最新五年级奥数平面几何图形的面积计算

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平面几何图形的周长和面积(五年级奥数9.28)

平面几何图形的周长和面积平面几何图形是小学数学的重要内容，在学习过程中，除了熟练地掌握各自的特征和周长、面积的意义，以及公式的推导过程，更重要的是要善于观察、勤于思考、手脑结合，学会并善于把有关知识加以整合、综合运用。

特别是针对一些较复杂的问题，通过变动图形的位置，或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段，转化为规则图形的和差、倍比关系，化简为繁，使隐蔽的条件明朗化，从而找到最佳解题方法。

练习题1.一块长方形木板正好可以锯成12块边长2分米的正方形，这块木板的周长是多少？（损耗忽略不计）2.一块纱布长12米，宽1.9米，裁成两条直角边都是0.6米的三角巾，最多可以裁多少块？3.一个长方形的长和宽都增加了5cm2厘米，则面积比原来增加了145cm2，求原长方形的周长是多少？4.一个三角形的面积是平行四边形的3倍，三角形的底是平行四边形的一半，那么三角形的高是平行四边形的多少倍？5.任意四边形对角相边把四边形分成了甲乙丙丁四个三角形（如下图），已知甲的面积是15cm2，乙的面积是30cm2.丁的面积是18cm2，求三角形丙的面积。

6.大小两个正方形面积相差9cm2，边长相差1cm，求大正方形的周长和小正方形的面积。

7.如图大正方形中有一小正方形，它们的周长相差12cm2，面积相差39cm2,求它们的周长和。

8.如下图用同样的长方形瓷砖，在一个正方形小花坛周围围了一个正方形边框，边框的外围周长264cm，小花坛的面积为900cm2，问每块瓷砖的长和宽各是多少?9.从一个正方形惯皮卜射下一个寛为3分米的长方形一条以后，剩下的面彩是108平方分米，求原来正方形的面积。

10.一块黑板长0.6米，宽0.3米，写满了字，用一块长10厘米的长方形黑板擦，在黑板内紧沿黑板的边擦黑板一周(只做平移，不做旋转)，如果没有擦到的部分是黑板面积的一半，那么黑板擦的宽是多少?11.已知下图中，梯形的面积是11.2平方厘米，求阴影部分的面积。

