运筹学中线性规划实例汇总
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
【运筹学】2第二章线性规划图解法
(7, 0)
56
78
9 10
x1
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2 = 46
Optimal Solution (x1 = 5, x2 = 3)
34
56
78
9 10
x1
•画图求解 •2）Max z= 7x1 + 5x2 •3）Max z= 5x1 + 10x2 •4）Max z= 5x1 + 5x2
Example 1: Graphical Solution
x2
• Optimal Solution
8 7 6 5 4 3 2 1
12
Objective Function 5x1 + 7x2
第2章 线性规划图解法
第2章 线性规划图解法
2.1 线性规划问题 2.2 图解法 2.3 极点和最优解 2.4 计算机求解 2.5 最小化问题 2.6 特例
2.1 线性规划问题
• 在一定的约束条件（限制条件）下，使得 某一目标函数取得最大（或最小）值，当 规划问题的目标函数与约束条件都是线性 函数，便称为线性规划。 •Linear programming （LP）
2.2 图解法
•唯一解 •无穷多个最优解 •无界解 •无可行解
Example 1: A Maximization Problem
• LP Formulation • •
Max z= 5x1 + 7x2
•
s.t.
x1
第二章 线性规划应用举例
2.17 有 A, B 两种产品，都须经过两道化学反应过程。 每一单位产品 A 需要在前一工序中花去 2 小时和在后 道工序中花去 3 小时； 每一单位产品 B 需要在前一工 序中花去 3 小时和在后道工序中花去 4 小时。 可供利 用的前一工序的时间为 200 小时， 后道工序的时间为 240 小时。每生产 1 个单位的产品 B 同时也能得到 2 个单位的副产品 C。出售产品 A 每单位能获利 5 元， 产品 B 每单位能获利 10 元，副产品 C 每单位能获利 3 元。卖不出去的产品 C 必须销毁，单位销毁费用是 1 元。 由市场预测知， 最多出售出 10 个单位的产品 C。 试问如何安排生产计划，可使获得的利润最大。
解：定义决策变量为产品中所含原料数量。令 xij 表示第 j 种产品中 i 种原料的 数量（公斤），i=A, B, C, D；j=1, 2, 3。由于产品 3 不含有 C，故 xC 3 0 。
化简后可得：
目标是使利润最大，这里就是总销售收入与原料的总成本之差为最大。
目标函数为：
该问题的LP模型可归纳如下：
2.18 某造纸厂生产宽度为 3 米的卷筒 纸，再将这种大卷筒切成宽度分别为 1.6m, 1.lm 和 0.7m 的小卷筒。 市场对这 三种小卷筒的需求分别是 100、200 和 400 个。问应以怎样的方法切割，可使 耗用的大卷筒最少而又能满足市场的 需要。最优切割方案是否唯一？
2.19一家化工厂生产洗衣粉和洗涤剂。 生产原料可以从市场上以 每公斤5元的价格买到。 处理1公斤原料可生产0.55公斤普通洗衣 粉和0.35公斤普通洗涤剂。 普通洗衣粉和普通洗涤剂可分别以每 公斤8元和12元的价格在市场上出售。市场对普通洗衣粉的最低 需求是每天1000公斤。工厂设备每天最多可处理10吨原料，每 加工1公斤原料的成本为 1.5元。为生产浓缩洗衣粉和高级洗涤 剂，工厂还可继续对普通洗衣粉和普通洗涤剂进行精加工。处 理1公斤普通洗衣粉可得0.6公斤浓缩洗衣粉，处理1公斤普通洗 涤剂可得0.3公斤高级洗涤剂。浓缩洗衣粉和高级洗涤剂的市场 价格分别为每公斤24元和55元。每公斤精加工产品的加工成本 为3元。如果原料供应没有限制且各类产品畅销，问该工厂如何 生产能使其利润最大？
运筹学线性规划ppt课件
16
例3
化如下的线性规划问题模型
min z 3x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 3x3 2 2 x1 3x 2 2 x3 2 x 0, x 无约束, x 0 2 3 1
为标准形式。
(1 )变量 x1 是非正的，所以要将模型中的所有 x1 都用 x1 x1 0 代替，其中 x1
运筹学建模步骤:
识别问题
定义决策变量
建立约束条件
建立目标函数
6
2.2 线性规划模型的一般形式和标准形式
2.2.1 线性规划的一般模型
为了讨论一般的线性规划问题的求解。我们先给出线性规 划模型的一般形式如下： max( 或 min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 )b1 a21x1 a22 x2 a2 n xn (或 ，或 )b2 s.t. a x a x a x (或 ，或 )b mn n m m 1 m2 2 x1 , x2 ,..., xn 0
(5)约束条件2是“”型的，因此需要在左边加上一个松弛变量
x5 使它化为等式： 2 x1 3x 2 2 x3 x5 2 也就是
3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1
18
从而得到模型的标准形式为
2 x2 2 x2 x3 max z 3x1 2 x2 2 x 2 3x3 x 4 2 x1 3x2 3x2 2 x3 x5 2 2 x1 x , x , x , x , x , x 0 1 2 2 3 4 5
运筹学实例分析及lingo求解讲解
运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。
各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。
解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。
ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。
目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学 线性规划应用案例
约束条件-线路通过能力的限制
• P0ij+P0jiMij Mij—线路ij的通过能力。 • 其他约束 • P0ij、P0ji、Pij、Pji0，P0ij×P0ji=0，
Pij×Pji=0 • 如果解出最优分配Pij=Pji=0，则说明ij线路 不必架设。
例: 规划目的是寻找节点6新电厂接入系统 最优方案。
模型的目标函数反映的是平均收 益率最大，前四个约束分别是对投资 年限、平均收益率、风险系数和增长 潜力的限制。最后一个约束是全部投 资比例的总和必须等于1.
