九年级锐角三角函数练习题

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人教版九年级下数学第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）

《锐角三角函数》单元练习题一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．3．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5米C．2米D．4米4．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m，则树的高度BD为（）A．8m B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m5．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（）A．B．C．D．6．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．7．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（）A．m B．m C．m D．m8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD 的值为（）A．B．C．D．9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．千米B．千米C．千米D．千米10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8B．12C．13D．1811．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．18米B．4.5米C．米D．米．12．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm二．填空题13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sin B的值是．14．已知∠A是锐角，且cos A＝，则tan A＝．15．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．17．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．18．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．三．解答题19．计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．20．如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）21．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．22．如图，已知：R t△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A 作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡AF上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，在地面上A处测得大树顶端B的仰角是45°．若坡角∠F AE＝30°，AD＝6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）24．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）25．被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目及结果如下表：项目内容课题测量郑州会展宾馆的高度的仰角是α，前进一段距离到达C点用测倾器CF测得楼β，且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平测量数据∠α的度数∠β的度数EC的长度，40°45°53米……请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）参考答案一．选择题1．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．2．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∴tan A＝＝，故选：A．3．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．4．【解答】解：在Rt△CBH中，∠HCB＝45°，CH＝8m，∴，∴HB＝CH•tan∠HAB＝8×tan45°＝8m，∴HD＝HB+AC＝8+1.6＝9.6．答：树的高度为9.6m．故选：B．5．【解答】解：如图，由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，∵OQ＝3，∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，解得：a＝1（负值舍去），∴PQ＝4，OP＝5，则tanα＝＝，故选：C．6．【解答】解：如右图所示，∵网格中小正方形的边长都为1，∴CE＝＝2，AC＝＝，AE＝3，CD＝4，作AH⊥CE于点H，∵，∴，解得，AH＝，∵AC＝，AH＝，∠AHC＝90°，∴CH＝＝，∴cos∠ACH＝，即cos∠ACB＝，故选：D．7．【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB．设AB＝x（米），∵CD＝14，∴BC＝x+14．∴x+14＝x∴x＝7（+1）．即铁塔AB的高为7（+1）米．故选：B．8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，∴BC＝7，∵CD是斜边AB上的高，，∴CD＝＝，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴cos∠BCD＝＝＝，故选：B．9．【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，AC＝，BC＝，∵m＝AC﹣BC，∴m＝﹣，∴PC＝＝，故选：A．10．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，∴＝，∴AB＝13，∴BC＝＝12，故选：B．11．【解答】解：如图：由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝9米，AE⊥BD，∵i＝＝，∴BE＝18米，∴在Rt△ABE中，AB＝＝9（米）．故选：D．12．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，所以sin B＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：∵∠A为锐角，且cos A＝，以∠A为锐角作直角三角形△ABC，∠C＝90°．∴cos A＝＝．设AC＝5k，则AB＝13k．根据勾股定理可得：BC＝12k．∴tan A＝＝．故答案为：．15．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴cot∠CAE＝cot B＝＝＝2，故答案为：2．17．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•t an45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．18．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2＝1+2﹣3＝0．20．【解答】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC＝＝，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC＝PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．21．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD＝．22．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．23．【解答】解：延长BD交AE于点G，作DH⊥AE于H，设BC＝xm，由题意得，∠DGA＝∠DAG＝30°，∴DG＝AD＝6，∴DH＝3，GH＝＝3，∴GA＝6，在Rt△BGC中，tan∠BGC＝，∴CG＝＝x，在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x，由题意得，x﹣x＝6，解得，x＝≈14，答：大树的高度约为14m．24．【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴＝，∴＝，∴DH＝≈23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS＝＝10，∴A′B＝10+10，∵BG＝＝10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．25．【解答】解：由题意可得：设BN＝FN＝x，则tan40°＝＝≈0.84，解得：x＝278.25，故AB＝278.25+1.5≈280（m），答：郑州会展宾馆的高度为280m．。

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)

