数学期望与方差
数学期望和方差
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
D k P( X k ) kpk 10.14
k 8 k 8
称之为这 5 个数字的加权平均,数学期望的 概念源于此.
第四章
数学期望和方差
数学期望的定义
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率分布为
证明 令g ( x ) x f ( x ).
g(x)是奇函数.
t f ( t )dt g ( t )dt .
( x ) f ( x )dx (令t x )
( x ) f ( x )dx f ( x )dx
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
第四章
数学期望和方差
常见连续型分布的数学期望 (5)指数分布E()
随机变量X的密度为：
第四章
数学期望和方差
第四章
数学期望和方差
定理1 设X的数学期望有限, 概率密度f (x) 关于
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
对称， f ( x ) f ( x ), 则E ( X ) .
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。
记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。
第27讲数学期望与方差的计算
第27讲数学期望与方差的计算数学期望与方差是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的平均值和离散程度。
在实际问题中，计算数学期望和方差有助于理解和分析随机变量的特征，从而进行合理的决策和预测。
首先，我们来介绍数学期望的计算方法。
数学期望是随机变量的平均值，可以用来预测实验结果的平均结果。
对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x表示随机变量的可能取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。
通过将每个可能取值与其对应的概率相乘，然后将所有结果相加，即可得到数学期望。
举个例子，假设我们有一个投硬币的实验，结果正面的概率为p，反面的概率为1-p。
我们定义随机变量X表示投硬币的结果，1表示正面，0表示反面。
那么投硬币的数学期望E(X)的计算公式为：E(X)=1*p+0*(1-p)=p即投硬币的数学期望为正面的概率。
类似地，对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
通过将每个可能取值与其对应的概率密度相乘，然后对所有结果进行积分，即可得到数学期望。
接下来，我们来介绍方差的计算方法。
方差是随机变量的离散程度的度量，反映了观测值与其平均值的偏离程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))其中，x表示随机变量的可能取值，E(X)表示随机变量X的数学期望。
通过将每个可能取值与其对应的偏离程度的平方与其概率相乘，然后将所有结果相加，即可得到方差。
举个例子，假设我们有一个骰子的实验，骰子有六个面，每个面的概率相等。
我们定义随机变量X表示骰子的结果，那么骰子的方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ((1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + ... + (6-3.5)^2) / 6即骰子的方差为35/12对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，x表示随机变量的可能取值，E(X)表示随机变量X的数学期望，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望与方差讲解
E (C ) = C E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E
n i1
ai X i
C
n i1
ai E( X i )
C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
8
k1 k![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
p qi (n1)i
i0 i![(n 1) i]!
n1
np Cni 1 p i q n1i i0
np np( p q)n1
(3) Poisson 分布： X ~ P()
E( X ) k k e e k1
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：由已知 Y - X≥0，则 E(Y - X) ≥0。
而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。 11
例1.设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y 相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解： 由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3.
PX
1k
2k k
1 2k
,k
1,2,
求EX.
解
由于
xk pk
k 1
1k 1
k 1
k
lnk .
但是
k 1
xk
pk
1 k 1 k
.
因而其数学期望EX不存在.
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
本 章 内 容
随机变量的平均取值 —— 数学 期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
第四章 数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
第四章 数学期望和方差
注：性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij X -1
Y
-1
18
0
18
第四章 数学期望和方差
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X ≥0 得：
f(x)0, x0,
所以
E Xxf(x )d xxf(x )d x 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
数学期望与方差
x
4,
x x
0 0
则 P{X 1}
1
pX (x)d x
寿命不超过1年的概率 ＝出售的设备在售出
11
-
e
x 4
dx
1
1
e4
04
一年之内调换的概率
PX
1
1
e4
寿命超过1年的概率 ＝不需调换的概率
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y 100 100 300
内容小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量, 它是一种
加权平均, 与一般的平均值不同, 它从本质上
体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.