最优解：X1=0.57143 X3=0.42857 平均年收益率=17% 即： 投资国库券=0.57143*50=29万元 投资房地产=0.42857*50=21万元 投资年限=4.28571年 平均年收益率=17% 风险系数=4 增长潜力=12.8571%
以配煤最低成本为目标函数，以 单煤的成本，煤质参数和锅炉的燃烧 品质参数的临界值为约束条件，构造 线性规划模型如下：
式中：aij——第j种煤第i个指标 • Xj——第j种煤相对于锅炉设计煤种 消耗量的比例% • bi,Bi—混煤第j种性能指标的限定值 • n——煤的性能指标的个数，包括硫 份、水份、灰份、热值、挥发份等 • m—单煤的种类数量 • Smin—混煤的最低成本 • Cj—单煤的最低成本
最低 功率 级 (MW)
最高 功率 级 (MW)
最低功 率级的 每小时 费用 (元)
类型1
850
2000 1750 4000
超过最 启动费 低功率 用(元) 级的每 兆瓦小 时费用 (元) 1000 2 2000
1.3 3 1000 500
类型2 1250 类型3 1500
2600 3000
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
2.6-运筹学应用实例汇总
一、生产计划问题例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备每月可利用的时数如下表所示，求使总利润最大的月度生产计划。
建模思路■用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
■设变量X1为第i种产品的生产件数(i=1, 2, 3, 4),目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润。
在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，可以建立如下的线性规划模型：建模max z= 5.24X1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4目标函数1.5Xj +1.0x2+2.4X3+1.0X4<2000LOX1 +5.0X2+1.0X3+3.5X4<8000 约束条件1・5X] +3.0X2+3.5X3+1.0X4<5000Xp X2, X3, X4 >0 变量非负约束练习：某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。
数据如下表。
问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲 .乙丙资源限制铸造工时（小时/件）51078000机加工工时（小时/件）64812000装配工时（小时/件）32210000自产铸件成本（兀/件）354外协铸件成本（兀/件）56一机加工成本（元/件）213装配成本（元/件）322产品售价（元/件）231816解：设孙孙寺分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，同，幅分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求占的利润：利润二售价-各成本之和产品甲全部自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润产品乙全部自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润产品丙的利润可得到毛（i = 1,2, 3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9=23-（3+2+3）=15 =23-（5+2+3）=13 =18-（5+1+2）=10 =18-（6+1+2）=9 =16-（4+3+2）=7通过以上分析,可建立如下的数学模型：目标函数：Max 15百+ 10电+ 7两+ 13题+ 9不约束条件：5为+ 10西+ 7玛＜80006为+ 4出+ 8^ + 6々+ 4不3百+ 2X2 + 2均+ 3局+ 2不毛，演，传，演，与12000 10000二、混合配料问题例：某工厂要用四种合金T1, T2, T3和T4为原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。
运筹学案例-线性规划
演讲者：物流工程 20133046 王思聪
比格斯百货公司连锁店雇用了一家广告 公司来确定为它的店投资哪种和多大的广告 量，3种广告形式是电视、商业电台、报纸。 零售商想知道每种广告的购买量，以达 到最好的宣传效果。 根据估计每种广告或商业宣传的受众影 响面和成本如表所示：
S.t.
