郑州大学级微积分考试试题A
郑州大学微积分（下）测验试题（2）答案
高等数学（下册）高等数学（下册）测验试题（二） 一、填空题（每小题4分，共20分）分）1设L 由o （0，0）沿y 轴到)2,0(A ，再沿2=y 到处)2,2(B ，再沿y x 22=回到)0,0(o ，则()()dy xy dx xy x xL223-+-ò.2-=2.设S 为柱面422=+yx 介于61££z 的部分，法向量指向内部，则.0222=++òòSdxdy z y x3.设L 为下半圆周(),0222£=+y R y x 则().422R ds y x L-=+ò4.设S 为平面222=++z y x 被三个坐标面相截在第一卦限的部分，则().322=++òòSdS z y x （注意：边界条件可以代入）（注意：边界条件可以代入）5．设L 为沿曲线x x y 22-=上从)0,2(A 到)0,0(o 的弧段，则.p =+-òL xdy ydx 二 计算题（每小题7分，共70分）分）1。
求,||||dy x dx y I L +=ò其中L 是以o （0，0），)1,0(A ，)1,1(-B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。
角形边界，方向为逆时针方向。
2．计算,22ò++-L y x xdyydx L 为1||||=+y x 所围区域边界的正向。
所围区域边界的正向。
3．计算()ds x L y òúûùêëé-+51232，L 为()22332+=x y 从2-=x 到1=x 的一段。
4．计算()(),z d xd y d z d x z y d y d z z x I +-+-=òòS其中S 是由曲线()21,0,££îíì==z xy z 绕z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。
郑州大学高等数学考试题(完整版)
高等数学模拟题第一部分 客观题一、判断题1、 函数x x x f sin )(=在),(+∞-∞上有界。
( 错 B)2、错B3、函数的极值点一定是函数的驻点。
( 错 B )4、对A5、设)(x f 是一个连续的奇函数，则0)(11=⎰-dx x f 。
（ 对A ） 二、单项选择题6、 、定积分 dx x ⎰--2/2/2sin 1ππ的值是： （ D ）（A ）0； (B) 1； (C) 2-； (D) 2；7、在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量．(A) )(1sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x8、设(ln )1f x x '=+，则()f x =（ C ）.(A) 22x x c ++ (B)22x xe e c ++ (C)x x e c ++ (D)ln (2ln )2x x + 9、.曲线2211x x ee y ---+=（ D ）(A) 无渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线 10 、 C第二部分 主观题一、求解下列各题 12、设()y y x =由方程组cos sin sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=-⎩确定，求dydx 。
解：3、求曲线 2(1)yx x =- 的凹凸区间。
解：Y=(x-1)²x 求二阶导数，再找零点 x= - (1/2) ，以所找零点将定义域区间划分为2个区间，(-∞，-(1/2))和((-1/2)，+∞)，在前一个区间，f ' ' <0 ,为凹区间，后一个区间为凸区间。
在x= - (1/2) 的左右，其二阶导数变号，故拐点为(-(1/2), 7/8)4、求4e ⎰。
5、设222()()4xx f t dtF xx=-⎰，其中)(xf为连续函数，求2lim()xF x→。
郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案
dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成， 求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3
郑州大学级微积分考试试题A
郑州大学2005级微积分考试试题A郑州大学2005级（上）理工科专业微积分试题（A卷）分数评卷人一、求极限：（每题 5 分，共20 分）1．2.3．4.分数评卷人二、求导数或微分：（每题 5 分，共20 分）1．2．设3.设y=y(x)由方程所确定，求y’(0)4．分数评卷人三、求下列积分：（每题 6 分，共30 分）1．2．3.4.5.求分数评卷人四、[本题10分] 设x 为实数，的单调性，凹凸性，奇偶性。
分数评卷人五、[本题12分]在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
分数评卷人六、[本题8分] 设函数f(x)满足f ”(x) –f(x)=0 且曲线y=f(x) 在原点外与直线y=x相切，求f(x).郑州大学2005级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案一．求下列极限1．解：2．解：3．解：4．解：二．求下列函数的导数或微分1．，求解：2．，求解：两边取对数上式两边关于求导，得：所以，，3．设函数由方程确定，求解：方程两边同时关于求导，得：所以，故4．设求解：三．求下列积分1．解：2．解：3．解：4．已知是的一个原函数，求解：5．解：四．设。
（1）研究的单调性及上（下）凸性；（2）研究的奇、偶性。
解：（一） 1．因为，所以，在内单增；2．又因为故（1）当时，在内是下凸的；（2）当时，在内是上凸的。
（二）故为奇函数。
五．在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为，求1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：（一）设切点为，则切线方程为，即。
所以，解得：于是，切点为，切线方程为（二）切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为六．求微分方程在初始条件下的特解。
解：（一）微分方程的特征方程为其特征根为故方程通解为（二）代入初始条件后，得：，解得故原微分方程的特解为：。
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
郑州大学微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