九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ，在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米．故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -，解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案任务一求锐角三角函数值子任务1 利用参数法求锐角三角函数值母题1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC ,则tan B=( )A .13B .3C .√1010 D .3√1010变式练1：在直角三角形ABC 中,若2AB=AC ,则cos C 的值为( )A .12或2√35B .12或2√55 C .√32或2√55 D .√32或2√35子任务2 构造直角三角形求锐角三角函数值母题2 如图,已知钝角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D ,AD=2,AC=32,求tan D 的值.变式练2：如图,△ABC与△BDC均为直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母题3如图,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()A.√102B.√153C.√64D.√104变式练3：如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC.若tan B=53,则tan∠CAD的值为.子任务3利用等角转换法求锐角三角函数值母题4如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=()A.2√2B.√24C.13D.2√23【关键点拨】变式练4：如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=1∠BAC,求sin∠BPC.2子任务4利用网格求锐角三角函数值母题5如图,这是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是.【关键点拨】变式练5：如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=()A.√1313B.√66C.√2613D.√2626子任务5在折叠问题中求锐角三角函数值母题6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D 处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为.【关键点拨】变式练6：直角三角形纸片ABC,两直角边BC=4,AC=8,现将△ABC纸片按图中方式折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.12B.34C.1D.43任务二由一个锐角的三角函数值求三角形的边长母题7 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AC=8 cm,则BC 的长度为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm变式练7：已知∠A 是锐角,sin A=35,则cos A 的值为( )A .35B .45C .34D .54任务三由一个锐角的三角函数值求三角形的面积母题8 已知△ABC 中,tan B=23,BC=6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD ∶CD=2∶1,则△ABC 面积的所有可能值为 .变式练8：在△ABC 中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则BC= .任务四锐角三角函数的探究问题母题9 如图1,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究asinA 与bsinB 之间关系的方法:∵sin A=a c ,sin B=b c , ∴c=a sinA ,c=bsinB ∴asinA =bsinB .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角三角形ABC 中,探究asinA ，bsinB ，csinC 之间的关系,并写出探究过程.图1 图2变式练9：把(sin α)2记作sin 2α,根据图完成下列各题:图1图2(1)如图1,sin 2A 1+cos 2A 1= ,sin 2A 2+cos 2A 2= sin 2A 3+cos 2A 3= .(2)观察上述等式后猜想:在Rt △ABC 中,∠C=90°,总有sin 2A+cos 2A= . (3)如图2,在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想.(4)已知在△ABC 中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A 的值.参考答案母题1 A 提示:在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC∴tan B=AC BC =AC 3AC =13.故选A .变式练1 C 提示:①当AC 为直角边时∵2AB=AC∴BC=√AB 2+AC 2=√5AB∴cos C=AC BC =2AB √5AB =2√55;②当AC 为斜边时 ∵2AB=AC∴BC=√AC 2-AB 2=√3AB∴cos C=BC AC =√3AB 2AB=√32. 综上,cos C=2√55或√32. 故选C .母题2 解:∵∠ACB=∠D+∠CAD ,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD. ∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90° ∴∠B=∠BAC ∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3. 在Rt △ABD 中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=√32-22=√5∴tan D=AB AD =√52.变式练2解:如图,过点A 作DB 延长线的垂线,垂足为点E 则∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.设AE=BE=x ,则AB=√2x ,BC=√6x ,BD=CD=√3x∴DE=√3x+x ,∴tan ∠ADB=AE DE =(√3+1)x =√3+1=√3-12.母题3 D 提示:如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D在Rt △ACD 中,CD=CA ·cos C=1∴AD=√AC 2-CD 2=√15.在Rt △ABD 中,BD=CB-CD=3,AD=√15.∴AB=√BD 2+AD 2=2√6.∴sin B=AD AB =√104.故选D . 变式练3 15 提示:如图,延长AD ,过点C 作CE ⊥AD ,垂足为E.在Rt △BAD 中,tan B=AD AB =53. 可设AD=5x ,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA ,∠CED=∠BAD ∴△CDE ∽△BDA∴CE AB =DE AD =CD BD =12 ∴CE=32x ,DE=52x ∴AE=AD+DE=152x ∴在Rt △AEC 中,tan ∠CAD=CE AE =15.故答案为15.母题4 A 提示:如图,连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵☉O 的半径为3,∴AB=6 ∴BC=√AB 2-AC 2=√62-22=4√2∴tan D=tan A=BC AC =4√22=2√2. 故选A .变式练4 解:如图,作AD ⊥BC 于点D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠BAC. ∵∠ADB=90°,∴sin ∠BAD=BD AB =45.又∵∠BPC=12∠BAC∴∠BPC=∠BAD ∴sin ∠BPC=45. 母题5 2 提示:如图,过点Q 作QC ∥BA ,连接PC∴∠QMB=∠CQP. 由题意得CQ 2=22+22=8 PC 2=42+42=32 PQ 2=22+62=40∴PC 2+CQ 2=PQ 2∴△PCQ 是直角三角形 ∴∠PCQ=90°∴tan ∠CQP=PC CQ =√22√2=2∴tan ∠QMB=tan ∠CQP=2. 故答案为2.变式练5 D 提示:如图,延长AC 到点D ,连接BE 交CD 于点O∴BE ⊥CD ,AB=√22+32=√13,OB=12BE=12√12+12=√22∴sin ∠BAC=OB AB =√22√13=√2626. 故选D .母题6 13 提示:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4∴∠A=∠B.由折叠的性质得到△AEF ≌△DEF∴∠EDF=∠A ∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180° ∴∠CDE=∠BFD. 又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD 中,sin ∠CDE=CEED =13∴sin ∠BFD=13. 故答案为13.变式练6 B 提示:根据题意,BE=AE.设BE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,x 2=(8-x )2+42 解得x=5∴CE=8-5=3∴tan ∠CBE=CE CB =34.故选B .母题7 D 提示:∵sin A=BCAB =35∴设BC=3x ,AB=5x. 又∵AC 2+BC 2=AB 2∴82+(3x )2=(5x )2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6 cm . 故选D .变式练7 B 提示:∵sin 2A+cos 2A=1∴cos A=√1−(35) 2=45. 故选B .母题8 8或24 提示:如图1所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD ⊥BC ,tan B=23∴AD BD =23∴AD=23BD=83∴S △ABC =12BC •AD=12×6×83=8. 如图2所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD ⊥BC ,tan B=23,∴AD BD =23,∴AD=23BD=8 ∴S △ABC =12BC •AD=12×6×8=24. 综上所述,△ABC 面积的所有可能值为8或24. 故答案为8或24.图1 图2变式练8 3√3+3或3√3-3 提示:①当△ABC 为锐角三角形时过点A 作AD ⊥BC 于点D ,如图1.图1∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3,∴BC=BD+CD=3√3+3. ②当△ABC 为钝角三角形时过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ,如图2.图2∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3∴BC=BD-CD=3√3-3.综上,BC 的长为3√3+3或3√3-3.故答案为3√3+3或3√3-3.母题9 解:a sinA =b sinB =c sinC .理由如下:如图,过点A 作AD ⊥BC ,过点B 作BE ⊥AC在Rt △ABD 中,sin B=AD c ,即AD=c sin B 在Rt △ADC 中,sin C=AD b ,即AD=b sin C∴c sin B=b sin C ,即b sinB =c sinC 同理可得a sinA =c sinC则a sinA =b sinB =c sinC .变式练9 解:(1)1;1;1 提示:sin 2A 1+cos 2A 1=122+√322=14+34=1 sin 2A 2+cos 2A 2=1√22+1√22=12+12=1 sin 2A 3+cos 2A 3=352+452=925+1625=1.故答案为1;1;1.(2)1.(3)在题图2中,∵sin A=a c ,cos A=b c ,且a 2+b 2=c 2 则sin 2A+cos 2A=a c 2+b c 2=a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1 即sin 2A+cos 2A=1.(4)在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. ∵sin 2A+cos 2A=1,∴12132+cos 2A=1 解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A=513.。

