名师伴你行高考数学理二轮复习课件：选41 几何证明选讲
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【与名师对话】高考数学总复习 几何证明选讲课件 文 新人教A版选修4-1
杆塔拆除作业的防控措施随着城市建设和电力行业的发展，杆塔拆除作业已成为必要的工作环节。
然而，在进行杆塔拆除作业时，需要采取一系列的防控措施，以保障作业人员及周围环境的安全。
本文将从人员培训、设备选用、施工方案制定等方面，详细介绍杆塔拆除作业的防控措施。
首先，人员培训是保障安全的首要步骤。
对于从事杆塔拆除作业的人员，应进行专业培训，了解拆除作业的流程、安全注意事项等。
培训内容包括但不限于熟悉有关法律法规、掌握杆塔结构特点、学习拆除作业的操作步骤及常见风险等。
通过系统的培训，能够提高作业人员的安全意识和应变能力，减少作业中的安全风险。
其次，设备选用也是防控措施的重要一环。
在杆塔拆除作业中，应优先选择符合安全标准且性能可靠的设备。
如使用高空作业车进行拆除作业，应确保车辆的稳定性和高空作业设备的可靠性；如果需要使用机械工具进行切割，需要确保切割工具的质量和使用寿命，并配备防护设施以防止火花飞溅等安全问题。
设备的选用不仅要满足作业需求，更要兼顾作业安全的需要。
此外，制定合理的施工方案也是保证作业安全的重要环节。
在制定施工方案时，应充分考虑拆除作业的特点，包括杆塔的高度、材质、周围环境等因素，以及作业人员的实际情况。
具体包括设定作业范围、提前规划作业路线、制定安全操作流程等。
合理的施工方案不仅有助于增强作业的可控性，更能为作业人员提供具体的操作指导，减少操作风险。
同时，安全防护也是杆塔拆除作业不可或缺的一环。
在作业现场，应设置明显的安全警示标志，警示过往行人及车辆注意安全。
员工应佩戴符合标准的安全防护用品，如头盔、防滑鞋、防护服等。
特别是在高空作业时，还需要设置安全防护网、安全绳索等，以防止因不慎摔落造成人员伤害。
安全防护的措施不仅要全面，更要严密，确保作业过程中无人员伤亡和事故发生。
最后，定期检查和维护设备也是杆塔拆除作业的防控措施之一。
定期对所使用的设备进行检查，发现问题及时修理或更换，确保设备的正常运行。
高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题八 第1讲 选修4-1 几何证明选讲(共39张PPT)
2 π
从近几年的高考情况看,本部分内容主要有两大考点,一是会证 明并应用圆周角定理、 圆的切线的判定定理及其性质定理;二是会证 明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割 线定理等.在高考中常以圆为背景,结合相似三角形的有关知识,主要 考查最基本、最重要的内容,试题多以填空题、解答题的形式呈现, 试题难度属中低档. 预计在今后高考中,几何证明选讲主要考查最基本、 最重要的内 容,如相似三角形,圆的切线、弦切角,圆内接四边形的性质与判定, 与圆有关的比例线段等,试题难度中等.另外,对平行线等分线段定理 及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理 等内容的考查,也应引起足够的重视.
������������
∴在 Rt△ABC 中,tan∠ABC=������������ =3.
������������ 5 ������������
(2)由切割线定理,得 PA2=PB·PC, 即 PA2=PB(PB+BC). 又 PA=15,PB=5,∴BC=40. 设 AB=x,则 AC=3x. 由勾股定理,AC2+AB2=BC2,即 x2+(3x)2=402,得 x=4 10(舍去负 根). 连接 BD,在△PAB 和△ADB 中, ∠PAB=∠D,∠P=∠BAD, ������������ ������������ ∴△PAB∽△ADB.∴������������ = ������������ , ∴AD=
9 1
3.(2013·广东,理 15)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC= 2 3 .
解析:连接 OC.∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥BC.又 BC=CD,∴ AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.
