广州大学2014-2015(1)概率统计解答(B)

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九、 （本题满分 10 分） 设总体 X 服从正态分布 N (0, 2 ) ， x1 , x2 , , xn 是来自总体 X 的一组样本观察值，求 参数 2 的最大似然估计值. 解:似然函数为
L( x1 ,..., xn ; )
i 1
x ( x) ( x) 1 2

x
e

t2 2
dt
0.5 0.6915
1 0.8413
1.5 0.9332
2 0.9772
2.5 0.9938
3 0.9987
解：记 X 是 5000 个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 则 X ~ b(n, p ) ， 其中 n 5000 ， p 0.005 .------2 分 由中心极限定理知
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五、 （本题满分 8 分） 设随机变量 X 的分布律为
X P
－2 0.2
-1 0.1
2
0 0.1
1 0.4
2 0.2
试求：(1)随机变量 Y X 1 的分布律；(2) Y 的分布函数. 解：(1) 随机变量 Y 的分布律为
Y P
1 0.1
2 0.5
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) 39% .------8 分
i 1 3
由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得 P ( A1B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) 14 .------10 分 P ( A1 | B ) 39 P( B) P( B)
n
2 1 e 2 ( 2 2 ) n exp{ i 1 2 } -----------5 分 2 2
xi
2
x
n
i
2
取对数得
ln L( x1 ,..., x n ; ) n ln 2
2 2

n
n i 1
xi
2
2
2 2 0
d d
2
ln L( x1 ,..., x n ; 2 )
a bx 3 f ( x) 0 0 x 1 其它
3 且 E ( X ) . 求： 5 （1） X 的分布函数 F ( x ) P{ X x} ； （2） X 的方差 D ( X ) .
解: （1）由于

f ( x )dx 1 ，则
1 0



f ( x)dx (a bx 3 )dx a b / 4 1 ，------2 分
X 2 ; 2
A ), 则 Y ~ N (0,1) . (C)
x
(B)
X 2 ; 4
X 2 ; 4
(D) 4 X 2 .
二、填空题（每小题 3 分，总计 15 分） 1．袋中有 6 个红球，2 个白球.从中任取 3 个，则恰好取到 2 个红球的概率是 2．已知 P ( A) 0.4 , P ( B ) 0.5 , P ( B | A) 0.6 ,则 P ( A B ) 0.66 .
（1）求 A ； （2）求 X ， Y 的边缘分布律； （3）判断 X ， Y 是否独立. 解： （1）由 p ij 1 得
i j
A＝1－0.04－0.24－0.36-0.12－0.18＝0.06.------3 分
（2） X 的边缘分布律为
X p
0 0.4
1 0.6
------5 分
Y 的边缘分布律为 Y p
3 C7 7 解：(1) P ( A) 3 C10 24 3 C3 119 (2) P ( B ) 1 P ( B ) 1 3 C10 120
63 ，则 64
.
……(4 分) ……(8 分)
四、 （本题满分 10 分） 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占 35%, 25%, 40%, 各厂的产品的 次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该 产品是甲厂生产的概率. 解：记事件 A1 ：“该产品是次品”， 事件 A2 ：“该产品为乙厂生产的”， 事件 A3 ：“该产品为丙厂生产的”，事件 B ：“该产品是次品”.------2 分 由题设，知 P ( A1 ) 35%, P ( A2 ) 25%, P ( A3 ) 40%, P ( B | A1 ) 4% ， P ( B | A2 ) 2% ， P ( B | A3 ) 5% ，------5 分 由全概率公式得
X np np (1 p )
近似服从 N (0, 1) .------4 分
保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为 0.02 5000 2.5 X 万元.------5 分 所求概率为 P (0 0.02 5000 2.5 X 75) P (10 X 40) ------6 分
3．已知 P ( A) 0.2 ， P ( B ) 0.2 ， A 与 B 互斥，则 P ( B A) （ B ）. （A）0.04； （B）0.2； （C）0.16； （D）0. 4．设 f ( x) ， F ( x ) 分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数，则( B ). (A) f ( x ) 连续; (B) F ( x ) f ( x ) ; (C) f ( x ) F ( x ) ; (D) lim f ( x ) 1 . 5．设 X ~ N (2,4) , 若 Y ( (A)
n 2 2