【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD，则535x +=，解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =，解得，AC ＝33，由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=，解得，3x =（米)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1）故选D ．【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

初三数学锐角三角函数试题答案及解析

初三数学锐角三角函数试题答案及解析1.（2014山东德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1︰2，则斜坡AB的长为（）A．米B．米C．米D．24米【答案】B【解析】∵斜面坡度为1︰2，∴在Rt△ABC中，BC︰AC＝1︰2，∴米，由勾股定理得米，故选B．2.（2013湖北十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米／分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为________米．【答案】【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC ＝30×25＝750（米），∴米．在Rt△ABD中，易知∠B＝30°，∴米．3.如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米的速度收绳．问：（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）【答案】见解析【解析】（1）在Rt△ABC中，，∴（米），∴绳子BC的长度是10米．（2）未收绳时，（米），收绳8秒后，绳子BC缩短了4米，只剩6米，这时，船与河岸的距离为（米），∴船向岸边移动的距离为米．4. (2014江苏无锡)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．【答案】【解析】如图，在直角△AOE中，，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴．5. (2014四川宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny．据此判断下列等式中成立的是________(写出所有正确的序号)．①；②；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny．【答案】②③④【解析】①，故①错误；②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°，故②正确；③sin2x＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx·cosx，故③正确；④sin(x－y)＝sinx·cos(－y)＋cosx·sin(－y)＝sinx·cosy－cosx·siny，故④正确．6. (2014浙江绍兴)某校九(1)班的同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．(1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求α的度数．(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF的长为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点距离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点距离地面FB的高度．(3)如图③，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达点Q处，测得A的仰角为60°，求旗杆的高度AE(精确到0.1米．参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，，)．【解析】(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°．(2)设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，如图①．∴MN∥EH，又M为EF的中点，∴MN为△EFH的中位线，又∵MN＝1.9米，∴EH＝2MN＝3.8米，∴E点距离地面FB的高度是3.8米．(3)延长AE，交PB于点C，如图②．设AE＝x米，则AC＝(x＋3.8)米．∵∠APB＝45°，∴PC＝AC＝(x＋3.8)米．∵PQ＝4米，∴CQ＝x＋3.8－4＝(x－0.2)米．∵，∴，解得x≈5.7，即AE≈5.7米．答：旗杆的高度AE约为5.7米．7.（2014黑龙江大庆）如图，矩形ABCD中，，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．【答案】【解析】∵∠GAF＝∠F＝20°，∴∠AGC＝∠ACG＝40°，∴∠CAG＝100°，∴∠DAC＝60°，∴，∵，∴．8.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．【答案】15【解析】先解直角三角形BCD，求得BC＝DC＝6，再解直角三角形ABC，由正弦的定义可得，从而得．所以在较复杂的图形中求线段的长度时，有时要通过两次或更多次解直角三角形才能达到目的．因为∠C＝90°，∠BDC＝45°，所以∠DBC＝45°，所以BC＝DC＝6．在Rt△ABC中，，所以，即AB的长为15．9. (2014江西抚州)如图①所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形，其示意图如图②，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均为20cm，且AH＝DE＝EG＝20cm．(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离．(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少厘米？(结果精确到0.1cm)(3)设DG＝xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．(结果精确到0.1cm)(参考数据：，可使用科学计算器)【答案】（1）20cm（2）43.9cm（3）20≤x≤34.6【解析】(1)连接CD(如图①)．∵CE＝DE，∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝DE＝20cm．(2)连接CD，根据题意得AB＝BC＝CD，当∠CED＝60°时，AD＝3CD＝60cm．当∠CED＝120°时，过点E作EH⊥CD于H(如图②)，则∠CEH＝60°，CH＝HD．在Rt△CHE中，．∴(cm)，∴cm，∴(cm)．∴点A向左大约移动了103.9－60＝43.9(cm)．(3)连接CD，当∠CED＝120°时，∠DEG＝60°．又∵DE＝EG，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝DE＝20cm当∠CED＝60°时(如图③)，∠DEG＝120°，过点E作EI⊥DG于点I．∵DE＝EG．∴∠DEI＝∠GEI＝60°，DI＝IG．在Rt△DIE中，，∴(cm)．∴(cm)．故x的取值范围是20≤x≤34.6．10. (2014贵州黔东南)某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校旗杆的高，小明站在点B处测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D处测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF．(结果精确到0.1米，参考数据：，)【答案】10.3米【解析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN＝0.25米．∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME．设AM＝ME＝x米，则CN＝(x＋6)米，EN＝(x－0.25)米．∵∠ECN＝30°，∴，解得x≈8.8，则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(米)．∴旗杆的高EF约为10.3米．11.(2014四川广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB的长为米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为，求休闲平台DE的长．(2)一座建筑物距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°．点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG．问：建筑物的高GH为多少米？【答案】（1）米（2）米【解析】(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∴BF＝DF．∵斜坡AB的长为米，D是AB的中点，∴米，∴(米)，∴BF＝DF＝30米．∵斜坡BE的坡比为，∴，∴(米)，∴米．(2)由题意及(1)知CF＝BF＝AP＝30米，又四边形MGCF为矩形，∴GM＝FC＝30米．设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)．在Rt△DMH中，，即，解得．∴建筑物的高GH为米．12.（2014江苏镇江）如图，小明从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，，然后又沿着坡度为i＝1︰4的斜坡向上走了1千米到达点C．问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？【答案】【解析】如图，作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则，∴．∵，∴设CF＝x，则BF＝4x，∴，∴．∵BE⊥AD，BF⊥CD，CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴BE＝DF．∴．答：小明从A点到C点上升的高度CD是千米．13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．求AC 的长和cos∠ADC的值．【答案】4；【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝8，，∴AC＝4．设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，由勾股定理，得（8－x）2＋42＝x2．解得x＝5．∴．14.计算：(1)；(2)．【答案】（1）（2）1【解析】准确地掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值是解题的关键．解：(1)(2)．15.根据下列条件，求α的度数．(1)0°＜α＜90°，；(2)0°＜α＜90°，tan2α＋2tanα－3＝0．【答案】（1）60°（2）45°【解析】(1)因为，所以．又0°＜α＜90°，所以α＝60°．(2)因为tan2α＋2tanα－3＝0，所以(tanα＋3)·(tanα－1)＝0，即tanα＝－3或tanα＝1，因为0°＜α＜90°，所以tanα＞0，所以tanα＝1，所以α＝45°．16. (2014福建厦门)sin30°的值是( )A．B．C．D．1【答案】A【解析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．．故选A．17. (2014贵州贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，∴．18. (2014内蒙古包头)计算sin245°＋cos30°·tan60°的结果是( )A．2B．1C．D．【答案】A【解析】原式．19.计算：（1）．（2）cos245°＋tan30°·sin60°＝________．【答案】（1）2 （2）1【解析】（1）．（2）．20.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后四位）：（1）sin89°；（2）cos45.32°；（3）tan60°25′41″；（4）sin67°28′35″．【答案】（1）0.9998 （2）0.7031 （3）1.7623 （4）0.9237【解析】（1）按键顺序为，显示结果为0.999847695，∴sin89°≈0.9998．（2）按键顺序为，显示结果为0.703146544，∴cos45.32°≈0.7031．（3）按键顺序为，显示结果为1.762327064，∴tan60°25′41″≈1.7623．（4）按键顺序为，显示结果为0.923721753，∴sin67°28′35″≈0.9237．。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型(含答案)

