计算方法(9)第七章 数值积分(1)
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
第7章 数值积分
第七章 高斯数值积分法对于等参单元推导载荷列阵和刚度矩阵时，需计算如下形式的积分：其中被积函数一般比较复杂，甚至得不到显式。
因此，通常采用数值积分代替函数积分，即在单元内部选取某些点，先计算被积函数在这些点的函数值，然后用这些系数（称为加权系数，简称权）乘上这些函数值，再求总和作为近似积分值。
在有限元法中通常采用精度较高的高斯数值求积分法。
首先介绍一维高斯求积公式式中，()k f ξ是被积函数f 在积分点k ξ处的函数值；k w 是加权系数；n 是所选积分点的数目。
例如取一个积分点01=ξ（此时即1=n ），该点的函数值为1f （如图4.9 (a))，并取加权系数21=w ，则积分这是一种最简单的计算方法，只有当函数()ξf f =是一条直线时，即()ξf f =线之下是一个梯形才是精确的，若()ξf f =是任意曲线，则此计算结果是相当粗糙的。
为了改善精度，在11+≤≤-ξ范围内，取两个对称点1ξ，2ξ其函数值分别为()1ξf 和()2ξf 如图7.1（b ），但是横坐标1ξ、2ξ以及相应的权1w 和1w 需要确定。
为此设()ξf 为三次式，即则而由高斯求积公式于是由式（c ）和（d ）两式得即为了在3210,,,c c c c 取任意数值时式（d ）都是精确的，因此上式两边对应的系数必须相等，则有因此解得实根值得说明的是，上面确定的两个积分点的高斯求积公式（d ）对于被积函数是四次以下（不包括四次）的多项式是完全精确的，否则是近似的表达式。
另外，如图7.1（b ）所示，用两个矩形面积来表示函数()ξf 在区间[—1，十1]与轴ξ所围的面积，这就是式（d ）的几何意义。
图7.1 被积函数f 在积分点处的数值以相同的方法可以处理由3个函数值所组成的近似积分，如图7.1（c ）。
对不同的积分点数可确定相应的积分点坐标和加权系数，由此构成高斯积分表，见表7.1。
下面讨论二维、三维的高斯求积公式，对于二重积分可先对ξ积分，而把η视为常量，此时引入一维的高斯求积公式，则有再对η积分有将式（e ）代入式（f ），则可得二维的高斯求积公式用相同的方法可以导得三维的高斯求积公式在实际计算中，为了保证计算精度，并且不过分增加计算工作量，高斯积分中的积分点数n 通常可根据等参单元的节点数来选取，对于讨论的平面8节点等参单元和空间20节点等参单元都可以取3=n 。
数值积分法
数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。
数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。
数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。
数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。
定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。
梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。
不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。
Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。
高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。
Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。
因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。
熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。
计算方法讲义：七 数值积分
第七章 数值积分如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a-=⎰来求得定积分。
然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。
一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ba n dx x P )(得⎰ba dx x f )(的近似值。
7.1 插值型求积公式设⎰=ba dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ba n dx x P I I )(*。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T ba ba +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。
以a , 2ba c +=，b 为三个插值节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=，则可以推出)()()()(2102b f c f a f dx x P S baλλλ++===⎰，)(61))(())((0a b dx b a c a b x c x ba-=----=⎰λ，)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x ba-=----=⎰λ，)(61))(())((2a b dx c b a b c x a x b a -=----=⎰λ。
数值计算方法第07章数值微分与数值积分
§1 数值微分 §2 Newton－Cotes求积公式 §3 复化求积公式 §4 Romberg求积公式 §5 Gauss型求积公式
1
微积分在数学分析课程中已作了详细论述，但 是在实际问题中所遇到的函数关系往往只知道一组 离散数据，而解析表达式是未知的。对于定积分而 言，有的函数其原函数不能用初等函数表示，而在 科学技术和生产实践中又需要求出函数的微积分， 这就产生了利用离散数据求函数的数值积分及数值 微分的思想方法。 本章主要介绍数据微积分的基本思想方法及常 用的数值微分与数值积分公式。
x 2 2x 2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 2 3 9 2 2 x 2x 3 x 2x 3 ln( 2 x 2 x 2 3 ) 4 16 16 2
18
3. f x没有解析表达式，只有数表形式 :
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来 分的数值方法来帮 计算积分有它的局 忙啦。 限性。那 …… 怎么办呢？
i 0
n
29
或写成:
b n
求积节点
a
f ( x)dx A k f ( x k )
k 0数值积分公式求积系数30记
称为数值 求积公式