从近几年的高考情况看,本部分内容主要有两大考点,一是会证 明并应用圆周角定理、 圆的切线的判定定理及其性质定理;二是会证 明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割 线定理等.在高考中常以圆为背景,结合相似三角形的有关知识,主要 考查最基本、最重要的内容,试题多以填空题、解答题的形式呈现, 试题难度属中低档. 预计在今后高考中,几何证明选讲主要考查最基本、 最重要的内 容,如相似三角形,圆的切线、弦切角,圆内接四边形的性质与判定, 与圆有关的比例线段等,试题难度中等.另外,对平行线等分线段定理 及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理 等内容的考查,也应引起足够的重视.
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∴在 Rt△ABC 中,tan∠ABC=������������ =3.
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(2)由切割线定理,得 PA2=PB·PC, 即 PA2=PB(PB+BC). 又 PA=15,PB=5,∴BC=40. 设 AB=x,则 AC=3x. 由勾股定理,AC2+AB2=BC2,即 x2+(3x)2=402,得 x=4 10(舍去负 根). 连接 BD,在△PAB 和△ADB 中, ∠PAB=∠D,∠P=∠BAD, ������������ ������������ ∴△PAB∽△ADB.∴������������ = ������������ , ∴AD=
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3.(2013·广东,理 15)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC= 2 3 .
解析:连接 OC.∵AB 为圆 O 的直径,∴AC⊥BC.又 BC=CD,∴ AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第一讲 几何证明选讲(选修4-1)
(1)若ECCB＝13，EDDA＝1，求DABC的值； (2)若 EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.
高考专题辅导与测试·数学
第二十三页，编辑于星期五：十点 二分。
创新方案系列丛书
解：(1)∵A，B，C，D 四点共圆，
∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB 为公共角，
∴△ECD∽△EAB，
∴DABC＝EECA＝EEDB，
高考专题辅导与测试·数学
第十八页，编辑于星期五：十点 二分。
创新方案系列丛书
热点一 相似三角形的判定与性质的应用 [例 1] (2014·东北三校联考) 如图，PA，PB 是圆 O 的两条切线，A，B 是切点，C 是劣弧 AB(不 包括端点)上一点，直线 PC 交圆 O 于另一点 D，Q 在弦 CD 上，且 ∠DAQ＝∠PBC.求证： (1)BADD＝BACC； (2)△ADQ∽△DBQ.
高考专题辅导与测试·数学
第十九页研] (1)因为△PBC∽△PDB， 所以BBDC＝PPDB，同理AADC＝PPAD. 又因为 PA＝PB， 所以BBDC＝AADC，即BADD＝BACC.
高考专题辅导与测试·数学
第二十页，编辑于星期五：十点 二分。
创新方案系列丛书
(2)连接 AB.因为∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ， 所以△ABC∽△ADQ， 即BACC＝DAQQ， 故BADD＝DAQQ， 又因为∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ， 所以△ADQ∽△DBQ.
高考专题辅导与测试·数学
第二十一页，编辑于星期五：十点 二分。
创新方案系列丛书
判定两个三角形相似的四种常用方法 (1)两角对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)相似三角形的定义．
高考专题辅导与测试·数学
第二十三页，编辑于星期五：十点 二分。
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解：(1)∵A，B，C，D 四点共圆，
∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB 为公共角，
∴△ECD∽△EAB，
∴DABC＝EECA＝EEDB，
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第十八页，编辑于星期五：十点 二分。
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热点一 相似三角形的判定与性质的应用 [例 1] (2014·东北三校联考) 如图，PA，PB 是圆 O 的两条切线，A，B 是切点，C 是劣弧 AB(不 包括端点)上一点，直线 PC 交圆 O 于另一点 D，Q 在弦 CD 上，且 ∠DAQ＝∠PBC.求证： (1)BADD＝BACC； (2)△ADQ∽△DBQ.
