27巩固练习_简单的线性规划问题_基础
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
简单的线性规划问题练习题及答案解析
1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数解析：选B.把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距．2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案：B3．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ≤4，y ≤5，则s ＝x ＋y 的最大值为________．解析：可行域如图所示，作直线y ＝－x ，当平移直线y ＝－x至点A 处时，s ＝x ＋y 取得最大值，即s max ＝4＋5＝9.答案：94．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x y ≥－2x .x ≤3(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为z ＝x －2y ，求z 的最小值． 解：画出满足不等式组的可行域如图所示： (1)易求点A 、B 的坐标为：A (3,6)，B (3，－6)，所以三角形OAB 的面积为：S △OAB ＝12×12×3＝18.(2)目标函数化为：y ＝12x －z 2，画直线y ＝12x 及其平行线，当此直线经过A 时，－z2的值最大，z 的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z 的最小值为3－2×6＝－9. 一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．(12，12)解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A ，B ，D.2．(2010年高考浙江卷)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1D.715 解析：选A.画出可行域如图： 令z ＝x ＋y ，可变为y ＝－x ＋z ，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3．在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：选C.直线m ＝y －x 的斜率k 1＝1≥k AB ＝23，且k 1＝1＜k AC ＝4，∴直线经过C 时m 最小，为－1， 经过B 时m 最大，为3. 4．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0y －1≤0x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x－y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分， ∵z ＝x －y ，∴y ＝x －z .由图知截距－z 的范围为[－2，1]，∴z 的范围为[－1,2]．5．设动点坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧?x －y ＋1??x ＋y －4?≥0，x ≥3，y ≥1.则x 2＋y 2的最小值为( )A. 5B.10C.172 D ．10解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x ＝3，y ＝1时，x 2＋y 2的最小值为10.6．(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析：选D.设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．二、填空题7．点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤10≤y ≤1，y －x ≥12则P 点坐标为________时，z ＝4－2x ＋y取最大值________．解析：可行域如图所示，当y －2x 最大时，z 最大，此时直线y －2x ＝z 1，过点A (0,1)，(z 1)max ＝1，故当点P 的坐标为(0,1)时z ＝4－2x ＋y 取得最大值5.答案：(0,1) 58．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤x2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析：作出可行域如图所示：作直线l 0∶x ＋3y ＝0，平移l 0知当l 0过点A 时，x ＋3y 最大，由于A 点坐标为(－k3，－k 3)．∴－k3－k ＝8，从而k ＝－6. 答案：－69．(2010年高考陕西卷)铁矿石A 和B 的含铁率a ，，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b某冶炼厂至少要生产22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示：由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min ＝3×1＋6×2＝15 答案：15 三、解答题10．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2x 则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ∶y ＝x ＋t2.则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，故当直线l 经过可行域上的点A 时，t 最大，z 最大；当直线l 经过可行域上的点B 时，t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8， z min ＝2×1－2×1＋4＝4.11．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －ay －1≥02x ＋y ≥0x ≤1(a ∈R )，目标函数z ＝x ＋3y 只有当⎩⎨⎧x ＝1y ＝0时取得最大值，求a 的取值范围．解：直线x －ay －1＝0过定点(1,0)，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ≤1，让直线x －ay －1＝0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x ＋3y ＝0，观察图象知必须使直线x －ay －1＝0的斜率1a ＞0才满足要求，故a ＞0.12．某家具厂有方木料90 m 3 ，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所获利润最大？解：由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ≤902x ≤600x ∈N *?⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300x ∈N *?x ≤300，x ∈N *.目标函数为z ＝80x .所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.2y ≤901·y ≤600y ∈N *?⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600y ∈N *?y ≤450，y ∈N *.目标函数为z ＝120y .所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0，x ∈N y ≥0，x ∈N ?⎩⎨⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0，且x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝ 80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略)． 作直线l ∶80x ＋120y ＝0，即直线l ∶2x ＋3y ＝0(图略)．把直线l 向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x ＋2y ＝900,2x ＋y ＝600的交点时，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝9002x ＋y ＝600解得交点的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大．。
简单的线性规划问题
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
x+y-1=0
x - y 0
1、 画出x y -1 0区y域
y 1 0
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
y 1 0
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
x+y-1=0
x - y 0
1、 画出x y -1 0区y域
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解；
（4）5、答：作出答案。
28
讲授新课 例题分析
例1. 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足
x 4 y 3, 下列条件：3x 5 y 25, (1)
x 1, 求z的最大值和最小值.