小学五年级数学解析：几何图形的面积计算

小学五年级数学解析：几何图形的面积计算一、常见几何图形的面积公式1. 长方形的面积公式：长方形的面积 = 长×宽。

例题解析：例题1：一个长方形的长为8米，宽为5米，求其面积。

解答：面积 = 8米× 5米 = 40平方米。

2. 正方形的面积公式：正方形的面积 = 边长×边长。

例题解析：例题2：一个正方形的边长为6厘米，求其面积。

解答：面积 = 6厘米× 6厘米 = 36平方厘米。

3. 三角形的面积公式：三角形的面积 = 底×高÷ 2。

例题解析：例题3：一个三角形的底为10米，高为4米，求其面积。

解答：面积 = 10米× 4米÷ 2 = 20平方米。

4. 平行四边形的面积公式：平行四边形的面积 = 底×高。

例题解析：例题4：一个平行四边形的底为9米，高为5米，求其面积。

解答：面积 = 9米× 5米 = 45平方米。

5. 梯形的面积公式：梯形的面积 = （上底 + 下底）×高÷ 2。

例题解析：例题5：一个梯形的上底为6米，下底为10米，高为4米，求其面积。

解答：面积 = （6米 + 10米）× 4米÷ 2 = 32平方米。

6. 圆的面积公式：圆的面积 = π×半径²。

例题解析：例题6：一个圆的半径为3厘米，求其面积。

解答：面积 = π× 3²厘米²≈ 3.14 × 9厘米² = 28.26平方厘米。

二、复合图形的分割与面积计算1. 复合图形的定义与分割方法定义：复合图形是由多个简单图形组合而成的图形。

要计算复合图形的面积，可以将其分割成多个简单图形，然后分别计算面积，再将这些面积相加。

例题解析：例题1：计算一个由两个长方形组合而成的L形图形的面积。

解答：将L形图形分割为两个长方形，分别计算面积，再将两部分面积相加。

小学奥数图形的面积

直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：【例 1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA E BA【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH =V V ．同理，S S BFH CFH =V V ，S =S CGH DGH V V ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．［分析］ ⑴如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；CBAEA B CFCB A①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．DC BA⑵如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；ED A BC FC BADGDA BC⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．(5)(4)(3)(2)(1)【例 2】如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDCB AEDC B A【分析】连接CE ．∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆=．又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===．【例 3】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ECBA 【分析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=;又∵2DC BD =,∴32BC DC =,361202ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）．［铺垫］如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？乙甲E CBAABCDE［分析］连接AD ．∵3BE =,6AE =，∴13BE AB =,13BDE ABD S S ∆∆=．又∵4BD DC ==,∴12ABD ABC S S ∆∆=,∴1136BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==,∴15S S =乙甲．［拓展］如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，6AD =厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBAFE CBA［分析］ ∵F 是AC 的中点,∴12ABF ABC S S ∆∆=，同理12BEF ABF S S ∆∆=，∴111866442BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）．【例 4】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB A AB CDEF【分析】本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．连接AE 、CD ．∵S 1S 1S 1ABC ABC DBC ==V V V ，， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．［拓展］如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH［分析］连接BD .设1DCB S S =V ，2DAB S S =V ∵CB BF =，∴2CDF CDB CDB CB BFS S S CB∆∆∆+==,又∵DC CG =,∴12CFG CDF S S S ∆∆==，同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=，111355ABCD EFGH S S ==（平方米）．［拓展］如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F E D CA F ED CA［分析］连接对角线AE ．∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==X∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=X ．［拓展］如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G［分析］连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V ，所以12AFD S =V ．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 5】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【分析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC =．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积2⨯．从而阴影部分的面积23212.85=⨯=（平方厘米）．［拓展］如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B［分析］因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =V 四边形，16ADF ABCD S S =V 四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==V V 四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==V V 四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =V 四边形，124DHF ABCD S S =V 四边形．因为12BCD ABCD S S =V 四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S四边形． 12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．【例 6】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFECB AGFECB A【分析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接BE ．（我们通过ABE V 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）∵在平行四边形ABCD 中，12ABE S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．同理，1S S 2ABE AEGF =V Y ，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．［拓展］如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DABGCEF D［分析］本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG .（我们通过ABG V 把这两个长方形和正方形联系在一起）．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，1S S 2ABG EFGB =V ．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=（厘米）．【例 7】如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？HGFED C BAHG FED C BA【分析】连接CF ．∵BD ，CF 都是正方形的对角线∴45DBC FCE ∠=∠=︒，BD ∥CF ．∴BFD ∆与BCD ∆同底等高，11010502BFD BCD S S ∆∆==⨯⨯=(平方厘米) ．【例 8】（03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．AA【分析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积．［分析］通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC 与三角形AFH 面积相等，也是6平方厘米．【例 9】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =V ，求BEF V 的面积．AB CDEFABCDEF［分析］本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC ．∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =V V ．同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =V V ．又ACF ACE AEF S S S =+V V V ，ABF BEF AEF S S S =+V V V ，∴ ACE BEF S S =V V ，即 1BEF ADE S S ==V V ．【例10】（小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差．【分析】直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．法1：连结BE （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转OA BCD E F G OA BC D E FG法2：连结CF （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF 的面积之差．所求为4(107)22(107)23⨯-÷-⨯-÷=．法3：延长BC 交GF 于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF 与矩形CEFH 的面积之差．所求为(42)(107)22(107)3+⨯-÷-⨯-=．法4：延长AB ，FE 交于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF 的面积之差．所求为4(107)(42)(107)23⨯--+⨯-÷=．【例11】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【分析】三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积(133549)+++=长方形面积+阴影部分面积；又因为三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积12=长方形面积，所以可得：阴影部分面积13354997=++=．1．如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【分析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．2．如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD EA BCDE【分析】连接BE .∵13AE EC = ∴13ABE ABC S S ∆∆=.又∵15AD AB =∴11515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆==，∴1515ABC ADE S S ∆∆==.3．两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，4DG =厘米，求阴影部分的面积．A【分析】组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了．用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316-÷=（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长(164)210=+÷=（厘米），小正方形边长(164)26=-÷=（厘米）．阴影部分面积410266238BDG BFG S S =+=⨯÷+⨯÷=V V （平方厘米）．HO A BCD E FGH OA B CD E FG4．在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．［分析］因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．5．右图中，4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．ABCD E 【分析】连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=平方厘米，6243CD =⨯÷=厘米．直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性质：GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 9】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB V 与BOC V 的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD 【分析】根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==V V ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===V V ，所以49DOC S =V (平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．［铺垫］梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD［分析］根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC S S ab b ==V V ，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ===V V ．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 11】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DOH GA B C D O【分析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 12】在边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，2DF FC =．求四边形ABGD 的面积．ABCDE FGABCDE FG【分析】题目要求四边形ABGD 的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到E 、F 都是三等分点，如果连接EF ，因为EF ∥BD ，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．因为2BE EC =，2DF FC =，所以:3:1BD EF =．根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE 四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE 的面积为：111141122339⨯⨯-⨯⨯=，所以9113394BDG BDFE S S =⨯=+++V ，得11311244ABGD ADB BDG S S S =+=⨯⨯+=V V ．【例 13】如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【分析】因为M 是AD 边上的中点，所以12AM =，可得34AMCB S =梯形，由于:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=V V V V （）（），所以阴影部分面积占梯形面积的22412249+=+++，所以341493S =⨯=阴影．【例 14】如图，在长方形ABCD 中，6AB =，2AD =，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【分析】如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S =V V ，所以34DEO DEF S S =V V ，而2DEF ADE S S ==V V ，所以32 1.54DEO S =⨯=V ，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=．相似三角形性质【例 7】在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO V 的面积是ABO V 面积的几倍？ABCDO EFABCO【分析】连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO V 的面积等于CBO V 的面积；由1124OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==V V V ，即CDO V 的面积是ABO V 面积的3倍．【例 8】如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BCDA BDA BD【分析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =V V ，DBO EBO S S =V V ，且:4:62:3ADO DBO S S ==V V ．设ADO V 的面积为2份，则DBO V 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABE S =⨯÷=V ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即1532ADECS S=阴影梯形；又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以151532ADEC S S ==阴影梯形．【例 9】右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，13GC FC =．求阴影部分的面积．AB EABE【分析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以115522624BGE S =⨯⨯=V ．【例10】如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5AH cm =，3HF cm =，求AG ．ABC DEFGHO【分析】由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =，所以3:5:10:32AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==，而()()1153422AO AF cm ==⨯+=，所以()104041313AG cm =⨯=．【例11】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘米．BB【分析】注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．可得1=4AED ABCD S S V 平行四边形，对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以23::2:344DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，所以 11117263434AEO ABCD S S =⨯=⨯⨯=V 平行四边形(平方厘米)，212ADO AEO S S =⨯=V V (平方厘米)．同理可得6CFM S =V 平方厘米，12CDM S =V 平方厘米．所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--=V V V (平方厘米)，于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．练习5． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【分析】根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．6．如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODC BA 【分析】根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACOD S S a b ==V V ，所以:2:3a b =，2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===V V ，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯=V V ，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．7．已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【分析】已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =V V ．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =V V ，所以:1:18CFG ABC S S =V V ，那么18CFG a S =V ．8．在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．A BCDEF【分析】根据相似三角形性质可知::1:2EF AF BE AD ==，所以33ABE BEF S S ==V V (平方厘米)，那么412ABCD ABE S S ==W V (平方厘米)．。