2. 数学期望的性质
10 EC C;
20 ECX CX ;
30
E
n
ai
i 1
Xi
k1 k![(n 1) (k 1)]!
n1
np
(n 1)!
p qi (n1)i
i0 i![(n 1) i]!
n1
np Cni 1 p i q n1i i0
np np( p q)n1
(3) Poisson 分布： X ~ P()
E( X ) k k e e k1
10 100
X
X ki.
k 1 i1
17
例5.（续）
而X ki服从 p ek 的( 0 — 1)分布，E( X ki ) ek . i 1,2,,100, 所以
10 100
10
E(X )
E( X ki ) 100ek
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
数学期望与方差的运算性质
数学期望与方差的运算性质教程一：复习公式离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i jP X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑连续随机变量()()()2,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=⎰⎰二：期望运算性质()E aX bY c aEX bEY c ++=++应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ⎧=⎨⎩１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则m X X X ++= 1由于()()1101,111,n ni i P X P X m m ⎛⎫⎛⎫==-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111/ni EX m =--，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==++=∑=nmi i m m m EX X X E EX 11111三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()EYEX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ⨯-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμθμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y解答：(,)()()(1)!i i jj ji j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-!(1)(1)!!()!!()!i i j i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=---000(,)(1)!()!i ij i ji j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑clear clcsyms i j p lamda positiveEXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)cov=simple(EXY-EX*EY); cov EXY =p*lamda*(lamda+1) EX = lamda EY = lamda*p cov = lamda*p可以看到，协方差不为０ 例题：P180 3.4.8()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη⨯=+，求(238)Var X Y -+syms x y positivemoment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); Var=moment2-moment1^2 Var = 245/81协方差计算公式()()()(),cov(,)EX a EY bX Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=--()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+ ()E XY ab ba ab =--+ ()()()E XY E X E Y =-注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-⨯-=⎡⎤⎣⎦注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立 四、协方差和方差性质１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X =1111cov(,)cov(,)m n m ni i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑特殊地11111()cov(,)cov(,)mmmmmi i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1cov(,)()mi j i i j i X X Var X =≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑11cov(,)()mmi j i i i j i X X Var X ==≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑12cov(,)()mi j i i j iX X Var X =>=+∑∑特别地121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =---- 1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+ 1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和 定理：若随机变量1,,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()nnni i j i i i i i j iVar X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑。
期望和方差的关系
方差与期望的关系如下：
方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
方差（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。
为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
）。
期望-方差公式
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。
[]1定义 2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
高一数学中的期望值与方差如何计算
高一数学中的期望值与方差如何计算在高一数学的学习中，期望值和方差是两个非常重要的概念，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。
理解和掌握这两个概念的计算方法，对于我们解决实际问题和深入理解数学知识都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下什么是期望值。
期望值，简单来说，就是随机变量的平均取值。
如果我们把随机变量想象成一个“会变的数”，那么期望值就是它“平均会变成多少”。
假设我们有一个离散型随机变量X，它可能取值为x₁，x₂，x₃，，xₙ，对应的概率分别为 p₁，p₂，p₃，，pₙ。
那么这个随机变量 X的期望值 E(X)就可以通过以下公式计算：E(X) ＝ x₁p₁＋ x₂p₂＋ x₃p₃＋＋ xₙpₙ举个简单的例子，假设有一个掷骰子的游戏。
骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。
我们设随机变量 X 表示掷骰子得到的点数。
那么X 可能取值为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率都是 1/6。
那么期望值 E(X)就等于：E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35这意味着，如果我们多次掷骰子，平均得到的点数大约是 35。
接下来，我们再看看方差。
方差反映的是随机变量取值相对于期望值的分散程度。
如果方差较小，说明随机变量的取值比较集中在期望值附近；如果方差较大，则说明随机变量的取值比较分散。
离散型随机变量 X 的方差 Var(X)的计算公式为：Var(X) ＝ E(（X E(X)）²)但为了计算方便，我们通常使用以下公式：Var(X) ＝ E(X²) E(X)²同样以上面掷骰子的例子来说明。
我们先计算 E(X²)：E(X²) ＝ 1²×（1/6) ＋ 2²×（1/6) ＋ 3²×（1/6) ＋ 4²×（1/6) ＋ 5²×（1/6) ＋ 6²×（1/6) ＝ 91/6然后，已知 E(X) ＝ 35，所以方差 Var(X)为：Var(X) ＝ 91/6 35²＝35/12 ≈ 292这表明掷骰子得到的点数相对期望值的分散程度。
数学期望与方差
EX
ab 2
正态分布 指数分布
1 λ
α β
λe λx , x 0 p x x0 0,
x0 0, p x β α α 1 βx Γ( α ) x e , x 0
伽玛分布
6. 数学期望不存在的实例 例8 设离散型随机变量X的分布律为
n
n 1! n 1 k 1 k 1 np p 1 p k 1!n 1 k 1! k 1
n
np p 1 p k 1
np 同时可得两点分设随机变量 X P(), 求EX.