2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P 不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q，再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S 平方单位，点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边BC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）；（2）当点P在边BC上运动时，求S与t的函数关系式；（3）取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PF⊥AB，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒(t>0).（1）DE的长为；（2）当点F在AC边上，且DE=3PF时，求t的值；（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为13时，直接写出t的值.3．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）4．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E 处，入射角∠ACM′=60°，折射角∠ECN′=40.5°.DE//BC，MN、M′N′为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；(结果保留根号)（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0 .93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85)5．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．6．如图，抛物线y=m x2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3，0)．（1）请直接写出：m= ；抛物线的解析式；直线BC的解析式；tan∠OCA= ；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G，求线段PG的最大值；（3）如图2，Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，请求出点Q的坐标．7．综合与实践如图，正方形ACBF与正方形CDGE有公共顶点C，AC=3，CD=2，连接AD，BE．（1）如图①，当点E，G在正方形ACBF内时，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是；（2）把正方形CDGE绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）把正方形CDGE绕点C在平面内自由旋转．①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是；②旋转过程中，|AE−AD|的最大值为．8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE．（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．（2）在第（1）题的前提下，求证：BE=EF．（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．9．如图（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若DE =1，BD =32，求BC 的长；②试探究AB AD −BE DE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF =2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E .记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3.若S 1⋅S 3=916S 22，求cos∠CBD 的值．10．如图（1），E ，F ，H 是正方形ABCD 边上的点，连接BE ，CF 交于点G 、连接AG ，GH ，CE =DF .（1）判断BE 与CF 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =CH ，求证：∠BAG =∠CHG ；（3）如图（2），E ，F 是菱形ABCD 边AB ，AD 上的点，连接DE ，点G 在DE 上，连接AG ，FG ，CG ，∠AGD =∠BAD ，AF =AE ，DF =GF ，CD =10，CG =6，直接写出DF 的长及cos ∠ADC 的值.11．如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上.分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC.（1）求点A，B，C的坐标.（2）当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF.（3）CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式.12．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB=16cm，宽AD=12cm，圆弧盖板侧面DC所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.（1）求DC所在⊙O的半径长及DC所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC从起始位置DC绕点D旋转90°时，求DC在这个旋转过程中扫过的的面积.参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.06°≈1.33，π取3.14.13．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A 处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73）14．已知正方形ABCD的边长为4，△BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F在AB边的左侧.（1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求BF的长；（2）如图2，连接AF，CE，BD，并延长CE交AF于点H，若CH⊥AF，求证：2AE+2FH=BD （3）如图3，将△ABF沿AB翻折得到△ABP，点Q为AP的中点，连接CQ，若点E在射线BA上运动时，请直接写出线段CQ的最小值.答案解析部分1．【答案】（1）解：PQ ＝t（2）解：当0＜t≤2时，S ＝34t 2；当2＜t ＜3时，S ＝－23t 2＋93t －93．（3）解：①如图①3t ＝332，解得t ＝32；②如图②，3[3－（t －3）]＝32∙（t －3），解得t ＝5综上所述，满足条件的t 的值为32或5.2．