2第二章 命题逻辑等值演算
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(分配律) (矛盾律) (同一律) (德摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
等值演算旳例子
解：⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r)
1→((q∧¬q)∧r)
(排中律)
1→(0∧r)
(矛盾律)
1→0
(零律)
0
(条件联结词旳定义)
由此可知，⑵为矛盾式。
⑶ (p→q)∧¬p
(¬p∨q)∧¬p
(蕴涵等值式)
范式存在定理
定理2.3
• 任一命题公式都存在着与之等值旳 析取范式
求•范任式旳一环命节题如公下式：都存在着与之等值旳合 ⑴取消范去式联结词“→”和“↔”
⑵ 利用双重否定律消去否定联结词“¬”或 利用德摩根律将否定联结词“¬”移到各命题 变元前(¬内移)。
⑶ 利用分配律，结合律将公式归约为合取 范式和析取范式。
极大项：简朴析取式中满足如上条件。
极小（大）项旳关键性质
• 定理：n个命题变元共有2n个极小项（极大项）。
p
q p∧q p∧¬q
¬p∧q
¬p∧¬q
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
• 每个极小（大）项只有一种成真（假）赋值，且 各极小项旳成真赋值互不相同。
• 极小项和它旳成真赋值构成了一一相应旳关系。
¬p
(吸收律)
由此可知，⑶是可满足式。
练习
1.用等值演算验证等值式 （1） (p∨q)→r (p→r)∧ (q→r) （2） （(p∨q)∧ ¬（p∧q））
第二章命题逻辑等值演算
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 （公式的规范化）
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 如：p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式 注:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
(p→r)∧(q→r) （ ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。 例2.4 证明：(p→q)→r p→(q→r)
证： 方法一：真值表法。 方法二：观察法。 易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的 成真赋值，所以原不等值式成立。 方法三：设A=(p→q)→r, B=p→(q→r) A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r 容易观察到， 000，010是A 的成假赋值， 而它们是B的 成真赋值。
A∨ 0 A ， A∧ 1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
12. 蕴涵等值式 13. 等价等值式 14. 假言易位
A∧┐A 0
A→ B ┐ A∨ B (A B) (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A A B ┐A ┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
Hale Waihona Puke (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨
02-命题逻辑的等值演算
第二章 命题逻辑的等值演算 6
证明：P→（Q→R） ⇔P∧Q→R
证明： P→（Q→R） ⇔P→(Q∨R)（化归） ⇔ P∨(Q∨R)（化归） ⇔(P∨Q)∨R（结合律） ⇔ (P∧Q)∨R（德.摩根律） ⇔P∧Q→R（化归）
第二章 命题逻辑的等值演算 7
例：在某次讨论会的中间休息时间，3名 与会者根据王教授的口音对他的籍贯进 行判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人； 乙说:王教授不是上海人，是苏州人； 丙说:王教授既不是上海人，也不是杭州 人； 听完三人判断，王教授说他们三人中 有一个人说的全对，一人说的对了一半， 另一人全不对,试判断王教授的籍贯。
第二章 命题逻辑的等值演算 11
进一步思考
王教授只可能是其中一个城市的人或者三个城市都 不是。 所以，丙至少说对了一半。 因此，可得甲或乙必有一人全错了。 又因为，若甲全错了，则有p∧┐q，因此乙全对。 同理，乙全错则甲全对。 所以丙必是一对一错。 根据上述推理，可对公式E进行简化，方便等值演 算。 (如何简化，请同学们课后思考)
第二章 命题逻辑的等值演算 13
总结:公式判定问题及判定方法
方法1: 真值表法; 方法2: 等值演算法. 方法3: 当命题变元的数目较多时, 可把 命题公式化成标准型(主析取范式和主 合取范式).使同一真值函数所对应的所 有命题公式具有相同的标准型
第二章 命题逻辑的等值演算 14
2.2析取范式与合取范式
(2)一个简单合取式是矛盾式,当且 仅当它同时含一个命题变元及其 否定.
