极坐标系及简单的极坐标方程
极坐标系与极坐标方程
极坐标系及极坐标方程一、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条 射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5.极坐标与直角坐标的互化：6.直线的极坐标方程：极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点A(,0)(0)a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=.在极坐标系中，过点0A(,)(0)a a θ>，且垂直于直线OA 的直线l 的极坐标方程是0cos()a ρθθ-=. 在极坐标系中，过点00A(,)ρθ，且与极轴成α角的直线的极坐标方程是00sin()cos()ραθραθ-=-.7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 C(,0)(0)r r >为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 2cos r ρθ=；在极坐标系中，以 C(,)(0)2r r π>为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2rsin ρθ=；在极坐标系中，以 00C(,)ρθ 为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2220002cos()r ρρρρθθ+--=；8.圆锥曲线方程：（1）1cos epe ρθ=-表示离心率为e ，焦点到相应准线距离为p 的圆锥曲线方程。
曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。
在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。
二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。
这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。
2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。
这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。
3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。
4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。
这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。
三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。
例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。
另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。
2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。
四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。
螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。
螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。
极坐标
化为
直角坐标方程. 解
方程变形为 r ( 2 sin 3 cos ) 1 ,
2 r sin 3 r cos 1 ,
2 y 3 x 1.
14
求圆心在(1,0)点,半径为2的圆的极坐标方程. 解 圆心在(1,0)极点,半径为2的圆的直角坐标方程为
( x 1) y 4
§1.3 极 坐 标
一、极坐标系
二、极坐标与直角坐标的互化
三、曲线的极坐标方程
1
一、极坐标系
1. 极坐标系的建立 在平面内取一个定点o，叫做极点, 引一条射线Ox，叫做极轴. 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）. 这样就建立了一个极坐标系.
o
x
2
2. 极坐标
P ( r , )
r2 x2 y2 y tan ( x 0) x
2. 直角坐标方程与极坐标方程与的互化 直角坐标方程化为极坐标方程; 简单的极坐标方程化为直角坐标方程. 3. 简单的极坐标方程会画略图.
26
作业
习题1-3 1. 2. 3 (24页)
27
笛卡儿 (1596～1650)
7 6
.
M ( 2,
7 6
)
9
三、曲线的极坐标方程
定义 如果曲线L上的点与方程 (r,)=0有如下关系 (1) 曲线L上任一点的坐标符合方程 (r,) = 0 ； (2)方程 (r,) =0的所有解为坐标的点都在曲线L上. 则曲线 L 的极坐标方程是 (r,) =0 .
28
华罗庚(1910～1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
简单曲线的极坐标方程 课件
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
极坐标方程表达式
极坐标方程表达式
x = rcos(θ)，y = rsin(θ)，r^2=x^2+y^2 （一般默认r>0），tan(θ)=y/x (x ≠0）。
极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。
通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ±2kπ）或（−r，θ±(2k+ 1)π），这里k是任意整数。
如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。
极坐标系及简单的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标
4 5 例 1 . 已 知 A 、 B 两 点 的 极 坐 标 分 别 为 ( 3 , ) 、 ( 5 , ) , 3 6 求和 A B △的 A O B 面 积 ( 其 中 点 O 为 极 点 ) .
极坐标系及简单 在 △中 A O B ， 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程 解析
4 5 因 为 A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( 3 ， ) 、 ( 5 , ) , 3 6 7 则 A 、 B 两 点 的 坐 标 可 化 为 ( 3 ,) , ( 5 , ) , 3 6 7 5 因 而 O A 、 O B 两 边 长 分 别 为 3 、 5 ， 夹 角 A O B , 6 3 6 2 2 2 所 以 A B O A O B 2 O A O B • c o s A O B
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
5 . 极 坐 标 方 程 分 别 是 c o s 和 s i n 的 2 两 个 圆 的 圆 心 距 是 _ _ _ _ _ . 2 _
解析
1 1 cos是圆心为( ,0)，半径为 的圆； 2 2 1 1 sin是圆心为( , )，半径为 的圆， 2 2 2 2 故两圆的圆心距为 . 2
极坐标系及简单 的极坐标方程
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3.直线与圆的极坐标方程 曲线 位置
成 的 角 为
极坐标方程 直角坐标方程
过 极 点 ， 并 且 与 极 轴 所
y=x ta n ④ _________
极坐标与参数方程