用Excel 进行计算机求解
线性规划问题
整数线性规划
解的分析
线性规划结果：
决策变量 电视广告数量x1 电台广告数量x2 报纸广告数量x3
目标函数Z=
1.81818181
整数规划结果：
决策变量 电视广告数量x1 电台广告数量x2 2 9
报纸广告数量x3
目标函数Z=
4
184000
谢谢大家 ！
影响面（人）
成本（美元）
电视广告 电台广告 报纸广告
20000 12000 9000
15000 6000 4000
公司需要考虑如下的资源约束：
1.广告的预算是100000美元
2.电视台只有播出4个商业宣传的时间
3.电台有播出10个商业宣传的时间
4.报纸的版面可以做7个广告
5.广告代理商只有制作15个商业宣传或广告 的人员和时间
9000x3
—— 可以看到报纸广告的人数
模型约束条件：
15000x1+6000x2+4000x3 ≤100000美元
X1 ≤ 4个电视广告
x2 ≤10个电台广告
x3 ≤ 7个报纸广告
X1+x2+x3 ≤15个商业广告和宣传
模型综述：
Max Z =20000 x1 + 12000 x2 + 9000 x3
运筹学第二章线性规划的图解法
3 2 4 2 40
5 50
2
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 3
【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
max Z 40 x1 30 x2 50 x3
3 x1 x2 2 x3 200 2 x 2 x 4 x 200 2 3 1 4 x1 5 x2 x3 360 2 x 3 x 5 x 300 2 3 1 x1 0，x2 0，x3 0
最优解X=(50,30,10);Z=3400
2013年12月29日星期日
产品 资源 设备A 设备B
甲 乙 3 2 1 2
丙
现有资 源 200 200
2 4
材料C
材料D 利润（元/ 件）
4
2 40
5
3 30
1
5 50
360
300
3
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 4
2013年12月29日星期日
(约束条件)
6
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 7
x2
3 x1 2 x2 6
3 x1 2 x2 6
o
2013年12月29日星期日
x1
3 x1 2 x2 6
7
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 11
x2 例3.1
40
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
四个运筹学案例
1、年度配矿计划优化——线性规划j（单位：万吨）2 约束条件：包括三部分1）供给（资源）约束：x1 ≤70 x2≤7 x3≤17 x4≤23 x5≤3 x6≤9.5 x7≤1 x8≤15.4 x9≤ 2.7 x10≤7.6 x11≤13.5 x12≤2.7 x13≤1.2 x14≤7.22）品位约束3）非负约束： x j ≥ 0 j = 1,2,3, … ,143 目标函数：此题目要求“效益最佳”有一定的模糊性，由于配矿后的混合矿石将作为后面 工序的原料而产生利润，故在初始阶段，可将目标函数选作配矿总量的极大化。
三、计算结果及分析1 计算结果利用单纯形法可得出该问题的最优解为：x1 = 31.121 x2 = 7 x3 = 17 x4 = 23 x5 = 3 x6 = 9.5 x7 = 1 x8 = 15.4 x9 = 2.7 x10 = 7.6 x11 = 13.5 x12 = 2.7 x13 = 1.2 x14 = 7.2 最优值：Z* = 141.921（万吨）2 分析与讨论1）计算结果是否可被该公司接受？——回答是否定因为：①在最优解中，除第1个采矿点有富裕外，其余13个采矿点的出矿量全部参与了配矿。
而矿点1在配矿以后尚有富余量 70 －31.12 ＝38.879 （万吨），但矿点1的矿石品位仅为37.16%，属贫矿。
②该公司花费了大量人力、物力、财力后，在矿点1生产的贫矿中却有近39万吨矿石被闲置，而且在大量积压的同时，还会对环境造成破坏，作为该公司的负责人或公司决策者是难以接受这样的生产方案的。
———原因何在？出路何在？2）解决问题的思路经过分析后可知：在矿石品位T Fe 及出矿量都不可变更的情况下，只能把注意力集中在 混合矿石的品位T Fe 要求上。
——不难看出，降低T Fe 的值，可以使更多的低品位矿石参与配矿。
问题：T Fe 的值有可能降低吗？在降低T Fe 的值，使更多的贫矿入选的同时，会产生什么影响？——以上问题就属于运筹学的灵敏度分析（优化后分析）3）经调查，以及与现场操作人员、工程技术人员、管理人员学习、咨询，拟定了三个T Fe 的新值：44％ 、43％ 、42％3 变动参数之后再计算，结果如下表所示：∑==+++++++++++++14114131211109875432145.0502.04073.05692.05271.04022.0408.04834.05141.064996.04200.04700.0400.05125.03716.0j jx x x x x x x x x x x x x x x ∑==141max j jx zFe境的破坏，故不予以考虑。
运筹学实验线性规划实验报告
荆楚理工学院运筹学实训实验室实验报告 课程名称：运筹学实训 专业：数学与应用数学实验题目 利用excel 实现单纯形表计算学生姓名 李武阳赵星浩王 铖学 号 2016409010113 2016409010114 2018ZSB091107 班级 16级数学与应用数学1班 指导教师 张玲 实验日期 2018.10.10 成绩一、实验目的与要求：1、理解单纯形算法的原理和基本过程2、能利用EXCEL 实现单纯形表计算二、实验任务：利用excel 实现下列线性规划问题的单纯形算法的过程1、在excel 中输入单纯形表；2、在表格中计算检验数；3、在表格中实现换基运算；4、在表格中实现初等行变换。