高考专题辅导与测试·数学
第十九页研] (1)因为△PBC∽△PDB， 所以BBDC＝PPDB，同理AADC＝PPAD. 又因为 PA＝PB， 所以BBDC＝AADC，即BADD＝BACC.
高考专题辅导与测试·数学
第二十页，编辑于星期五：十点 二分。
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(2)连接 AB.因为∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ，∠ABC＝∠ADQ， 所以△ABC∽△ADQ， 即BACC＝DAQQ， 故BADD＝DAQQ， 又因为∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ， 所以△ADQ∽△DBQ.
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第二十一页，编辑于星期五：十点 二分。
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判定两个三角形相似的四种常用方法 (1)两角对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (3)三边对应成比例，两三角形相似； (4)相似三角形的定义．
2012届二轮复习4-28几何证明选讲选修4161张
(3)相似三角形的性质 ①相似三角形的性质(一) (ⅰ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比． (ⅱ)相似三角形周长的比等于相似比． (ⅲ)相似三角形面积的比等于相似比的平方． ②相似三角形的性质(二)
高中数学二轮复习课件
(ⅰ)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比． (ⅱ)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 4．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1：圆内接四边形的对角互补． ②定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对 角．
高中数学二轮复习课件
(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个 四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
BD
(1)PA2 ＝
PA 切⊙O 于
(1)已知 PA、PB、
PB·PC
A，PBC 是⊙
PC 知二可求一
(2)△PAB
O 的割线
(2)求解 AB、CA ∽△PCA
高中数学二轮复习课件
切线 长定
理
PA、PB 是 (1)PA＝PB (1) 证 线 段 相
⊙ O 的 切 (2) ∠ OPA ＝ 等，与圆有关的比例线段
定理 名称
基本 图形
条件
结论
应用
相交 弦定
理
(1)PA·PB ＝ (1)在 PA、PB、 弦 AB、CD
PC·PD
PC、PD 四线段
相交于圆
(2) △ ACP ∽ 中知三求一
内点 P △BDP
(2)求弦长及角
高中数学二轮复习课件
高中数学二轮复习课件
(ⅰ)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比． (ⅱ)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 4．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1：圆内接四边形的对角互补． ②定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对 角．
高中数学二轮复习课件
(2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个 四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
BD
(1)PA2 ＝
PA 切⊙O 于
(1)已知 PA、PB、
PB·PC
A，PBC 是⊙
PC 知二可求一
(2)△PAB
O 的割线
(2)求解 AB、CA ∽△PCA
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切线 长定
理
PA、PB 是 (1)PA＝PB (1) 证 线 段 相
⊙ O 的 切 (2) ∠ OPA ＝ 等，与圆有关的比例线段
定理 名称
基本 图形
条件
结论
应用
相交 弦定
理
(1)PA·PB ＝ (1)在 PA、PB、 弦 AB、CD
PC·PD
PC、PD 四线段
相交于圆
(2) △ ACP ∽ 中知三求一
内点 P △BDP
(2)求弦长及角
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高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
高考数学总复习 第1讲 几何证明选讲课件 理 新人教A版选修41
第十六页，共44页。
已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC ＝6，DB＝5，则AD的长为________.
第十七页，共44页。
1. 相等 也相等 平分第三边 平分另一腰 成比例 成 比例
想一想：提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两 边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 (píngxíng)于三角形的第三条边．该命题正确．
[ 证 明 ] (1) 因 为 D ， E 分 别 为 AB ， AC 的 中 点 ， 所 以 DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行(píngxíng)四边 形， 所以 CF＝ BD ＝AD.而CF∥AD， 连接 AF，所以四边形 ADCF是平行(píngxíng)四边形，故CD ＝AF.
第三十二页，共44页。
例3 [2013·东城区模拟] 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证： ABCC33＝ABEF.