-
( x - m)
2s
2
2
, s > 0, - ?
x<
.
则有
E X
xp x dx
1 x e 2πσ
x μ 2
2σ 2
dx
x μ 令 t x μ σt σ
所以 E X
1 x e 2πσ
x μ 2
因而泊松分布P的数学期望为 .
例3 (几何分布)设随机变量X 服从几何分布, 求E(X). 解 设随机变量X 的分布律为 PX k q k 1 p, q 1 p; k 1,2,,0 p 1 . 则有 k 1 k 1 k 1 EX k q p p k q p q k 1 k 1 k 1 1 1 1 p p 2 . 2 p p 1 q 1 k 1 k 1 . x x 1 这是因为 kx 1 x k 1 k 1
当 1时, X服从指数分布Exp, 这时 E X 1 β .
连续型随机变量的数学期望与方差
η
b0
P p(b0 )x0
b1
p (b1 )x1
bn1
p(bn 1 )xn 1
n
E 与E 很接近，E = bi p(bi )xi
i 1
n
nn ,maxxi0 lim 如果 bi p(bi )xi的极限存在 n
i 1
bi p(bi )xi
xp(x)dx
E
i1
8
1、连续型随机变量的数学期望的定义
2、标准差的定义
D( )
11
3、方差的常用的计算公式
(1)D(
)
E[
E(
)]2
[x
E(
)]2
p( x)dx
根据数学期望(6)E( f ( ))
f (x)p(x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
12
3、方差的常用的计算公式
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
5
4、方差的性质
(1)D(c) 0
(3)D( b) D( )
(2)D(k ) k 2D( ) (4)D(k b) k 2D( )
6
二、新课
（一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
设连续型的概率密度函数y p(x)
在x轴上取很密的分点： y
19
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
20
下页
五、作业
• 课本第90页 第5题
41数学期望讲义与方差
二 、 连R续 .V的 型期 望
1、 一 维 连 续 R.V型.及 其 函 数 的 数 学 期 望
Def 3
设 R.V.X~p(x),若 xp(x)dx绝 对 收 敛
则 E(X)
x(px)dx
Def 4
对Y 于 f(X),E(Y)
f(x)p(x)dx
思考 是否任意分布的期望都存在？
2、二维R 连 .V(X续 ,Y)~型 p(x,y)则 ,
X Y -1 0 3
1 0.1 0.2 0.1
2 0 0.2 0.4
四 、 方 差 的 性 质( 普适）
（ 1） Dk 0( k为常数）
（2）D(kX k)2DX （ 3） X 与 Y 相 互D 独 (Y X 立 )D ， X DY
Notes
（ 1 ） D （ X Y ） D D X 2 E （ [ Y X E ） ( Y X E )
8 、 X~ 设 E (1 )则 , 数 E (学 X e 2X 期 )_望 ____
10、设X与Y相互独立，分布密度为 同
p(z)
2z
2
0z 1
0
其它
则E(X 2Y ) ____
9 、 X ~ B 已 ( n ,p )且 , E 知 2 .4 X ,D 1 .4 X , 4
则n？p?
