指数函数典型例题分析

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11、指数函数[精选文档]

11、指数函数[精选文档]

y=ax (0<a<1)





数 定义域
R
性 值域
(0, ) 没有最值
质定 一性 览质

(0,1 ) 没有奇偶性 在R上是增函数 在R上是减函数
表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1
若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
记忆口诀:
左右无限上冲天, 永与横轴不沾边. 大 1 增,小 1 减, 图象恒过(0,1)点.
且值域是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0], 单调递增区间是[0,+∞).
跟踪练习
3.关于 x 的方程 (1 )x m2 2m 1有正根,求实 2
数 m 的取值范围。
例题分析
题型四 与指数函数有关的定义域与值域问题 例 4、求下列函数的定义域与值域:
(1)y=2
1 x4
;(2)y=23-|x|.
……
即经过x年后的剩留量是 y 0.84x
问题探究
y 2x y 10 x
y 0.84x
思考:(1)它们是否构成函数?
(2)这三个解析式有什么共同特征?
分析: 对于这三个关系式,每给自变量x的一个 值,y都有唯一确定的值和它对应。
三个解析式都具有 y a x 的形式,其中自变量x是 指数,底数a是一个大于0且不等于1的变量。
知识引入
问题1 背景:斗地主
1炸: 2元
21
2炸:4元
22
2 3炸:8元
3
……
……
X炸: y 2x
问题2 背景:传谣
y 10 x
问题2 一种放射性物质不断衰减为其它物质,每经过 一年剩留量约为原来的84%,则这种物质经过x年后的剩 留量是多少?

指数函数经典例题(问题详细讲解)

指数函数经典例题(问题详细讲解)

指数函数1.指数函数の定义:函数)1(≠>=aaay x且叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质:在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y=x⎪⎭⎫⎝⎛21,y=x10,y=x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象.我们观察y=x2,y=x⎪⎭⎫⎝⎛21,y=x10,y=x⎪⎭⎫⎝⎛101图象特征,就可以得到)1(≠>=aaay x且の图象和性质。

a>1 0<a<1图象00性质(1)定义域:R(2)值域:(0,+∞)(3)过点(0,1),即x=0时,y=1(4)在 R上是增函数(4)在R上是减函数指数函数是高中数学中の一个基本初等函数,有关指数函数の图象与性质の题目类型较多,同时也是学习后续数学容の基础和高考考查の重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨.1.比较大小例1 已知函数2()f x x bx c=-+满足(1)(1)f x f x+=-,且(0)3f=,则()xf b与()x f c の大小关系是_____.分析:先求b c ,の值再比较大小,要注意x x b c ,の取值是否在同一单调区间. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x の对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =.∴函数()f x 在(]1-,∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥.评注:①比较大小の常用方法有:作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等.②对于含有参数の大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x の取值围是___________. 分析:利用指数函数の单调性求解,注意底数の取值围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥,∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数,∴31x x >-,解得14x >.∴x の取值围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∞. 评注:利用指数函数の单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同の指数式,并判断底数与1の大小,对于含有参数の要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤,∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x の定义域是(]2-,∞.令26x t -=,则y =,又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤.∴函数の值域是[)01,.评注:利用指数函数の单调性求值域时,要注意定义域对它の影响. 4.最值问题例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-,上有最大值14,则a の值是_______.分析:令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题,需注意换元后t の取值围.解:令x t a =,则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-,其对称轴为1t =-.∴当1a >时,∵[]11x ∈-,,∴1x a a a ≤≤,即1t a a≤≤. ∴当t a =时,2max (1)214y a =+-=. 解得3a =或5a =-(舍去);当01a <<时,∵[]11x ∈-,,∴1x a a a ≤≤,即1a t a≤≤,∴ 1t a =时,2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭, 解得13a =或15a =-(舍去),∴a の值是3或13.评注:利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程例5 解方程223380x x +--=.解:原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=,令3(0)x t t =>,上述方程可化为298090t t --=,解得9t =或19t =-(舍去),∴39x =,∴2x =,经检验原方程の解是2x =.评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象,可以把函数3x y =の图象( ). A .向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B .向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C .向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度D .向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度分析:注意先将函数935x y =⨯+转化为235x t +=+,再利用图象の平移规律进解:∵293535x x y +=⨯+=+,∴把函数3x y =の图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数935x y =⨯+の图象,故选(C ). 评注:用函数图象解决问题是中学数学の重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数の图象,并掌握图象の变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题1、比较下列各组数の大小: (1)若 ,比较 与 ; (2)若 ,比较 与 ; (3)若 ,比较 与 ;(4)若 ,且 ,比较a 与b ; (5)若 ,且 ,比较a 与b . 解:(1)由 ,故 ,此时函数 为减函数.由 ,故 . (2)由 ,故 .又 ,故 .从而 .(3)由 ,因 ,故 .又 ,故 .从而 .(4)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样 .又因 ,故 .从而 ,这与已知 矛盾.(5)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样有 .又因 ,且 ,故 .从而 ,这与已知 矛盾.小结:比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解.2,曲线 分别是指数函数 , 和 の图象,则 与1の大小关系是 ( ). (分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应の函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提高学生识图,用图の意识.3,求下列函数の定义域与值域.(1)y =231-x ; (2)y =4x +2x+1+1.解:(1)∵x-3≠0,∴y =231-x の定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}.又∵31-x ≠0,∴231-x ≠1,∴y =231-x の值域为{y |y>0且y ≠1}.(2)y =4x +2x+1+1の定义域为R.∵2x >0,∴y =4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2>1.∴y =4x +2x+1+1の值域为{y |y>1}.4,已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x の最大值和最小值解:设t=3x ,因为-1≤x ≤2,所以931≤≤t ,且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。

指数函数经典例题(问题详解)[整理]

指数函数经典例题(问题详解)[整理]

我们观察y=,y=,y=,y=图象特征,就可以得到x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21x 10x⎪⎭⎫⎝⎛101の图象和性质。