第二章 命题逻辑的等值演算 16
析取范式 合取范式
(1)仅由有限个简单合取式构成的析取式称为
析取范式;
离散数学第2章 命题逻辑等值演算
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 15
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
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离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
第2章命题逻辑等值演算离散数学介绍
解答 方法一、真值表法。
方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是 p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
(┐p∨q)∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
（排中律）
(┐q∨q)∨┐p
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。
例题2.5 用等值演算判断下列公式的类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(1) (p→q)∧p→q
离 散 数 学介绍
本章的主要内容
– 等值式与基本的等值式 – 等值演算与置换规则 – 析取范式与合取范式、主析取范式与主合取范式 – 联结词完备集(不讲) – 可满足性问题与消解法（不讲）
本章与后续各章的关系
– 是第一章的抽象与延伸 – 是后续各章的现行准备
两公式什么时候代表了同一个命题呢？ 抽象地看，它们的真假取值完全相同时即
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1
那么同时 把∨和∧互换 把0和1互换
命题逻辑等值演算
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应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
例2 证明 (p ∨ q)→r ⇔ (p → r) ∧ (q → r) → 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 证 (p → r) ∧ (q → r) 蕴涵等值式） ⇔(¬p ∨ r ) ∧ (¬ q ∨ r) ¬ ¬ （蕴涵等值式） 分配律） ⇔ (¬p ∧ ¬ q ) ∨ r ¬ （分配律） 德摩根律） ⇔ ¬ (p ∨ q) ∨ r （德摩根律） ⇔ (p ∨ q)→r → （蕴涵等值式） 蕴涵等值式）
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ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (续) 续
(2) (p→q)↔(¬q→¬ →¬p) → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ ∨¬p) （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ 交换律） ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) （交换律） ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 由最后一步可知，该式为重言式. 由最后一步可知，该式为重言式 最后一步为什么等值于1？ 问：最后一步为什么等值于 ？
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于是,由同一律可知: E ⇔ ( ¬p ∧ q ∧ ¬r ) ∧ (p ∧ ¬ q ∧ r ) 但因为王教授不能既是上海人,又是杭州人,因 而p, r必有一个假命题,即p ∧ ¬ q ∧ r ⇔ 0,于是 于是 E ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r 为真命题. 因而必有p, r为假命题, q为真命题, 即王教授 为上海人.甲说得全对,丙说对了一半,而乙全说 错了.
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由王教授所说,可推出 E= (B1 ∧ C2 ∧ D3) ∨ (B1 ∧ C3 ∧ D2) ∨(B2 ∧ C1 ∧ D3) ∨(B2 ∧ C3 ∧ D1) ∨(B3 ∧ C1 ∧ D2) ∨(B3 ∧ C2 ∧ D1) 为真命题.而 B1 ∧ C2 ∧ D3 ⇔ 0 B1 ∧ C3 ∧ D2 ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r B2 ∧ C1 ∧ D3 ⇔ 0 B2 ∧ C3 ∧ D1 ⇔ 0 B3 ∧ C1 ∧ D2 ⇔ p ∧ ¬ q ∧ r B3 ∧ C2 ∧ D1 ⇔ 0
第二章命题逻辑的等值和推理演算
2.1.1 等值的定义
给定两个命题公式A和B, 而P1…Pn是出现于A和B中的 所有命题变项, 那么公式A和B共有2n个解释, 若对其 中的任一解释, 公式A和B的真值都相等, 就称A和B是 等值的(或等价的)。记作A = B或AB 显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等 值的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1: 证明(P∧P)∨Q = Q