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
（1）
R( f ) I ( f ) I n ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ), （2） a
28
一般地 ，取区间 a, b内 n 1 个点 xi , i 0,1,2,..., n 处的高度
7.1 机械求积
解：
确定
3 9 9 3 A0 , A1 , A2 , A3 8 8 8 8
由此得到公式：
3
0
3 9 9 3 f ( x)dx f (0) f (1) f (2) f (3) 8 8 8 8
具有三阶精度。
例 设有近似求积公式
1 1 1 f ( x)dx Af (1) Df ( 2 ) Bf (0) Ef ( 2 ) Cf (1)
定义7.1 若求积公式：a f ( x)dx Ak f ( xk )
b k 0
n
对任意不高于m次的代数多项式都准确成立，而对
于m+1却不能准确成立，则称该公式的代数精度为m。
要验证求积公式的精度：
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
代数精度的验证(定义)
7.1.3 插值型求积公式
用插值方法构造求积公式，即根据节点处的函数值，
构造一个多项式 pn ( x)
原来的积分
b
a
f ( x)dx pn ( x)dx
a
b
这样获得的积分称为插值型积分
对于积分
b
a
f ( x)dx 在区间[a,b]上，给定n+1个节点
f ( xk )(k 0,1,...n)
b
a
1 f ( x)dx (b a) f (a) f (b) T 2
y
y=f(x)
a
b x
Simpson公式
b
a
1 ab f ( x)dx (b a)[ f (a) 4 f ( ) f (b)] S 6 2
计算方法课件第七章数值积分与数值微分.ppt
b f (4) ( )(x a)(x b)(x c)2 dx a
f (4) () b (x a)(x c)2 (x b)dx a
R[ f ] 1 f (4) ()(b a)(b a )4
180
2
1 f (4) ()(b a)5 (a b)
总存在求积系数 A0, A1,An，使求积公式至少有n次 代数精度。
事实上，只要令求积公式对于 f (x) 1, x, x2,, xn
都能准确成立即可得到下式：
b
n
dx
a
Ak
k 0
b
n
xdx
a
Ak xk
k 0
b xndx a
n
Ak xkn
k 0
则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1 个未知数、n+1个方程的方程组。
分近似值
b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
b
n
k 0
I f (x)dx a
Ak f (xk ) R[ f ] In R[ f ]
k 0
其中R[f]称为求积公式的余项。xk (k 0,1,2,n)称为求
积节点 。Ak (k 0,1,2,n)称为求积系数。Ak 仅与求 积节点 xk 的选取有关，而不依赖与被积函数f(x)
第七章 数值积分与数值微分
§7.0 §7.1
§7.2 §7.3 §7.4 §7.5
数值积分概述 Newton Cotes 公式
复化求积公式 Romberg求积法 Gauss型求积公式 数值微分
§7.0 数值积分概述
由积分学基本定理知
b
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值积分
2.0 引 言1.定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。
然而在实际问题中，往往碰到以下问题： 1）被积函数f (x )是用函数表格提供的；2）被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算；3）大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率积分21x e dx-⎰，正弦型积分10sin xdx x ⎰，等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2.所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
§2.1 机械求积公式 2.1.1 数值积分的基本思想基本思想：定积分的几何意义：曲线)(x f y =，直线b x a x ==,与x 轴所围成得曲边梯形得面积，无论被积函数是什么形式，只要近似计算曲边梯形面积，就可求定积分的值，这就是数值求积的基本思想。
积分中值定理⎰-=baf a b dx x f )()()(ξ，点ξ具体值未知，只要对平均高度)(ξf 提供一种数值算法，相应就求得一种数值求积方法。
（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==来近似代替()f x ,于是，110001()(()))(x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为左矩公式）1101110()()()()x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为右矩公式）110010110()()2()()2x x x x x x f x dx f dx x x f x x +≈+=-⎰⎰（为中矩公式）（2） 用f (x )的一次多项式011010110()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+--来近似代替()f x ,于是，[]101101010********()()1()()(()())2x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dxx f x f x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭=-+≈⎰⎰⎰（为梯形公式）（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01x x x '<<011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--来近似代替()f x ,于是，112()()x x x x f x dx L x dx≈⎰⎰特别地：当011()2x x x '=+时，有10100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（为Simpson 公式）一般在区间[a ,b ]上的定积分()ba f x dx⎰，就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,nx x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。
计算方法 数值积分
