等比数列的概念及通项公式(一)

当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G
2
ab
G ab
思考：1、若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示：不一定，若a＝G＝b＝0时，不满足．
y 2
x
3
2 1
0
· ·
1
·
2 3 4 n
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
结论:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
a1 n 等比数列{an }通项公式可整理为：an = q， q a1 x 它的图象是函数y = q 的图象上的孤立点. q
6.3 等比数列
a5 1 ，a8 例1 在等比数列an 中，
解 由 a5 1, a8 有
1 8
1 ，求a13． 8
巩 固 知 识 典 型 例 题
1 a1 q4，
(1)
1 a1 q 7， (2) 8 （2）除以（1）得
1 1 q3，q ； 8 2 1 将q 代人（1），得 2
p 2或3
例4
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【思路点拨】 将递推公式变形，然后利用等比
数列的定义判定． 【解】 (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，可得 an＋1≠0. an＋1＋1 所以 ＝2(n∈N*)． an＋1 所以数列{an＋1}是等比数列．
学习目标 1. 掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。 数学表达式：d=an-an-1(n≥2)或d=an+1-an
an1 类型:1、已知数列an 满足a1 1, an ， an1 2 求数列an 的通项公式。
2、已知数列an 满足a1 2, an an 12(n 2)， 求数列an 的通项公式。
变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 1 Sn＝ (an－1)(n∈N*)． 3 (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
中项
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5， 5， 5， 5， 5， 5 ， … 1，-1，1，-1，1，… 1， 0， 1 ， 0， 1， …
你有什么收获？ 小结：填写下表
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列
a n 1
an
q
公差（比） 定义变形 通项公式
q叫公比
an+1=an q
an=a1qn-1
an n m an am 一般形式 an=am+(n-m)d d an=amqn-m q a nm m
2
3
4
1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
an * q ( n 2 且 n N ). 数学语言： a n 1 an 1 或 q an
an1 an q
定义的比较
名 称
等差数列
0 2 1 2 n 1 2
0 2
1 2
2 2
.
n 1 9 3 3 ，即2 ， n 5， 2 即9为该数列的第5项.
2
n 1 2
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项 ?
n 1 2
分析：令3
m 1
3
，则n=2m+3
例3：已知{an }的通项公式an 3n , 求证： {an }是 等比数列.
所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．
2、等比数列{an }中, 相邻三项an1, an , an1 (n 2)的关系.
an 2 an 1 an 1 ( n 2 )
等比数列通项公式的推导: 归纳法 a n1a n q a n1a n d
等差数列通项公式的推导(归纳法)
即：
n 1 q ……q q n1
an n 1 q a1
an a1 q
∴ an
n1
此式对n=1也成立
a1 q
n 1
(n N )

等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
在等比数列｛an｝中，若已知某一项为am,公比 为q, 求该数列的任意项an。 等比数列通项公式的推广公式：
2 3 4
3.病毒感染的计算机数构成的数列:
1, 20, 20 , 20 , 20 , 鬃
探究：等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项，并说出它们的特点. 1 1 1 1 2 3 , …… （1）1，2，2 ，2 ，… (2) , , , 2 4 8 16
(3)
1, 20, 20 , 20 , 20 , 鬃
2、等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d (n∈N*) an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法 累加法
一、引入新课： 1.细胞分裂个数组成数列:
1, 2, 4,8,16, 鬃
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1 1 1 1 1, , , , ,鬃 2 4 8 16
本例题求解过程 中，通过两式相除求 a1 2 4 出公比的方法是研究 所以，数列的通项公式为 等比数列问题的常用 方法． 1 n 1 4 an 2 ( ) 12 2
1 1 a13 a1 q12 24 28 ． 256 2
变形１、等比数列{an}中,a1=2,q=-3,求a8与an. 变形2、等比数列{an}中,a1=2, a9=32,求q.
an＝amqn-m + （am≠0,an ≠ 0,m,n∈Z）
思考：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
(2)证明：当 n≥2 时， 1 1 由 an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)， 3 3 an 1 a2 1 得 ＝－ ，又 ＝－ ， 2 a1 2 an － 1 1 1 所以 {an}是首项为－ ，公比为－ 的等 2 2 比数列．
n2 类型：数列an 的前年n项和记为Sn ,已知a1 1, an 1 Sn n Sn 求证：（）数列 1 是等比数列。 n （2）Sn 1 4an .
变式：（1）若数列an 满足a1 1, an 2n an 1 (n 2) 则此数列是否为等比数列？ 2，n=1, （2）若数列an 的通项公式为an = n 1 3 , n 1, n N 则此数列是否为等比数列？
(3)已知数列cn , 其中cn 2n 3n , 数列cn1 pcn 为等比数列， 求常数p.
变式 : 数列{an }是等比数列.
an q(q是一个与n无关的非零常数） an 1
定义法，只要看
n
已知数列{an }的前n项和为Sn 3 1, 求证：
分析：当n 1时，a1 S1 3 1 2； n n 1 当n 2时，an Sn Sn1 3 1 (3 1)
3
a1 3d
an a1 (n 1)d
… …
… … n 1 a n a1 q
等比数列通项公式的推导: 累乘法推导
a3 a2 = q 证明：∵ = q a1 a2
……
an = q an- 1
来自百度文库
将等式左右两边分别相乘可得：
化简得：
a2 a3 a1 a2
a …… n a n 1
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列
(6)
(7)
0， 0， 0 ， 0， 0， … 2 3 4
1, x , x , x , x , ( x 0)
是,公比 q= x
对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 2. 公比不能为零,即
an 0 q0
3. 当q>0，各项与首项同号
1
an 2 3n1 3为常数(n 2). n2 an1 2 3
当n 1时，也满足an 2 3 an 2 3 .
3 3
n
n 1
3 3
n 1
n1
3
n 1
23 ，
n1
n 1
类型：已知数列lg an 是等差数列，求证： an是等比数列。
变形３、等比数列{an}中,a1+ a3=10,a4+a6=5/4,
求q的值.
变形４、等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18,
an =1/2,求n.
例2：9是等比数列3 ， 3， 3 ，的第几项 ... ?
解：a1 3 1 ，q 3 ， an a1 q n1 3
a2 a1 d a3 a2 d
等比数列通项公式的推导（归纳法）
a1 2d
(a1 d ) d
a2 a1q a3 a2 q (a1q)q 2 a1q
a4 a3q (a1q )q
2
a4 a3 d (a1 2d ) d
a1q
(2)由(1)知，
{an＋1}是以a1＋1为首项，2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2· 2n－1＝2n，
即an＝2n－1. 【名师点评】 已知数列的递推关系求通项公式 时，要先判断该数列是否为等差数列或等比数列， 若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通 项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将 递推公式变形，构造一个等差或等比数列，从而 求出通项公式．
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第 2 项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 , 那么这个数列 叫做等比数列. 这个常数叫做等比 数列的公比，用 q表示.