第二章 命题逻辑的等值和推理演算
推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 推理形式是由前提和结论经蕴涵词联结而成的 推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推 导出结论的过程 重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式、等 值式都是重言式
本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义 的观点进行的非形式的描述，不仅直观且容易理 解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。 严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。
2.1 等值定理
若把初等数学里的＋、－、×、÷等运算符看作是数 与数之间的联结词，那么由这些联结词所表达的代数 式之间，可建立许多等值式如下： x2－y2 = (x＋y)(x－y) (x＋y)2 = x2＋2xy＋y2 sin2x＋cos2x = 1 ……
在命题逻辑里也同样可建立一些重要的 等值式
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出等式 是成立的。
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看出它 们是等值的, 而且它们都是重言式。
说明
从例1、2还可说明, 两个公式等值并不一定要 求它们一定含有相同的命题变项
若仅在等式一端的公式里有变项P出现, 那么等式 两端的公式其真值均与P无关。 例1中公式(P∧P)∨Q与Q的真值都同P无关 例2中P∨P, Q∨Q都是重言式, 它们的真值也都 与P、Q无关。
02命题逻辑等值演算
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
（零律）
例2.5 解答
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p∨p∨q)∧r (p∧┐p∧┐q)∧r 0∧r 0
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q) p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A旳成假赋值，而它们是B旳成真赋值。
例题
例题2.5 用等值演算判断下列公式旳类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 措施一、真值表法。
措施二、观察法。易知，010是(p→q)→r旳成假赋值，而010 是p→(q→r)旳成真赋值，所以原不等值式成立。
措施三、经过等值演算化成轻易观察真值旳情况，再进行判断。
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.互换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
命题逻辑等值演算
mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称。且有mi Mi ,
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
二章命题逻辑等值演算资料精品文档
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2.1 等值式
常元律
零律: p 1 1， p 0 0 同一律: p 0 p， p 1 p 排中律: p ¬p 1 矛盾律: p ¬p 0
吸收律
p (p q) p p (p q) p
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2.1 等值式
蕴涵等值式 p q ¬p q 等价等值式 p q (p q) (q p) 假言易位 p q ¬q ¬p 等价否定等值式 p q ¬p ¬q 归谬论 (p q ) (p ¬q ) ¬p
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2.1 等值式
2. 用等值演算判断公式的类型 证明： ((p∨q) ¬(¬p (¬q∨¬r)))∨(¬p¬q)∨(¬p ¬r)为一
永真式 证明：原式 ((p∨q) (p∨(q r)))∨¬(p∨q)∨¬(p∨r) ((p∨q) (p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) ((p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) 1
10
2.1 等值式
说明： (1)16组等值模式都可以给出无穷多个同类型的具
体的等值式。 (2)证明上述16组等值式的代入实例方法可用真值
表法，把改为所得的命题公式为永真式，则 成立。
11
2.1 等值式
等值演算：由已知的等值式推演出另外一些等 值式的过程
置换规则：设φ(A)是含公式A的命题公式， φ(B)是用公式B置换了φ(A)中所有A后得到的 命题公式，若ＡB ，则φ(A) φ(B)