郑州大学2012—2013学年度第一学期微积分期末考试试卷（A 卷）考试时间：2小时30分钟 考试方式：闭卷复查总分 总复查人一、求解下列各题（每题8分，共48分）1．求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31()()()2211113lim x x x x x x ++-++-=→()()()()211121lim x x x x x x ++-+-=→ 112lim21=+++=→x x x x .2．求x e y arctan =的导数. 解：()()'+='xxe ey 211()'+=x eexx.112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x e e x x 21.112()xxex e212+=.3．求由y e y x x sin 22=-①的函数()x y 的导数. 解：①式两边关于x 求导得'=-'+y y xe y x xy x .cos 2222即()()y e x xe y y xx x -=-'-2222cos 2所以 ()y x ye x y x c o s 222--='.4.求()dx x x x⎰+2ln ln 1.解：()dx x x x⎰+2ln ln 1()().ln 1ln ln 12C xx x x d x x +-==⎰ 5. 求⎰+e x x dx 1ln 1 .解：⎰+exx dx 1ln 1()().122ln 12ln 1ln 11|11-=+=++=⎰eex x d x6. 求⎰+∞++0284x x dx. 解：⎰+∞++0284x x dx ()()⎪⎭⎫⎝⎛-=+=+++=∞+∞+⎰422122arctan 212221|0022ππx x d x .8π=7.求一个以x xe y =为其特解的二阶常系数线性齐次微分方程. 解：设所求方程为 0=+'+''qy y p y ①根据题意知，方程的①的特征方程的根应为 121==r r ， 因此其特征方程应为 ()012=-r ，即 .0122=+-r r所以，所求方程为 .02=+'-''y y y8.设()x f 是以π2为周期的函数，它在[)ππ,-上的表达式为()⎩⎨⎧<≤+<≤-=.0,1,0,ππx x x x x f 求它的富里叶展开式.解：（一）()()1111000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--ππππππdx x xdx dx x f a ； ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--00cos 1cos 1cos 1ππππππnxdx x nxdx x nxdx x f a n其中 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰----0000sin sin 1sin 1cos |ππππnxdx nx x n nx xd n nxdx x()⎰⎰---=-=002sin 1sin 1ππnx nxd n nxdx n()()[]nnnx n 111cos 1202|--=--=-π； ①()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+⎰⎰⎰ππππ0000sin sin 11sin 11cos 1|nxdx nx x n nx d x n nxdx x ()⎰⎰-=-=ππ002sin 1sin 1nx nxd n nxdx n()()[]111cos 1202|--=--=nnnx n π.②故 ,...)2,1.(0==n a n （二） ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==⎰⎰⎰--0s i n 1s i n 1s i n 1ππππππn x d x x n x d x x n x d x x f b n 其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎰⎰⎰----0000cos cos 1cos 1sin |ππππnxdx nx x nnx xd n nxdx x ()⎰---=---=011]cos )1([1πππnnxdx n n n ； ①()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=+⎰⎰⎰ππππ0000cos cos 11cos 11sin 1|nxdx nx x n nx d x n nxdx x ()()[]()()[]nn n n n n 1111111111---++-=--+-=ππ②故 ()()[]1111121---++-=n n n n n b π()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=,...5,3,1,12,...,6,4,2,2n n n n ππ所以，所求富里叶展开式为()()().,....,3sin 3122sin sin 1221N n n x x x x x f ∈≠-++-++=πππππ 二、（12分）已知函数()()231-=x x x f ，求（1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； （2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线；解：（一）()()+∞∞-=,11, D ；1.因为()()32lim lim1x x x f x x →∞→∞==∞-，所以无水平渐进线；2.因为函数在1=x 处无定义，且()()3211lim lim1x x x f x x →→==+∞-，故有垂直渐进线1=x ；3.因为()()22lim lim 1,1x x f x x a x x →∞→∞===-，()()()32222lim lim lim 211x x x x x x b f x ax x x x →∞→∞→∞⎡⎤-=-=-==⎡⎤⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎣⎦均存在， 所以，有斜渐进线2+=x y . （三）令()()()2123300, 3.1x x f x x x x -'==⇒==-；令()()4600.1xf x x x ''==⇒=-于是可得下表：（)0,∞- 0 ()1,01()3,1 3 ()+∞,3()f x ' + 0 + 不存在 — 0 + ()f x ''— 0 + 不存在 + + + ()x f 升 拐点 升 间断 降 升三、求解下列各题（每题8分，共32分）1．将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数.解法一：()()21ln 21arctan x x x x f +-=()x x x x x x x f arctan 2.11.211arctan 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++='；()211x x f +=''. 由展式 ()n n nx x ∑∞=-=+0111，()1,1-∈x 得()()()()nn nnn nxx x x f 202021111∑∑∞=∞=-=-=+='' ，()1,1-∈x .