【答案】（1）52（2）解：t =524（3）解：当点E 落在GH 上时，∵AP =3t ，PF =4t ，四边形PFGH 是正方形，∴PH =GH =PF =4t ，∠PHG =∠BHE =90°，∴BH =AB−AP−PH =5−3t−4t =5−7t . ∵cos B =BH BE =BC AB ，∴5−7t 2=45，解得t =1735；当点E 落在PF 上时，∵AP =3t ，∴BP =5−3t ，∵cos B =BP BE =BC AB ，∴5−3t 2=45，解得t =1715.综上所述，t 的取值范围是1735<t <1715.（4）解：t 的值为25或4345.3．【答案】（1）解：如下图，过点C 作 CH ⊥AB 交AB 于点H ，设 CH =x在 Rt △ACH 中， ∠A =45° ， AH =CH =x在 Rt △BCH 中， ∠B =30° ， BH =3x∴AB =(3+1)x =400+4003∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，在Rt△PCH中，CP=600，CH=400∴PH=CP2−CH2=2005∴PQ=2PH=4005=205≈45（小时）则时间：t=400520答：台风影响该海港持续的时间有45小时.4．【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF//MN//M′N′，∴∠ABM=∠BAF，∠ACM′=∠CAF，∵∠ABM=30°，∠ACM′=60°，∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，∵AF=6米，∴BF=AF⋅tan30°=6×3=23(米)，CF=AF⋅tan60°=6×3=63(米)，3∴BC=CF−BF=63−23=43(米)，即BC的长为43米；（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN′=x米，由题意可知：∠DBN =22°，∠ECN′=40.5°.DE =8.72米，∴DN =BN ⋅tan22°≈0.4x (米)，N′E =CN′⋅tan40.5°≈0.85x (米)，∵DN +DE =BC +N′E ，∴0.4x +8.72=43+0.85x ，解得x ≈4，即水池的深约为4米．5．【答案】（1）解：如图，连接OC ，∵∠ABD =2∠BAC ，∠COB =2∠BAC ，∴∠ABD =∠COB ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥BD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 是 ⊙O 的切线.（2）解：如图，作OF ⊥BD ，设BE =x ，∵OF ⊥BD ，BD =7，∴∠OFB =90°，BF =12BD =72，∴EF =BF +BE =72+x ，O B 2=O F 2+B F 2，∵CE ⊥BD ，CE ⊥OC ，∴∠E =∠OCE =90°，∴四边形OCEF 是矩形，C E 2=B C 2−B E 2=9−x 2，∴OF =CE ，OC =EF =72+x ，∴OB =OC =72+x ，∴(72+x )2=9−x 2+(72)2，x 1=−92(舍去)，x 2=1，∴BE =1.（3）解：由(2)得x =1，∴OB =92，∴AB =2OB =9，∵∠ADB =90°，BD =7，∴cos ∠ABD =BD AB =79，∵∠DCA =∠ABD ，∴cos ∠DCA =cos ∠ABD =79.6．【答案】（1）m =−1；y =−x 2+4x−3；y =x−3；13（2）解：如图1，过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设P(t ，−t 2+4t−3)，则H(t ，t−3)，∴PH =−t 2+4t−3−(t−3)=−t 2+3t ，∵OB =OC =3，∴∠BCO =∠CBO =45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHG =45°∵∠PGH =90°∴PG =PH ⋅sin ∠PHG =(−t 2+3t)×sin45°=−22(t−32)2+928，∴当t =32时，PG 的最大值为928；（3）解：如图2，过点B 作BE ⊥CB 交CQ 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，则∠BFE =∠CBE =90°，∵∠CBO =45°，∴∠EBF =45°，∴BF =EF =22BE ，∵∠BCO =∠ACQ =45°，∴∠BCE =∠OCA ，∴tan ∠BCE =tan ∠OCA∴BE CB =OA OC，又可知A(1，0)，∴OA =1，C(0，−3)∴OC =3由OB =OC =3，得BC =32∴BE 32=13，∴BE =2，∴BF =EF =22×2=1，∴OF =OB +BF =3+1=4∴E(4，−1)，又C(0，−3)∴直线CE 的解析式为y =12x−3，联立方程组{y =12x−3y =−x 2+4x−3，解得：{x 1=0y 1=−3，{x 2=72y 2=−54，∴点Q 的坐标为(72，−54)．7．【答案】（1）BE=AD ；BE⊥AD（2）解：成立，理由如下：如图，∵正方形ACBF，正方形CDGE，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA，即∠BCE=∠DCA，∴△BCE≅△ACD(SAS)，∴BE=AD、∠CBO=∠CAD，∵∠BOC=∠AOE，∠OBC+∠BOC=90°∴∠OAD+∠AOE=90°，∴BE⊥AD；（3）7−2；228．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∴AD=CD，∠DAE=∠DCF=60°，∵CF=AE，∴△ADE≌△CDF(SAS)（2）证明：∵△ADE≌△CDF(SAS)，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=60°，∴∠EDF=60°，∴△EDF为等边三角形，∴EF=DE，∵AD=AB，∠DAE=∠BAE=60°，AE是公共边，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE，∴BE=EF．（3）解：过A作AH⊥BF，∵BE ∥AF ，∴△BCE ∽△FCA ，∴CE AC =BC CF，设AC =1，CE =x ，可得方程x 2+x−1=0(x >0)，解得，x =5−12，∵CH =12，AH =32，∴tan ∠AFC =32：(5−12+32)=15−239．【答案】（1）解：①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵∠ACB =2∠B ，∴∠ACD =∠DCB =∠B ，∴CD =BD =32，∵DE //AC ，∴∠ACD =∠EDC ，∴∠EDC =∠DCB =∠B ，∴CE =DE =1，∴△CED∽△CDB ，∴CE CD =CD CB，∴132=32CB ，解得BC =94；②∵DE //AC ，∴AB AD =BC CE，同①可得，CE =DE ，∴AB AD =BC DE，∴AB AD −BEDE=BCDE−BEDE=CEDE=1，∴AB AD −BEDE是定值，定值为1（2）解：∵DE//AC，∴S1S2=ACDE=BCBE，∵S3S2=BECE，∴S1⋅S3S22=BCCE，又∵S1⋅S3=916S22，∴BC CE =9 16，设BC=9x，则CE=16x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF，∵∠BCF=2∠CBG，∴∠ECD=∠FCD=∠CBD，∴BD=CD，∵DE//AC，∴∠EDC=∠FCD，∴∠EDC=∠CBD=∠ECD，∴CE=DE，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴CD CE =CB CD，∴C D2=CB⋅CE=144x2，∴CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD =CD =12x ，∴BH =12BC =92x ，∴cos∠CBD =BH BD =92x 12x =38．