五年级奥数《长方体与正方体的表面积与体积》

五年级奥数《长方体与正方体的表面积与体积》长方体和正方体的表面积和体积方法讲解：长方体和正方体是我们研究的基本几何图形，利用它们的表面积和体积公式可以解决简单的问题。

但对于较复杂的立体图形问题，我们需要注意以下几点：1.必须以基本概念和方法为基础，将构成几何图形的诸多条件融合贯通起来。

2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化。

3.对于一些不规则的物体的体积求解，可以通过变形的方法来解决。

例题讲解：1.一个零件形状大小如右图所示：求它的体积和表面积。

（单位：厘米）2.有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图所示），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）3.一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减少24平方厘米，求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？4.长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。

这个长方体的体积是多少立方厘米？5.一个边长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成边长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？达标练：1.一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，被切去一块后（如图所示），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，在它的左右两个角各切掉一个正方体（如图所示），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？4.有一个形状如上图所示的零件，求它的体积和表面积。

（单位：厘米）5.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上，（如图所示）那么得到的物体的体积和表面积各是多少？6.一个正方体和一个长方体刚好拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？7.一根长1米，宽和高都是8厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？8.把两个完全相同的长方体木块拼成一个正方体，表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了40平方厘米，求原来每个长方体的表面积是多少平方厘米？9.一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米。