①故 ()()()()dx x dx x f f x f xn n nx⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=''+'='∞=0200100()()121112020+-=-=+∞=∞=∑⎰∑n x dx x n n nxnn n，[]1,1-∈x .② 所以 ()()()()dx n x dx x f f x f xn n n x⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+='+=+∞=012012100 ()()()()22121121220120++-=+-=+∞=+∞=∑⎰∑n n x dx xn n n nxn n n，[]1,1-∈x . 解法二：由()dx x dx x x x n n n x⎰∑⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=+=∞=02002111arctan ()121120+-=+∞=∑n x n n n，[]1,1-∈x .① ()()()()11111ln 1201202+-=+-=++∞=+∞=∑∑n x n x xn n nn n n，[]1,1-∈x ， ② 得()()21ln 21arctan x x x x f +-=()121120+-=+∞=∑n x x n n n()1121120+--+∞=∑n xn n n ()121220+-=+∞=∑n x n n n()()121120+--+∞=∑n xn n n()1202211211+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∑n n n x n n()()()22121120++-=+∞=∑n n x n n n，[]1,1-∈x . 2．在某N 个人中推广新技术.已知在0=t 时，这N 个人中已有0X 个人掌握了这项技术.设在任意时刻t 已掌握这项技术的人数为()t x ，并认为()t x 是连续函数.如果()t x 的变化率与已掌握技术和未掌握技术的人数之积成正比，比例系数为)0(>k ，求()t x .解：根据题意知()x N kx dtdx-=..① 且()00|X t x t ==.②①为可分离变量型的一阶微分方程.由 ①得到()⎰⎰=-dt k dx x N x 1其中()⎰-dx x N x 1()x N x x N x dx x N x -=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰ln ln ln 11故①的通解为C kt x N x ln ln -=-③ 由③解得 ()ktCeNt x -+=1④ 将初始条件()00|X t x t ==代入④，解得X X N C -=⑤ 所以，将⑤代入④，有()kt kt kt e X X N e NX eX X N Nt x 00000.1+-=-+=-. 3．一台摄像机放置在距火箭发射塔4000米处，为了使摄像机的镜头始终对准火箭，摄像机的仰角应随火箭的上升而不断增加.火箭发射后，它与地面垂直距离随时间的变化率()t x 是可以测出的.若已知火箭垂直上升距离为m 3000时，其速度达到s m /600.求此时摄像机仰角的变化率. 解：设在时刻t 摄像机的仰角为()t α，则由题意知4000tan x=α① ①式两边关于t 求导得dt dx dt d .40001.sec 2=αα②将222240001tan 1sec x +=+=αα代入②式，得到dtdxx dt d .1600000040002+=α③ 将 600,3000==dtdxx 代入③式，解得 )/(09.0s m dtd =α. 即当火箭垂直上升距离为m 3000时，摄像机仰角的变化率为)./(09.0s m 4.在曲线2x y =上求一点，使过此点的切线与0,8==y x 所围成位于第一象限的三角形的面积最大.解：（一）在曲边2x y =上任取一点()2,t t ，则曲线在该点处切线斜率为()t x t y k tx 22|=='==.从而曲线在该点处切线方程为()t x t t y -=-.22① ①中令0=y ，解得 2tx =；令8=x ，解得 .162t t y -=②所以曲线在该点处的切线与两直角边8,0==x y 围成的三角形面积为()()()80.6484116.28.21232≤≤+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t t S ③（二） 令()()02566434164164322=+-=+-='t t t t t S ，④ 得.16=t （舍）或者.316=t又因为()()64641-=''t t S ，01296316<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛''S ，所以当316=t 时，()t S 取到最大 值.即所求点为⎪⎭⎫⎝⎛9256,316.四、（8分）就k 的不同情况讨论曲线k x y +=ln 4与 x x y 4ln 4+=交点的个数解：问题等价于讨论方程0ln 4ln 44=--+k x x x 有几个不同的根.令 ()k x x x x f --+=ln 44ln 4，()+∞∈,0x .①则 ()()xx x x x x x f 1l n 4144l n 433-+=-+='.② 由()0='x f ，解得唯一驻点1=x .【注意到：()01ln 03=-+⇔='x x x f .记 ()1ln 3-+=x x x g ，()+∞∈,0x .因为()01ln 32>+='xxx g ，故()x g 在()+∞,0上单调增加，故方程01ln 3=-+x x 至多有一个实根.】因为当10<<x 时，()0<'x f ；而当1>x 时，()0>'x f ，故()k f -=41为函数()x f 的最小值.又()()+∞=--+=++→→k x x x x f x x ln 44ln lim lim 4； ()()k x x x x f x x --+=+∞→+∞→ln 44ln lim lim 4+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+∞→x k x x x x x x 4334ln 1ln 14ln 1.ln 41ln lim . 根据以上分析可画出()x f y =的草图（略）.就此草图易作出以下判断 （1）当4<k 时，方程()0=x f 无实根，从而两曲线无交点；（2）当4=k 时，方程()0=x f 恰有一个实根，从而两曲线恰有一个交点； （3）当4>k 时，方程()0=x f 恰有两个实根，从而两曲线恰有两个交点.。
郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
＝1
得分 评卷人
【解】
lim
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
0
f
sin
xdx .