)10(≠>a a 且a>10<a<1图象与の大小关系是_____.()x f b ()x f c 分析:先求の值再比较大小,要注意の取值是否在同一单调区间b c 且x x b c 且内. 解:∵,(1)(1)f x f x +=- ∴函数の对称轴是.()f x 1x = 故,又,∴.2b =(0)3f =3c = ∴函数在上递减,在上递增.()f x (]1-且∞[)1+且∞ 若,则,∴;0x ≥321x x≥≥(3)(2)x x f f ≥ 若,则,∴.0x <321x x <<(3)(2)x x f f > 综上可得,即.(3)(2)x x f f ≥()()x x f c f b ≥ 评注:①比较大小の常用方法有:作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等.②对于含有参数の大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.2.求解有关指数不等式 例2 已知,则x の取值范围是___________.2321(25)(25)x x a a a a -++>++ 分析:利用指数函数の单调性求解,注意底数の取值范围. 解:∵,2225(1)441a a a ++=++>≥ ∴函数在上是增函数,2(25)x y a a =++()-+且∞∞ ∴,解得.∴x の取值范围是.31x x >-14x >14⎛⎫+ ⎪⎝⎭且∞ 评注:利用指数函数の单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同の指数式,并判断底数与1の大小,对于含有参数の要注意对参数进行讨论.3.求定义域及值域问题 例3 求函数の定义域和值域.216x y -=- 解:由题意可得,即,2160x --≥261x -≤ ∴,故. ∴函数の定义域是.20x -≤2x ≤()f x (]2-且∞ 令,则,26x t -=1y t =- 又∵,∴. ∴,即.2x ≤20x -≤2061x -<≤01t <≤ ∴,即.011t -<≤01y <≤ ∴函数の值域是.[)01且 评注:利用指数函数の单调性求值域时,要注意定义域对它の影响. 4.最值问题 例4 函数在区间上有最大值14,则a の值221(01)x x y a a a a =+->≠且[11]-且是_______. 分析:令可将问题转化成二次函数の最值问题,需注意换元后の取x t a =t 值范围. 解:令,则,函数可化为,其对称轴为x t a =0t >221x x y a a =+-2(1)2y t =+-.1t =- ∴当时,∵,1a >[]11x ∈-且 ∴,即.1xa a a ≤≤1t a a≤≤ ∴当时,.t a =2max (1)214y a =+-= 解得或(舍去);3a =5a =- 当时,∵,01a <<[]11x ∈-且 ∴,即,1xa a a ≤≤1a t a≤≤ ∴ 时,,1t a =2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 解得或(舍去),∴a の值是3或.13a =15a =-13 评注:利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用,比如:换元法,整体代入等. 5.解指数方程 例5 解方程.223380x x +--= 解:原方程可化为,令,上述方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=3(0)x t t =>,解得或(舍去),∴,∴,经检验原方程の298090t t --=9t =19t =-39x =2x =解是.2x = 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题 例6 为了得到函数の图象,可以把函数の图象( ).935x y =⨯+3x y = A .向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B .向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C .向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D .向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 分析:注意先将函数转化为,再利用图象の平移规律935x y =⨯+235x t +=+进行判断. 解:∵,∴把函数の图象向左平移2个单位长度,293535x x y +=⨯+=+3x y =再向上平移5个单位长度,可得到函数の图象,故选(C ).935x y =⨯+ 评注:用函数图象解决问题是中学数学の重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数の图象,并掌握图象の变化规律,比如:平移、伸缩、对称等.习题1、比较下列各组数の大小: (1)若 ,比较 与 ; (2)若 ,比较 与 ; (3)若 ,比较 与; (4)若 ,且 ,比较a 与b ; (5)若 ,且 ,比较a 与b . 解:(1)由,故 ,此时函数为减函数.由,故 . (2)由,故.又,故.从而. (3)由 ,因,故 .又 ,故 .从而 . (4)应有.因若 ,则 .又,故,这样.又因,故 .从而 ,这与已知 矛盾. (5)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样有 .又因 ,且 ,故 .从而 ,这与已知矛盾. 小结:比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解.2,曲线分别是指数函数 ,和与1の大小关系是( 分析:首先可以根据指数函数单调性,在轴右侧令 ,由小到大依次为 ,故应选 .、设,求函数の最大值和最小值. 分析:注意到,设,利用闭区间上二次函数の值域の求法,可求得函数の最值. 解:设,由知, ,函数成为,轴,故函数最小值为,因端点较对称轴远,故函数の最大值为已知函数(且 (1)求)若,求の取值范围.),当即时,有最小值为),解得 当时,; 当时,2若函数是奇函数,求.解:为奇函数, 即, 则,11即x=0时,y max=2已知,求函数解:由得,即,解之得于是,即,故所求函数の值域为在〔1,+∞)上是减函数。

