27巩固练习_简单的线性规划问题_基础

y 0
A． 2
B．－2
1
C．
2
D． 1 2
5.如图，目标函数 z ax y 的可行域为四边形 OACB（含边界），
若 C( 2 , 4) 是该目标函数 z ax y 的最优解，则 a 的取值范围 35
是（ ）
A. (10 , 5 ) 3 12
B . (12 , 3 ) 5 10
3 12 C. ( , )
zmin
0
2 k
4 ，解得： k
1 2
．
故选：D．
5．【答案】B
【解析】∵C
点是目标函数的最优解，∴ kAC
a
kBC
，解得 12 5
a
3 10
6.【答案】A 5x 4 y 24,
【解析】设托运货物甲 x 箱，托运货物乙 y 箱，由题意，得 2x 5y 13, x, y N
利润为 z 20x 10 y, 由线性规划知识解得 x 4, y 1时利润最大.
7.【答案】可行解；非可行解；最优解
8.【答案】19
0 x 4,
【解析】易作出 0 x
y 3, 2 y 8,
对应的可行域，当直线
y
2 5
x
z 5
经过（2，3）时，
z
取得最大值
zmax
19
9. 【答案】2200
【解析】设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，运输费用 z 元，根据题意，得线性约束条件
x y 2 0 【解析】由约束条件 kx y 2 0 作出可行域如图，
y 0
由 kx－y＋2＝0，得 x 2 ， k
∴ B 2 ,0 ． k
由 z＝y－x 得 y＝x＋z． 由图可知，当直线 y＝x＋z 过 B 2 ,0 时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小．
k
4
此时
可装洗衣机 10 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
.
x y 3 0, 10.线性目标函数 z x y ，在线性约束条件 2x y 0, 下取得最大值时的最优解只有一个，则实
y a.
数 a 的取值范围
x 2y 4 0
11.（2016 江苏卷） 已知实数 x，y 满足 2x y 2 0 ，则 x2+y2 的取值范围是
B.３，２
C.１，４
D.２，４
x 4 y 3, 7.已知变量 x，y 满足条件 3x 5y 25, ，设 z 2x y ，取点（3，2）可求 z 8, 取点（5，2）可求
x 1,
zmax 3 ，去点（0，0）可求得 z 0 ，取点（3，2）叫做
，取点（0，0）叫做
；点（5，
2）和点（1，1）均叫做
5 5
【解析】由图知原点到直线 2x y 2 0
距离的平方为
x2
y2
的最小值，为
2 5
2
4 5
，原点到
点（2,3）距离平方为 x2 y2 的最大值，为 13，因此 x2 y2 的取值范围为[ 4 ,13] 5
12．【解析】 （1）直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0
原点（0，0）在区域
D
内，表示区域
D
的不等式组：
7x x75yy1123
0, 0,
4x y 10 0.
（2）将 B、C 的坐标代入 4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0， 得 a 的取值范围是－18＜a＜14.
13．【解析】 设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系：
甲产品 x 吨 乙产品 y 吨
A 原料
3x y
B 原料
2x 3y
x 0
y 0 则有： 3x y 13
，目标函数 z 5x 3y
2x 3y 18
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当 x ＝3， y ＝4 时可获得最大利润为 27 万元.
14．【解析】设稳健型投资 x 份，进取型投资 y 份，利润总额为 z （×10 万元），
【巩固练习】 一、选择题
x y 2 0, 1．（2016 天津理）设变量 x，y 满足约束条件 2x 3y 6 0, 则目标函数 z 2x 5y 的最小值为（ ）
3x 2 y 9 0.
A. 4
B. 6
C.10
D.17
x 3y 3 0 2．若实数 x，y 满足不等式组 2x y 3 0 ，则 x＋y 的最大值为( )
x y 1 0
A．9 C．1
15
B.
7 7
D.
15
x y 2 0 3．x、y 满足约束条件 x 2 y 2 0 ，若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( )
2x y 2 0
1
A． 或－1
2
1
B．2 或
2
C．2 或 1
D．2 或－1
x y 2 0 4. 若 x，y 满足 kx y 2 0 且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为( )
.
3x y 3 0
三、解答题
12．已知 D 是以点 A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内 部）.如图所示.
（1）写出表示区域 D 的不等式组； （2）设点 B（－1，－6），C（－3，2）在直线 4x－3y－a=0 的异侧，求 a 的取值范围. 13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产 品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企 业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润.
令 z＝x＋y，则 y＝－x＋z， ∴y＝－x＋z 过 A(4,5)时， z 取最大值 zmax＝9. 3.【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分 ABC)．
3
由 z＝y－ax 得 y＝ax＋z，即直线的截距最大，z 也最大． 若 a＝0，此时 y＝z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件， 若 a＞0，目标函数 y＝ax＋z 的斜率 k＝a＞0，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y＝ax＋z 与直线 2x－y＋2＝0 平行，此时 a＝2， 若 a＜0，目标函数 y＝ax＋z 的斜率 k＝a＜0，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y＝ax＋z 与直线 x＋y－2＝0，平行，此时 a＝－1， 综上 a＝－1 或 a＝2， 故选：D。 4．【答案】D
2
14．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元 组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合投资每年 可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万 元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？
则目标函数为 z (x 1.5 y) （×10 万元），
20x 40 y 160 x 2 y 8
线性约束条件为： 30x 30 y 180 ，即 x y 6
x 0, y 0
x 0, y 0
6
x 2y 8 作出可行域（图略），解方程组 x y 6 ，得交点 M (4,2) 作直线 x 1.5 y 0 ，平移 l ，当 l 过点 M 时， z 取最大值： zmax (4 3) 10 万元=70 万元.
7
.
0 x 4,
8.已知 x，y 满足约束条件 0 y 3, 则 z 2x 5y 的最大值为
.
x 2 y 8,
9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙
型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，
10 5
D. (12 , 3 ) 5 10
6.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、
可获利润和托运能力限制数据在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（ ）
体积（ｍ２／箱） 质量（５０ｋｇ／箱） 利润（１０２／箱）
甲
５
２
２０
乙
４
５
１０
托运能力
２４
１３
1
A.４，1 二、填空题
2x y 2 0 15．设 x，y 满足约束条件 8x y 4 0 ，若目标函数 z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为 8，求 a＋b
x 0, y 0
的最小值为.
【答案与解析】 1．【答案】 B 【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 A(0，2)，B(3，0)，C(1，3) ,直线 z 2x 5 y 过点 B 时取最小值，选 B。 2. 【答案】 A 【解析】 作出可行域如图所示
20x 10 y 100
0 x 4
，求线性目标函数 z＝400x＋300y 的最小值．
0 y 8
x 4
解得当
Байду номын сангаас
y
2
时，zmin＝2
200.
10.【答案】 , 2 ；
【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定 满足的条件.
4 11.【答案】[ ,13]
15. 【答案】4 【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
当直线 z＝abx＋y(a>0，b>0)过直线 2x－y＋2＝0 与直线 8x－y－4＝0 的交点(1,4)时，目标函数 z＝abx＋ y(a>0，b>0)取得最大值 8，即 8＝ab＋4，ab＝4，
∴ a b 2 ab 4 .