讲授新课
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg
A
0.105
B
0.105
蛋白质/kg
0.07 0.14
脂肪／kg
0.14 0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z， 那么
巩固练习简单的线性规划问题基础 (1)
【巩固练习】 一、选择题1．若x y ，∈R ，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则+2z x y ＝的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9 2．若实数x y ，满足不等式组33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则+x y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.7153. 已知x y ，满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使()=0z x ay a +>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A ．-3 B.3 C ．-1 D.14. 在ABC ∆中，三个顶点(2,4),(1,2)(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC ∆内部及边界上运动，则z x y =-的最大值是（ ）A.1B.-3C.-1D.35. 如图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB （含边界），若24(,)35C 是该目标函数z ax y =-的最优解，则a 的取值范围是（ ）A.105(,)312-- B .123(,)510--C.312(,)105D. 123(,)510-6. 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（ ）体积（ｍ２／箱） 质量（５０ｋｇ／箱） 利润（１０２／箱）甲 ５ ２ ２０ 乙 ４ ５ １０托运能力２４１３A.４，1 二、填空题y xＣ24(,)35ＢＯＡ7. 已知变量x y ，满足条件43,3525,1,x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设2z x y =+，取点（3，2）可求8z =，取点（5，2）可求max 3z =，去点（0，0）可求得0z =，取点（3，2）叫做 ，取点（0，0）叫做 ；点（5，2）和点（1，1）均叫做 .8. 已知x y ，满足约束条件04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则25z x y =+的最大值为 .9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 . 10. 线性目标函数z x y =+，在线性约束条件30,20,.x y x y y a +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围 .11. 若实数x y ，满足不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则23x y ＋的最小值是________．三、解答题12．已知D 是以点A （4，1），B （－1，－6），C （－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部）.如图所示.（1）写出表示区域D 的不等式组；（2）设点B ，C 两点在直线430x y a =－－的异侧，求a 的取值范围.13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.14．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成.已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？15．设x y ，满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数=(00)z abx y a b >>＋，的最大值为8，求+a b 的最小值.【答案与解析】1．【答案】 B【解析】 作出可行域如图所示，目标函数1122y x z =-+，则过B (1,1)时z 取最小值z min ＝32. 【答案】 A【解析】 作出可行域如图所示 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ， ∴y ＝－x ＋z 过A(4,5)时， z 取最大值zmax ＝9. 3.【答案】D 【解析】如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D4．【答案】A【解析】解决本题的关键是应明确ABC 的区域即为可行域，z x y =-为目标函数；5．【答案】B【解析】∵C 点是目标函数的最优解，∴AC BC k a k <<，解得123510a -<<- 6.【答案】A【解析】设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意，得5424,2513,,x y x y x y N +≤⎧⎪+<⎨⎪∈⎩利润为2010,z x y =+由线性规划知识解得4,1x y ==时利润最大. 7.【答案】可行解；非可行解；最优解 8.【答案】19【解析】易作出04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩对应的可行域，当直线255z y x =-+经过（2，3）时，z 取得最大值max 19z =9. 【答案】2200【解析】设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件20101000408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值． x + y = 5x – y + 5 = 0Oyxx=3解得当42x y =⎧⎨=⎩时，z min ＝2 200.10.