【证明】
（1）
设
2 2
g u du
I .令 u t
则
I
2
g tdt
2
2
2
g
t
dt
2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）
2
2
g u du
I
，
即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx
ex 1 ex
dx
1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d
1
e
x
x ln 1 e x
C；
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 曲线 \( y = x^3 \) 与 \( x \) 轴围成的面积是：A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/34. 函数 \( y = \sin(x) \) 的不定积分是：A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( \sin(x) \)D. \( \ln(\sin(x)) \)二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果 \( f'(x) = 6x \)，则 \( f(x) = _______ + C \)。
6. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 _______。
7. 定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \) 的值是 _______。
8. 曲线 \( y = e^x \) 与 \( x \) 轴围成的面积在 \( x = 0 \) 到 \( x = 1 \) 之间的值是 _______。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数。
10. 计算定积分 \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx \)。
11. 求曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相交的点。
12. 求函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = e \) 处的切线方程。
四、答案一、选择题答案1. B2. B3. B4. B二、填空题答案5. \( 3x^2 + C \)6. \( 1/x \)7. \( e^e - 1 \)8. \( e - 1 \)三、解答题答案9. \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)10. \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx = x^2 + x \bigg|_{0}^{2} = 4 + 2 = 6 \)11. 令 \( x^2 = 4x \)，解得 \( x = 0 \) 或 \( x = 4 \)，所以交点为 \( (0, 0) \) 和 \( (4, 16) \)。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间（-∞，-1）上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B2. 函数f(x)=x^3-3x的导数为：A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+3答案：A3. 曲线y=x^2+2x+1在点（1，4）处的切线斜率为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B5. 曲线y=e^x与直线y=1所围成的面积为：A. 1B. e-1C. 0D. ∞答案：B6. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为：A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案：6x2. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为______。
答案：1/33. 函数f(x)=ln(x)的反函数为______。
答案：e^x4. 曲线y=cos(x)在x=π/2处的切线方程为______。
答案：x+y=π/2三、计算题（每题10分，共40分）1. 计算定积分∫[0,2] (x^2-2x+1) dx。
答案：∫[0,2] (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0,2] = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/32. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的极值。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9令f'(x) = 0，解得x=1或x=3。
f(1) = -4，f(3) = 1，f(2) = -1。
因此，函数在区间[1,3]上的极大值为1，极小值为-4。
3. 计算曲线y=x^2从x=0到x=1的弧长。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题
郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题合分人： 复查人：一、求下列极限（每小题5分，共20分） 1. ()111limcos 1xx x xe x -→-=--2. ()()21ln 10lim cos x x x +→=3. 01lim cot x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.21cos x t dt →-=二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．设()()()F x x a f x =-，其中()f x 为连续函数，求().F a '2．设函数()x y y =由方程()22y f x y =+确定，其中()f t 具有一阶连续导数，求.dy3．设()ln sin 0,xx y x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭求.y '4．求方程220y y y '''++=的通解.三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1. 411dx x =-⎰2. 2=郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班 姓名_______________学号______________________密 封 线 内 不 要 答 题———————————密———————————————封———————————————线————————————3. 220sin sin 21cos x xdx xπ+=+⎰4. 设()0,ln x f x >=求()22.xf x dx -'⎰5.()2111ln dx x x +∞=+⎰四．求解下列各题（共10分）讨论方程12x xe e-=的根的个数.五．设()f x 有连续导数，且()()()2220x f x xt f t dt x '=-+⎰（1），求()f x （共10分）六.求曲线ln y x =与与x 轴及直线x e =所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）———————————密———————————————封———————————————线————————————密 封 线 内 不 要 答 题郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题 2008-2009学年第一学期期末参考答案一、（每小题5分，共20分）1．()()()ln 11111111ln lim lim lim cos 1cos 1cos 1x x x x x x x x x x e x x e x e x e x ---→→→---==------ ()11l n 1l i m 1s i n 1x x x e x -→--==-+- .