"<<setw(7)<<intervals[i]+1<<" "<<setw(20)<<area1-2<<"
"<<setw(6)<<e<<endl;
❖}
3
2.5 辛普森积分法
2
1.5 1
0.5
0.5
1
1.5
x0 x0+x x0+2x
-0.5
原理介绍:
把区间[x0,x1]分为2n等分，n个
区间，在长度为2x 的区间上
❖ 对大多数f(x)而言，找原函 数困难，即使存在原函数也 不能用初等函数表示
ex2,sinx, 1x3...... x
❖ 原函数表达式过于复杂
x2 2x2 3 3
❖ 被积函数由表格给出，没有 解析形式，也无法使用 Newton-Leibniz公式来求 积分
数值积分
❖ 为了避免上述积分过程中存在的问题，我们可以采用 数值积分的方法来求解，这样就避免了原函数的求解 过程，同时对于由测量或计算得到的数据表表示的 f(x)也可以求解
❖
e[i]=value_integ[i]-2;
❖
cout.precision(15);
❖
for(j=0;j<20;j++)
❖
cout<<value_integ[j]<<" "<<" "<<e[j]<<" "<<e[j+1]/e[j]<<endl;
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
计算方法数值积分教学PPT
ji
Rn ( f )
b a
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
dx
b f ( x)dx
a
n
f ( xi )ai(n) Rn ( f )
i0
}
推导具体计算公式
由
ai(n)
b a
jn x x j dx, j0 xi x j
ji
xi a ih, x j a jh, ba
5888/ 28350
-928/ 28350
10496/ 28350
-4540/ 28350
10496/ 28350
例如：n=2时，有
c(2) 0
1 6
,
c(2) 1
4 6
,
c(2) 2
1 6
n=3时，有
c(3) 0
1 8
,
c(3) 1
3 8
,
c(3) 2
3 8
,
c(3) 3
1 8
-928/ 28350
a
( i
n)
i!
(1)ni (n i)!
hn
n 0
n
(s
j0 ji
j) hn hds
(1)ni (b a)
i! (n i)!
n 0
n
(s
j0 ji
j ) ds
a(n) i
(b
a)
c(n) i
,
ci(n)
(1)ni i! (n i)!
n 0
n
(s
j0
j ) ds
ji
}
由
}
5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造
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b
a
f ( x ) d x F (a ) F (b)
但在数学上看来已经完善的方法不见得切实可行，例如：
(1)
f ( x )是由测量或数值计算给 出的数据表时， Newton Leibniz 公式无法应用。
( 2) 即 f ( x ) 为简单的初等函数，但 f ( x ) 的原函数 F ( x ) 在大多数的情况下不能 用初等函数表达，例如 1 x
证明： 因为
b
a
f(x)dx Aj f ( x j ) R( f )
n
其中
R[ f ]
1 ( n1)!
b
j 0
a
f ( n1) ( )n1 ( x )dx
这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。 显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项
R[ f ]
数值积分的基本思想
从数值逼近的观点看,所谓数值积分，就是用一个 具有一定精度的简单函数 (x )代替被积函数f ( x )，而求 出定积分的近似值，即
b
a
f ( x )dx ( x )dx
a
b
取 （x）=pn ( x )得插值型求积公式， 即：用插值多项式pn ( x ) f ( x ),
k 0
n
（7.1 ）
作为积分的近似值, 上式称为数值求积公式，其中的n 1 个点xk (k 0,1, 2, 积系数 记 R[ f ] f ( x) dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
, n)称为节点，Ak ( k 0,1, 2,
, n)称为求
称R[ f ]为求积公式(7.1)的截断误差。
hn k!( 1)n k ( n k )!
( 1)( n k ) h n 从而Ak t ( t 1)[t ( k 1)][ t ( k 1)]( t n) d t 0 k!( n k )!
记C k( n ) ( 1)( n k ) n t ( t 1)[t ( k 1)][ t ( k 1)]( t n) d t 0 k!( n k )! n
记
Ak lk ( x) d x
a
b
b
a
n1 ( x) dx 1 ( xk ) ( x xk )n
（7.3） （7.4）
b 1 ( n 1) Rn [ f ] f ( )n 1 ( x) d x (n 1)! a
故
b
a
f ( x ) d x Ak f ( xk )
ba (7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x4 ) 7 f ( x5 ) C 90
b
a
f ( x )dx
1 2 3 4 5 6
1 2 1 6 1 8 7 90 19 288 41 840
1 2 4 6 3 8 16 45 25 96 9 35 3577 17280 5888 28350 1 6 3 8 2 15 25 144 9 280 1323 17280 928 28350 1 8 16 45 25 144 34 105 2989 17280 10496 28350 7 90 25 96 9 280 2989 17280 4540 28350 19 288 9 35 1323 17280 10496 28350 41 840 3577 17280 928 28350 751 17280 5888 28350 989 28350
第七章 数值积分与数值微分
数值积分是工程师和科学家使用的基本工具之一，用来计 算无法解析求解的定积分的近似答案。
由微积分基本定理，对 于积分
b
a
f ( x) d x
只要找到被积函数 f ( x ) 的原函数 F ( x )，便有下列的牛顿 莱 布尼兹 (Newton Leibniz) 公式
k 0
n
易见Ak 仅与节点xk ( k 0,1,2,, n)有关，与f ( x )无关。
令x a th ，则当x [a , b]时，t [0, n]，于是
n1 ( x ) n1 (a th ) hn1t ( t 1)( t 2)( t n) 1 ( xk ) ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) n
例3：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.
