双变量回归与相关

各个正态分布的总体方差相等且各次观测
相互独立。这样，公式（9-1）中的 Yˆ 实际上
是 X 所对应 Y 的总体均数 Y|X 的一个样本估
计值，称为回归方程的预测值（predicted value）,
而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
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例9-1 某地方病研究所调查了8名正 常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。 估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回 归方程。
Y|X X
(9 2)
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二、直线回归方程的求法
➢ 残 差 (residual) 或 剩 余 值 ， 即实测值Y与假定回归线上
的 估 计 值 Yˆ 的 纵 向 距
离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表
数据点分布趋势的直线。
最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实 测点至直线的纵向距离的 平方和最小。
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最初，Galton是将子代身高趋向于种族稳定 的自然现象称之向均数“回归”。
目前，“回归”已成为表示变量之间某种数 量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方 程”“回归系数”等统计学概念。如研究糖尿病 病人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄 与体重的关系等。
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一、线性回归的概念
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（X，Y）
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b lXY lXX
( X X )(Y Y ) (X X )2
aYbX
(9-3)
( 9 - 4 )
式中 lXY 为 X 与 Y 的离均差积和:
l
XY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
(9 5)
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除了图中所示两变量呈直线关系外，一
般还假定每个 X 对应Y 的总体为正态分布，
第十章
两变量之间关系的分析— —回归与相关
Linear Regression and Correlation
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问题引出
对两个变量之间关系的研究,例如糖尿病病人的血糖 与胰岛素水平的关系如何?分析资料涉及每个病人的 两个变量值(血糖、胰岛素水平），称为双变量资料 (Bivariate data），记作： （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 分析目的：研究X和Y之间的数量关系 分析方法：简单线性回归和简单线性相关。
1．由原始数据及散点图（图 9-1） 的观察，两变量间呈直线趋势，故作下 列计算。
2．计算X 、Y 的均数X 、Y ，离均 差平方和lXX 、lYY 与离均差积和lXY 。
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3．计算有关指标
X X 76 9.5
n8
Y Y 23.87 2.9838 n8
lXX
X 2 ( X ) 2 764 (76)2 42
目的：如果以某个变量X作为自变量，研究另一 个变量Y （应变量）对自变量X的数量依存关 系，就是线性回归。
特点：线性回归关系是统计关系，不同于一般数 学上的X 和Y的函数关系。
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例9-1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿 肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估计尿肌酐含量（Y） 对其年龄 < 0，则交点在原
点的下方；
➢ a = 0，则回归直线
通过原点。
0
a<0
a=0 a>0
X
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2. b为回归系数，即直线的斜率。
➢ b>0，直线从左下方走向
右上方，Y 随 X 增大而 Y
增大；
b>0
➢ b<0， 直线从左上方走 向右下方，Y 随 X 增大
而减小；
b=0
➢ b=0，表示直线与 X 轴
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表9-1 8名正常儿童的年龄X （岁）与尿肌酐含量 Y （mmol/24h）
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年 龄X 13 11 9 6 8 10 12 7 尿 肌 酐 含 量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
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双变量直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种， 故又称简单回归（simple regression)。
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直线回归方程的一般表达式为
Yˆ a bX (9 1)
Y ˆ 为各X处Y的总体均数的估计。
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1．a 为回归直线在 Y 轴上的截距。
➢ a > 0，表示直线与
Y
纵轴的交点在原点的
平行，X 与Y 无直线关系。
0
b<0 X
*b 的统计学意义是：X 每增加(或减少)一个单位，
Y 平均改变的单位数。
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公式（9-1）称为样本回归方程，它
是对两变量总体间线性关系的一个估计。
根据散点图我们可以假定，对于 X 各个取
值，相应Y 的总体均数 Y|X 在一条直线上
（图 9-2），表示为：
n
8
lYY
Y 2 ( Y )2 72.2683 (23.87)2 1.0462
n
8
( X)( Y)
(76)(23.87)
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第一节
简单线性回归
Simple Linear regression
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历史背景：
十九世纪英国人类学家 F.Galton（18221891）在由父亲身高与儿子身高的关系的观察分 析中，提出了著名的“相关”（correlation）与 “回归”（regression）理论。
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表9-1 8名正常儿童的年龄X （岁）与尿肌酐含量 Y （mmol/24h）
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年 龄X 13 11 9 6 8 10 12 7 尿 肌 酐 含 量Y 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36 3.18 2.65
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解题步骤
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在定量描述儿童年龄与其尿肌酐含量 数量上的依存关系时，将年龄称为自变量 (independent variable)，用 X 表示；尿肌 酐含量称为应变量(dependent variable)， 用 Y 表示。
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由图9-1可见，尿肌酐含量 Y 随年龄 X 增加而 增大且呈直线趋势，但并非8个散点恰好都在一条直线 上，这与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线 回归（linear regression）,其方程叫直线回归方程，以区 别严格意义的直线方程。