[审题视点] 由三角形ABC为直角三角形，因此可以利用 射影定理，寻找边AC与AD、AB之间的关系，同理可以得到边 BC 与 BD 、 AB 之 间 的 关 系 ， 再 根 据 △ ADE∽△DBF ， △ADE∽△ABC，得到有关比例式，最终得到所求证(qiúzhèng) 的结果．
选修4－1 几何(jǐ hé)证明选讲
第一页，共44页。
第1讲 相似三角形的判定及有关性质
第二页，共44页。
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解平行线分线段成比例定理． 2. 会证明、应用(yìngyòng)直角三角形射影定理.
第三页，共44页。
1个重要应用 射影定理的两个条件(tiáojiàn)：一是直角三角形；二是斜边 上的高，二者缺一不可；应用射影定理可求直角三角形的边 长、面积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问 题．
已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC ＝6，DB＝5，则AD的长为________.
第十七页，共44页。
1. 相等 也相等 平分第三边 平分另一腰 成比例 成 比例
想一想：提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两 边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 (píngxíng)于三角形的第三条边．该命题正确．
[ 证 明 ] (1) 因 为 D ， E 分 别 为 AB ， AC 的 中 点 ， 所 以 DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行(píngxíng)四边 形， 所以 CF＝ BD ＝AD.而CF∥AD， 连接 AF，所以四边形 ADCF是平行(píngxíng)四边形，故CD ＝AF.
第三十二页，共44页。
例3 [2013·东城区模拟] 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证： ABCC33＝ABEF.
[审题视点] 由三角形ABC为直角三角形，因此可以利用 射影定理，寻找边AC与AD、AB之间的关系，同理可以得到边 BC 与 BD 、 AB 之 间 的 关 系 ， 再 根 据 △ ADE∽△DBF ， △ADE∽△ABC，得到有关比例式，最终得到所求证(qiúzhèng) 的结果．
选修4－1 几何(jǐ hé)证明选讲
第一页，共44页。
第1讲 相似三角形的判定及有关性质
第二页，共44页。
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解平行线分线段成比例定理． 2. 会证明、应用(yìngyòng)直角三角形射影定理.
第三页，共44页。
1个重要应用 射影定理的两个条件(tiáojiàn)：一是直角三角形；二是斜边 上的高，二者缺一不可；应用射影定理可求直角三角形的边 长、面积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问 题．
高考数学专题辅导与训练配套课件选修4-1几何证明选讲(湖北专供-数学理)
选修4-1 几何证明选讲
【考情快报】 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：
1.小题以填空题的形式考查，主要利用相似三角形的判定
及有关性质、直角三角形的射影定理、直线与圆的位置关系， 考查三角形或圆中的线段长度的求解，属于基础性题目，难度 不大；
2.解答题主要考查利用三角形相似或圆中的切割线定理证
PC·PD PA·PB=_______；
(2)割线定理：如图12,PAB，PCD是⊙O的两条割线,那么 PC·PD PA·PB=_______；
(3)切割线定理：如图13,PA是⊙O一条切线，PCD是⊙O的一条 PC·PD ； 割线,那么PA2=_______
(4)切线长定理：如图14，PA，PC是⊙O的两条切线，那么 PC ，∠APO=______. ∠CPO PA=___
4.射影定理
AD·BD 如图7,在Rt△ABC中，CD⊥AB,那么CD2=_______,
2=_______. AD·AB BD·AB AC2=_______,BC
提醒：射影定理是根据三角形相似得到的.
5.圆周角定理 (1)圆周角定理：如图8中,∠BAC= 1 ∠BOC; 2 ____
等于 它所对弧的度数. (2)圆心角定理：圆心角的度数_____
明比例线段或角度与长度的求解问题，总体难度不大，属于中
档题.但要注意理解并熟记三角形或圆中的常用结论，在证明 步骤上要完整、严谨.