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则a的取值范围为()A.(0,14]B.(0,1)C.[14,1)D.(0,3)答案:A分析:根据给定不等式可得函数f(x)为减函数,再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,不妨令x1<x2,则f(x1)>f(x2),于是可得f(x)为R上的减函数,则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数,有0<a<1,函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数,有a−3<0,即a<3,并且满足:a0≥f(0),即4a≤1,解和a≤14,综上得0<a≤14,所以a的取值范围为(0,14].故选:A2、已知函数f(x)=log a(x−b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是()A.a>0,b<−1B.a>0,−1<b<0C.0<a<1,b<−1D.0<a<1,−1<b<0答案:D分析:根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数,所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴,所以x =1+b >0,即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点,所以b <0,所以−1<b <0, 故选:D3、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增,且f(−2)=−2,则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为( )A .(0,1100)B .(1100,+∞)C .(0,100)D .(100,+∞) 答案:D分析:利用函数为奇函数,将不等式转化为f(lgx)>f (2),再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数,所以f(−x)=−f (x ),又f(−2)=−2,f(2)=2,所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4,可化为2f(lgx)>4=2f (2),即f(lgx)>f (2),又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增, 所以f(x)在R 上单调递增, 所以lgx >2, 解得x >100. 故选:D.4、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2,则f(2x −1)>f(3−x)的解集为( ) A .(−∞,43)B .(43,+∞)C .(−2,43)D .(−∞,−2)∪(43,+∞)答案:D分析:根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数,根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性,则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解:因为f(x)=3|x|+x 2+2,则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x2+2=f(x),则f(x)为偶函数,当x⩾0时,f(x)=3x+x2+2,又y=3x,y=x2+2在[0,+∞)上均为增函数,所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(2x−1)>f(3−x),即|2x−1|>|3−x|,解得x<−2或x>43,所以f(2x−1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选:D.5、已知函f(x)=log2(√1+4x2+2x)+3,且f(m)=−5,则f(−m)=()A.−1B.−5C.11D.13答案:C分析:令g(x)=log2(√1+4x2+2x),则f(x)=g(x)+3,则先判断函数g(−x)+g(x)=0,进而可得f(−x)+f(x)=6,即f(m)+f(−m)=6,结合已知条件即可求f(−m)的值.令g(x)=log2(√1+4x2+2x),则f(x)=g(x)+3,因为g(x)+g(−x)=log2(√1+4x2+2x)+log2(√1+4x2−2x)=log2(1+4x2−4x2)=0,所以f(−x)+f(x)=g(−x)+3+g(x)+3=6,则f(m)+f(−m)=6,又因为f(m)=−5,则f(−m)=11,故选:C.6、设2a=5b=m,且1a +1b=2,则m=()A.√10B.10C.20D.100 答案:A分析:根据指数式与对数的互化和对数的换底公式,求得1a =log m2,1b=log m5,进而结合对数的运算公式,即可求解.由2a=5b=m,可得a=log2m,b=log5m,由换底公式得1a =log m2,1b=log m5,所以1a +1b=log m2+log m5=log m10=2,又因为m>0,可得m=√10.故选:A.7、化简√a3b2√ab23(a14b12)4⋅√a3(a>0,b>0)的结果是()A.ba B.abC.a2bD.b2a答案:B分析:直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算,求解即可.√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选:B8、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为()A.(1,2)B.(1,2]C.(0,1)D.[0,1)答案:A分析:先求出函定义域,再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x−x2>0,得0<x<2,令t=2x−x2,则y=log2t,t=2x−x2在(0,1)上递增,在(1,2)上递减,因为y=log2t在定义域内为增函数,所以y=log2(2x−x2)的单调递减区间为(1,2),故选:A多选题9、已知函数f(x)=|lgx|,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)值域为[0,+∞)C.f(x)在(0,+∞)上递增D.f(x)有一个零点答案:BD分析:画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下:由图可知,f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;f(x)值域为[0,+∞),故B正确;f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,故C错误;f(x)有一个零点1,故D正确.故选:BD.10、已知函数f(x)={x2,x∈(−∞,0), lnx,x∈(0,1),−x2+4x−3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点,则实数m可以是()A.−1B.0C.1D.2答案:ABC分析:转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点,画出函数f(x)的图象,根据图象可得解.因为函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点,画出函数f(x)的图象如图:由图可知,m=1或m≤0,结合选项,因此m可以为-1,0,1.故选:ABC.小提示:方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.11、已知函数f(x)=1−2x1+2x,g(x)=lg(√x2+1−x),则()A.函数f(x)为偶函数B.函数g(x)为奇函数C.函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0D.设F(x)=f(x)+g(x),则F(2a)+F(−1−a)<0的解集为(1,+∞)答案:BCD分析:根据题意,利用奇偶性,单调性,依次分析选项是否正确,即可得到答案对于A:f(x)=1−2x1+2x ,定义域为R,f(−x)=1−2−x1+2−x=−1−2x1+2x=−f(x),则f(x)为奇函数,故A错误;对于B:g(x)=lg(√x2+1−x),定义域为R,g(−x)=lg(√(−x)2+1−(−x))=−lg(√x2+1−x)=−g(x),则g(x)为奇函数,故B正确;对于C :F (x )=f (x )+g (x ),f (x ),g (x )都为奇函数, 则F (x )=f (x )+g (x )为奇函数,F (x )=f (x )+g (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值互为相反数, 必有F (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0,故C 正确; 对于D :f (x )=1−2x 1+2x =−(2x +1−22x +1)=22x +1−1,则f (x )在R 上为减函数,g (x )=lg(√x 2+1−x)=√x 2+1+x,则g (x )在R 上为减函数,则F (x )=f (x )+g (x )在R 上为减函数, 若F (2a )+F (−1−a )<0即F (2a )<F (1+a ), 则必有2a >1+a ,解得a >1,即F (2a )+F (−1−a )<0的解集为(1,+∞),故D 正确; 故选:BCD12、若函数y =a x −(b +1)(a >0且a ≠1)的图像过第一、三、四象限,则必有( ). A .0<a <1B .a >1C .b >0D .b <0 答案:BC分析:对底数a 分情况讨论即可得答案.解:若0<a <1,则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限,而函数y =a x −(b +1)(a >0且a ≠1)的图像过第一、三、四象限,所以a >1.当a >1时,要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限,则b +1>1,即b >0. 故选:BC小提示:此题考查了指数函数的图像和性质,属于基础题.13、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2,都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2),则称f (x )为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是( )A .f (x )=2xB .f (x )=(12)xC .f (x )=log 12x D .f (x )=log 3x答案:CD分析:利用“好函数”的定义,举例说明判断A ,B ;计算判断C ,D 作答.对于A ,函数f (x )定义域为R ,取x 1=1,x 2=2,则f (x 1)+f (x 2)=6,f (x 1⋅x 2)=4, 则存在x 1,x 2,使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2),A 不是;对于B ,函数f (x )定义域为R ,取x 1=1,x 2=2,则f (x 1)+f (x 2)=34,f (x 1⋅x 2)=14,则存在x 1,x 2,使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2),B 不是;对于C ,函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2,f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2),C 是;对于D ,函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2,f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2),D 是. 故选:CD 填空题14、已知0<a <1,化简:√a 43−2a +a 23=______. 答案:a 13−a 23分析:根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解. 解:√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|,因为0<a <1,23>13,所以a 23<a 13,所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23.所以答案是:a 13−a 23. 15、计算:27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______.答案:16分析:根据指数幂的运算性质直接求解即可.27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1=13−49+64−13+1=16. 所以答案是:16.16、若f (x )=1+a3x +1(x ∈R )是奇函数,则实数a =___________.答案:−2分析:利用f(0)=0可求得a,验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R,且f(x)为奇函数,∴f(0)=1+a2=0,解得:a=−2;当a=−2时,f(x)=1−23x+1=3x−13x+1,∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x),∴f(x)为R上的奇函数,满足题意;综上所述:a=−2.所以答案是:−2.解答题17、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[−3,1]上是减函数,求a的取值范围.答案:(1)a=0,[ln3,+∞);(2)a∈(−5,−4]解析:(1)根据偶函数的定义,求出a=0,得f(x)=ln(2x2+3),验证定义域是否关于原点对称,求出真数的范围,再由对数函数的单调性,即可求出值域;(2)u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu,由条件可得,u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数,且u(x)>0在[−3,1]上恒成立,根据二次函数的单调性,得出参数a的不等式,即可求解.解:(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(−x),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3),故a=0,此时,f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t⩾3,所以lnt⩾ln3,故f(x)的值域为[ln3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数,且u(x)>0在[−3,1]上恒成立,故{−a4⩾1,u(x)min =u(1)=5+a >0,解得−5<a ≤−4,即a ∈(−5,−4].小提示:本题考查函数的性质,涉及到函数的奇偶性、单调性、值域,研究函数的性质要注意定义域,属于中档题.18、定义在D 上的函数f(x),如果满足:对任意x ∈D ,存在常数M >0,都有|f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有界函数,其中M 称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=14x+a 2x+1.(1)当a =-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 答案:(1)(1,+∞),函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数,理由见解析; (2)[-5,1].分析:(1)应用换元法及二次函数的性质求y =t 2-t +1在(1,+∞)上的值域,即知f(x)的值域,进而判断f(x)是否为有界函数.(2)将问题转化为−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立,求a 的取值范围.(1)当a =-1时,y =f(x)=(12)2x −(12)x +1 (x <0),令t =(12)x ,x <0,∴t >1,y =t 2-t +1=(t −12)2+34,∴y >1,即函数f(x)在(-∞,0)上的值域为(1,+∞), ∴不存在常数M >0,使得|f(x)|≤M 成立. ∴函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)由题意知,|f(x)|≤3对x ∈[0,+∞)恒成立,即-3≤f(x)≤3对x ∈[0,+∞)恒成立, 令t =(12)x ,x ≥0,则t ∈(0,1].∴−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立,即[−(t +4t)]max ≤a ≤(2t−t)min .设h (t )=−(t +4t ),p (t )=2t −t ,t ∈(0,1],∵h(t)在(0,1]上递增,p(t)在(0,1]上递减,∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)=-5,p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1. ∴实数a的取值范围为[-5,1].。