2. “”对“”分配，化为析取范式 ( p p q) (q p q)
3. 最简析取范式
pq
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2.2 析取范式和合取范式
例：求((p q) r) p的析取范式和合取范式 (一) 求析取范式
2.1 等值式
常元律
零律: p 1 1， p 0 0 同一律: p 0 p， p 1 p 排中律: p ¬p 1 矛盾律: p ¬p 0
吸收律
p (p q) p p (p q) p
9
2.1 等值式
蕴涵等值式 p q ¬p q 等价等值式 p q (p q) (q p) 假言易位 p q ¬q ¬p 等价否定等值式 p q ¬p ¬q 归谬论 (p q ) (p ¬q ) ¬p
14
2.1 等值式
2. 用等值演算判断公式的类型 证明： ((p∨q) ¬(¬p (¬q∨¬r)))∨(¬p¬q)∨(¬p ¬r)为一
永真式 证明：原式 ((p∨q) (p∨(q r)))∨¬(p∨q)∨¬(p∨r) ((p∨q) (p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) ((p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) 1
10
2.1 等值式
说明： (1)16组等值模式都可以给出无穷多个同类型的具
体的等值式。 (2)证明上述16组等值式的代入实例方法可用真值
表法，把改为所得的命题公式为永真式，则 成立。
11
2.1 等值式
等值演算：由已知的等值式推演出另外一些等 值式的过程
置换规则：设φ(A)是含公式A的命题公式， φ(B)是用公式B置换了φ(A)中所有A后得到的 命题公式，若ＡB ，则φ(A) φ(B)
2. “”对“”分配，化为析取范式 ( p p q) (q p q)
3. 最简析取范式
pq
29
2.2 析取范式和合取范式
例：求((p q) r) p的析取范式和合取范式 (一) 求析取范式
第二章命题逻辑的等值推演
pq (pq)(qp) (pq)(pq)
第二页，本课件共有27页
二、等值式定义
公式A、B，如果其真值表完全一样，或者AB为永真式， 则称A与B等值，记为AB
如： pq pq pq (pq)(qp) (pq)(pq)
三、判断方法
判断真值表是否一样
判断AB是否为永真。
例如：
p与p
(pq)与pp，这是德摩律
第九页，本课件共有27页
一、复习 pq仅在p与q均为0时结果才为0，其他为1。 pq仅在p与q均为1时结果才有1，其他为0。 pq仅在p为1、q为0才为0，其他为1。 pq仅在p与q等值时才1，其他为1。 用真值表证明了
pq与pq的真值表完全一样，即这两者等 值，根据双条件的定义， (pq) (pq)为永真 或重言式。
(pq)与pp 与互反
第三页，本课件共有27页
pq pq
pq (pq)(qp) (pq)(pq)
pp
(pq) pp 德摩律
(pq) pp 与对偶
ppp pp
p(qr) (pq)(pr) 分配律
p(qr)(pq)(pr) 对偶式
p(pq) p
吸收律(多吃少)
p(pq) p
pp 1，pp 0
(pq) (pq) 双条件相同为真
??p与p??p??q与??p??p这是德摩律??p??q与??p??p??与??互反p?q??p??qp?q??p?q??q?p?p??q????p????q??p?p??p??q??p??p德摩律??p??q??p??p??与??对偶p?p??p??p??pp??q??r?p??q??p??r分配律p??q??r?p??q??p??r对偶式p??p??q?p吸收律多吃少p??p??q?pp????p?1p????p?0p?q????p??q双条件相同为真p?q??p??q??p归谬律
第二页，本课件共有27页
二、等值式定义
公式A、B，如果其真值表完全一样，或者AB为永真式， 则称A与B等值，记为AB
如： pq pq pq (pq)(qp) (pq)(pq)
三、判断方法
判断真值表是否一样
判断AB是否为永真。
例如：
p与p
(pq)与pp，这是德摩律
第九页，本课件共有27页
一、复习 pq仅在p与q均为0时结果才为0，其他为1。 pq仅在p与q均为1时结果才有1，其他为0。 pq仅在p为1、q为0才为0，其他为1。 pq仅在p与q等值时才1，其他为1。 用真值表证明了
pq与pq的真值表完全一样，即这两者等 值，根据双条件的定义， (pq) (pq)为永真 或重言式。
(pq)与pp 与互反
第三页，本课件共有27页
pq pq
pq (pq)(qp) (pq)(pq)
pp
(pq) pp 德摩律
(pq) pp 与对偶
ppp pp
p(qr) (pq)(pr) 分配律
p(qr)(pq)(pr) 对偶式
p(pq) p
吸收律(多吃少)
p(pq) p
pp 1，pp 0
(pq) (pq) 双条件相同为真
??p与p??p??q与??p??p这是德摩律??p??q与??p??p??与??互反p?q??p??qp?q??p?q??q?p?p??q????p????q??p?p??p??q??p??p德摩律??p??q??p??p??与??对偶p?p??p??p??pp??q??r?p??q??p??r分配律p??q??r?p??q??p??r对偶式p??p??q?p吸收律多吃少p??p??q?pp????p?1p????p?0p?q????p??q双条件相同为真p?q??p??q??p归谬律
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
第2章 命题逻辑的等值演算