10．【答案】（1）解：BE ⊥CF ，理由：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC =CD ，∠BCE =∠CDF =90°.∵CE =DF ，∴△BCE≌△CDF (SAS )，∴∠CBE =∠DCF .∵∠CBE +∠CEB =90°，∴∠DCF +∠CEB =90°，∴∠CGE =90°，即BE ⊥CF（2）证明：∵∠CBG =∠EBC ，∠CGB =∠ECB =90°，∴△CGB ∽△ECB ，∴CG CE =BG BC. ∵CE =CH ，BC =AB ，∴CG CH =BG AB，即CG BG =CH AB .∵∠CBG +∠BCG =90°，∠ABG +∠CBG =90°，∴∠BCG =∠ABG ，即∠HCG =∠ABG ，∴△HCG ∽△ABG ，∴∠BAG =∠CHG ；（3）解：DF =154，cos ∠ADC =81511．【答案】（1）解：令x =0，则y =10；令y =0，则0=−2x +10，解得x =5； ∴A(5，0)，B(0，10)，∴OA =5，OB =10，AB =52+52=55，作CG ⊥OB 于点G ，∵以OB 为直径的⊙M 交AB 于另一点C ，∴∠BCO =90°，∵sin ∠CBO =OA AB =OC OB ，即555=OC 10，∴OC =25，∵cos ∠BOC =OG OC =OC OB ，即OG 25=2510，∴OG =2，∴CG =OC 2−OG 2=4，∴C(4，2)；（2）证明：①∵∠BCO =90°，BF ⊥CD ，OE ⊥CD ，即∠BCO =∠BFC =∠CEO =90°， ∴∠OCE =∠CBF ，∴△OCE ∽△CBF ，∴CE BF =OE FC ，即EC ⋅CF =OE ⋅BF ；②作MN ⊥CD 于点M ，则OE ∥MN ∥BF ，且OM =BM ，∴OM BM =EN NF，∴EN =NF ，∵MN ⊥CD ，∴CN =DN ，∴EN−CN =NF−DN ，即EC =DF ；（3）解：CD 与EF 的距离和不是定值；直线CD 的解析式为y =43x−103.12．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，为矩形ABCD 的中心，∵AB =16，AD =12，∠BAD =90°，∴BD =AB 2+AD 2=256+144=20，∴⊙O 半径长为：OD =12BD =12×20=10.0cm ，∵tan ∠ADB =AB AD =1612≈1.33，∴∠ADB ≈53.06°，∴∠DOC =2∠ADB =2×53.06°≈106.1°；（2）解：如图，∵S 弓形DmC =S 弓形Dn C ′，∴DC 扫过的的面积：S 阴=S 扇形CD C ′=90π×162360≈201.0(c m 2).13．【答案】（1）解：过点P 作PD ⊥AB 于D 点，∴∠BDP =∠ADP =90°，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°−45°=45°，BP =20海里，∴DP =BP·sin45°=102（海里）， BD =BP·cos45°=102（海里），在Rt △PAD 中，∠PAD =90°−60°=30°，∴AD =DP tan30°=106（海里）， ∴AB =BD +AD =(102+106)海里，∴观测站A ，B 之间的距离为(102+106)海里；（2）解：补给船能在82分钟之内到达C 处，理由：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，∴∠AFB =∠CFB =90°，由题意得：∠ABC =90°+15°=105°，∠PAD =90°−60°=30°，∴∠C =180°−∠ABC−∠PAD =45°，在Rt △ABF 中，∠BAF =30°，∴BF =12AB =(52+56)海里，在Rt △BCF 中，∠C =45°，∴BC =BF sin45°=2(52+56)=(10+103)海里， ∴补给船从B 到C 处的航行时间=10+10320×60=30+303≈81.9（分钟）<83分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C 处.14．【答案】（1）解：∵△BEF为等边三角形，∴∠BEF=60°=∠AED，BF=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=4，∴tan∠AED=ADAE=3，∴AE=433，∴BE=AB−AE=4−433；（2）证明：如图，延长AF，CB交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠ABC=∠ABG=90°，∴BD=AB2+AD2=2AB，∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90°，∴∠G+∠BAG=90°=∠G+∠BCH，∴∠BAG=∠BCH，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴BE=BG，∠G=∠BEC，∵△BEF为等边三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AF，∴∠HFE=∠HEF=45°，∴EH =FH ，∴EF =2FH ，∴BE =2FH ，∴BD =2AB =2AE +2BE =2AE +2FH ；（3）解：当点E 在线段AB 上时，如图，取AB 的中点N ，连接NQ ，∵将△ABF 沿AB 翻折得到△ABP ，∴∠ABF =∠ABP =60°，∵点Q 为AP 的中点，∴NQ ∥BP ，∴∠ANQ =∠ABP =60°，∴点Q 在过线段AB 的中点，且与AB 成60°角的直线上移动，∴当CQ ⊥NQ 时，CQ 有最小值，如图，延长QN ，CB 交于点H ，连接AQ ，∵点N 是线段AB 的中点，∴BN =AN =2，∵∠ANQ =60°=∠BNH ，∴tan ∠BNH =BH BN =3，∴BH =23，∴CH =23+4，∵∠H =90°−∠BNH =30°，∴CQ =12CH =2+3，HN =2BN =4，HQ =3CQ =23+3，∴NQ =23−1>2，∴∠NAQ>60°，∴此时点E不在线段AB上，∴点E在线段AB上时，CQ>2+3，当点E在线段AB的延长线上时，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=120°，∵点Q为AP的中点，点N是线段AB的中点，∴NQ∥BP，∴∠ANQ=∠ABP=60°，∴点Q在过线段AB的中点，且与AB成60°角的直线上移动，∴当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，同理：CQ=2−3；综上所述，CQ的最小值为2−3.。