12、设一次试验成率 功为 的 p,若 概进行 10次 0 这 样的试验，则成的 功标 次准 数差的最大值为
Notes 1. DX实质为期D望 X且 0；
2. 一个重要公式 DX E(X2)(EX )2
eg 5 (1)甲乙哪一个射手发挥稳定？
甲 8 9 10 乙 8 9 10
P 0 .3 0 .1 0 .6 P 0 .2 0 .5 0 .3
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
数学期望和方差.ppt
第四章 数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且
P(X=k)=
n
Cnk
pk
(1-p)n-k,
k= 0, 1, …, n.
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 e
k 1 ( k 1)!
k e k0 k!
(4)几何分布
第四章 数学期望和方差
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
第四章 数学期望和方差
E (X ) kkp kpk q 1p kq k 1
第四章 数学期望和方差
解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
P{Xk} q qn k 1 1,p,
k1,2,,n1; kn.
其中 q1p，于是
n1
E(X) kqk1pnqn1
k1
第四章 数学期望和方差
n1
E(X) kqk1(1q)nqn1
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
P(Xk)ke,k0,1,2,,
k!
k
E(X) kk p k
k0
条件数学期望与条件方差
称之为随机变量X
D(Y | X )
2、条件方差的性质
条件下随机变量Y的条件
D ( 方Y 差，|记X 为 ) E { Y 2|X E (Y |X )2 }
D (X |Y ) E { X 2|Y E (X |Y )2 }
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
E(X|Yyi) xipi j
i1
i 1xi p p.ijjuj
所以E(X |Y)的分布律
E(X |Y) u1 u2
uj
P
p.1 p.2
p. j
E[E(X |Y)]
uj p. j
j1
j1
xi
i1
pij p. j
p. j
EX
若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则
E[E(X |Y)]
x1 2
2(12) 1
x1 y2 1 2
y2 2 2
[( )] 1
x1
2(12) 1
y2 2 2
( y2 ) 222
pXY(xy)
1
21 12
exp{212(112)[x112(y2)]2}
所 以 E(XYy)112(y2) 同 理 E(YXx)212(x1)
二、条件方差
E { [YE (Y|X )]2|X } 存{Y2|XE(Y|X)2}
EY2EXE(Y|X)2
D E ( Y |X ) E X [ E ( Y |X ) ] 2 ( E Y ) 2
D ( Y ) E D ( Y |X ) D E ( Y |X )
总条件方差结
条件数学期望
一、条件数学期望
0 1 离散型r.v. 的条件数 学期望
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第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
练习 设随机变量X的概率密度为 x, 0 x 1 f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它
求随机变量X 的数学期望E(X).
练习 设随机变量X的概率密度为 x, 0 x 1 f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它
8 8 9 9 10 10
甲射手 乙射手
击中环数 击中环数 概率 概率
0 0..3 2 0 0..1 5 0 0..6 3
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
解 设X P λ , 且其分布律为
λk - λ P X k e , k 0,1,2,, λ 0. k!
k 1 4
因此离散型随机变量函数的数学期望为
若 Y=g(X), 且 P{ X xk } pk , k 1, 2,,
则有
E (Y ) E ( g ( X )) g ( xk ) pk .
k 1
3. 一维连续型随机变量函数数学期望的计算 设X是一个连续型随机变量, Y g(X), 则
E Y Eg X g x f x dx, X为连续型
f(x)为X的密度函数。
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
定理1 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
g xk pk , X为 离 散 型 E Y E g X k 1 g x f x dx , X为 连 续 型
1 但是 xk pk . k k 1 k 1
因而其数学期望EX不存在.