极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)互化公式极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步，根据角θ的正切值tan θ＝(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．[例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得则直线l与圆O公共点的一个极坐标为.[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．[解] (1)ρ2－2ρcos－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设(φ为参数)，则x＋y＝2sin φ＋2cos φ＝2sin，当sin＝1时，x＋y取得最大值2.[全国卷5年真题集中演练]1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.参数方程1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．例：将下列参数方程化为普通方程(θ为参数)．解：∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝.[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝，求线段AB的中点M的坐标；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．[解] (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y2＝1.当α＝时，设点M对应的参数为t0.直线l的方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.则t0＝＝－，所以点M的坐标为.(2)将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sin α＋4cos α)t＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，所以＝7，得tan2α＝.由于Δ＝32cos α(2sin α－cos α)>0，故tan α＝.所以直线l的斜率为.参数方程与极坐标方程的综合问题例．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝，求直线被曲线C截得的弦长．解：(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①曲线C表示以(3,1)为圆心，为半径的圆．将代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ.(2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1，∴圆心C到直线的距离为d＝，∴弦长为2＝.[全国卷5年真题集中演练]1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.所以直线l的斜率为或－.2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，继续阅读。
简单曲线的极坐标方程课件
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
极坐标与极坐标方程
极坐标及极坐标方程的应用1.极坐标概述第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。
他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。
此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。
瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。
J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。
在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法。
有些复杂的曲线用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理，在此基础上解决平面解析几何问题也变的极其简单。
通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用，使我们能够清楚的认识到，用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用直角坐标具有很大的优越性，故本文对其进行了初步探讨。
国内外研究动态，不仅在数学理论方面，很多学者对极坐标以及极坐标方程做了深入探究，而且在如物理、电子、军事等领域，很多学者对极坐标也有较深的研究。
由此看来，极坐标已应用到各个领域。
极坐标系的建立在平面内取一个定点O ，叫作极点，引一条射线OX ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫点M 的极径，θ叫点M 的极角，有序数对()ρθ，就叫点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M ()ρθ，．若点M 在极点，则其极坐标为ρ=0，θ可以取任意值。
#图1-1 图1-2 如图1-2，此时点M 的极坐标可以有两种表示方法： (1) ρ＞0， M ()ρπθ+， (2) ρ＞0， M ()ρθ-， 同理，()()ρθρπθ-+，与，也是同一个点的坐标。
极坐标参数方程万能公式
极坐标参数方程万能公式极坐标与参数方程公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x，x²+y²=ρ²。
坐标系与参数方程公式x=ρcosθ，y=ρsinθtanθ=y/x,x²+y²=ρ²有些曲线的方程在直角坐标里面不太好处理，于是我们把它换在极坐标中处理。
例如经过上面式子的变换：以原点为圆心的圆的方程：ρ=R双曲线，椭圆，抛物线的极坐标统一形式：ρ=eP/（1-ecosθ），P为焦准距，e为离心率。
常见参数方程极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）=ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
圆在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为ρ=2rcos（θ-φ）另：圆心M(ρ',θ')半径r的圆的极坐标方程为:(ρ')²+ρ²-2ρρ'cos(θ-θ')=r²根据余弦定理可推得。
直线经过极点的射线由如下方程表示θ=φ，其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctanm。
任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。
这些在点（r′，φ）处的直线与射线θ=φ垂直，其方程为r′（θ）=r′sec（θ-φ）。
玫瑰线极坐标的玫瑰线是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：r（θ）=acoskθ或r（θ）=asinkθ，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。
如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。
【学海导航】高考数学第一轮总复习(考点盘清+高频考点+真题集训)第62讲 极坐标系及简单的极坐标
四
极坐标方程的应用
解析：因为 ρ＝2sin θ＋4cos θ，即 x2＋y2－2y－4x＝0.
4． 极坐标方程 4sin 2θ＝3 化为直角坐标方程是
.
解析：由 4sin 2θ＝3 知，4ρ2· sin 2θ＝3ρ2， 即 4y2＝3(x2＋y2)，则 y2＝3x2，即 y＝± 3x.
1 S△AOB＝ ρAρB· sin ∠AOB 2 1 5π ＝ ×3×5×sin 2 6 15 ＝ . 4
二
极坐标与直角坐标的互化
【例 2】将下列直角坐标化为极坐标： 5 (1)(0，－ )； 3 (2)(－2，－2 3)； (3)(3， 3)．
ρ＝ x2＋y2 解析：利用公式 y tan θ＝ x≠0 x
x＝ρcos θ 解析：利用公式 转化． y＝ρsin θ
π 3 2 3 2 (1)(3，4)化为( 2 ， 2 )； 2π (2)(2， 3 )化为(－1， 3)； 3 3 (3)( 2 ，π)化为(－ 2 ，0)．
三
极坐标方程与直角坐标方程的互化
π 【例 3】设点 A 的极坐标为(2，6)，直线 l 过点 A 且与极
π 轴所成的角为3，则直线 l 的极坐标方程为______．
π 解析：因为点 A 的极坐标为(2， )， 6 所以点 A 的平面直角坐标为( 3，1)， π 又因为直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ， 3 π 所以直线 l 的方程为 y－1＝(x－ 3)tan ， 3 即 3x－y－2＝0， 所以直线 l 的极坐标方程为 3ρcos θ－ρsin θ－2＝0， π π 4π 可整理为 ρcos(θ＋ )＝1 或 ρsin ( －θ)＝1 或 ρsin(θ－ ) 6 3 3 ＝1.