【答案】(],2-∞；【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定满足的条件.11.【答案】4【解析】 不等式组2240x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，所表示的平面区域为三角形区域，令z ＝2x ＋3y ，则将其视为一组平行线，3z为直线在y 轴上的截距． 于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z ＝2x ＋3y 经过直线x ＋y ＝2与直线2x －y ＝4的交点(2,0)时，3z最小，即z 最小，此时z ＝4. 12．【解析】（1）直线AB 、AC 、BC 的方程分别为7x －5y －23=0，x+7y －11=0，4x+y+10=0 原点（0，0）在区域D 内，表示区域D 的不等式组：75230,7110,4100.x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩（2）将B 、C 的坐标代入4x －3y －a ，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0， 得a 的取值范围是－18＜a ＜14.13．【解析】 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料B 原料 甲产品x 吨 3x2x 乙产品y 吨3y则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+>>183213300y x y x y x ，目标函数y x z 35+=作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.14．【解析】设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z （×10万元），则目标函数为( 1.5)z x y =+（×10万元），（3，4）（0，6）O（313，0） 913线性约束条件为：204016030301800,0x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，即2860,0x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩作出可行域（图略），解方程组286x yx y+=⎧⎨+=⎩，得交点(4,2)M作直线 1.50x y+=，平移l，当l过点M时，z取最大值：max (43)10z=+⨯万元=70万元.15.【答案】4【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．当直线z＝abx＋y(a>0，b>0)过直线2x－y＋2＝0与直线8x－y－4＝0的交点(1,4)时，目标函数z＝abx ＋y(a>0，b>0)取得最大值8，即8＝ab＋4，ab＝4，∴24a b ab+≥.。
简单的线性规划问题
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§7.2 简单的线性规划
§7.2 简单的线性规划
考点清单
考点一 平面区域问题
考向基础 1.在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0(A,B不同时 为0)分成三类: (1)满足Ax+By+C=0的点; (2)满足Ax+By+C>0的点; (3)满足Ax+By+C<0的点.
2
2.Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C= 0某一侧所有点组成的① 平面区域 ,且不含边界,作图时边界应画成 ② 虚线 ;在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0(或Ax+By+C≤0)所表示 的区域时,此区域的边界应画成③ 实线 . 【知识拓展】 判断Ax+By+C≥0表示的平面区域在直线的哪一侧的方法: (1)当C≠0时,取原点(0,0),当原点坐标使Ax+By+C≥0成立时,就是含原 点的区域;不成立时,就是不含原点的区域. (2)当C=0时,取(0,1)或(1,0),当不等式成立时,就是含所取点的一侧;不成 立时,是另一侧.
kx y 1 0
面区域是直角三角形区域,且k>0,所以∠ABO=90°,所以k· 12
=-1,解得k
=2,故选B.
答案 B
7
考点二 线性规划问题
考向基础 1.线性规划中的基本概念
名称
意义
线性约束条件 目标函数
线性目标函数 可行解 可行域
由关于x,y的① 一次 不等式组成的不等式组 关于x,y的② 函数解析式
即150xx33yy690000, ,
简单的线性规划问题
【名师点睛】（1）目标函数本质是函数的解析式z＝f(x，y)，线性目标函数即关于x，y的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组(x，y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解．三、线性规划在实际问题中的应用（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A，B，C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大?下料问题：例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小?（2）解答线性规划实际应用题的步骤：①模型建立．正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；②模型求解．画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解；③模型应用．将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．例3.甲、乙两厂生产某种产品，它们可调运的数量分别是300吨、750吨，A、B、C三地需要该产品的数量分别是200吨、450吨、400吨．甲厂运往三地的费用分别是6元/吨、3元/吨、5元/吨；乙厂运往三地的费用分别是5元/吨、9元/吨、6元/吨．则怎样调运可使总费用最少？(,33+∞(,)5的取值范围是。