用单纯形法解决下面线性规划问题（用大M 法）；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+++-=0,,0-222-622max 3213231321321x x x x x x x x x x x x x Z三、实验步骤和结果，（给出主要过程的文字说明，包含代码、图、表）1、在excel 表格中输入题目数据；2、计算检验数，找出最大的检验数并进基X2退基X9；3、重复换基，当人工变量全部退基时候，X4的检验数为1.25理应进基，但X4所在列的系数均小于等于0，即线性规划问题有无界解。
（具体计算过程如下所示）由上面的结果可以得到：此线性方程组的可行域是无界的，所以该线性方程组无有限解。
四、实验总结(对实验过程进行分析,总结实验过程中出现的问题、体会和收获)本次实验在excel表格中完成，所以容易因为看错数字而出错，单纯形表的运算性质决定在一步错之后往往需要重新算，所以比较费时费力，我们在计算时要注意每个量及每一步的进基和出基的选择。
但是我们可以利用这个方法可以解决实际问题中比较复杂的一些线性规划问题，特别是一些手工计算难以求解的问题。
五附录Excel。
第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用5。
1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力.管理层考虑将这些,具体数据如下表：的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度.3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析(分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析)。
6、若销售部门表示,新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件,请重新完成本题的1—5。
解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化,总利润为：0。
5x1+ 0。
2x2+ 0。
25x3决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2≤350 车床限制条件3x1 + x3≤150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= 0。
5x1+ 0.2x2+ 0.25x33、本问题的线性规划数学模型max z= 0。
5x1+ 0。
2x2+ 0.25x3S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1 + x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果:最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析目标函数最优值为： 30变量最优解相差值x1 50 0x2 25 0x3 0 。
083约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 。
052 75 03 0 。
033目标函数系数范围 :变量下限当前值上限x1 。
4 。
5 无上限x2 .1 .2 。
25x3 无下限。
25 .333常数项数范围：约束下限当前值上限1 400 500 6002 275 350 无上限3 37.5 150 187。
5（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验报告
课程名称：运筹学导论
实验名称：线性规划问题实例分析专业名称：信息管理与信息系统
指导教师：刘珊
团队成员：邓欣(20112111
蒋青青(20114298
吴婷婷(20112124
邱子群(20112102
熊游(20112110
余文媛(20112125
日期：2013-10-25
成绩：___________
1．案例描述
南部联盟农场是由以色列三个农场组成的联合组织。
该组织做出了一个关于农场农作物的种植计划，如下：
每一个农场的农业产出受限于两个量，即可使用的灌溉土地量和用于灌溉的水量。
数据见下表：
适合本地区种植的农作物包括糖用甜菜、棉花和高粱。
这三种作物的差异在于它们每亩的期望净收益和水的消耗量不同。
另外农业部门已经制定了南部联盟农场作物总亩数的最大配额，见下表：
作物的任何组合可以在任何农场种植，技术部门的任务是找出一个种植方案使南部联盟农场的净收益最大化。
2.建立模型
决策变量为Xi(i=1,2,……,9,表示每个农场每种作物的种植量。
MAX Z=1000(X1+X2+X3+750(X4+X5+X6+250(X7+X8+X9
约束条件：
（1）每一个农场使用的土地
X1+X4+X7≤400
X2+X5+X8≤600
X3+X6+X9≤300
(2每一个农场的水量分布
3X1+2X4+X7≤600
3X2+2X5+X8≤800
3X3+2X6+X9≤375
(3每一种作物的总种植量
X1+X2+X3≤600
X4+X5+X6≤500
X7+X8+X9≤325
非负约束Xi≥0 , i=1,2, (9)
3.计算机求解过程
步骤1.生成表格
步骤2.输入数据
步骤3.求解结果
输出分析：
最优解为（0, 133.33，125, 300, 200, 0, 0, 0，0）最优值为Z=633333.33。