转化．
极坐标系及简单的极坐标方程
评析：直角坐标方程化为极坐标方程比较 容易，只要运用公式x cos 及y sin 直接代入并化简即可．对方程进行变形时， 方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
素材3. 1曲线的极坐标方程为 cos sin ， 则其直角坐标方程为 ________________． 轨迹为 ______________________________ ； 2 2 已知直线的极坐标方程为 sin( ) ， 4 2 则极点到该直线的距离是 __________ ．
评析：直角坐标与极坐标互化要注意互 化的前提．若要判断曲线的形状，可先 将极坐标方程化为直角坐标方程，再判 断．在直角坐标系中，求曲线的轨迹方 程的方法有直译法，定义法，动点转移 法．在极坐标系中，求曲线的极坐标方 程，这几种方法仍然是适用的．
素材4.在极坐标系中，极点为O，已知 P ( 3，，P2 ( 3， )，曲线C： 2. 0) 1 2 1 求直线P1 P2的极坐标方程；
5.坐标方程4sin 3化为直角坐标
2
方程是
2
.
解析： 由4sin 3知， 4r 2 sin 2 3 2， 即4 y 2 3 x 2 y 2 ，则y 2 3x 2， 即y 3 x.
1．坐标系的类型
1 直线上的点的坐标；2 平面直角坐标系； 3 ① __________ 系；4 柱坐标系；5 球坐标系．
sin 的关系是 ________ ．
2
解析： 1 ①当＞0时，点A(5， )的极坐标的一般 3 形式为(5， 2k )(k Z)． 3 由 2 ＜ ＜0，得 2 ＜ 2k ＜0(k Z)， 3 5 解得k 1，所以 2 ， 3 3 5 所以满足条件的点A的极坐标为(5， )． 3
极坐标系
极坐标系一、 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O ，叫极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径，θ 叫做点M 的极角，对应 (ρ,θ)就叫点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
二、极坐标与直角坐标的转化：在直角坐标系中一点M 0为(x 0,y 0)则在以其处直角坐标系的原点为极点的极坐标系中其极径ρ0=√x 02+y 02 , 极角θ0=tan −1(y0x 0) （极角所在象限由原角而定），得M 0极坐标为(√x 02+y 02,tan −1(y0x 0))。
那么得极坐标方程与直角坐标方程的互化公式： {ρ=2+y 2θ=tan −1(y x ) {x =ρcos θ y =ρsin θ三、极坐标系的运用及简单图像的方程：1) 极坐标系中两点的距离：若在极坐标系中存在不同的两点A (ρ1,θ1)、B (ρ2,θ2)则其距离d 为：d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2) 推导过程: 由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC得:|AB |2=|OA |2+|OB |2−2|OA ||OB |cos ∠AOB其中有：|OA |=ρ1 , |OB |=ρ2 ∠AOB =θ1−θ2则有：|AB |2=ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)即：d =√ρ12+ρ22−2ρ1ρ2cos (θ1−θ2)2) 极坐标系中直线的方程：若在极坐标系中存在过极点的直线l 0，其倾斜角为φ，则该直线的的极坐标方程为：θ=φ (ρ ∈R )3) 极坐标系中圆的方程：若在极坐标系中存在一个圆，圆心在极点上，半径为r ,则该圆的的极坐标方程为：ρ=r (θ ∈R )若其圆心在点O (ρ1,θ1)则该圆的的极坐标方程为：ρ2+ρ12−2ρρ1cos (θ−θ1)=r 2 M (ρ,θ)x θρ极坐标系O )4)极坐标系中圆锥曲线的方程：圆锥曲线的极坐标方程为ρ=±ep1−ecosθ或ρ=±ep1−esinθp表示准线到焦点的距离。
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圆 圆心为( r, 0),半径为r 2rcos ⑩__x_2___2_rx___y_2___0
圆心(r, ),半径为r
2
x2 y2 2ry 0
⑪______2_r_s_i_n_
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
例1.已知A、B两点的极坐标分别为( 3, 4 )、(5, 5 ),
2
线的极坐标方程是____s_in______2__.
如图,设P(, )为直线上任意一点，
在Rt△OMP中，cos( ) 2,即sin 2.