职高求指数函数的定义域的例题及解析

职高求指数函数的定义域的例题及解析

职高求指数函数的定义域的例题及解析
【要点梳理】
1.函数的定义域是自变量x的取值集合,函数的值域是因变量y的取值集合,
2.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:
(1)分式函数,分母不为0;(2)偶次根式函数,被开方数非负数;(3)一次函数、二次函数的这定义域为R:(4)x”中的底数不等于0:(5)指数函数=“的定义域为R:(6)对数函数y=l吧:x的定义域为{x>0;(7)y=nxJ=csx 的定义装约为,
⑧,-的定义装的因+竖e,o= 的定义域均为{x≠知,kE习
3.求抽象函数的定义域:
(1)由y=fx)的定义域为D,求y=f几g(的定义,须解f(x)eD:
(2)由y=f几g(x]的定义域D,求v=fx)的定,.只须解g(x)在D上的值域就是函数y=fx)的定义域
(3)由y=f几gx的定义域D,术y=力的定义域
4.实际问题中的函数的定义域,除了使解析式本身有意义,还要使实际问题有意【例题精析】
考点一函数的定义域
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一,这里主要帮助考生灵话掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题。

指数函数图像和性质及经典例题

指数函数图像和性质及经典例题

指数函数图像和性质及经典例题指数函数图像和性质及经典例题【基础知识回顾】⼀、指数公式部分有理指数幂的运算性质(1)r a ·sr r a a += ),,0(Q s r a ∈>;(2)rs s r a a=)(),,0(Q s r a ∈>;(3)s r ra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>.正数的分数指数幂的意义)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm⼆、指数函数1.指数函数的概念:⼀般地,函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数,其中x 是⾃变量,函数的定义域为R .2.指数函数的图象和性质1.在同⼀坐标系中画出下列函数的图象:(1)x)31(y = (2)x)21(y = (3)x2y = (4)x3y = (5)x 5y =【指数函数性质应⽤经典例题】例1.设a 是实数,2()()21x f x a x R =-∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数.证明:设121 2,,x x R x x ∈<,则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++ 21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x -=++,由于指数函数2x y =在R 上是增函数,且12x x <,所以1222xx< 即12220xx -<,⼜由20x>,得1120x +>,2120x +>,∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <,所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数.例2.已知函数2()1xx f x a x -=++(1)a >,求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)⽅程()0f x =没有负数根.证明:(1)设121x x -<<,则1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++,∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()0(1)(1)x x x x -<++;∵121x x -<<,且1a >,∴12x xa a <,∴120xx a a-<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)假设0x 是⽅程()0f x =的负数根,且01x ≠-,则000201x x a x -+=+,即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++,①当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,⽽由1a >知01x a <,∴①式不成⽴;当01x <-时,010x +<,∴0301x <+,∴03111x -<-+,⽽00x a >,∴①式不成⽴.综上所述,⽅程()0f x =没有负数根.针对性练习1. 已知函数f (x )=a x +b 的图象过点(1,3),且它的反函数f -1(x )的图象过(2,0)点,试确定f (x )的解析式.2. 已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值.3. 求函数y =3322++-x x 的定义域、值域和单调区间.4. 若函数y =a 2x +b +1(a >0且a ≠1,b 为实数)的图象恒过定点(1,2),求b 的值.5. 设0≤x ≤2,求函数y =1224221++?--a a xx 的最⼤值和最⼩值.针对性练习答案1解析:由已知f (1)=3,即a +b =3⼜反函数f -1(x )的图象过(2,0)点即f (x )的图象过(0,2)点.即f (0)=2 ∴1+b =2b =1代⼊①可得a =2 因此f (x )=2x +1 2解析:由,9)(22121=+-x x可得x +x -1=7∵27)(32121=+-x x∴23121212333---++?+xx x xx x =27∴2323-+x x=18,故原式=23解析:(1)定义域显然为(-∞,+∞). (2)u y x x x x f u3.4)1(423)(22=∴≤--=-+== 是u 的增函数,当x =1时,y max =f (1)=81,⽽y =3223++-x x >0.∴]81,0(,3304即值域为≤.(3) 当x ≤1 时,u =f (x )为增函数,u y 3=是u 的增函数,由x ↑→u ↑→y ↑∴即原函数单调增区间为(-∞,1];当x >1时,u =f (x )为减函数,u y 3=是u 的增函数,由x ↑→u ↓→y ↓∴即原函数单调减区间为[1,+∞).4解析:∵x =-2b时,y =a 0+1=2∴y =a 2x +b +1的图象恒过定点(-2b,2) ∴-2b=1,即b =-2 5解析:设2x =t ,∵0≤x ≤2,∴1≤t ≤4 原式化为:y = 21(t -a )2+1 当a ≤1时,y min =942,2322max 2+-=+-a a y a a ;当1<a ≤25时,y min =1,y max =2322+-a a ;当a ≥4时,y min =232,9422max 2+-=+-a a y a a .。

指数函数及其图像与性质的应用

指数函数及其图像与性质的应用
指数函数及其性质的
应用
学目标
1.巩固指数函数的图像与性质; 2.掌握指数函数的图像与性质的综合运用.
识梳理
一、指数函数的图像与性质
a (0,1)
y
a (1, )
y
图像
1 f(x)=ax O x
1 O
f(x)=ax x
定义域 值域 过定点 图像分布 x 0 时,
( , ) (0, )
O 1
x
1 O
2
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 函数 f(x)=2x -x 2 的图像大致是( A )
y y y y
O
x
O
x
O
x
O
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 说明 函数 f(x)=2x 与 g(x)=x 2 的图像大致是
3 2 1 –2 –1 O 3 y 2 1 –2 –1 O 1 2 x 1 2 x y 3 2 1 –1 O 3 y 2 1 –1 O 1 2 x 1 2 3x y
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 例题 2 函数 f(x)=ln|x-1| 的图像大致是(
y y y
B )
y
-1 O
x
O
1
x
2 3 1 B. f( ) f( ) f( ) 3 2 3 3 2 1 D. f( ) f( ) f( ) 2 3 3
题醉了
一、典型例题 1、指数函数图像的应用 【课堂练习】 若直线 y=2a 与函数 f(x)=|ax -1|+1(a>0,且 a 1) 的图 像有两个公共点,则 a 的取值范围是