如果将真值1，0 看做是数，则每一个解释对应一 个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i， 今后将m记为mi。
例:
对p，q，r而言，pqr是极小项 解释{p，q，r}使该极小项取1值，解释{p，q， r} 对应的二进制数是2 (010) 于是pqr记为m2
例：
(p(qr))s (p(qr))s p(qr)s p(qr)s …………….
式)
(ps)(qr) (psq)(psr)
( 析取范
…… (合取范式)
主范式
定义2. 4 设p1,…,pn是n个不同原子，一个简单合取式如果 恰好包含所有这n个原子或其否定，且其排列顺序与 p1,…,pn的顺序一致，则称此简单合取式为关于p1,…,pn的 一个极小项。 显然，共有2n个不同的极小项。 例如: 对原子 p，q，r 而言， pqr，pqr，pqr 都是 极小项，但是，p，pq不是极小项， 对原子p，q而言,pq是极小项。
例
判断公式 (pq)(qr)(rp)是否永假? 解： (pq)(qr)(rp) (pq)(qr)(rp) ((pq)(qq)(pr)(qr))(rp) (pqr)(qqr)(prr)(q rr)(pqp)(qqp)(prp) (qrp) 故公式(pq)(qr)(rp)不是永假的。
命题公式和真值表的关系
从0来列写
B (…) ∧ (…)
由1列写的方式进行转化： B (…)∨ (…) B (…) ∧ (…) (…) 写成析取式，表示一种 B 值为假的情况。如 p=1，q=0 时为假，
(…) 写成p ∧q， (…)写成 p ∨ q
1值取p形式
定理
对于任意公式G，存在唯一一个与G等值的主析取 范式。
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方法3，等值演算法
(p q) r
( p ∨ q) r
(蕴涵等值式)
( p ∨ q) ∨ r
(蕴涵等值式)
(p ∧ q) ∨ r
(德摩根律)
p (q r)
p ∨(q ∨ r)
(蕴涵等值式)
p ∨q ∨ r
(结合律)
18
【例2.5】 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) (p q) ∧p q (2) (p (p ∨ q)) ∧r (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q)
( p∨q) (p∧ q ) ( p∨q)∨ (p∧ q )
❖若对多个变元进行代入, 则代入必须同时进行。 11
【定义】由已知的等值式推演出另外一些等值式的 过程为等值演算。
等值演算是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分， 但是在等值演算过程中，要不断的用到一条重要的 规则，即置换规则。
【定理 】(置换规则) (replacement) 设Φ(A)是含公 式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A) 中 某些的A后得到的命题公式，若AB，则Φ(A) Φ(B) 。
(p ∨q) ∨ r
(分配律)
(p ∧ q )∨ r
(德摩根律)
(p∨q) r
(蕴涵等值式)
16
例 证明 A∨(A∧B) A∨B 证明 A∨(A∧B)
(A∨A)∧(A∨B) 1∧(A∨B) A∨B
例 证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C)
证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
解： p q r p(qr) (p∧q)r (pq)r
000 1
1
0
001 1
1
1
010 1
1
0
011 1
1
1
100 1
1
1
101 1
1
1
110 0
0
0
111 1
1
1
5
区别: 1. 符号“”不是命题联结词而是公式间的关 系符号。A B不表示公式, 即不代表命题, 而表示 公式A和公式B有逻辑等值关系。
第二章 命题逻辑等值演算
1
本章内容 2.1 等值式 2.2 析取范式与合取范式 2.3 联结词的完备集 2.4 可满足性问题与消解法 本章小结
2
§2.1 等值式
【定义 2.1】设A和B是两个命题公式, 若AB为重 言式, 则称公式A和B是等值的公式, 记为AB .
❖ 显然, 当且仅当A和B真值表完全相同时, A和B是等 值的公式。 【例2.1】 证明(pq) (qP) ; p∨p p 。
证 用列真值表法证明:
p q pq qp pq qp
0 01
1
1
1
0 11
0
0
1
1 00
1
1
0
1 11
1
1
1
从真值表可知, 正命题pq和逆否命题q p的对
应项真值完全相同, 所以它们等值。
同理, 逆命题qp和否命题p q等值。
4
【例2.2】判断下列各组公式是否等值： (1) p (q r) 与 (p∧q) r (2) (p q) r 与 (p∧q) r
❖ 注意代入规则和替换规则的区别, 祥见表 2.1。
13
使用对象 代换对象 代换物
表2.1 代入规则 等值式 命题变元 命题公式
代换方式 代换同一命题 的所有出现
代换结果 等值式
置换规则 命题公式 子公式 与代换对象等值 的命题公式 代换子公式 某些出现 与原公式等值
❖ 引入代入规则和置换规则, 我们可将公式变形,
27
【定义 2.3】 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称 为析取 (disjunctive)范式。具有形式A1∨A2∨… ∨An (n≥1), 其中Ai (1≤i≤n)都是简单合取式。
23