2
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
4.极坐标方程为 2cos的圆的半径是______1_______.
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
5.极坐标方程分别是 cos 和 sin的
2 两个圆的圆心距是___2___.
cos是圆心为( 1 , 0)，半径为 1 的圆；
2
2
sin是圆心为( 1 , )，半径为 1 的圆，
22
2
故两圆的圆心距为 2 . 2
极坐标系及简单 的极坐标方程
复习目标
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进 行极坐标与直角坐标ຫໍສະໝຸດ 互化，掌握直线与圆的 极坐标方程.
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
1.已知点M , ，则M点关于极点对称的点N的极坐标是（A ）
A. （, ） B（. , ） C（. , ） D（. , 2 ）
7
5
,
63 6
所以 AB 2 OA 2 OB 2 2 OA OB •cosAOB
34 15 3,
所以 AB 34 15 3,
S△AOB
1 2
A
B
•sinAOB
1 35sin 5
2
6
15 . 4
有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求 解，关键是应用点的极坐标的几何意义，同时应注意：若
④y__=__x_ta_n___
不过极点,和极轴所成的 ⑤ sin( ) xsin ycos
直 角为,到极点的距离为p ____p_____
p
线
平行于极轴，到极轴的距 ⑥__si_n___b_
离为b
y=b
垂直于极轴，和极轴的距 离为a
cos a
⑦__x_=__a__
过点(1,1)，和极轴所成 的角为
⑧ 1 sin( )
__s_i_n_(__1____ )
y 1sin1 tan(x 1cos1)
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
3.直线与圆的极坐标方程 曲线
曲线
位置
极坐标方程 直角坐标方程
圆心在极点，半径为r ⑨______r__ x2 y2 r 2
例2.化下列直角坐标方程为极坐标方程. (1)x2 y2 2ax 0; (2)x + y 0; (3)x2 y2 2x.
由
2
3
0, 得
2
2k
0,
解得k
1, 所以
3
2
5
,
3
3
所以满足条件的点A的极坐标为(5,
5
).
②当
0时，点A(5，
3 )的极坐标的一般形式是
(
5，
(2k
1)
3
)k
Z.
由2
3
4
, 得2
2k
4
,
解得k 1,
所以
3
10
3 ,
3
3
故满足条件的点A的极坐标为(
5,
10
).
3
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
0，则 0，且点M , 与P , 关于极点对称.
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
变式.(1)点(5， )在条件：
3
① 0, (2 , 0)下的极坐标是_______; ② 0, (2 , 4 )下的极坐标是______.
极的坐极标坐系标及方简①程单当(5,课前02时演k练，)(知点k识A要(Z5)点，. 3典)的例精极讲坐方标法的提一炼般走形进高式考为风向标
3
6
求 AB 和△AOB的面积(其中点O为极点).
极坐标系及简单在△课AO前B演中练，知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标
的极坐标方程
因为A、B两点的坐标分别为(
3，4
)、(5,
5
),
则A、B两点的坐标可化为(3, ), (5, 7 ), 3
6
36 因而OA、OB两边长分别为3、5，夹角AOB
2.坐标之间互化
(1)极坐标M
(
,
)化为平面直角坐标M
(
x,
y)
x_____c_o_s___ y_____s_i_n___
(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 , , z 之间的
x cos 变换公式为： y sin
z = z
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系
及空间直角坐标系的一部分建立起来的.
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
1.坐标系的类型
(1)直线上的点的坐标; (2)平面直角坐标系；
(3)__极__坐___标___系；
(4)柱坐标系； (5)球坐标系.
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
(3)空间点P的直角坐标 x, y,z 与球坐标r,, 之间的变
x rsincos 换关系为 y rsinsin
z rcos
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
3.直线与圆的极坐标方程
曲线
位置
极坐标方程 直角坐标方程
过极点，并且与极轴所
成的角为
(2)点P( 1 , 4 )与曲线C : sin 的关系是_____.
23
2
因为点P( 1 , 4 )与点P(1 , )是同一点，
23
23
且sin 3 sin 1 ,
2
62
所以点P在曲线C : sin 上，
2
故点P( 1 , 4 )在曲线C : sin 上.
23
2
极坐标系及简单 课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 走进高考 风向标 的极坐标方程
2.已知点M的直角坐标为（2, 2），则其极坐标是（ B ）
A（. 2 2, ）
4
B（. 2 2, ）
4
C（. 2 2, 5 ）
4
D（. 2 2, 3 ）
4
极坐标系及简单 的极坐标方程
课前演练 知识要点 典例精讲 方法提炼 课前演练 风向标
3.在极坐标系中，过点M (2, )，且平行于于极轴的直