2015-2016高一数学第二学期期中理科试卷答案

选择题
填空题
11、4,6 12、{}
31>-<x x x 或 13、3
/60π
︒
14 、 3
/
60π
︒
， 8
15、2n-9，-16 16、37, 2
331n n -+
17
、已知函数2
π()sin
sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）函数()x f 的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
解：（Ⅰ
）1cos 2()222
x f x x ωω-=
+
112cos 222x x ωω=
-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，
所以
2π
π2ω
=，解得1ω=．
（Ⅱ）令2
26
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤-
k x k
得3
2223
2πππ
π+
≤≤-
k x k 即3
6
π
ππ
π+
≤≤-
k x k
所以函数()f x 的单调增区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
3,6
πππ
πk k （k ∈Z ）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为2π03x ≤≤
，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭≤≤．
因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，．
18、(本小题共10分) 已知关于实数x 的不等式210x a x a （a R a ,∈是常数）.
（Ⅰ）当2a
时，求不等式的解集；
（Ⅱ）解此不等式.
解：（Ⅰ）当2a
时，原不等式变为2
320x
x .
因为11x ，2
2x 是方程2
32
0x x 的两个根，
所以不等式2
32
0x x 的解集是12x x x
或.
（Ⅱ）因为2
110x a x
a
x x a
的两个根为1
1x ，2
x a .
所以当1a
时，不等式210x a x a 的解集是1x x a x 或；
当1a 时，不等式2
10x a x
a
的解集是{}1|≠∈x R x x 且；
当1a 时，不等式210x a x
a
的解集是1x x
x a 或.
19、(本小题共13分)
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π
3
A =，sin 3sin
B
C =. （Ⅰ）若7a =，求b 的值； （Ⅱ）求tan C 的值.
解：（Ⅰ）因为 sin 3sin B C =，
由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==， 得 3b c =. 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π
3
A =，7a =， 得 227b c bc =+-，
所以 2
2
2()733
b b b +-=，
解得 3b =. （Ⅱ）由π
3A =
，得2π3
B C =
-. 所以 2π
sin(
)3sin 3
C C -=. 31
sin 3sin 2
C C C +=，
5
sin 2
C C =，
所以tan C =
20、(本小题共10分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点均在函数y x =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和«Skip Record If...»．
解：（Ⅰ）依题意得
n
S n n
=，即2=n S n ． 当n =1时，a 1=S 1=1 当n ≥2时，121n n n a S S n -=-=-；
当n =1时，a 1=211⨯- =1
所以21n a n =-
(Ⅱ) 312328b b b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=， «Skip Record If...»，
1212n n n a b n -∴+=-+，
()()()
1102122321-+-++++=∴n n n T
()(
)1
1
2
221231-++++-+++=n n
221n
n =+-
21、(本小题共12分)
某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m 2 的三级污水处理池（平面图如图）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.
解：设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为
x
200
（m ），水池外圈周壁长 x x 20022⨯
+（m ），中间隔墙长x 200
2⨯（m ），池底面积200（m 2）. ∴ y = 400⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯
+x x 20022+ x 2002248⨯
⨯·+ 80×200 = 800⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 324+ 16 000 ≥1 600x
x 324
⋅
+ 16 000 = 44 800. 当且仅当 x =
x 324，即 x = 18，x 200=9
100
时，y min = 44 800.
答：当污水池长为 18 m ，宽为
9
100
m 时，总造价最低，最低为 44 800元. 22、(本小题共14分)
数列{}n a 中，11=a ，且点),(1+n n a a 在函数21y x =+图像上 (1) 设1+=n n a b ，求证：数列{}n b 是等比数列；
(2) 设)23(+=n n a n c ，求数列{}n c 的通项公式； （3）求数列{}n c 的前n 项和n S
解：(1)依题意得121+=+n n a a ，即()1211+=++n n a a ．
所以n n b b 21=+ 所以数列{}n b 是等比数列.
(2)因为2111=+=a b ，数列{}n b 是等比数列，
所以n n b 2=.
所以()
n n n c n
n n 223223+⨯=+⨯=.
(3)由(2)知(
)(
)(
)n
n S n
n 223422322132
1
+⨯+++⨯⨯++⨯⨯=
()
()
n n n 24223223213 21++++⨯++⨯⨯+⨯⨯=
()
)
1(23223213 21++⨯++⨯⨯+⨯⨯=n n n n
令,n
n n T 232232132
1
⨯++⨯⨯+⨯⨯= …○1, 则1
3
2
2
32232132+⨯++⨯⨯+⨯⨯=n n n T (2)
○2-○1得1
2
1
2
3232323+⨯+⨯--⨯-⨯-=n n
n n T
1
123236++⨯+⨯-=n n n n T
()12323611++⨯+⨯-=++n n n S n n n .。