【核心自查】 一、主干构建
相似三角形的判定及有关性质
二、概念理解
1.相似三角形的定义
相等 ，对应边_______ 成比例 的两个三角形叫做相似三角形. 对应角_____
此时BM=CM且EM+CM的值最小.过E作EF⊥CD，垂足为F.由 △CEF∽△CAD得，EF= 2 3， CF=2,所以BF=4,在直角三角形 BEF中，由勾股定理得，BE BF2 EF2 42 (2 3)2
【考情快报】 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：
1.小题以填空题的形式考查，主要利用相似三角形的判定
及有关性质、直角三角形的射影定理、直线与圆的位置关系， 考查三角形或圆中的线段长度的求解，属于基础性题目，难度 不大；
2.解答题主要考查利用三角形相似或圆中的切割线定理证
PC·PD PA·PB=_______；
(2)割线定理：如图12,PAB，PCD是⊙O的两条割线,那么 PC·PD PA·PB=_______；
(3)切割线定理：如图13,PA是⊙O一条切线，PCD是⊙O的一条 PC·PD ； 割线,那么PA2=_______
(4)切线长定理：如图14，PA，PC是⊙O的两条切线，那么 PC ，∠APO=______. ∠CPO PA=___
4.射影定理
AD·BD 如图7,在Rt△ABC中，CD⊥AB,那么CD2=_______,
2=_______. AD·AB BD·AB AC2=_______,BC
提醒：射影定理是根据三角形相似得到的.
5.圆周角定理 (1)圆周角定理：如图8中,∠BAC= 1 ∠BOC; 2 ____
等于 它所对弧的度数. (2)圆心角定理：圆心角的度数_____
明比例线段或角度与长度的求解问题，总体难度不大，属于中
档题.但要注意理解并熟记三角形或圆中的常用结论，在证明 步骤上要完整、严谨.
【核心自查】 一、主干构建
相似三角形的判定及有关性质
二、概念理解
1.相似三角形的定义
相等 ，对应边_______ 成比例 的两个三角形叫做相似三角形. 对应角_____
此时BM=CM且EM+CM的值最小.过E作EF⊥CD，垂足为F.由 △CEF∽△CAD得，EF= 2 3， CF=2,所以BF=4,在直角三角形 BEF中，由勾股定理得，BE BF2 EF2 42 (2 3)2
高三数学二轮复习课件几何证明选讲
• (7)相似三角形的判定定理：如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两 角对应相等，两三角形相似)；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角 相等，两个三角形相似)；如果一个三角形 的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三 边对应成比例，两个三角形相似)．
• 1．了解平行截割定理，会证明并应用直 角三角形射影定理；
• 2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线 的判定定理及性质定理；
• 3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性 质定理及判定定理、切割线定理，并会应 用相交弦定理；
• 4．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定 义．
• 几何证明选讲是选考内容，也是新课标新 增的内容，从各地高考试题看，几年来， 这部分的考查题型，大题、小题都有，但 难度不大，从能力要求上来看，主要考查 学生的读图、识图能力，分析问题和解决 问题的能力．
• (3)经过三角形一边的中点与另一边平行的 直线必经过三角形第三边的中点．
• (4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的 直线必经过梯形另一腰的中点．
• (5)平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比 例．
• (6)相似三角形的性质定理：相似三角形的 对应角相等．相似三角形的对应边成比 例．相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比都等于相似比；相 似三角形周长的比、外接圆的直径比、外 接圆的周长比都等于相似比；相似三角形 面积的比、外接圆的面积比都等于相似比 的平方．
• (2011·广东文，15)如右图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分 别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB， 则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ________．
【与名师对话】高考数学总复习 几何证明选讲课件 理 新人教A版选修4-1
似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系 数)． 判定定理1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的 两个角 对应相等，那么这两个三角 形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应 成比例 ，并且夹角相等，那 且夹角相
【证明】 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE ∥BC. 又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF ＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以ADCF是平行四边形， 故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF， 所以GB＝BD. 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD.
(4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角 ．
问题探究3：直线与圆的位置关系中，有哪些常见添加辅 助线的方法？
提示：若证明直线与圆相切，则连接直线与圆的公共点 和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角， 利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．
切线 ．
8．弦切角的性质 定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 9．与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条 线段长的 积 相等． (2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的 积 相等． ．
(3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长 是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项 ．
对应线段 成比例．
问题探究1：平行线分线段成比例定理推论的逆命题正确吗？
高考数学二轮复习 专题 几何证明选讲课件 文(选修41)
பைடு நூலகம்
(2)相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的 比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是 这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高 是两直角边在斜边上射影的比例中项. 2.(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
所以AACB＝PPAC＝12.