简单线性规划(基础版)
o
x=1
x
练习： 练习：
设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ Z＝ｘ+3ｙ ｘ、ｙ满足下列条件 +3 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ
2x+3y≤24 x-y≤7 ， y ≥0 y ≤6 x≥0
小结: 小结:
1．线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
x-4y≤-3 3x+5y≤25 + x≥1
（1）画出该不等式组表示的平面区域 （2）设z＝2ｘ+ｙ,求ｚ的最大值和最小值。 z ｚ
y
o
x
线性规划的有关概念 x -4y≤ - 3
引例:画出不等式组 引例 画出不等式组
y
x=1
C
3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 表示的平面区域。 x≥1
x-4y=-3
满足线性约束条件的解（ ， ）。 可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域： 可行域：所有可行解组成的集合。 最优解： 目标函数达到最大值或 最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。
y x=1
C
可行域 可行解 Ａ 最优 解 最优 解
o
B
x
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。
o
B
x
即Zmin ＝2×1+1 =3 × 当直线l过点 过点A(5,2)时,ｚ最大 当直线 过点 时 ｚ最大, 即Zmax＝2×5+2＝12 。 ＝ × ＝
线性规划的有关概念
线性目标函数
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
x − 4y ≤ −3 3x + 5y ≤ 25 x ≥ 1
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
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A．9 C．1
15B.7 7 NhomakorabeaD.15
x y 2 0 3．x、y 满足约束条件 x 2 y 2 0 ，若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( )
2x y 2 0
1
A． 或－1
2
1
B．2 或
2
C．2 或 1
D．2 或－1
x y 2 0 4. 若 x，y 满足 kx y 2 0 且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为( )
y 0
A． 2
B．－2
1
C．
2
D． 1 2
5.如图，目标函数 z ax y 的可行域为四边形 OACB（含边界），
若 C( 2 , 4) 是该目标函数 z ax y 的最优解，则 a 的取值范围 35
是（ ）
A. (10 , 5 ) 3 12
B . (12 , 3 ) 5 10
3 12 C. ( , )
令 z＝x＋y，则 y＝－x＋z， ∴y＝－x＋z 过 A(4,5)时， z 取最大值 zmax＝9. 3.【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分 ABC)．
3
由 z＝y－ax 得 y＝ax＋z，即直线的截距最大，z 也最大． 若 a＝0，此时 y＝z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件， 若 a＞0，目标函数 y＝ax＋z 的斜率 k＝a＞0，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y＝ax＋z 与直线 2x－y＋2＝0 平行，此时 a＝2， 若 a＜0，目标函数 y＝ax＋z 的斜率 k＝a＜0，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y＝ax＋z 与直线 x＋y－2＝0，平行，此时 a＝－1， 综上 a＝－1 或 a＝2， 故选：D。 4．【答案】D
zmin
0
2 k
4 ，解得： k
1 2
．
故选：D．
5．【答案】B
【解析】∵C
点是目标函数的最优解，∴ kAC
a
kBC
，解得 12 5
a
3 10
6.【答案】A 5x 4 y 24,
【解析】设托运货物甲 x 箱，托运货物乙 y 箱，由题意，得 2x 5y 13, x, y N
利润为 z 20x 10 y, 由线性规划知识解得 x 4, y 1时利润最大.
【巩固练习】 一、选择题
x y 2 0, 1．（2016 天津理）设变量 x，y 满足约束条件 2x 3y 6 0, 则目标函数 z 2x 5y 的最小值为（ ）
3x 2 y 9 0.
A. 4
B. 6
C.10
D.17
x 3y 3 0 2．若实数 x，y 满足不等式组 2x y 3 0 ，则 x＋y 的最大值为( )
x y 2 0 【解析】由约束条件 kx y 2 0 作出可行域如图，
y 0
由 kx－y＋2＝0，得 x 2 ， k
∴ B 2 ,0 ． k
由 z＝y－x 得 y＝x＋z． 由图可知，当直线 y＝x＋z 过 B 2 ,0 时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小．
k
4
此时
B.３，２
C.１，４
D.２，４
x 4 y 3, 7.已知变量 x，y 满足条件 3x 5y 25, ，设 z 2x y ，取点（3，2）可求 z 8, 取点（5，2）可求
x 1,
zmax 3 ，去点（0，0）可求得 z 0 ，取点（3，2）叫做
，取点（0，0）叫做
；点（5，
2）和点（1，1）均叫做
20x 10 y 100
0 x 4
，求线性目标函数 z＝400x＋300y 的最小值．
0 y 8
x 4
解得当
y
2
时，zmin＝2
200.