❖ 根据标准化, 同一真值函数对应的所有命题公式具有 相同的标准形式。
❖ 这样, 根据命题的形式结构就能判断两命题公式是否 等值以及判断公式的类型。
❖ 主范式的思想和平面上的二次曲线标准方程的思想 是类似的。一般形式的二次方程难以知道方程所代 表的曲线形状, 如果将它化为标准方程, 便可知道二 次方程所代表的是圆、椭圆、双曲线或是抛物线。
类似可得 B1∧C3∧D2 p ∧q ∧ r B2∧C1∧D3 0
B2∧C3∧D1 0 B3∧C1∧D2 p ∧q ∧ r (假命题)
B3∧C2∧D1 0
E(p∧q∧r)
22
§2.2 析取范式和合取范式
❖ 命题真假的判定问题总是可解的, 我们已有两种判 定方法: 真值表技术和等值演算法。
(E6) 德摩根律 (A∨B) A∧B
(A∧B) A∨B
(E7) 吸收律 A∨(A∧B) A
A∧(A∨B) A
(E8) 零律 A∨1 1A∧0 0
(E9) 同一律 A∨0 A
A∧1 A
(E10) 排中律 A∨A 1
(E11) 矛盾律 A∧A 0
(E12) 蕴涵等值式 AB A∨B
9
(E13) 等价等值式 AB (AB)∧(BA) (E14) 假言易位 AB BA (E15) 等价否定等值式 AB A B (E16) 归谬论 (AB)∧(A B) A
【例 2.2】证明等值式 AB A∨B
AB (AB)∧(BA)
(AB)∧(A B) A
证明 分别列出它们的真值表，真值表所列值完全
等值 Equivalent 表2.1
(E1) 双重否定律 A A
(E2) 幂等律 A∨A A
A∧A A
(E3) 交换律 A∨B B∨A A∧B B∧A
(E4) 结合律 A∨(B∨C) (A∨B)∨C
A∧(B∧C) (A∧B)∧C
8
(E5) 分配律 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
相同就证明它们等值。
10
【定义】以上的等值式，由于A,B,C可以代表任意 的公式，因而以上各等式都是用元语言符号书写 的，称以上的等值式为等值式模式。
每个等值式模式都给出了无穷多同类型的具体的等 值式，这些具体的等值式称为原来的等值式模式的 代入实例。（代入规则）
例如：蕴涵等值式AB A∨B中 取 A=p，B＝q 可得等值式pq p∨q 取 A= p∨q，B= p∧ q ，则
则 甲的判断全对： B1= A1= p ∧q 甲的判断对一半：B2=( p ∧q)∨(p ∧q) 甲的判断全错： B3=p ∧ q
乙的判断全对： C1= A2= p ∧ q 乙的判断对一半：C2= (p ∧q)∨( p ∧q) 乙的判断全错： C3= p∧ q
丙的判断全对： D1= A3= q ∧ r
❖ 此外, 正是表达式的不唯一, 才使得命题演算在简化 电子线路和程序设计中成为必不可少的武器。
15
等值演算的用途：
验证等值式、判断公式的类型、解决工作和生活中 的判定问题。
【例2.3 】 证明等值式
(p∨q) r (p r)∧(q r)
证明： (p r)∧(q r)
(p ∨ r)∧( q ∨r) (蕴涵等值式)
(2)一个简单合取式为矛盾式当且仅当它同时包 含某个命题变项及其否定式。
证明 我们只证明(1), (2)的证明方法同(1), 留给读 者自证。
充分性: 命题变元p, p∨p是重言式。因此, 若有p∨p在简单析取式中出现, 则这个简单析取 式必为重言式。
26
必要性: 假设一个简单析取式为重言式, 但式中 不同时包含任一命题变元及其否定, 那么, 我们对该析取式中出现在后面的命题变元指派 值1, 而对不出现在后面的命题变元指派值0, 则整个析取式取值必为0, 这与假设矛盾。
解: (2) (p (p ∨ q)) ∧r ( p ∨ p ∨ q) ∧ r (p ∧ p ∧ q) ∧ r 0∧r 0
(1) (p q) ∧p q 1 (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q) p
19
【例2.6】在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者 根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断: 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
❖ 命题逻辑所研究的思维规律, 很多是以等值式给出。
❖ 我们知道可以用真值表判断任何两个公式是否等值, 但是这样做很麻烦。因此人们验证了一组基本的又
是重要的等值式。
7
下面给出的等值式, 它们的正确性均可由真值表验证。 这些等值式也就是通常所说的布尔代数或逻辑代数 的主要组成部分。
以它们为基础进行公式之间的演算，判断公式之间 是否等值。
❖ 范式在线路设计方面、自动机器理论和人工智能方 面也有极其重要的作用。
24
【定义2.2 】命题变项及其否定统称为文字(literal). 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例： p、p ∧ q、 p ∧q ∧ p等都是简单合取式。 p、p∨q、p∨q∨p、 q∨q等都是简单析取式 单个的文字既是简单合取式，又是简单析取式。
(A∧B)∨(A∧C)∨((A∨A)∧(B∧C))
(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧B∧C)∨(A∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧C)
E7(吸收律) 17
【例2.4】 证明等值式 (p q) r p (q r)
证明： 方法1，真值表法
方法2，观察法，对公式给予赋值