初三数学锐角三角函数测试题及答案

ACOP D B图3锐角三角函数（一）测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（）A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、（08）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．334、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（）A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22ABC 三个角的大小关系是（）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，如果PC=6，那么PD 等于（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（）A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A ＜90°C 、0°＜A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（）ABC（ α 图1CEDAB图2（αA 、21B 、34C 、43D 、2二、填空题（每小题3分，共30分）11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为。

人教版九年级数学下《第二十八章锐角三角函数》单元练习题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A． 4B． 2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A． 5米B． 6米C． 6.5米D． 12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A 测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A． 2 kmB． (2＋)kmC． (4－2) kmD． (4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A． 100tanα米B． 100cotα米C． 100sinα米D． 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC＋CE 即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN＝，故 cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案

九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案一、锐角三角函数1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）求证：△AMD≌△CMD；（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；（3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBDS ME S EB =V ，从而可知52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ，在△AMD 与△CMD 中，MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）；（3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，∵1EBDS MES EB=V ，∴1125S MEEB S =，∴52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，∵12MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =，∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去；综上，线段OP 的长为8．5．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】试题分析：（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证．（2）过O 作OF ⊥BD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的定义求解．试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=3OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=33OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关键．6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋203∵∠MCF＝30°∴FC＝3MF，即x＋203＝3 ( x－20)解得：x＝403 31＝60＋203≈95m答：电视塔MN的高度约为95m．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、95- ．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CEA D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′；（2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ，∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）；（2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283．（3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x＝6695-，x＝6695--（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

锐角三角函数练习题初三

锐角三角函数练习题初三一、选择题1. 在锐角三角形ABC中，已知∠ABC = 30°，AB = 8，BC = 4。

求AC的值。

A. 8B. 12C. 16D. 202. 若sinα = 0.6，其中α是锐角，则cosα的值为：A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.23. 已知cosβ = 0.8，其中β是锐角，则sinβ的值为：A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.84. 在锐角三角形PQR中，已知PQ = 10，QR = 8。

求∠Q的大小。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 若tanθ = 0.5，其中θ是锐角，则sinθ的值为：A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6二、填空题1. 已知∠A是锐角，则角A的对边对斜边的比值等于（）。

2. 若sinα = 0.4，其中α是锐角，则cosα的值为（）。

3. 若cosβ = 0.6，其中β是锐角，则sinβ的值为（）。

4. 若tanθ = 0.8，其中θ是锐角，则cosθ的值为（）。

5. 在锐角三角形ABC中，∠A = 30°，AB = 5，AC = 10。

求BC的值。

三、计算题1. 已知锐角三角形ABC中，∠A = 60°，AB = 5，BC = 4。

求AC 的值。

2. 在锐角三角形PQR中，∠P = 45°，PQ = 6。

若PR = 6sinQ，求PR的值。

3. 在锐角三角形XYZ中，∠X = 45°，XY = 3，YZ = 4。

求tanZ的值。

4. 已知锐角三角形LMN中，∠L = 30°，LM = 5，LN = 10。

求MN 的值。

5. 在锐角三角形UVW中，∠U = 60°，tanU = 2，UW = 10。

求VW 的值。

四、证明题证明：在锐角三角形ABC中，tanA + cotA = secA + cosecA。

1.1 锐角三角函数北师大版九年级数学下册课时同步练习(含答案)