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2,10b=3,则log56=()A.a+b1+a B.a+b1−aC.a−b1+aD.a−b1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3,∴b=lg3,∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a.故选:B.2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是()A.B.C.D.答案:C分析:首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值判断即可;解:∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x),∴f(x)是偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,B选项;∵f(1)=2=f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调,排除D选项.故选:C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为( )A .1B .m 120C .m 512D .m 答案:D分析:由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选:D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数,实数a 的取值范围是( )A .[1,5]B .[32,5) C .(32,5)D .(1,5) 答案:B分析:由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ,解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数,所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ,解得32≤a <5,故选:B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是( )A .[−1,3)B .(−1,3)C .(−1,3]D .[−1,3] 答案:C分析:由题可得{3−x ≥0x +1>0,即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0,解得−1<x ≤3, 即函数的定义域是(−1,3].故选:C.6、下列函数中是增函数的为( )A .f (x )=−xB .f (x )=(23)xC .f (x )=x 2D .f (x )=√x 3答案:D分析:根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ,f (x )=−x 为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,f (x )=(23)x为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数,不合题意,舍. 对于D ,f (x )=√x 3为R 上的增函数,符合题意, 故选:D.7、下列计算中结果正确的是( ) A .log 102+log 105=1B .log 46log 43=log 42=12C .(log 515)3=3log 515=−3D .13log 28=√log 283=√33答案:A分析:直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得;解:对于A :log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1,故A 正确; 对于B :log 46log 43=log 36,故B 错误;对于C :(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1,故C 错误; 对于D :13log 28=13log 223=13×3log 22=1,故D 错误; 故选:A8、荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.7834;而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍,大约经过(参考数据:lg101≈2.0043,lg99≈1.9956) ( )天.A .200天B .210天C .220天D .230天 答案:D分析:根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ,求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍,则100×0.99x=1.01x,即(1.010.99)x =100,∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230.故选:D . 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x,则下面几个结论正确的有( )A .f(x)的图象关于原点对称B .f(x)的图象关于y 轴对称C .f(x)的值域为(−1,1)D .∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案:ACD分析:利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误,利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ,f(x)=1−2x1+2x ,则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x), 则f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故A 正确.对于B ,计算f(1)=−13,f(−1)=13≠f(1),故f(x)的图象不关于y 轴对称,故B 错误. 对于C ,f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ,1+2x =t,t ∈(1,+∞),故y =f(x)=−1+2t ,易知:−1+2t ∈(−1,1),故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ,f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ,因为y =1+2x 在R 上为增函数,y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数, 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减,故∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立,故D 正确.故选:ACD.小提示:方法点睛:复合函数的单调性的研究,往往需要将其转化为简单函数的复合,通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0),则下列说法正确的是( ) A .若f (x )=x 有实根,则方程f(f (x ))=x 有实根 B .若f (x )=x 无实根,则方程f(f (x ))=x 无实根 C .若f (−b 2a)<0,则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D .若f (f (−b 2a))<0,则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案:ABD分析:直接利用代入法可判断A 选项的正误;推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立,结合该不等式可判断B 选项的正误;取f (x )=x 2−x ,结合方程思想可判断C 选项的正误;利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项,设f (x )=x 有实根x =x 0,则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0,A 选项正确; 对于B 选项,因为a >0,若方程f (x )=x 无实根,则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立, 故f(f (x ))>f (x )>x ,从而方程f(f (x ))=x 无实根,B 选项正确;对于C 选项,取f (x )=x 2−x ,则f (12)=−14<0,函数y =f (x )有两个零点, 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0,可得f (x )=0或f (x )=1,即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1,解方程x 2−x −1=0,解得x =1±√52. 此时,函数y =f(f (x ))有4个零点,C 选项错误;对于D 选项,因为f (f (−b2a ))<0,设t =f (−b2a ),则t =f (x )min , 因为f (t )<0且a >0,所以,函数f (x )必有两个零点,设为x 1、x 2且x 1<x 2, 则x 1<t <x 2,所以,方程f (x )=x 1无解,方程f (x )=x 2有两解,因此,若f(f(−b))<0,则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点,D选项正确.2a故选:ABD.小提示:思路点睛:对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下:(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u);(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n);(3)确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n,则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km 但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km答案:BCD分析:根据题意分别计算各个选项的情况,即可得答案.对于A选项:出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元,故A错误;对于B选项:出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元,故B正确;对于C选项:乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元,乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,故C正确;对于D选项:设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6,知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,故D正确.故选:BCD.小提示:本题考查函数模型的应用,解题要点为认真审题,根据题意逐一分析选项即可,属基础题.12、若log2m=log4n,则()A.n=2m B.log9n=log3mC.lnn=2lnm D.log2m=log8(mn)答案:BCD分析:利用对数运算化简已知条件,然后对选项进行分析,从而确定正确选项.依题意log2m=log4n,所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12,所以m=n 12,m2=n,A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m,B选项正确.lnn=lnm2=2lnm,C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m,D选项正确.故选:BCD13、在平面直角坐标系中,我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”,下列函数的图象中存在完美点的是()A.y=﹣2x B.y=x﹣6C.y=3xD.y=x2﹣3x+4答案:ACD分析:横纵坐标相等的函数即y=x,与y=x有交点即存在完美点,依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x,与y=x有交点即存在完美点,对于A,{y=xy=−2x,解得{x=0y=0,即存在完美点(0,0),对于B,{y=xy=x−6,无解,即不存在完美点,对于C,{y=xy=3x,解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3,即存在完美点(√3,√3),(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4,x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0,解得x=2,即存在完美点(2,2).故选:ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案:a-1分析:根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0,a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是:a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,则满足题意的一个函数解析式为______.答案:f(x)=|log2(x+1)|(答案不唯一,满足f(x)=|log a(x+b)|,a>1,b≥1即可)分析:根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|.所以答案是:f(x)=|log2(x+1)|(答案不唯一)16、函数y=log a(x+1)-2(a>0且a≠1)的图象恒过点________.答案:(0,-2)分析:由对数函数的图象所过定点求解.解:依题意,x+1=1,即x=0时,y=log a(0+1)-2=0-2=-2,故图象恒过定点(0,-2).所以答案是:(0,-2)解答题17、(1)计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1;(2)若x 12+x−12=√6,求x 2+x −2的值.答案:(1)-5;(2)14.分析:(1)由题意利用分数指数幂的运算法则,计算求得结果. (2)由题意两次利用完全平方公式,计算求得结果. (1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5.(2)若x 12+x −12=√6,∴x +1x +2=6,x +1x =4,∴x 2+x ﹣2+2=16,∴x 2+x ﹣2=14.18、已知函数f (x )=2x −12x +1.(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性;(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立,求实数k 的取值范围. 答案:(1)f (x )在R 上单调递增;证明见解析 (2)(−∞,43)分析:(1)设x 2>x 1,可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0,由此可得结论;(2)利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数,结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1,由g (x )单调性可求得g (x )≥43,由此可得k 的取值范围.(1)f (x )在R 上单调递增,证明如下: 设x 2>x 1,∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1);∵x 2>x 1,∴2x 2−2x 1>0,又2x 2+1>0,2x 1+1>0,∴f (x 2)−f (x 1)>0, ∴f (x )在R 上单调递增. (2)∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x ),∴f (x )为R 上的奇函数,由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得:f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2),由(1)知:f(x)在R上单调递增,∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立;当x≥1时,3x≥3,∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立;令g(x)=3x−23x−1,∵y=3x在[1,+∞)上单调递增,y=23x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43,∴k<43,即实数k的取值范围为(−∞,43).。