五年级奥数——平面图形面积计算

年级授课日期授课主题第4讲——平面图形面积计算教学内容i.检测定位本讲所指平面图形面积计算主要指多边形及其组合图形面积的计算.这些图形面积计算一般都可以转化成三角形、长方形、平行四边形和梯形的面积计算，后者的计算公式都是我们在课内已经学过并且应该熟记的.主要的技巧在于如何将一般多边形及其组合图形“转化”为基本图形.【例1】在梯形中阴影部分面积是150平方厘米，求梯形面积.分析与解已知梯形上、下底长分别为15厘米和25厘米，令梯形高为h ，则由已知三角形面积为150平方厘米，有 h ⨯⨯=1521150，得).(20厘米=h 所以，梯形面积S 为.40020251521（平方厘米））（=⨯+⨯=S 随堂练习1如图2-4，已知平行四边形面积是48平方厘米，求阴影部分面积.【例2】如图3-4是两个完全相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.（单位：分米）分析与解如图3-4，由于①+②的面积和②+③的面积相等，所以可以得出：①与③的面积相等，题目要求③的面积，其实只要求①的面积即可.所以（分米）；53-8==EF23)815(÷⨯+=S2313÷⨯=).(5.19239平方分米=÷=答：阴影部分的面积是19.5平方分米.【例3】如图4-4，将长为9厘米、宽为6厘米的长方形划分成四个三角形，其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，且4321S S S S +==，求4S .分析与解设长方形面积为S ，则 )(54694321S S S S S +++==⨯=所以.184321=+==S S S S设x BE =，.y DF =则有 x S ⨯⨯==921181， .621182y S ⨯⨯== 解得 4=x ，.6=y 从而，2=EC ，.3=FC所以 332213=⨯⨯=S ， ).(153184平方厘米=-=S随堂练习2如图5-4，四边形ABCD 是直角梯形，其中ADE BC AB AD ∆===厘米，且厘米，厘米，15812、CDF DEBF ∆及四边形的面积相等，求三角形EBF 的面积.【例4】如图6-4，.904625︒=∠=∠====D B CD AB CF AE 厘米，厘米，厘米，厘米，求四边形AFCE 的面积.分析与解四边形AFCE 是不规则四边形，连结AC ，则AC 将四边形AFCE 分成两个三角形（AFC ∆、CEA ∆）.这两个三角形的面积利用已知条件可求.AB 是AFC ∆底边上的高，所以；平方厘米)(6622121=⨯⨯=⨯⨯=∆AB FC S AFC CD 是AE CEA 底边∆上的高，所以).(10452121平方厘米=⨯⨯=⨯⨯=∆CD AE S CEA 所以，四边形AFCE 的面积CEA AFC S S ∆∆+=).(16106平方厘米=+=随堂练习3如图7-4，四边形ABCD 中，，厘米，厘米，厘米，厘米，︒=∠=∠====901512105D B DC FC AB AE 求四边形AFCE 的面积.【例5】如图4-8，求长方形中阴影部分的面积.（单位：厘米）分析与解阴影部分的三个三角形高相等，那么它们的面积和就是它们的底的和乘高除以 2. .75215021015（平方厘米）=÷=÷⨯答：阴影部分的面积和是75平方厘米.【例6】如图9-4，平行四边形ABCD 的边长厘米10=BC ，直角三角形BCE 的直角边CE 长为8厘米.已知阴影部分的面积比三角形FEG 的面积大10平方厘米.求CF 的长.分析与解因为直角三角形BCE 与平行四边形ABCD 共有梯形BCFG .所以平行四边形ABCD 的面积比直角三角形BCE 的面积大10平方厘米.由已知可知CF 垂直AD ，所以，1021+⨯=⨯CE BC BC CF 即 .50108102110=+⨯⨯=⨯CF 所以.5（厘米）=CF随堂练习4如图10-4，正方形ABCD 的边长为12厘米，已知.2倍长度的是EC DE 求：（1）DEF ∆的面积；（2）CF 的长.玩一玩只剩一个如图，一个三角形的棋盘放着15个棋子，一开始随意取走一个棋子，出现一个空格.然后按以下规则开始跳棋子：棋子A 越过它的临格中的棋子B 跳到棋子B 另一侧相邻的空格中，并将B “吃”掉.按以上规则不断跳下去，每跳一步少一个棋.请问：能否跳到最后还剩一个棋子？请你玩一玩.图中的数是位子的编号，先不要看答案，自己动手画一张如图所示的棋盘，并在每个棋盘中放一枚棋子（可利用围棋子），然后按规则任意取走一个棋子，开始游戏.若有困难，可先看提示，继续游戏，最后再看方案.答案能.先取走1号、3号、5号位置上的棋子，依次从6号、10号、14号位置中的棋子起跳，经过13步可将棋盘中13个子“吃”掉.方案1 取走1号6→1,13→6,11→13,14→12,2→9,7→2,1→4,10→3,4→3,12→14,15→13，13→6,6→1（止于1号位）方案2 取走3号10→3,13→6,7→9,2→7,11→4,15→13,12→14,3→10,4→6,10→3,1→6,14→5,6→4（止于4号位）方案3 取走5号14→5,7→9，3→8，10→3，1→6 , 2→7 ，11→4,12→14,6→13,14→12,4→13,12→14,15→13（止于13号位） ii.针对培养1. 一块玉米地的形状如图所示，它的面积是_________平方米.2. 三个正方形如图所示放置，中心都重合，它们的边长依次是1厘米、3厘米、5厘米，那么图中阴影部分的面积是__________平方厘米.3. 如图，，，610==EC BC 直角三角形EDF 的面积比直角三角形FAB 的面积小5，那么长方形ABCD 的面积是__________4. 如图，正方形ABCD 的边长是9厘米，它的内部有一个内接三角形BFE ，厘米，厘米，24==DF AE 求三角形BFE 的面积.5. 如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直相交于O ，厘米，厘米，54==BD AC 求四边形ABCD 的面积.6. 如图，四边形ABCD 中，厘米，厘米，，，3745,90==︒=∠︒=∠=∠AD BC BCD D B 求四边形ABCD 的面积.7. 如图由两个完全相同的梯形重叠在一起而组成，求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）8. 如图，求阴影部分的面积.（单位：厘米）9. 如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，图中阴影部分的面积与空白部分的面积哪个大？10. 如图，三角形ABC 的周长是30厘米，三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米，求三角形ABC 的面积.11. 如图，已知正方形甲的边长为5厘米，正方形乙的边长为4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？12. 如图，ABCD 是长为8厘米、宽为6厘米的长方形，AF 长是4厘米，求阴影部分（三角形AEF ）的面积.13. 如图，长方形ABCD 与三角形EBC 重叠，已知三角形EFD 的面积比三角形ABF 的面积大6平方厘米，且厘米，厘米，64==BC CD 求ED 的长.。