二、随机变量函数的数学期望
(一) 一维随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出 数学期望 E(X) X 数学期望
EX
k 1
xk pk
g(X)
Eg X
E X xf x dx
求随机变量X 的数学期望E(X). 解 E(X)=
1 0
xf ( x )dx
2 2 1
x dx x(2 x )dx
1 7 3 1 3 3
6. 数学期望不存在的实例 例6 设离散型随机变量X的分布律为
k 2 1 k pk P X 1 k , k 1,2, k 2 求EX. k 1 解 由于 xk pk 1 lnk . k k 1 k 1
1 x e 2πσ
x μ 2
2σ 2
dx
1 μ σt 2π
t2 e 2 dt
由概率密度 的归一性
1 μ 2π μ.
t2 2 e dt
σ 2π
t2 te 2 d t
由凑微分
因而参数 μ为正态分布的数学期望.
例5 (指数分布) 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
求EX. 解
e x , f x 0,
x 0, 其中 0, x 0.
E X xf x d x
0
x λe λx d x
由分部积分
1 . λ
0 X ~ 1- p
0-1分布的期望为p
1 p
E(X)= 0 （1 - p) 1 p p
注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能 值的真正的平均值, 也称均值. 注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随
Y X2
0
1
4
p
p2
p1 p3
p4
则有 E (Y ) E ( g( X )) E ( X 2 )
0 p2 1 ( p1 p3 ) 4 p4
0 p2 (1)2 p1 12 p3 22 p4
g ( xk )P{ X xk }.
λx xe 0
λx e dx 0
常见连续型分布的数学期望小结
分布名称
均匀分布
概率密度
1 , x [a , b ] p x b a 其他 0, x μ 2 2 1 2 σ p x e 2 πσ
EX
ab 2
第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没 有照顾到A 已经比B 多赢1局这一现实，显然对A是不公平 的。 第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前 提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些 。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的 话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比 赛结果的一种期待。
引例1 分赌本问题(产生背景) A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
事实上，很容易设想出以下两种分法： (1) A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元; (2) A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;
g是连续函数, g(X) 是随 机变量, 如: aX+b, X2等等 .
2. 离散型随机变量函数的数学期望 例7 设随机变量 X 的分布律为
X xk P{ X xk } pk
2
1
0
1
2
p1
p2
p3
p4
若 Y g( X ) X , 求 E (Y ). 解 先求 Y X 2 的分布律
xf x dx
记为EX, 即
称为随机变量X 的数学期望,
E X xf x dx.
4. 常见连续型随机变量的数学期望
例3 (均匀分布) 设随机变量X服从均匀分布, 求E(X). 解 设X ~ U a, b, 其概率密度函数为
则有
1 f x b a 0
b
a x b, 其 它.
1 1 E X xf x dx xdx a b . a ba 2 因而均匀分布数学期望位于区间的中点.
例4 (正态分布) 设随机变量 X ~ N ( μ, σ 2 ), 求EX.
解 设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度函数
则有
k 1 λ E X k e e- λ λ k 1! k! k 0 k 1
k
λe e λ .
λ λ
因而泊松分布P的数学期望为 .
3. 连续型随机变量数学期望的定义 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为
fx, 若积分 xf x dx 绝对收敛, 则
x 2
2 2
f x
则有
1 e 2π
, 0, x .
EX
xf x dx
x μ 2
2σ 2
1 x e 2πσ
dx
x μ 令 t x μ σt σ
所以 E X
级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求
是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的
平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
例1 选拔运动员
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
n
i
j
j 1
n
x v
n i 1 i
i
,
其 中 vi i
j 1
n
j
,
这是 以概率为权的加权平均
则称 xω为该生的加权平均成绩.
显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种 1 特例, 即 vi , 可见加权平均才充分的体现了 n 平均值的意义.