i 1 xi
2 4
----------------------------8 分
ˆ2 最大似然估计为
1 n 2 xi , n i 1
--------------------------10 分
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10 25 X np P 25 0.995 np (1 p ) (3) (3) ------8 分 2 (3) 1 ------9 分 =0.9974.-----10 分 40 25 ------7 分 25 0.995
15 . 28
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3．每次试验中 A 出现的概率为 p ，在三次试验中 A 出现至少一次的概率是 . p 0.75 4．设离散型随机变量 X 的分布律为 0 1 3 X 0.6 0.1 0.3 P 其分布函数为 F ( x ) ，则 F (2) 0.7 . 5．设 X ~ N (3,64), x1 ,..., x32 为 X 的一个样本，则样本均值 X 的方差为 2 三、 （本题满分 8 分） 袋中有红球 7 个, 白球 3 个, 从中抽 3 个, 求 (1)抽到 3 个红球的概率 P ( A) ;(2)抽到至多 2 个白球的概率 P ( B ) .
f (t )dt =1， x0 0 x 1.
------10 分
0 2 1 这样就有 X 的分布函数为 F ( x) x x 4 3 3 1
x 1 1 2 4 9 19 （2） D ( X ) x 2 f ( x ) dx ( E ( X )) 2 x 2 ( x 3 )dx .------14 分 0 3 3 25 225
5 0.4 ……(5 分)
y 1 0 0 .1 1 y 2 (2) F ( y ) 0.6 2 y 5 5 y 1
……(8 分)
六、 （本题满分 10 分） 设 ( X , Y ) 的联合分布律为
X Y 1 2
3 0.12 0.18
0 1
0.04 A
0.24 0.36
学 号 :____________ 姓
三 8
四 10
五 8
六 10
七 14
八 10
九 10
பைடு நூலகம்
总 分 100
评卷人
一、选择题（每小题 3 分，总计 15 分） 1．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（ D ）. (5 i 2 ) i （A） p i ， i 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ； （B） p i ，i 0 ,1, 2 , 3 ； 6 25 i3 i2 （C） p i ， i 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ； （D） p i ，i 1, 2 , 3 , 4 . 145 30 2．设事件 A 与 B 同时发生的概率 P ( AB ) 0 ，则( C ). (A)事件 A 与 B 相互独立; (C) P ( A B ) P ( A) P ( B ) ; (B)事件 A 与 B 不相关; (D)事件 AB 为不可能事件.
3 3 由 E ( X ) ，则 xf ( x )dx ，于是 5 5 1 a b 3 3 xf ( x)dx 0 x(a bx )dx 2 5 5 ，------4 分 b a 4 1 2 4 这样有方程组 ，解之得 a , b .------6 分 a b 3 3 3 2 5 5
X 的分布函数为 F ( x )
0
x
f (t )dt ，
当 x 0 时， F ( x ) 0dt 0 ，-------7 分 当 0 x 1 时， F ( x ) 当 x 1 时, F ( x )
x x
f (t )dt
x 2 4 2 1 ( t 3 )dt x x 4 ，------9 分 0 3 3 3 3
院、系领导 审批并签名
B 卷
广 州 大 学 2014-2015 学 年 第 一 学 期 考 试 卷 解 答
课 程：概率论与数理统计（48 学时）
学 院 :____________ 名:___________ 题 次 分 数 得 分 一 15 二 15 专 业 班 级 :__________
考 试 形 式：闭卷考试
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八、 （本题满分 10 分） 某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费 200 元, 若一年 内发生重大人身事故, 其本人或家属可获 2.5 万元赔金. 已知该市人员一年内发生 重大人身事故的概率为 0.005 ，现有 5000 人参加此项保险, 问保险公司一年内从此 项业务所得到的总收益在 0 到 75 万元之间的概率是多少? 附表
1 0.1
2 0.6
3 0.3
------7 分
（3）经逐一验证，都有
P{ X xi , Y y j } P{ X xi }P{Y y j }，
所以 X ， Y 独立.------10 分
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七、 （本题满分 14 分） 设连续型随机变量 X 的密度函数为