答案
1 2
4.(2015·广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O 的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交 EC和AC于点D和点P，则OD＝________.
解析 如图所示，连接 OC，因为 OD∥BC，又 BC⊥AC，所以 OP⊥AC.又 O 为 AB 线段的中点，所以 OP＝12BC＝12.在 Rt△OCD 中，OC＝12AB＝2，由直角三角形的射影定理可得 OC2＝OP·OD，即 OD＝OOCP2＝212＝8，故应填 8.
热点一 三角形相似的判定及应用 [微题型1] 利用弦切角定理证明三角形相似
︵︵ 【例 1－1】如图，已知圆上的弧AC＝BD，过 C 点的圆的切线与
BA 的延长线交于 E 点. 证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD.
证明 (1)因为A︵C＝B︵D，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故BBCE＝CBDC，即 BC2＝BE·CD. 探究提高 在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解 题思路，如果涉及弦切角，则需考虑弦切角定理.
(2)相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的 比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是 这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高 是两直角边在斜边上射影的比例中项. 2.(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
所以AACB＝PPAC＝12.
答案
1 2
4.(2015·广东卷)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O 的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交 EC和AC于点D和点P，则OD＝________.
解析 如图所示，连接 OC，因为 OD∥BC，又 BC⊥AC，所以 OP⊥AC.又 O 为 AB 线段的中点，所以 OP＝12BC＝12.在 Rt△OCD 中，OC＝12AB＝2，由直角三角形的射影定理可得 OC2＝OP·OD，即 OD＝OOCP2＝212＝8，故应填 8.
热点一 三角形相似的判定及应用 [微题型1] 利用弦切角定理证明三角形相似
︵︵ 【例 1－1】如图，已知圆上的弧AC＝BD，过 C 点的圆的切线与
BA 的延长线交于 E 点. 证明：(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD.
证明 (1)因为A︵C＝B︵D，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故BBCE＝CBDC，即 BC2＝BE·CD. 探究提高 在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解 题思路，如果涉及弦切角，则需考虑弦切角定理.
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点
评 估
考 向
(3)利用等积式来证明有关线段相等．
突
破
选修部分 选修4-1
第21页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
[变式训练]
主
干
知
识
梳
理
专
如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C
题 验
收
热 点
两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于
评 估
考
向 突
干 知
(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条
识
梳 半径的直线是圆的切线．
理
专
(2)圆的切线的性质定理：
题 验
收
热
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
点
评 估
考 向
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
突
破
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
第17页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
考向二 圆的切割线定理
主
干 知
[典例2] (2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交
识
梳 ⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
理
专
题
验
收
热 点
评 估
考
向
突
破
(1)证明：∠CBD＝∠DBA；
(2)若AD＝3DC，BC＝ 2，求⊙O的直径．
知
识 梳
圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，
理
作弦AB垂直EP，垂足为F.
专 题
验
收
热 点
评 估
考
向
突
破
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
选修部分 选修4-1
第25页
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[规范解答] 证明：(1)因为PD＝PG，
评 估
考
向 突
所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
破
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE
为直角．
于是ED为直径，由(1)得ED＝AB.
选修部分 选修4-1
第27页
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规律方法
主 干
这类试题往往要综合运用多个定理并添加一定的辅助线才
知
识 梳
能解决，在解题时要注意总结添加辅助线的方法技巧，如已知
解：(1)证明：∵AD∥BC，
主
干 知
∴AB＝CD，∠EDC＝∠ABC＝∠BCD.
识
梳 理
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
专
∴△CDE∽△BCD.
题 验
收
热 点 考
∴DBCC＝DDCE.
评 估
向
突 破
∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.