五年级奥数平面图形

1、边长为12厘米的正方形中有一块阴影部分。阴影部分的面积是（）平方米。
2、若梯形ABCD的上底AD长16厘米，高BD长21厘米，并且BD=3DE，则三角形ADE的面积是（）平方厘米，梯形的下底BC的长为（）厘米。
3、五边形ABCDE内有一点O，O点到五条边的垂线段的长都是4厘米，五边形的周长是30厘米，则五边形ABCD的面积是（）平方厘米。
3、如图，图中两个三角形的面积都
是540平方米，这个平行四边形的周22.5m
长是（）。18m
4、如图六边形ABCDEF中，六个内角都是120°，AB=3，CD=4，DE=2.5，则，它的周长是（）
1、阴影部分面积最大的图形是（），阴影部分面积最小的图形是（）
2、如图，是欢欢家的宅基地规划图，如果每两个相邻的点之间的距离是5厘米，那么她们家的宅基地的面积是（）平方米
3、图形的面积：利用相似三角形的性质
1、图中阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米，则长方形ADHE的周长是（）厘米
2、长方形ABCD的长10厘米，宽4.5厘米，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是（）厘米。
1、如图，图形的周长是（）厘米
2、从一块长方形的钢板上截下一个正方形钢板，如图所示，截下部分的面积是76平方米，那么截下部分的周长是（）分米。
第3题第4题第5题
4、用27个同样大小的正方体按照如图拼成的一个棱长为3的大正方体，若自上而下去掉中间的3个小正方体，则剩下的几何体的表面积是（）
5、如图，用棱长为1厘米的立方体叠成的一个立方体，它的表面积最少有（）平方米。
6、11、如图，平行四边形底边的中点是A，它的面积是48m2。阴影部分的面积是（）m2。
作业布置

五年级奥数-面积计算专题

第9讲面积计算一、知识要点对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。

二、精讲精练【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。

把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。

练习1：1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。

求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。

如图所示。

3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。

把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

完整版)五年级奥数平面图形面积计算

完整版)五年级奥数平面图形面积计算五年级奥数第六讲——平面图形面积的计算一、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式正方形：特征：四条边相等，四个角都是直角，有四条对称轴。

面积公式：S=边长的平方长方形：特征：对边相等，四个角都是直角，有二条对称轴。

面积公式：S=长×宽平行四边形：特征：两组对边平行且相等，对角相等，相邻的两个角之和为180°，容易变形。

面积公式：S=底边×高三角形：特征：两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，三个角的内角和是180°，具有稳定性。

面积公式：S=底边×XXX÷2梯形：特征：只有一组对边平行，中位线等于上下底和的一半。

面积公式：S=(上底+下底)×高÷22.基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。

典型例题】例1】已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。

例2】求图中阴影部分的面积。

例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长度。

例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？练与拓展】1.计算下面图形的面积。

2.下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。

3.正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求三角形DEF的面积和CF的长。

4.平行四边形ABCD的边长BC=10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。

5.正方形ABCD的面积是100平方厘米，AE=8厘米，请计算以下图形的面积。

1.在一块长80米、宽30米的长方形地上，修了宽为2米和3米的两条小路，求草地的面积。

五年级奥数专题直线型面积计算(学生版)

学科培优数学“直线型面积计算”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形等的相关面积计算方法,是几何问题中的常见常考内容。