10.【答案】 , 2 ；
【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定 满足的条件.
4 11.【答案】[ ,13]
2
14．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元 组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合投资每年 可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万 元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？
10 5
D. (12 , 3 ) 5 10
6.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、
可获利润和托运能力限制数据在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（ ）
体积（ｍ２／箱） 质量（５０ｋｇ／箱） 利润（１０２／箱）
甲
５
２
２０
乙
４
５
１０
托运能力
２４
１３
1
A.４，1 二、填空题
可装洗衣机 10 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
.
x y 3 0, 10.线性目标函数 z x y ，在线性约束条件 2x y 0, 下取得最大值时的最优解只有一个，则实
y a.
数 a 的取值范围
x 2y 4 0
11.（2016 江苏卷） 已知实数 x，y 满足 2x y 2 0 ，则 x2+y2 的取值范围是
.
0 x 4,
8.已知 x，y 满足约束条件 0 y 3, 则 z 2x 5y 的最大值为
.
x 2 y 8,
9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙
型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，
则目标函数为 z (x 1.5 y) （×10 万元），
20x 40 y 160 x 2 y 8
线性约束条件为： 30x 30 y 180 ，即 x y 6
x 0, y 0
x 0, y 0
6
x 2y 8 作出可行域（图略），解方程组 x y 6 ，得交点 M (4,2) 作直线 x 1.5 y 0 ，平移 l ，当 l 过点 M 时， z 取最大值： zmax (4 3) 10 万元=70 万元.
原点（0，0）在区域
D
内，表示区域
D
的不等式组：
7x x75yy1123
0, 0,
4x y 10 0.
（2）将 B、C 的坐标代入 4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0， 得 a 的取值范围是－18＜a＜14.
13．【解析】 设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系：
7.【答案】可行解；非可行解；最优解
8.【答案】19
0 x 4,
【解析】易作出 0 x
y 3, 2 y 8,
对应的可行域，当直线
y
2 5
x
z 5
经过（2，3）时，
z
取得最大值
zmax
19
9. 【答案】2200
【解析】设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，运输费用 z 元，根据题意，得线性约束条件
2x y 2 0 15．设 x，y 满足约束条件 8x y 4 0 ，若目标函数 z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为 8，求 a＋b
x 0, y 0
的最小值为.
【答案与解析】 1．【答案】 B 【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 A(0，2)，B(3，0)，C(1，3) ,直线 z 2x 5 y 过点 B 时取最小值，选 B。 2. 【答案】 A 【解析】 作出可行域如图所示
5 5
【解析】由图知原点到直线 2x y 2 0
距离的平方为
x2
y2
的最小值，为
2 5
2
4 5
，原点到
点（2,3）距离平方为 x2 y2 的最大值，为 13，因此 x2 y2 的取值范围为[ 4 ,13] 5
12．【解析】 （1）直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0
甲产品 x 吨 乙产品 y 吨
A 原料
3x y
B 原料
2x 3y
x 0
y 0 则有： 3x y 13
，目标函数 z 5x 3y
2x 3y 18
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当 x ＝3， y ＝4 时可获得最大利润为 27 万元.
14．【解析】设稳健型投资 x 份，进取型投资 y 份，利润总额为 z （×10 万元），
.
3x y 3 0
三、解答题
12．已知 D 是以点 A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内 部）.如图所示.
（1）写出表示区域 D 的不等式组； （2）设点 B（－1，－6），C（－3，2）在直线 4x－3y－a=0 的异侧，求 a 的取值范围. 13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产 品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企 业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润.
15. 【答案】4 【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
当直线 z＝abx＋y(a>0，b>0)过直线 2x－y＋2＝0 与直线 8x－y－4＝0 的交点(1,4)时，目标函数 z＝abx＋ y(a>0，b>0)取得最大值 8，即 8＝ab＋4，ab＝4，