选修部分 选修4-1
第16页
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识
梳 中，相等的圆周角所对的弧也相等；②半圆(或直径)所对的圆周
理
专
角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
题 验
收
热 点
4.圆内接四边形的判定与性质定理
评 估
考 向
(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边
突
破 形的四个顶点共圆．
选修部分 选修4-1
第7页
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识
梳 定理．
理
专
(1)证明三角形相似，往往可以转化为证明角相等，而证明
题 验
收
热 角相等的方法有弦切角、圆周角和圆心角等相关结论．
点
评 估
考 向
(2)证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例，而证
突
破 明线段成比例的方法有射影定理、相交弦定理、割线定理和切
割线定理等．
选修部分 选修4-1
第14页
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理
切线时连接切点与圆心；已知圆的直径时连接圆上的点与直径
专 题
验
热 的端点；已知一条线段的中点时构造另外线段的中点等．
点
收 评 估
考
向
突
破
选修部分 选修4-1
第28页
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[变式训练]
主
如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直
干
知 径．
识
梳
理
专
题
验
选修部分 选修4-1
第26页
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(2)如图所示，连接BC，DC.
主
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
干
知 识
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
梳
理
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，
专
题
于是∠DAB＝∠CBA.
验 收
热 点
又因为∠DCB＝∠DAB，
向
突 破
(1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上
射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边
的比例中项．
选修部分 选修4-1
第5页
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(2)射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两
主
干 边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角
收
热 点
评 估
考
向
突 破
(1)求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的值；
(2)若⊙O的半径为
3 2
，AD与EC交于点M，且E，D为
︵ AC
的
三等分点，求MD的长．
选修部分 选修4-1
第29页
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解：(1)连接OB，OD，OE，
主
干
知
识
梳
理
专
题
验
收
热
点 考
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
即AE＝AABD2＝6，
评 估
向
突 破
故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.
选修部分 选修4-1
第20页
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规律方法
主
干 知
相交弦定理、切割线定理及其推论的应用非常广泛，常见
识
梳 如下：
理
专
(1)找过渡乘积式证明等积式成立；
题 验
收
热
(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件；
评 估
考
向
突
破
选修部分 选修4-1
第4页
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(2)性质定理
主 干
①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分
知
识 梳
线的比都等于相似比．
理
②相似三角形周长的比等于相似比．
专 题
验
③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
热 点
收 评 估
考
2.直角三角形的射影定理及逆定理
所以∠CBD＝∠DBA.
突
破
选修部分 选修4-1
第19页
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主
(2)由(1)知BD平分∠CBA，则BBCA＝CADD＝3.又BC＝ 2，从而
干 知
AB＝3 2，
识
梳 理
∴AC＝ AB2－BC2＝4，所以AD＝3.
专
题
由切割线定理得AB2＝AD·AE，
验Hale Waihona Puke 收热 点 考[规范解答] 证明：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠C.
主
干 知
又∵∠C＝∠E，∴∠ABD＝∠E.
识
梳 理
又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.
专
题
验
收
热 点
评 估
考
向
突
破
选修部分 选修4-1
第13页
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规律方法
主
干 知
判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活选择判定
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
主 干
这个四边形的四个顶点共圆．
知
识 梳
(2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四
理
边形的外角等于它的内角的对角．
专 题
验
收
热 点
评 估
考
向
突
破
选修部分 选修4-1
第8页
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5.圆的切线的判定及性质
主
点
验 收 评 估
考 向 突
＝12×13×180°＝30°，
破
所以OM⊥AC.
选修部分 选修4-1
第31页
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主
因为⊙O的半径为 23，即OA＝ 23，
干
知 识 梳 理
所以AM＝cOosAA＝coOs A30°＝1.
专
在Rt△ADC中，
题 验
收
热 点 考
点D和E.
破
(1)求证：AACB＝PPAC；
(2)求AD·AE的值．
选修部分 选修4-1
第22页
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解：(1)证明：∵PA为圆O的切线，