解：取f ( x ) 1，
1
1
0
1 f ( x )dx ( f (0) f (1)) 2
1 左=1 f ( x )dx ( f (0) f (1)) 1 右 0 2 取f ( x ) x，
1 1 1 1 左= f ( x )dx ( f (0) f (1)) 右 2 0 2 2 取f ( x ) x 2， 1 1 1 1 左= f ( x )dx ( f (0) f (1)) 右 3 0 2 2
所以求积公式具有1次代数精度。
例4：设有
1
1
f ( x )dx A0 f ( 1) A1 f (0) A2 f (1)
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数精度尽可 能高，并求代数精度。
解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 + A2=2/3 解得 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；
3
sin x x
sin x
2
cos x
2
e
x2
1 ln x
等等。
( 3)
f ( x )原函数存在，但表达式 太复杂，实际到大量的 函数运算, 例如定积分
1 1 x2 2x 1 1 dx ln 2 4 31 x 4 2 x 2 x 1 2 2
arctan(
2 x 1) arctan( 2 x 1)
1
二 、求积公式的代数精度 定义7.1
如果求积公式 (7.1)对于任何不高于 m次的代数多项式都准确 成立（即Rn [ f ] 0 ），而对于某个 m 1次的代数多项式不准 确成立（即Rn [ f ] ），则称该求积公式具 有m 次代数精确 0 度，简称代数精度。
容易证明，求积公式具 有m次代数精度的充要条件 为它对于 1 ，x , x2 , , xm 都准确成立，而对于 x m 1不准确成立。
引进变换 x=xn/2+th , -n/2≤t≤n/2 xj=a+jh, j=0,1,2,…,n xn/2=a+(n/2)h,
b
R( f ) c n1 ( x )dx
a
c ( x x0 )
a
b
( x xn / 2 )
( x xn )dx n ( t )dx 2
ch 0
(n) C k 1 k 0 n
751 7 17280 8 989 28350
例1 ： 用梯形公式与辛卜生公式
求
I
e
1
3
x 2
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
2 I e dx (e 2 1
3
x 2
1 2
e ) 0.829660819
2 2 3 2
3 2
辛卜生公式
2 I e dx (e 6 1
3
x 2
1 2
4e
e ) 0.766575505
例2：用Newton-Cotes公式计算
x I dx sin x 0
解：当n取不同值时，计算结果如下所示。 I准=0.9460831 n 近似结果
1 2 3 4 5 0.9270354 0.9461359 0.9461109 0.9460830 0.9460830
（1）梯形公式(n=1)
n 1时, 柯特斯系数为
1 1 1 (1) C (t 1) d t ， C1 t d t 0 0 2 2 牛顿 柯特斯公式为 b ba a f ( x) d x 2 [ f (a) fy(b)] 该式称为梯形公式。 (1) 0 1
b
a
f ( x )dx pn ( x )dx
a
b
7.1 牛顿-柯特斯（ Newton-Cotes ）求积公式 当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。一、 牛顿—柯特斯求积公式
在区间[a , b] 上取n 1个等距节点x k a kh( k 0,1,2, , n)， ba 其中h , 作n次拉格朗日插值多项式 Ln ( x )，因为 n f ( x ) Ln ( x ) Rn ( x ) 故
1 ( n1)!
b
a
f
( n1)
( )n1 ( x )dx 0
其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1)... (x-xn-1) (x-xn)
即求积公式 精度。
b
a
f ( x )dx Ai f ( x j ) 至少具有n次代数
j 0
n
由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点),它的代数 精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时Newton-Cotes公式的代 数精度至少是n+1.
f ( x) d x L ( x) d x R ( x) d x 1 f ( x ) l ( x)d x f ( n 1)!