指数函数的典型例题

指数函数的典型例题

指数函数的典型例题1. 问题描述
考虑指数函数 $y = 2^x$,求解以下问题:
1. 当 $x=3$ 时,求 $y$ 的值。

2. 当 $y=16$ 时,求 $x$ 的值。

3. 给定 $y=8$,求解方程 $2^x = y$。

2. 解决方法
问题1:
当 $x=3$ 时,可以直接代入指数函数的定义,得到$y = 2^3 = 8$.
因此,当 $x=3$ 时,$y$ 的值为 8.
问题2:
当 $y=16$ 时,需要求解方程 $2^x = 16$.
注意到 $16 = 2^4$,因此,我们可以将方程改写为 $2^x = 2^4$. 由于 $2^x = 2^4$,根据指数的性质,我们得到 $x = 4$.
因此,当 $y=16$ 时,$x$ 的值为 4.
问题3:
给定 $y=8$,需要解方程 $2^x = 8$.
注意到 $8 = 2^3$,因此我们可以将方程改写为 $2^x = 2^3$.
由于 $2^x = 2^3$,根据指数的性质,我们得到 $x = 3$.
因此,当 $y=8$ 时,$x$ 的值为 3.
3. 总结
通过分析指数函数的定义和指数运算的性质,我们能够解决给
定的典型例题。

指数函数的值随着自变量的增加而增加,指数函数
的定义是 $y = a^x$,其中 $a$ 是底数,$x$ 是指数。

在解决问题时,我们可以通过代入、改写方程和运用指数运算的性质来求解相关的
数值和方程。

指数函数典型例题详细解析

指数函数典型例题详细解析

指数函数典型例题详细解析指数函数·例题解析第一课时例1:求下列函数的定义域与值域:1) $y=\frac{3}{2-x}$解:定义域为$x\in R$且$x\neq 2$,值域为$y>0$且$y\neq1$。

2) $y=2x+2-1$解:由$2^{\frac{x+2}{2}-1}\geq 0$,得定义域为$x\geq -2$,值域为$|y|\geq 0$。

3) $y=3-3x-1$解:由$3-3^{\frac{x-1}{2}}\geq 0$,得定义域为$x\leq 2$,由$3-3^{\frac{x-1}{2}}<3$,得值域为$y<3$。

1.指数函数$y=a^x$($a>0$且$a\neq 1$)的定义域是$R$,值域是$(0,+\infty)$。

2.求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为$0$③形如$a^0$,($a\neq 0$)3.求函数的值域:①利用函数$y=a^x$单调性②函数的有界性($x^2\geq 0;a^x>0$)③换元法。

例如:$y=4x+\frac{6}{2x-8}$($1\leq x\leq 2$),先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)。

例2:指数函数$y=a^x$,$y=b^x$,$y=c^x$,$y=d^x$的图像如图2.6-2所示,则$a$、$b$、$c$、$d$、$1$之间的大小关系是?解:选$(c)$,在$x$轴上任取一点$(x,0)$,则得$b<a<1<d<c$。

例3:比较大小:1)$2$、$3^2$、$5^4$、$8^8$、$9^{16}$的大小关系是:$2<3^2<5^4<8^8<9^{16}$。

2)$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2$,$2$的大小关系是:$\frac{0.6}{4}-\frac{5}{13}-2<2$。

指数函数

指数函数

指数函数(一)下向上对应的函数的底数越来越大d c b a <<<<<10。

基础训练1. xx 3)=的定义域为 ,值域为 ,在定义域上是 函数,图象恒过点 。

2. xx f )31()(=的定义域为 ,值域为 ,在定义域上是 函数,图象恒过点 。

3.用(“<”“>”“=”)填空(1)若n m >,则m)32( n)32( (2)若nm33>,则m n(3)若10<<a ,则2-a 3-a(4)若1>a ,则21a 31a(5)若ba )21()21(>,则a b(6)若nm 4.04.0<,则m n(7)0)3.0( 1典型例题1】利用指数函数的性质,比较下列各组数的大小。

(1)5.25.1与45.1 (2)1.03.0-与2.03.0- (3)7.03与2.15.0变式训练x c x(1)7.028.02(2)1.22.1- 22.1-(3)1.07.0 1.07.0-(4)8.1312.0 9.1312.0 (5)8.05 2.37.0【例2】求下列函数的定义域 (1)xy 211-=(2)x y 2=(3)22x y = (4)xy 12= 变式训练(1)x y )21(2-=(2)27)31(-=xy(3)||2x y =(4)212x y = 【例3】(1)试判断函数x a a y )2(2+-=的单调性。