()()()()22cos 111ln 1cos 1ln 1002.lim cos lim 1cos 1x x x x x x x x -+-+→→⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭()2cos 11ln 12.x x e e --+==其中，()2200cos 112limlim .2ln 1x x x x x x →→--==-+ 20000111tan tan 3.lim cot lim lim lim tan tan x x x x x x x x x x x x x x x→→→→--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222000s e c 1t a n l i ml i m l i m 0.222x x x x x x x xx →→→-====()220001cos 1cos 124.lim lim .451022x x x x xt dt x x x x →→→→--====++二．（每小题5分，共20分）.1．解：()()()()()()()limlim lim x a x a x a F x F a x a f x F a f x f a x a x a→→→--'====--.2． 解：方程两边同时关于x 求导，得：()()2222.y f x yx y y '''=++ (1)所以， ()()2222212xf x y y yf x y '+'='-+ (2)故 ()()22222.12xf x y dy dx yf x y'+='-+3．解：两边取对数，得：2ln ln .lnsin ln .y x x x =- 上式两边同时关于x 求导，得：11c o s1.l n s i n l n .2.l n .s i n x y x x x y x x x'=+- 所以 11.lnsin ln .cot 2.ln y y x x x x x x ⎡⎤'=+-⎢⎥⎣⎦ln sin 11..lnsin ln .cot 2.ln .xx x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4．解：特征方程为 2220r r ++=，特征根为1r i =-±，故通解为 ()12cos sin .x y e C x C x -=+ 三．（每小题6分，共30分）42222111111111.12112121dx dx dx dx x x x x x⎛⎫=+=+ ⎪--+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 111l n.a r c t a n.412x x C x+=++-22112.x -+==-+11arcsin arcsin arcsin .22x x C x C =++=+另解：令sin ,x t =则cos ,dx tdt =原式22sin 1cos21.cos sin sin2cos 224t t t tdt tdt dt t C t -====-+⎰⎰⎰ 郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班 姓名_______________学号______________________密 封 线 内 不 要 答 题———————————密———————————————封———————————————线————————————11sin .cos arcsin .222t t t C x C =-+=+ 3.222222000sin sin2sin sin21cos 1cos 1cos x x x x dx dx dx xx x πππ+=++++⎰⎰⎰ 其中 ()()22222000sin 1cos arctan cos 1cos 1cos 4|x dx d x x x x ππππ=-=-=++⎰⎰； ()()22222000sin211cos ln 1cos ln2.1cos 1cos |x dx d x x x xπππ=-+=-+=++⎰⎰ 所以，220sin sin 2ln 2.1cos 4x x dx x ππ+=++⎰4.解：因为()()ln 0.f x x > 故()()2,0xf x e x -==>.()()()()22222222|xf x dx xdf x xf x f x dx ----'==-⎰⎰⎰()()()()221122222224.|xx f f e dx e e ee ------=+--=++=⎰5()()()()2211111.ln arctan ln .21ln 1ln |dx d x x x x x π+∞+∞+∞===++⎰⎰ 四．共10分） 解： 令()()1,0,2x f x xe x e-=-∈+∞，则()()1x x x f x e xe x e ---'=-=- 令()0,f x '=得唯一驻点 1.x =因为当(),1x ∈-∞时，()0;f x '>而当()1,x ∈+∞时，()0.f x '< 因此 ()111122f e e e-=-=为函数的最大值. 又()011lim lim ;22x x x f x xe e e++-→→⎛⎫=-=⎪⎝⎭ ()11111l i m l i m l i m l i m .2222x x x x x x x x x f x e e e ee e e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭ 综合以上信息可以画出函数()12x y f x xe e-==-之草图. 从图易见方程12x xe e-=恰有两根. 五．（共10分）解：由（1）式显然得()00.f =()()()2220x xf x x f t dt t f t dt x ''=-+⎰⎰ (2)(2)式两边关于x 求导，得 ()()()()2222xf x xf t dt x f x x f x x ⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦⎰即 ()()022xf x x f t dt x ''=+⎰即()()22f x xf x x '=+ ，也就是 ()()22f x xf x x '-= （3）此为一阶线性微分方程，故其通解为()()222222xdx xdx x x f x e xe dx C f x e xe dx C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2221x x x e eC C e -⎡⎤=-+=-⎣⎦（4） 将()00.f =代入（4）式，得1C =，所以()21x f x e =-.六.（10分）解：（一） 22111ln ln 2ln |ee e x V xdx x x xdx ππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()1112ln 2.ln 12212.|ee ee xdx e x x dx e e e e πππππππ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦=-+-=-⎰⎰ （二）2211112ln 2ln 2.ln 222|eee e y x x x V x xdx xd x dx πππ⎛⎫⎡⎤===- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()22222111.222|e x e e e e πππππ=-=--=+———————————密———————————————封———————————————线————————————密 封 线 内 不 要 答 题。
2012级郑州大学高等数学(下)(A)卷及其参考答案
