out (r, ) a0 E0rP1(cos ) bnr (n1)Pn (cos ) n0
因r→ 0时ϕ有限，得 B0 B 0
在尖劈θ=2π-α 面上， =V与r无关，必须
D0 0， sin 2π 0
因此v的可能值为
νn
2
n
α
n 1,2
π
考虑这些条件， 可以重写为
V Anrnsin n
n
在尖角附近r→ 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的
最低次幂项，即n=1项 V A1r1sin 1
空间为0 2- (为小角).因 不依赖于z,柱坐标下的拉氏方程
为
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
0
可得其通解为:
A0 B0 ln rC0 D0 A r B r C cos D sin 由边界条件:
劈尖=0面上, =V, 与r无关, 所以
A0C0 V , B0 0, C 0 0
2 2 y
2 2z
柱坐标： 球坐标：
2
1 r
r
r
r
1 r2
2
2
2 2z
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2
2
1. 直角坐标系下的通解
直角坐标中的拉普拉斯方程
2 2 2
x2 y2 z2 0
x, y, z X xYyZz
1 d2X
和导体上的电荷密度.
E中0 ，求电势
解： out (r, ) a0 E0rP1(cos ) bnr (n1)Pn (cos ) (r R0 )
n0
in (r, ) c0
(r R0 )
边界连接条件： in out
0
out
r
(r R0 )
a0 E0R0P1(cos )
bn
R P (n1)
in out,
0
out
r
in
r
(r R0 )
a0 E0R0P1(cos )
bn
R P (n1)
0
n
(cos
)
cnR0nPn (cos )
n0
n0
E0 P1 (cos
)
n0
(n
1)bn
R (n2) 0
Pn
(cos
)
0
ncnR0n1Pn (cos )
n1
比较 Pn (cos ) 的各阶系数，可以将各系数确定.
2. 球坐标系下的通解
z
球坐标中的拉普拉斯方程
P
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
sin
r
y
1 2
r 2 sin 2 2 0
x
如果多变量函数可以分离：(r, ,) f (r)g( )h()
1 r2
d r2 dr
df dr
gh
1
r2 sin
d
d
sin
dg
d
fh
(x,y,z)方向上的线度为
z=c
(a,b,c). 除了z = c 的面上 =0
=0
的势等于V(x,y)外,这个盒
y=b
的所有其他几个面的势都等
y
x=a
于零. 需要求的是盒内各处
=0
的势. 由下述必要条件：当
x = 0, y = 0, z = 0时, = 0, x
容易看出, X, Y, Z必需具有 如下形式：