(2)若322432)1()1(-<-a a ,求a 的取值范围。

(3)若913271<<x ,求a 的取值范围。

变式训练(1)xa x f )3()(2+=在上是 函数。

(2)若xa x f )1()(-=在R 上是减函数,则a 的取值范围是 。

(3)解不等式:42)43()34(-->x x巩固练习1.函数xy )31(=的图象是( )。

2.若)1,0(∈a ,则下列不等式中正确的是( )。

黄冈中学高考数学典型例题9:指数、对数函数

黄冈中学高考数学典型例题9:指数、对数函数

黄冈中学高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若f (x )的反函数为f -1(x ),证明:对任意的自然数n (n ≥3),都有f -1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F -1(x ),证明:方程F -1(x )=0有惟一解.●案例探究[例1]已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明:点C 、D 和原点O 在同一条直线上; (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标.命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托:(1)证明三点共线的方法:k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明:设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知:x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218xx x 3log 8x 2,所以OC 的斜率:k 1=118212log 3log x x x x =, OD 的斜率:k 2=228222log 3log x x x x =,由此可知:k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上.(2)解:由BC 平行于x 轴知:log 2x 1=log 8x 2 即:log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得:x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3,log 83).[例2]在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上,且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形,求a 的取值范围;(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{C n }前多少项的和最大?试说明理由.命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口. 技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题.解:(1)由题意知:a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减,∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)-1>0,解得a <-5(1+2)或a >5(5-1).∴5(5-1)<a <10.(3)∵5(5-1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列,对每个自然数n ≥2,B n =b n B n -1.于是当b n ≥1时,B n <B n -1,当b n <1时,B n ≤B n -1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得:n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有:(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和,如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(-∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10-x +2)B.3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f --1(x -1)=_________.4.(★★★★★)如图,开始时,桶1中有a L 水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae -nt ,那么桶2中水就是y 2=a -ae -nt ,假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有8a .三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x -3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时,点Q (x -2a ,-y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式;(2)若当x ∈[a +2,a +3]时,恒有|f (x )-g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21[f (x 1)+f (x 2)]与f (221x x +)的大小,并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ,求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案 难点磁场解:(1)由xx-+11>0,且2-x ≠0得F (x )的定义域为(-1,1),设-1<x 1<x 2<1,则F (x 2)-F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=, ∵x 2-x 1>0,2-x 1>0,2-x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)-F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(-1,1)上是增函数.(2)证明:由y =f (x )=x x -+11log 2得:2y =1212,11+-=-+y y x x x, ∴f -1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ,∴f --1(x )的定义域为R .当n ≥3时,f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明:∵F (0)=21,∴F -1(21)=0,∴x =21是F -1(x )=0的一个根.假设F -1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的,故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析:由题意:g (x )+h (x )=lg(10x +1)①又g (-x )+h (-x )=lg(10-x +1).即-g (x )+h (x )=lg(10-x +1)②由①②得:g (x )=2x,h (x )=lg(10x +1)-2x . 答案:C2.解析:当a >1时,函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选,又a >1时,y =(1-a )x 为减函数.答案:B二、3.解析:容易求得f- -1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x ,从而:f -1(x -1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案:⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析:由题意,5分钟后,y 1=ae -nt ,y 2=a -ae -nt ,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae -n (5+t )=8a,解得t =10. 答案:10三、5.解:(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x -2a ,y ′=-y .即x =x ′+2a ,y =-y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x -3a )的图象上,∴-y ′=log a (x ′+2a -3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aa x -1.(2)由题意得x -3a =(a +2)-3a =-2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0<a <1,∵|f (x )-g (x )|=|log a (x -3a )-log aax -1|=|log a (x 2-4ax +3a 2)|·|f (x )-g (x )|≤1,∴-1≤log a (x 2-4ax +3a 2)≤1,∵0<a <1,∴a +2>2a .f (x )=x 2-4ax +3a 2在[a +2,a +3]上为减函数,∴μ(x )=log a (x 2-4ax +3a 2)在[a +2,a +3]上为减函数,从而[μ(x )]max =μ(a +2)=log a (4-4a ),[μ(x )]mi n =μ(a +3)=log a (9-6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9-6a )≥-1解得0<a ≤12579-,由log a (4-4a )≤1解得0<a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0<a ≤12579-.6.解:f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号), 当a >1时,有log a x 1x 2≤log a (221xx +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +),21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)]≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0<a <1时,有log a x 1x 2≥log a (221xx +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21[f (x 1)+f (x 2)]≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号).7.解:由已知等式得:log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x -1)2+(log a y -1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内,圆弧(u -1)2+(v -1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =-u +k 有公共点,分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时,即a >1时,结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0<a <1时,同理得到2(1-2)≤k ≤1-3.x 综上,当a >1时,log a xy 的最大值为2+22,最小值为1+3;当0<a <1时,log a xy 的最大值为1-3,最小值为2-22.8.解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴-3≤21log x ≤-23.即21log (21)-3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)-3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈[22,8]}又f (x )=(log 2x -1)(log 2x -3)=log 22x -4log 2x +3=(log 2x -2)2-1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =-1;当log 2x =3,即x =8时,y max =0.。

专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)

专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)

专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x =是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数1()y fx -=.特别地,x y a =与log a y x =(0a >且1a ≠)互为反函数.在同一直角坐标系内,两函数互为反函数图象关于y x =对称,即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象上.若方程()x f x k +=的根为1x ,方程1()x f x k -+=的根为2x ,那么12x x k +=.二、典型例题例题1.(2022·高三课时练习)若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ,则m n +的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【详解】解:由题意,可知5log 4x x =-+,54x x =-+,作出函数5log y x =,5x y =,4y x =-+的图像(如图),A 、B 两点的横坐标分别为m 、n ,且A 、B 关于直线y x =对称,AB 的中点为C ,联立,4,y x y x =⎧⎨=-+⎩可得点C 的横坐标为2,因此4m n +=.故选:C.【反思】本题也可直接利用结论解题:若方程()x f x k +=的根为1x ,方程1()x fx k -+=的根为2x ,那么12x x k +=.在本例中,记5()log xf x =,则1()5x fx -=,这样利用结论,可快速得到:4m n +=。