2012~2013年第二学期《微积分》期末考试试卷（A 卷）及其参考答案（985）一、解答题（每题5分，共 301.设xyez arctan=，求dz2.求曲面22y x z +=在点()5,2,1处的切平面方程.3.设金属板上电压分布为22450y x V --=，问在点()2,1-处（1）沿哪个方向电压升高最快？速率是多少？（2）沿哪个方向电压降低最快？速率是多少？（3）沿哪个方向电压变化率为零？ 4.求二重积分dxdy xxD⎰⎰sin ，其中D 是由直线x y =和抛物线2x y =所围成的区域. 5.有某物质分布在圆锥螺线()π20,sin ,cos ≤≤===t t z t t y t t x 上，其分布密度为()z z y x =,,μ，求这种物质的总质量. .6.计算⎰Γ++xdz zdy ydx ，其中Γ为曲线()π20,sin ,cos ≤≤===t bt z t a y t a x上按t 1.()()ny mx y x nm++≈++1112.设 (),y x F ()1,0的某邻域内是否都存在唯一的函数()x y y =)00y =.3.求三重积分Ω由球面4222=++z y x 的上半球面与抛物面z y x 322=+围成的区域. 4.计算曲面积分()d S z y x⎰⎰∑++222，其中∑是球面z z y x 2222=++围成的区域5.计算()dydz x S⎰⎰+12，其中S 是由xoy 平面上的曲线x y =()10≤≤x 绕x 轴一周所得曲面的外侧.三、解答题（每题7分，共21分）1．已知制造商的生产函数（生产量）是()4143100,y x y x f =，其中x 表示劳动力数量，y 为资本数量（y 个单位资本）.每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元.该制造商的总预算是50000元.问他该如何分配这笔钱雇佣劳力与资本，以使生产量最大？ 2．积分⎰+-Ly x xdy ydx 22是否在任何区域内都与积分路径无关？求⎰+-=L yx xdyydx I 22，其中L 沿曲线x y cos =上从点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πA 到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的曲线段.3．（1）将()ππ≤≤-x x x 0632展成余弦级数； （2）求下面级数之和：()...1 (31)2112122+-+-+--n n（3四、（每题满分9分）设()t x u ,22222xu a t u ∂∂=∂∂（1）作代换，证明弦振动方程22222x u a t u ∂∂=∂∂可以化为 （2来.五、（每题满分10分）设V 为空间中的有界闭区域，其边界曲面S 为光滑曲面，{}γβαcos ,cos ,cos =为S 的单位外法线向量，()z y x u u ,,=在V 内有二阶连续偏导数，在V 上连续，并且满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ① （1；（2）证明 dV z u y u x u dS n V S ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂222； （3）若()z y x u u ,,=在S 上恒为零，证明()z y x u u ,,=在V 内也恒为零.答案 一1、解：xyxye y x y x y x y exz arctan 2222arctan 11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ xyxye y x x x x y e yz arctan 222arctan 111+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂所以 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=.22arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∂∂y x ydx xdy e x z xy2、【解】令()22,,y x z z y x F --=.则{}(){}(){}1,4,21,2,2,,||5,2,1`5,2,1--=--='''=y x F F F z y x .(.2--x ，即 0542=++--z y x3、【解】（1}y x 8,2-，(){}16,2|2,1-=-gradV ，所以沿{}16,2-=()26016222=+-；（2）沿=()26016222=-+；（3）沿与()|2,1-gradV 垂直的方向，即沿{}2,16±方向的电压变化率为零.4、解dy x x dx dxdy x x x x D⎰⎰⎰⎰=103sin sin ()⎰-=102sin dx x x x x ⎰=10sin xdx ⎰-10sin xdx x 1sin 1-=5、解：()()()1,cos sin ,sin cos ='+='-='t z t t t t y t t t t x ()()()dt t dt t z t y t x ds 22222+='+'+'=所以()()220220222212,,t d t dt t t ds z y x M ++=+==⎰⎰⎰Γππμ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=22423123123220232|ππt6、解：()()()[]dt b t a t a bt t a t a xdz zdy ydx ⎰⎰++-=++Γπ20.cos cos .sin .sin .2πa -=二、1、【证明】令()()()nmy x y x f ++=11,. 则()()()nm x y x m y x f ++='-11,1；()()()111,-++='n m y y x n y x f()y x f x ,'及()y x f y ,'在点()0,0处都是y x ,的二元连续函数，故()y x f ,在点()0,0处可微分，于是，当x 和y 都很小时，有()()()()y f x f f y x f y x 0,00,00,00,0'+'≈-++，即()()ny mx y x n m ++≈++111.2、【解】因为()x y x F x 2,='，()y y x F y 2,='是连续的，且在点()1,0处()0,≠'y x F y .所以在点()1,0的邻域内存在唯一的()x y y =，使得 ()()0,≡x y x F ，且()10=y ，表达式为y 邻域内不存在唯一的()x y y =，使得()()0,≡x y x F 3、z 得 Ω向xoy 面上的投影区域为 3:22≤+y x D xy .所以 ⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 【柱面坐标】⎰⎰⎰-=2243203r r zdz dr r d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3432|32212r r z r π⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=304294dr r r r .41354423|0642ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=r r r【解法二】⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 【切片法】()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≤++=222222242113z y x zy x dxdy zdzdxdy zdz().4134243||21421121322πππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎰⎰z z z dz z z dz z 4、解】记22111:y x z --+=∑（上半球面），22211:y x z ---=∑（下半球面）.1∑和2∑向xoy 坐标面上的投影区域都是1:22≤+y x D xy .并且对1∑和2∑都有d x d yyx d x d y z z dS y x 2222111--='+'+=. 于是(x⎰⎰∑2==+=.8π5、.记S 与1S 1⎰⎰⎰Ω=dxdydz 2【切片法】⎰⎰⎰=xD dydz dx 21()ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰1022dx x .所以 ()()d y d z x d y d zx S S⎰⎰⎰⎰+-=+11212π. 又1:1=x S （前侧）向yoz 坐标面上的投影区域为1:22≤+z y D yz ，故()dydz x S ⎰⎰+112()π41121=+=⎰⎰dydz yz D .所以，().3412πππ-=-=+⎰⎰dydz x S【解法二】旋转曲面的方程为22:z y x S +=，其向yoz 坐标面上的投影区域为1:22≤+z y D yz .()()⎰⎰⎰⎰++-=+yzD Sdydz z ydydz x 221212dz dy yzD ⎰⎰-=2()dz dy z y yzD ⎰⎰+-222⎰⎰-=--=ππθπ2012222r d r r d 三、1、【解法一】这是一个条件极值问题.41y 与函数()y x y x f ln 41ln 4310ln 2,ln ++=()y x f ,ln 在条件050000250150=-+y x 下的极值.令 ()ln 1ln 310ln 2,,+++=y x y x L λ则由((⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=''',,L y x L y x L yxλ .50,250==y x 个，其余的钱用于资本，可使生产量最大.此时，(1671950,250≈f .【解法二】问题等价为求函数()y x f ,4在条件100053=+y x ①下的极值.