知识梳理一、基本平面图形的计算公式【授课批注】在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式,这些知识点在具体题目中都可能用到。

二、重要模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：bs 2s 1即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） ①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2【授课批注】因为四年级还没学过比例,所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概念,学生更容易理解。

对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上面的关系式。

【重点难点解析】1．等底或等高的三角形的面积关系2．长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系 3. 三角形内不规则图形部分的面积计算【竞赛考点挖掘】1. 基本几何图形的面积计算2. 三角形中底和高与面积的关系3. 四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系S 4S 3s 2s 1ba S 4S 3s 2s 1O DCB A例题精讲【试题来源】【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍, EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【试题来源】【题目】如图16-4,已知．AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】左下图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如右下图,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么右下图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?习题演练【试题来源】【题目】如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12,已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】图中ABCD是梯形,三角形ADE面积是1．8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【试题来源】【题目】如图,梯形ABCD的上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,BD,CF将长方形ABCD分成4块,红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．【试题来源】【题目】如图,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是110平方米、15平方米、3 10平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【试题来源】【题目】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】如图,长方形被其内的一些直线划分成了若干块,已知边上有3块面积分别是13,35,49．那么图中阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】在右图的△ABC中,CE=2AE,BD=3DC,已知△DEC的面积是4cm2,求△ABC的面积。

(完整word)五年级奥数巧求表面积例题、试题及答案,推荐文档

巧求表面积教课目的掌握长方体和正方体的特色、表面积和体积计算公式，并能运用公式解决一些实质问题。

教课过程一、例题解说我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积。

假如长方体的长用 a 表示、宽用 b 表示、高用 h 表示，那么，长方体的表面积 =（ ab＋ ah＋ bh ）× 2。

假如正方体的棱长用 a 表示，则正方体的表面积=6a2。

关于由几个长方体或正方体组合而成的几何体，或许是一个长方体或正方体组合而成的几何形体，它们的表面积又怎样求呢？波及立体图形的问题，常常可考察同学们的看图能力和空间想象能力。

小学阶段碰到的立体图形主假如长方体和正方体，这些图形的特色都是能够从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和。

有了这个原则，在解决近似问题时就十分方便了。

例 1在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体（下列图），求这个立体图形的表面积。

（例 1 图）（例2图）剖析我们把上边的小正方体想象成是能够向下“压缩” 的，“压缩” 后我们发现：小正方体的上边与大正方体上边中的暗影部分合在一同，正好是大正方体的上边。

这样这个立体图形有表面积就能够分红这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；侧面：小正方体的四个侧面大正方体的四个侧面。

解：上下方向：5× 5× 2=50（平方分米）侧面：5× 5×4=100（平方分米）4× 4× 4=64（平方分米）这个立体图形的表面积为：50＋ 100＋64=214（平方分米）答：这个立体图形的表面积为214 平方分米。

例 2下列图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体2小洞，第三个正方体小洞的挖法与前两个同样，棱长为1厘米。

五年级奥数五个几何模型

直线形面积计算的五个模型知识点精讲一、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比）AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ∆∆=1h 为公共的高，所以 12::BD DC s s =（3）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以()21::)(ABD CDE BD DC h s s h ∆∆=⨯⨯比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）二、鸟头模型（共角模型）两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。

BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ∆∆=⨯⨯所以E :E:DA BAC DA A BA AC s s ∆∆∠=⨯⨯A 为公共角，所以推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1243::s s s s =或者1342s s s s ⨯=⨯14231243+AO:OC s s s s s s s s ===：：（）：（+）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）2213:a b s s =：221324::a b s s s s=：：：ab ：ab整个梯形对应的面积份数为： 2(a+b)四、相似模型相似三角形性质：（金字塔模型）（沙漏模型）下面的比例关系适用如上两种模型：1、AD AE DE AF AB AC BC AG ===2、 22::ADE ABC s s AF AG ∆∆=所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

完整版五年级奥数图形变换求面积问题

图形变换求面积问题一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离。

平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。

一般有2种方法：1. 平移已知条件2. 平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。

几何题多数都是逆向思考的。

、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形。

旋转变换把平面图形绕旋转中心，旋转一个定角，使分散的条件集中在一起。

在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，是经常用到的思维途径三、对称(也可理解为翻折)：某图形对于某条线对称的图形通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。

当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1. 出现了明显的轴对称、中心对称条件时2. 出现了明显的垂线条件时。

【例1】右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是如图所眾，将道路平移后的(16-2)x(10-2) = 112【巩固】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个•请算出阴影部分的面积.【例2】如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又BD 4，AC 3，AB CD 5 .试求梯形ABCD 的面积.平行四边形，它们的宽都是 2,求草地部分的面积(阴影部分)有多大?【巩固】如下图，六边形 ABCDEF 中，AB ED , AF CD , BC EF ，且有 AB 平行于ED , AF 平行于CD , BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD 24厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米?【例3】如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4 , 则正六边形 ABCDEF 的面积是 ______________________ 。