例题2.(2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末)已知1x 是方程34x x ⋅=的根,2x 是方程3log 4x x ⋅=的根,则12x x =()A.16B.8C.6D.4【答案】D,因为3x y =与3log y x =互为反函数,这两个函数的图象关于直线在函数4y x=图象上任取一点(),a b ,该点关于直线由4=b a 可得4a b =,则点(),b a 也在函数故函数4y x=的图象关于直线y x =对称,所以,点114,x x ⎛⎫⎪⎝⎭与点224,x x ⎫⎛⎪ ⎝⎭关于直线故选:D.函数2log y x =与2x y =的图象关于直线所以,直线y x =与直线2y =由图象可知,点A 、B 关于点故选:D.3.(2020秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习)若满足故选:D8.(2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末)已知三个函数()38=+g x x=-,()2logh x x xA.6B.5【答案】C的横坐标,联立2y x y x=⎧⎨=-⎩,解得1x y ==,则直线y x =与直线2y x =-交于点()1,1M ,易知直线y x =与直线2y x =-垂直,因为函数2log y x =与函数2x y =的图象关于直线y x =对称,则A 、B 两点关于直线y x =对称,线段AB 的中点为M ,所以,12a b +-=,解得3a b +=.故答案为:3.13.(2022·上海·高一专题练习)设方程2log 2x x +=的解为1x ,22x x +=的解为2x ,则12x x +=_____________.【答案】2.【详解】由2log 2x x +=的解为1x ,得211log 2x x =-+,同理22x x +=的解为2x ,得2222xx =-+,又函数2log y x =与函数2x y =互为反函数,图象关于直线y x =对称,且2y x =-+与y x =互相垂直,且交点为(1,1),则函数2log y x =与函数2y x =-+的交点11(,)A x y ,函数2x y =与函数2y x =-+的交点22(,)B x y ,关于直线y x =对称,即11(,)A x y 与22(,)B x y 关于点(1,1)对称,即122x x +=,故答案为:2.14.(2019·浙江宁波·高一校联考期中)若1x 是方程1240x x -+-=的根,2x 是方程2log 3x x +=的根,则12x x +=__________.【答案】4【详解】解:1x 是方程1240x x -+-=的根,2x 是方程2log 3x x +=的根,把方程分别变形为()1231x x -=--,2log 3x x =-,由于2x y =与2log y x =互为反函数,则12(1)3x x -+=,124x x ∴+=.故答案为4.。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示,函数y =|2x −2|的图像是( )A .B .C .D .答案:B分析:将原函数变形为分段函数,根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1,∴x =1时,y =0,x ≠1时,y >0. 故选:B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是( ) A .(1,+∞)B .(12,1)C .(13,12)D .(14,13)答案:B分析:结合函数的单调性,利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0, 所以f(12)⋅f(1)<0,又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增, 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12,1), 故选:B .小提示:本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用,属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是( ) A .[0,34]B .(0,34) C .[0,916]D .(0,916) 答案:D分析:根据题意,作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像,然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示:若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解, 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点,若直线y =12x +m 经过原点时,m =0,若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切,令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0,令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选:D .4、函数y =2x −2−x ( )A .是R 上的减函数B .是R 上的增函数C .在(−∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数D .无法判断其单调性 答案:B分析:利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数,指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数, 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选:B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,且y =a −x 也为增函数,则a 的取值范围是( ) A .(√33,1)B .(0,12)C .(√33,√63)D .(√63,1) 答案:D分析:根据函数单调性,列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解,即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,则3a 2−1>1,由y =a −x 为增函数得0<a <1.解不等式组{3a 2−1>10<a <1,得a 的取值范围是(√63,1).故选:D.小提示:本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数,涉及不等式的解法,属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a (元/个)的取值范围应是( ) A .90<a <100B .90<a <110C .100<a <110D .80<a <100 答案:A分析:首先设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,结合条件列式,根据y >0,求x 的取值范围,即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加,则必须使y >0,即x 2−10x <0,得0<x <10,∴90<x +90<100,所以a 的取值为90<a <100. 故选:A7、已知a =lg2,10b =3,则log 56=( ) A .a+b 1+aB .a+b 1−aC .a−b 1+aD .a−b 1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b ,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3, ∴b =lg3, ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a.故选:B .8、已知2a =5,log 83=b ,则4a−3b =( ) A .25B .5C .259D .53 答案:C分析:根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出. 因为2a =5,b =log 83=13log 23,即23b =3,所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259.故选:C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ,则( ) A .任意a ∈R ,函数f (x )的值域为R B .任意a ∈R ,函数f (x )都有零点C .任意a ∈R ,存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D .当a ∈(−∞,−4]时,任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案:BD分析:画出分段函数图像,根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)对于选项A,由图像可知,当a<x1时,f(x)的值域不为R,故A错误对于选项B,由图像可知,无论a取何值,函数f(x)都有零点,故B正确对于选项C,当x>0时g(−|x|)=g(−x),g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D,若x1<a,x2<a,因为y=−(x+1)2为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a,x2>a因为y=e x−1为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1,x2不在同一区间时,因为a∈(−∞,−4],所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方,所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选:BD10、已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有()A.①B.②⑤C.②③D.④答案:AB分析:画出指数函数y=2x,y=3x的图象,利用单调生即可得出答案.如图所示,数y=2x,y=3x的图象,由图象可知:( 1 ) 当时x>0,若2a=3b,则a>b;( 2 ) 当x=0时,若2a=3b,则a=b=0;( 3 ) 当x<0时,若2a=3b,则a<b.综上可知,有可能成立的关系式是①②⑤ .故选:AB11、某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元答案:BC分析:设每册杂志定价为x(x>2)元,根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4,解得x的范围,可得答案.0.2依题意可知,要使该杂志销售收入不少于22.4万元,只能提高销售价,×0.5万册,设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元,0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4,化简得x2−6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,0.2故选:BC小提示:关键点点睛:理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简:(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________.答案:2−1263分析:分析式子可以发现,若在结尾乘以一个(1−12),则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算,为保证恒等计算,在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是:2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案:a 34分析:本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34, 所以答案是:a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R;②值域为(−∞,1);③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案:f(x)=1−12x(答案不唯一)分析:直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ,定义域为R;12x>0,f(x)=1−12x<1,值域为(−∞,1);是增函数,满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是:f(x)=1−12x(答案不唯一).解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)若f(x)在[−1,1]上的最大值为13,求a的值.答案:(1)偶函数;证明见解析;(2)a=2.解析:(1)利用奇偶函数的定义证明;(2)讨论去绝对值,并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性,求函数的最大值,建立方程,求a的值.解:(1)f(x)的定义域为R,又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x),所以f(x)为偶函数;(2)因为f(x)为偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a x+1,函数单调递减,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a x+1,函数单调递增,f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2,当−1≤x<0,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递增,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递减,f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2,综上,a=2.小提示:关键点点睛:本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值,求参数的取值范围,本题的关键是求函数的单调性,关键是利用函数是偶函数,先去绝对值,再利用复合函数的单调性求函数的单调性,从而确定函数的最值.。

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(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 例4.若函数 P,试求点P的坐标.
点评: 一般较复杂函数的图象可由基本 初等函数的图象经过平移、对称变换得到 ,注意转化思想的应用.
点评: 本题在下结论时,容易取a>1和 例5. 如果 (其中a>0,a≠1),求x 0<a<1时x取值的交集或并集,这都是错 的取值范围. 误的.事实上a>1和0<a<1是两类不同的 情形,所以最后要分开下结论.
2) 单调性和最值
例3.若函数f(x)= ,则该函数在(-∞,+∞)上是( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
Hale Waihona Puke 点评: 求函数f( )的单调区间、值城、最值时,常用换元法,设
=t,转化为讨论常见函数的性质,有时结合常见函数的图象来解决.
3) 函数的图象
3. 建立指数函数模型解决实际应 用问题

例6. 医学上为研究传染病传播中病毒 细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞 注入一只小白鼠体内进行实验,经检测, 病毒细胞的增长数与天数的关系记录如 下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的 个数超过108的时候小白鼠将死亡.但注 射某种药物,将可杀死其体内该病毒细 胞的98%.
指数函数典型例题分析
指数函数是中学数学中基本初等函数之一, 是学习函数、不等式等内容的重要工具.

指数函数的性质是指数函数 的核心内容,也是学习其他数学知 识的基础内容.本文就指数函数的 典型例题进行分析
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1. 利用指数函数的单调性比较大小
例1.比较下列各题中两个值的大小:
分析:构造指数函数,利用其单调性和值域 比较大小.
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(1).单调法:比较同底数幂大小,构造 指数函数,利用指数函数的单调性比较 大小.要注意:明确所给的两个值是哪 个指数函数的两个函数值;明确指数函 数的底数与1的大小关系;最后根据指数 函数图象和性质来判断.

(2).中间量法:比较不同底数幕的大小, 常借助于中间值1进行比较.利用口诀“同 大异小”,判断指数幂和1的大小.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡, 第一次最迟应在何时注射该种药物?(精 确到天)
已知:lg2=0.3010

(2)第二次最迟应在何时注射该种药物 才能维持小白鼠的生命?(精确到天)

点评: 本题反映的解题技巧是 “两边取对数”,这对实施指数运 算是很有效的.
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2.研究指数函数的性质

1) 定义域和单调区间
的定义域和单调区间.
例2.求函数
分析:使函数的解析式有意义的自变量的取值 范围是函数的定义域;函数f(x)是复合函数,分 解为y=f(u), u=g(x),通过讨论y= f(u)和 u=g(x)的单调性,来讨论函数f(x)的单调性.

成的,可通过逐层讨论它的单调性,利用“同增异减 ”得出结果.
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