()()[]y x x x y x y x f5 (105)110,8384⨯==【均值不等式】4845.1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯≤y x x x 48453.1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=y x 【由①】 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=4841000.1051.10451204⨯⨯ 因此有()1617910451,54≈⨯⨯≤y x f . ② 由均值不等式中等号成立的条件知，②中等号成立的条件是 y x 5=. ③将③代入①解得 .50,250==y x所以，当50,250==y x 时，生产量最大，即应该雇佣劳动力250个，其余的钱用于资本，可使生产量最大.此时，()1671950,250=f . 2、【解】（一）显然2222y x y y yx xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂()0,0O 外处成立.因此当区域D 不通过也不包围原点D 内与路径无关；而当区域D 通过或包围原点()0,0O . （二）因为含在某个不通过也不包围原点()0,0O 的区域D 内，故⎰改选取沿上半圆周2222:⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'πy x L ()0≥y .⎰+Ly x 22⎰'+-=L y x x d y x 22⎰'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L x d yy d x 22π ⎰'-=L x d y y d x 24π.又L '的参数方程为πππ~0:,s i n 2,c o s 2:t t y t x L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='.所以dt t t t t y x xdy ydx L⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-ππππππ222cos 2.cos 2sin 2.sin 24ππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dt 02244. 3、【解】（1）对()()ππ≤≤-=x x x x f 0632进行偶延拓及周期延拓.,...)2,1(0==n b n ；()()()2023204326322|πππππππππ-=-=-==⎰⎰x x dx x x dx x f a ；()()⎰⎰-==πππππ02cos 632cos 2nxdx x x nxdx x f a n()()⎰-=πππ02sin 632nx d x x n ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎰πππππ002sin 66|sin 632nxdx x nx x x n ()()⎰-=πππ02cos 12nx d x n ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰ππππ002cos cos 12|nxdx nx x n212n=,...)2,1(=n所以，()ππ≤≤-x x x 0632的余弦级数为nx3，()π≤≤x 0. ① （2 )π- 即∑∞=-=-122112n nnπ()∑∞=---=121112n n n所以有()...1 (31)2112122+-+-+--n n ().1212121π=-=∑∞=-n n n （2）（3）从②式可见，第二问的结果可以用来求π的近似值.四【解】（1）因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u 1.1...；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηξηξηηξξu u a a ua u t u t u t u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ....22222222 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂t t u u a t uηξ22⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=t u t u a ηηξξξ..222 ()⎢⎣⎡ ⎝⎛∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂+∂∂=a u a u a u a ...2222ξηηξξ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=2222222ηηξξu u u a . ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂2222222ηηξξu u u a . ④ ⑤（2 02=∂∂∂ηξu故得到()⎰⎰==∂∂∂=∂∂ξϕηηηξξd d uu 02. ⑥其中()ξϕ为任意函数。
数学微积分考试题目及答案
数学微积分考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数是：A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 - 3xC. 6x^2 + 3xD. 6x^2 - 3x + 1答案：A2. 曲线y = x^2 + 2x在点(1, 3)处的切线斜率是：A. 4B. 2C. 3D. 1答案：C3. 函数f(x) = e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * x + CD. e^x / x + C答案：A4. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 函数f(x) = sin(x)的原函数是：A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. sin(x) + CD. -sin(x) + C答案：B6. 曲线y = ln(x)在x = e处的切线方程是：A. y = x - 1B. y = x + 1C. y = 1/e * x + 1 - 1/eD. y = -1/e * x + 1 + 1/e答案：C7. 函数f(x) = x^3的二阶导数是：A. 3x^2B. 6xC. 6x^2D. 18x答案：B8. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标是：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (3, 0)答案：B9. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. 无法确定答案：B10. 函数f(x) = 1/x的不定积分是：A. ln|x| + CB. ln(x) + CC. 1/x + CD. -ln|x| + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的极小值点是__x = 2__。
2. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在x = 1处的切线斜率为__-1__。
郑州大学历届微积分试题(含答案)
→
→
在(0,+∞)内有定义且有连续的导数，还满足f(1) = 1, 求f(x)
微积分（下）理工共 52 页 第 1 页
十二、 （10 分）
xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2 设f(x, y) = ⎨ x + ( x − y ) 2 ⎪0 , ( x, y ) = (0,0) ⎩ 证明f(x, y)在(0,0)点不连续，但f x (0,0) = f y (0,0) = 0
n==(FxFyFz)=( 2 3, 2 3, 2 3 )
切平面方程 ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 0 四、 （5 分） 设函数 u（x,y） ，v（x,y）由下述方程组 ⎧ xu 2 + yv 2 = 0 ⎨ ⎩ xu − yv = 1
' x
所确定,求偏导数 u x ，v x
x
y
y⎞ ∂z ∂z ⎛ f ⎜ x − y, ⎟, 其中 f 可微，求 , . ∂x ∂y x⎠ ⎝
/
∂z = ∂x