❖ 由所学知识可知, 含有n个命题变元的公式有2n组不 同的真值指派, 对于每个指派有真、假两种可能,即 共有22 n个不同的真值函数。
❖ 每种真值函数都可以用无穷多种命题公式表示。很 多从形式上看不尽相同的命题公式, 实质上是等值 的。为了解决上述问题, 我们引入范式的概念, 把命 题公式规范(标准)化。
方法3，等值演算法
(p q) r
( p ∨ q) r
(蕴涵等值式)
( p ∨ q) ∨ r
(蕴涵等值式)
(p ∧ q) ∨ r
(德摩根律)
p (q r)
p ∨(q ∨ r)
(蕴涵等值式)
p ∨q ∨ r
(结合律)
18
【例2.5】 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) (p q) ∧p q (2) (p (p ∨ q)) ∧r (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q)
( p∨q) (p∧ q ) ( p∨q)∨ (p∧ q )
❖若对多个变元进行代入, 则代入必须同时进行。 11
【定义】由已知的等值式推演出另外一些等值式的 过程为等值演算。
等值演算是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分， 但是在等值演算过程中，要不断的用到一条重要的 规则，即置换规则。
【定理 】(置换规则) (replacement) 设Φ(A)是含公 式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A) 中 某些的A后得到的命题公式，若AB，则Φ(A) Φ(B) 。
(p ∨q) ∨ r
(分配律)
(p ∧ q )∨ r
(德摩根律)
(p∨q) r
(蕴涵等值式)
16
例 证明 A∨(A∧B) A∨B 证明 A∨(A∧B)
(A∨A)∧(A∨B) 1∧(A∨B) A∨B
例 证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C)
证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
解： p q r p(qr) (p∧q)r (pq)r
000 1
1
0
001 1
1
1
010 1
1
0
011 1
1
1
100 1
1
1
101 1
1
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110 0
0
0
111 1
1
1
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区别: 1. 符号“”不是命题联结词而是公式间的关 系符号。A B不表示公式, 即不代表命题, 而表示 公式A和公式B有逻辑等值关系。
第二章 命题逻辑等值演算
1
本章内容 2.1 等值式 2.2 析取范式与合取范式 2.3 联结词的完备集 2.4 可满足性问题与消解法 本章小结
2
§2.1 等值式
【定义 2.1】设A和B是两个命题公式, 若AB为重 言式, 则称公式A和B是等值的公式, 记为AB .
❖ 显然, 当且仅当A和B真值表完全相同时, A和B是等 值的公式。 【例2.1】 证明(pq) (qP) ; p∨p p 。
证 用列真值表法证明:
p q pq qp pq qp
0 01
1
1
1
0 11
0
0
1
1 00
1
1
0
1 11
1
1
1
从真值表可知, 正命题pq和逆否命题q p的对
应项真值完全相同, 所以它们等值。
同理, 逆命题qp和否命题p q等值。
4
【例2.2】判断下列各组公式是否等值： (1) p (q r) 与 (p∧q) r (2) (p q) r 与 (p∧q) r
❖ 注意代入规则和替换规则的区别, 祥见表 2.1。
13
使用对象 代换对象 代换物
表2.1 代入规则 等值式 命题变元 命题公式
代换方式 代换同一命题 的所有出现
代换结果 等值式
置换规则 命题公式 子公式 与代换对象等值 的命题公式 代换子公式 某些出现 与原公式等值
❖ 引入代入规则和置换规则, 我们可将公式变形,
27
【定义 2.3】 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称 为析取 (disjunctive)范式。具有形式A1∨A2∨… ∨An (n≥1), 其中Ai (1≤i≤n)都是简单合取式。
23
❖ 根据标准化, 同一真值函数对应的所有命题公式具有 相同的标准形式。
❖ 这样, 根据命题的形式结构就能判断两命题公式是否 等值以及判断公式的类型。
❖ 主范式的思想和平面上的二次曲线标准方程的思想 是类似的。一般形式的二次方程难以知道方程所代 表的曲线形状, 如果将它化为标准方程, 便可知道二 次方程所代表的是圆、椭圆、双曲线或是抛物线。
类似可得 B1∧C3∧D2 p ∧q ∧ r B2∧C1∧D3 0
B2∧C3∧D1 0 B3∧C1∧D2 p ∧q ∧ r (假命题)
B3∧C2∧D1 0
E(p∧q∧r)
22
§2.2 析取范式和合取范式
❖ 命题真假的判定问题总是可解的, 我们已有两种判 定方法: 真值表技术和等值演算法。
(E6) 德摩根律 (A∨B) A∧B
(A∧B) A∨B
(E7) 吸收律 A∨(A∧B) A
A∧(A∨B) A
(E8) 零律 A∨1 1A∧0 0
(E9) 同一律 A∨0 A
A∧1 A
(E10) 排中律 A∨A 1
(E11) 矛盾律 A∧A 0
(E12) 蕴涵等值式 AB A∨B
9