五年级奥数正方形面积

五年级奥数正方形面积正方形是一种特殊的四边形，它的四条边长度相等，四个角都是直角。

在数学中，正方形是一个非常重要的图形，它有很多有趣的性质。

本文将带领大家一起探索正方形的面积。

我们来了解一下正方形的面积公式。

正方形的面积公式是边长的平方，即：面积 = 边长× 边长。

假设正方形的边长为a，那么它的面积就是a × a，或者简写为a²。

这个公式非常简单，但是却非常有用。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设有一个正方形，边长为5厘米。

我们可以使用面积公式来计算它的面积。

根据公式，面积= 5厘米× 5厘米 = 25平方厘米。

所以，这个正方形的面积是25平方厘米。

正方形的面积与边长之间有一个重要的关系，那就是面积随着边长的增加而增加。

也就是说，如果我们将正方形的边长加倍，那么它的面积就会变为原来的4倍。

这是因为正方形的面积公式中有一个平方运算，使得面积与边长的关系呈现出倍数的关系。

除了使用面积公式计算正方形的面积，我们还可以通过其他方法来求解。

一个常见的方法是将正方形划分为若干个小正方形，然后将这些小正方形的面积相加。

例如，我们可以将一个正方形划分为4个边长为一半的小正方形，那么它的面积就等于这4个小正方形的面积之和。

这种方法在计算复杂形状的面积时非常有用。

正方形的面积还可以与其他图形的面积进行比较。

例如，我们可以将一个正方形与一个矩形进行比较。

矩形的两个相邻边长可以不相等，而正方形的四条边长是相等的。

如果一个矩形的两个相邻边长相等，那么它就是一个正方形。

所以，我们可以说正方形是一种特殊的矩形。

在面积的比较上，正方形的面积一定小于或等于矩形的面积。

这是因为正方形的边长相等，而矩形的边长可以不相等，所以矩形的面积可能更大。

正方形的面积在日常生活中也有很多应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要计算房间的面积。

如果房间是正方形，那么我们可以直接使用面积公式来计算。

另外，正方形的面积还可以用来计算地板的面积、草坪的面积等。

奥数竞赛面积计算公式

奥数竞赛面积计算公式在数学竞赛中，面积计算是一个常见的题型，也是考察学生对几何知识掌握程度的重要指标。

在奥数竞赛中，面积计算题目往往涉及到各种不规则图形的面积计算，需要学生灵活运用所学的面积计算公式来解题。

本文将介绍一些常见的面积计算公式，并通过例题来演示如何运用这些公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。

首先，我们来看一些常见的图形的面积计算公式。

1. 矩形的面积计算公式。

矩形是最简单的几何图形之一，其面积计算公式为，面积 = 长×宽。

这个公式非常简单，只需要将矩形的长和宽代入公式即可得到矩形的面积。

2. 正方形的面积计算公式。

正方形是一种特殊的矩形，其面积计算公式与矩形相同，面积= 边长×边长。

也就是说，正方形的面积就是边长的平方。

3. 三角形的面积计算公式。

三角形是另一种常见的几何图形，其面积计算公式为，面积 = 底×高 / 2。

其中，底代表三角形的底边长，高代表三角形的高。

4. 圆的面积计算公式。

圆是一个非常特殊的几何图形，其面积计算公式为，面积= π×半径的平方。

其中，π是一个无理数，约等于3.14，半径代表圆的半径长度。

除了上述常见图形的面积计算公式外，还有一些其他不规则图形的面积计算公式，例如梯形、圆环等，这里不一一列举。

接下来，我们通过一些例题来演示如何运用这些面积计算公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。

例题1，一个矩形的长为5厘米，宽为3厘米，求其面积。

解，根据矩形的面积计算公式，面积 = 长×宽，代入长和宽的数值，得到面积 = 5 × 3 = 15（平方厘米）。

因此，这个矩形的面积为15平方厘米。

例题2，一个半径为4厘米的圆的面积是多少？解，根据圆的面积计算公式，面积 = π×半径的平方，代入半径的数值，得到面积 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24（平方厘米）。

因此，这个圆的面积约为50.24平方厘米。

五年级上册奥数专题系列-长方体和正方体的体积与表面积沪教版 (含答案)

图1 图2 图3图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【例 7】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．87662616661787292也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。

从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。

因此被染色的面有()1067236++⨯=个面【答案】36【例 11】用6块右图所示(单位：cm )的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=【答案】112【例 12】要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？(1)的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：。