(x )
y
/
x
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ = y ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
x
x
y −1
⎡ / y⎞ y ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x ⎢ f .1 + 1 x⎠ ⎢ ⎝ ⎣
u 2 + 2uv ' u2 , vx = 两端对 x 求导解， u = 2ux + 2vx 2uy + 2vy ∂2z x 五、 （5 分）设函数 z = f ( x, ), 其中f具有连续的二阶偏导数, 求 2 y ∂x
大一高等数学 微积分A
A一．填空题（每小题3分，共15分）1、已知b a ,为常数，2122lim 2=-++∞→x bx ax x ，则=a _________；=b _________.2、=+∞→x x x 31tan 3lim _________.3、若 lim ()1x x ϕ→∞=，则=-∞→)(e lim x x ϕ_________.4、曲线x x y 4933+=的拐点为 _________ .5、函数123)(22-+-=x x x x f 的可去间断点是x =_________.二.单项选择题（每小题3分，共15分）1、以下结论正确的是（ ）.()A 、若n lim x n →∞不存在，lim n n y →∞不存在，则lim ()n n n x y →∞+一定不存在；()B 、若函数处间断，在点间断，在点00x )( x )(x g x f 则)()(x g x f +在0 x 处间断；()C 、也存在存在，则若 )(lim )( lim 00x f x f x x x x →→ ()D 、函数)(x f 在点0x 处可微, 则函数f(x) 在点0x 处连续； .2、 若()f x 的导函数是x arcsin ，则()f x 有一个原函数为 ( ).()A 、21arcsin 2+-+x x x ； ()B 、11arcsin 2+--x x x ；()C 、2121arcsin 2+-+x x x ； ()D 、3121arcsin 2+--x x x .3、设b x x x f -+-=1)ln()(2，则=dy （ ）.()A 、dx b x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-12112； ()B 、dx x x x221--；()C 、dx b x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--111212； ()D 、221x x x--.4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos t y t x 在2π=t 处的切线方程为（ ）.()A 、02224=--x y ； ()B 、02224=++x y ；()C 、02224=-+x y ； ()D 、02224=+-x y .5、()=→x x x 2sin 34lim 330__________________．(A)、124 (B)、83 (C)、13 (D)、16三．是非判断题（每小题2分，共10分）1、若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续. ( )2、广义积分⎰+∞131dx x收敛. ( )3、若0x 是可导函数)(x f 的一个极大值点,则必有0)(0='x f . ( )4、设函数)(x f 在0x 点可导，导数为)(0x f '，则)(2)()2(lim 0000x f x x f x x f x '=∆-∆+→∆.（ ）5、设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有二阶导数,如果在(,)a b 内"()0>f x ,则曲 线在(,)a b内是（向上）凸的.（ ）四．计算题（每小题6分，第6、7、8小题任选两题，共42分）1、计算13)1232(lim +∞→++x x x x .2、求由参数方程⎩⎨⎧==t a y t a x 33sin cos 所确定的函数y 的二阶导数22dx yd .3、试求由方程e e yx y =+2所确定的隐函数y 的一阶导数.4、计算()2)tan(lim b x dtb t xbb x --⎰→.5、已知)(u f 有二阶连续的导数，求⎰''dx e f e x x )(24.6、计算⎰+dx x x )2(1.7、计算⎰-dx x x 229.8、计算21dx x ⎰.五．应用题（10分）由曲线22+=x y 、直线010,,y x x ===所围平面图形D ，用定积分求（1）平面图形D 的面积（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六．证明题（8分） 当0x >时, ()xx x 212arctan )21ln(+>+.。
微积分试卷及答案4套
微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。
2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。
3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。
4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。
5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。
6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。
7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。
8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。
9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。
二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。
2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
郑州大学2005级微积分考试试题A
郑州大学2005级（上）理工科专业微积分试题（A卷）
分数评卷人一、求极限：（每题 5 分，共20 分）
1．
2.
3．
4.
分数评卷人二、求导数或微分：（每题 5 分，共20 分）
1．
2．设
3.设y=y(x)由方程所确定，求y’(0)
4．
分数评卷人三、求下列积分：（每题 6 分，共30 分）
1．
2．
3.
4.
5.求
分数评卷人四、[本题10分] 设x 为实数，
的
单调性，凹凸性，奇偶性。
分数评卷人五、[本题12分]
在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面积为
，求
1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
分数评卷人六、[本题8分] 设函数f(x)满足f ”(x) –f(x)=0 且曲
线y=f(x) 在原点外与直线y=x相切，求f(x).
郑州大学2005级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案
一．求下列极限
1．
解：
2．
解：
3．
解：
4．
解：
二．求下列函数的导数或微分1．，求解：
2．，求
解：两边取对数
上式两边关于求导，得：
所以，，
3．设函数由方程确定，求
解：方程两边同时关于求导，得：
所以，
故
4．设求
解：
三．求下列积分
1．
解：
2．
解：
3．
解：
4．已知是的一个原函数，求解：
5．
解：
四．设。
（1）研究的单调性及上（下）凸性；
（2）研究的奇、偶性。
解：（一） 1．因为，所以，在内单增；
2．又因为故
（1）当时，在内是下凸的；
（2）当时，在内是上凸的。
（二）故为奇函数。
五．在曲线上点M处作一切线使其与曲线及x轴所围平面图形面
积为，求
1.切点M的坐标及过切点M的切线方程。
2.上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：（一）设切点为，则切线方程为，
即。
所以，解得：
于是，切点为，切线方程为
（二）切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为
六．求微分方程在初始条件下的特解。
解：（一）微分方程的特征方程为其特征根为
故方程通解为
（二）代入初始条件后，得：
，解得
故原微分方程的特解为：。