(E13) 等价等值式 AB (AB)∧(BA) (E14) 假言易位 AB BA (E15) 等价否定等值式 AB A B (E16) 归谬论 (AB)∧(A B) A
【例 2.2】证明等值式 AB A∨B
AB (AB)∧(BA)
(AB)∧(A B) A
证明 分别列出它们的真值表，真值表所列值完全
等值 Equivalent 表2.1
(E1) 双重否定律 A A
(E2) 幂等律 A∨A A
A∧A A
(E3) 交换律 A∨B B∨A A∧B B∧A
(E4) 结合律 A∨(B∨C) (A∨B)∨C
A∧(B∧C) (A∧B)∧C
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(E5) 分配律 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
相同就证明它们等值。
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【定义】以上的等值式，由于A,B,C可以代表任意 的公式，因而以上各等式都是用元语言符号书写 的，称以上的等值式为等值式模式。
每个等值式模式都给出了无穷多同类型的具体的等 值式，这些具体的等值式称为原来的等值式模式的 代入实例。（代入规则）
例如：蕴涵等值式AB A∨B中 取 A=p，B＝q 可得等值式pq p∨q 取 A= p∨q，B= p∧ q ，则
则 甲的判断全对： B1= A1= p ∧q 甲的判断对一半：B2=( p ∧q)∨(p ∧q) 甲的判断全错： B3=p ∧ q
乙的判断全对： C1= A2= p ∧ q 乙的判断对一半：C2= (p ∧q)∨( p ∧q) 乙的判断全错： C3= p∧ q
丙的判断全对： D1= A3= q ∧ r
❖ 此外, 正是表达式的不唯一, 才使得命题演算在简化 电子线路和程序设计中成为必不可少的武器。
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等值演算的用途：
验证等值式、判断公式的类型、解决工作和生活中 的判定问题。
【例2.3 】 证明等值式
(p∨q) r (p r)∧(q r)
证明： (p r)∧(q r)
(p ∨ r)∧( q ∨r) (蕴涵等值式)
(2)一个简单合取式为矛盾式当且仅当它同时包 含某个命题变项及其否定式。
证明 我们只证明(1), (2)的证明方法同(1), 留给读 者自证。
充分性: 命题变元p, p∨p是重言式。因此, 若有p∨p在简单析取式中出现, 则这个简单析取 式必为重言式。
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必要性: 假设一个简单析取式为重言式, 但式中 不同时包含任一命题变元及其否定, 那么, 我们对该析取式中出现在后面的命题变元指派 值1, 而对不出现在后面的命题变元指派值0, 则整个析取式取值必为0, 这与假设矛盾。
解: (2) (p (p ∨ q)) ∧r ( p ∨ p ∨ q) ∧ r (p ∧ p ∧ q) ∧ r 0∧r 0
(1) (p q) ∧p q 1 (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q) p
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【例2.6】在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者 根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断: 甲说王教授不是苏州人，是上海人。 乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
❖ 命题逻辑所研究的思维规律, 很多是以等值式给出。
❖ 我们知道可以用真值表判断任何两个公式是否等值, 但是这样做很麻烦。因此人们验证了一组基本的又
是重要的等值式。
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下面给出的等值式, 它们的正确性均可由真值表验证。 这些等值式也就是通常所说的布尔代数或逻辑代数 的主要组成部分。
以它们为基础进行公式之间的演算，判断公式之间 是否等值。
❖ 范式在线路设计方面、自动机器理论和人工智能方 面也有极其重要的作用。
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【定义2.2 】命题变项及其否定统称为文字(literal). 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例： p、p ∧ q、 p ∧q ∧ p等都是简单合取式。 p、p∨q、p∨q∨p、 q∨q等都是简单析取式 单个的文字既是简单合取式，又是简单析取式。
(A∧B)∨(A∧C)∨((A∨A)∧(B∧C))
(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧B∧C)∨(A∧C)∨(A∧C∧B)
(A∧B)∨(A∧C)
E7(吸收律) 17
【例2.4】 证明等值式 (p q) r p (q r)
证明： 方法1，真值表法
方法2，观察法，对公式给予赋值
❖ 由所学知识可知, 含有n个命题变元的公式有2n组不 同的真值指派, 对于每个指派有真、假两种可能,即 共有22 n个不同的真值函数。
❖ 每种真值函数都可以用无穷多种命题公式表示。很 多从形式上看不尽相同的命题公式, 实质上是等值 的。为了解决上述问题, 我们引入范式的概念, 把命 题公式规范(标准)化。