【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第11题【解析】体积比为3:8:13【答案】3:8:13【例 14】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】44(1234)456⨯++++⨯=(平方米)．【答案】56【例 15】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______ 块．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【解析】三面涂上红色的小正方体有：425428⨯+⨯=个，两面涂上红色的小正方体有：341416⨯+⨯=个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612-=块．【答案】12【例 16】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了块木块．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2007年，迎春杯，中年级，复赛，9题【解析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．【答案】23块【例 17】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红图1图2倍．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，六年级，初赛【解析】 ()2264:616:1a a ⎡⎤⎡⎤⨯⨯=⎣⎦⎣⎦．【答案】16:1【例 20】如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年，迎春杯，高年级复赛，3题【解析】假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是6661215⨯⨯-=，小正方体露在外面的表面积是5，所以有215543÷=倍．【答案】43【例 21】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是平方厘米。

经典小学奥数题型(几何图形)

经典小学奥数题型(几何图形)经典小学奥数题型（几何图形）在小学奥数竞赛中，几何图形是一个常见的考点。

通过熟悉和掌握一些经典的几何题型，学生能够提高解题能力，增强空间想象力，并且培养逻辑思维。

一、平面图形的边、角和面积计算1. 边和角计算设某个多边形的边数为 n，则它的内角和为 (n-2) × 180 度。

如果该多边形是正多边形，则每个内角都相等，即每个内角为 [(n-2) ×180]/n 度。

2. 正多边形的面积计算设正多边形的边长为 a，边数为 n，则正多边形的面积 S = (n ×a^2)/(4 × tan(π/n)) 平方单位。

3. 三角形的面积计算设三角形的底边长为 a，高为 h，则三角形的面积 S = (a × h) /2 平方单位。

二、相似三角形的性质当两个三角形的相应角相等时，我们可以推论他们是相似三角形。

相似三角形之间存在以下几个性质：1. 边长的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例应该相等： AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。

2. 面积的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例的平方等于对应面积之间的比例：(AB/XY)^2 = (BC/YZ)^2 =(AC/XZ)^2 = S(ABC)/S(XYZ)。

三、三角形的周长和面积计算1. 三角形的周长计算将三角形的三条边长相加，即可得到三角形的周长。

2. 海伦公式设三角形的三条边长为 a、b、c，令 p = (a+b+c)/2 为半周长，则三角形的面积S = √( p × (p-a) × (p-b) × (p-c) ) 平方单位。

四、平行四边形和矩形的性质1. 平行四边形的性质平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相等分，并且对角线相交的点将对角线份平分。

2. 矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边相等且互相平行，且所有角都是直角。

五年级奥数第05讲-长方形、正方形的面积(教)

学科教师辅导讲义知识梳理一、基本公式长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。

但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。

这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。

二、方法技巧对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的面积。

对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算的公式求解。

典例分析考点一：分解法例1、把一张长4米、宽3米的长方形木板，锯成一个面积最大的正方形木板，这个正方形木板的面积是多少平方米？【解析】要使锯成的正方形木板面积最大，就要使它的边长最长，那么只能用原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为3米，正方形的面积为3×3=9平方米。

例2、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。

求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？【解析】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A 和B的面积相等。

因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。

求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了例3、求下面图形的面积。

（单位：厘米）【解析】这是一个不规则图形，不能直接求出面积，因此需要转换一下，画一条辅助线，将其分解成两个长方形如右图。

从右图可以看出左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米。

右边长方形长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

故整个图形面积为8+3=11平方厘米例4、下图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。

五年级奥数长方体与立方体表面积

五年级奥数长方体与立方体表面积
在数学学科中，我们研究了很多有趣的图形和形状。

长方体和立方体是我们研究的两种常见的三维形状。

在这篇文档中，我们将重点介绍长方体和立方体的表面积的计算方法。

长方体的表面积
长方体由6个矩形构成。

因此，长方体的表面积可以通过计算所有矩形的面积之和来得出。

我们可以使用以下公式计算长方体的表面积：
表面积 = 2 x (长 x 宽 + 长 x 高 + 宽 x 高)
其中，长、宽和高分别代表长方体的三条边的长度。

通过这个公式，我们可以轻松地计算出任何一个长方体的表面积。

立方体的表面积
立方体是一种有6个正方形面的特殊长方体。

因此，立方体的表面积可以通过计算所有正方形面的面积之和来得出。

我们可以使用以下公式计算立方体的表面积：
表面积 = 6 x 长的平方
其中，长代表立方体的边长。

通过这个公式，我们可以轻松地计算出任何一个立方体的表面积。

在实际生活中，我们可以使用这些公式来计算任何长方体或立方体的表面积，帮助我们更好地理解空间几何图形。