北师大版九下 1.1 锐角三角函数一、选择题（共12小题）1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=2，则tan A等于( )A. 12B. 2 C. 55D. 52. 若∠A是锐角，且sin A=cos A，则∠A的度数是( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=35，则cos B的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 434. 梯子跟地面的夹角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )A. sin A的值越小，梯子越陡B. cos A的值越小，梯子越陡C. tan A的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan C等于( )A. 34B. 43C. 35D. 456. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A的值为( )A. 55B. 255C. 225D. 1057. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值为( )A. 12B. 43C. 34D. 28. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =3BC ，则 tan B 的值为 ( )A. 13B. 3C. 24D. 229. 在 Rt △ABC 中， ∠C =90∘ ，下列各式中正确的是 ( )A. sin A =sin BB. tan A =tan BC. sin A =cos BD. cos A =cos B10. 如图所示，△ABC 的项点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为 ( )A. 12B. 22C. 2D. 2211. 如果 ∠A 为锐角，且 cos A =14，那么 ( )A. 0∘<∠A <30∘B. 30∘<∠A <45∘C. 45∘<∠A <60∘D. 60∘<∠A <90∘12. 规定：sin (―x )=―sin x ，cos (―x )=cos x ，cos (x +y )=cos x cos y ―sin x sin y ，给出以下四个结论：（1）sin (―30∘)=―12；（2）cos2x =cos 2x ―sin 2x ；（3）cos (x ―y )=cos x cos y +sin x sin y ；（4）cos15∘=6―24．其中正确的结论的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5小题）13. 在△ABC中，∠C=90∘，AB=13，BC=5，则sin A的值是．14. 在平面直角坐标系中，请任意写出一个y轴上的点的坐标．15. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．16. 如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“>”“=”或“<”）17. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长为．三、解答题（共7小题）18. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=8，AC=4，求tan A和cot B的值．19. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90∘，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2．20. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且DE=BF，求证：四边形AECF是平行四边形．21. 实验中学八年级数学兴趣小组进行活动时，姚老师在黑板上给出了这样一道题目：设 A =333，B =222，C =111，试比较 A ，B ，C 的大小．同学们议论纷纷，共得出了三种答案：（1）A >B >C ；（2）B >A >C ；（3）C >A >B ．那么你认为哪种答案正确呢?请说出你的理由．22. 比较下列个组函数值的大小：sin19∘ 与 cos70∘．23. 已知在 △ABC 中，∠BAC =90∘，D ，E 在 BC 上，且 BD =DE =BC ．（1）设 AB =AC ，求证：tan ∠BAD ⋅tan ∠CAE =14；（2）设 AB ≠AC ，第（1）题中结论是否仍成立?如成立，请证明；如不成立，请说明理由．24. 矩形 ABCD 中，AB =5，BC =4，E 为 BC 边上一点，将 △AEB 沿 AE 翻折得 △AEBʹ，点 Bʹ恰好落在 CD 边上，求 ∠BAE 的余切值．答案1. B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90∘，所以tan A=BCAC=2．2. B3. A【解析】在Rt△ABC中，sin A=BCAB =35，∴cos B=BCAB =35．4. B5. B6. A【解析】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，如图，可构造格点直角三角形ABD，由勾股定理可得AD=25，BD=5，AB=5，∴sin A=BDAB =55．7. C8. D9. C10. A【解析】如图所示，连接BD，由网格的特点可得BD⊥AC，AD=22+22=22，BD=12+12=2，在Rt△ABD中，tan A=BDAD =222=12．11. D12. C【解析】（1）sin(―30∘)=―sin30∘=―12，故此结论正确；（2）cos2x=cos(x+x)=cos x cos x―sin x sin x=cos2x―sin2x，故此结论正确；（3）cos(x―y)=cos[x+(―y)]=cos x cos(―y)―sin x sin(―y)=cos x cos y+sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘―30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误所以正确的结论有3个．13. 51314. (0,―1)15. 3416. >【解析】方法1：如图1所示，连接BC，在AD上取一网格点G，在网格点处取点F，构建等腰直角三角形AFG，∵tan∠BAC=BCAC=1，tan∠EAD<1，∴∠BAC>∠EAD．方法2：如图2所示，在AD上取网格点H，在AE上取网格点N，连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，则S△ANH=2×2―12×1×2×2―12×1×1=12AH⋅NP，∴PN=35．在Rt△ANP中，sin∠NAP=PNAN =355=35，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB =222=22．∵22>35，∴∠BAC>∠DAE．17. 4或1418. tan A=2，cot B=2．19. ∵大正方形的面积为c2，一个直角三角形的面积为12ab，小正方形的面积为(b―a)2，∴c2=4×12ab+(b―a)2=2ab+b2―2ab+a2，即c2=a2+b2．20. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CB，∴∠ADE=∠CBF，∵DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∠DEA=∠BFC，∵∠DEA+∠AEF=∠BFC+∠CFE=180∘，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．21. （2）正确．理由：∵A =333=(2―1)―333=2333=(23)111=8111，B =222=(3―1)―222=3222=(32)111=9111，C =111=(5―1)―111=5111，而 9111>8111>5111，∴B >A >C ．22. 因为 cos70∘=cos (90∘―20∘)=sin20∘，而 sin19∘<sin20∘，所以 sin19∘<cos70∘．23. （1） tan ∠BAD =tan ∠CAE =12（2）仍成立，tan ∠BAD =12⋅ACAB ，tan ∠CAE =12⋅ABAC ．24. 2。