2021年圆的面积奥数

圆的面积
欧阳光明（2021.03.07）
圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见．如圆桌，圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子．这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法．圆的面积计算公式，扇形面积计算公式，同学们在课本上已经都
*欧阳光明*创编
2021.03.07
有初步的理解和掌握，我们主要讨论组合图形的面积的计算方法与技巧．
请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是90度，八分之一圆对应的圆心角是45度．
经典题再现
如下图所示，O是圆心，圆的周长等于75.36分米，点A、B、C都在圆周上，OABC是梯形，梯形的面积是98.28平方分米．AB = 20.76分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（π取3.14）
解：由圆的周长可求圆的半径：
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75.36 = 2 × 3.14 × r，r = 12．
即OC = 12．
由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高．
98.28 = (12 + 20.76) ×高 ÷ 2，高 = 6．
阴影的面积 = 12 × 6 ÷ 2 = 12 × 3 = 36（平方分米）．
典型例题
【例1】长方形长6分米，宽4分米，分别以长、宽为半径画弧，如图．那么阴影部分的面积是多少平方分米？
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*欧阳光明*创编 2021.03.07 解：226 3.144 3.146444⎛⎫⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭
= 16.82（平方厘米）
答：影阴部分的面积是16.82平方厘米．
【例2】 如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
解：因为s1的面积为14.13平方厘米，所以半径的平方为14.13⨯2÷3.14 = 9，故半径为3厘米，直径为6厘米．
又因为s2的面积为19.625平方厘米，所以S2的半径的平方为
19.625÷3.14 = 6.25（平方厘米），所以它的半径为2.5厘米，直径为5厘米，所以阴影部分面积为（6 5）⨯5 = 5（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是5平方厘米．
【例3】如图，A与B是两个
）的圆心，那么，两个圆（只有1
4
阴影部分的面积相差多少平方厘米?
圆的解：观察上图可以发现大1
4
面积减去长方形的面积（包括小阴
圆影和大空白两部分）再减去小1
4
的面积．就是两个影阴部分的面积差．
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即
22113.14424 3.14244
⨯⨯-⨯-⨯⨯= 1.42（平方厘米）
答：两个阴影部分的面积相差
1.42平方厘米．
【例4】 如图，圆的直径
4cm ，ABCD 的面积是7cm2，∠ABC 等于30°，求阴影部分面积．
解：这个题许多同学将ABC 看成是圆心角为30°的扇形．这是错误的，因为AB 是直径，BC 不是，AB ，BC 不一样长，所以，ABC 不是扇形．
如下图，找到圆心O，连CO，AOC才是扇形．先要求这个扇形的圆心角，就可以求出它的面积．然后再求三角形COB的面积，用ABCD的面积减去，就是阴影面积．
阴影面积等于平行四边形面积减去扇形AOC的面积，再减去△BOC 的面积．
扇形的圆心角 = 180°（180° 30°× 2）= 60°．
扇形的面积 =2 × 2 × 3.14 × 60 ÷ 360 = 2.09（平方厘米）．
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△BOC的面积 = 7 ÷ 2 ÷ 2 = 1.75（平方厘米）．
阴影部分的面积 = 7 – 2.09 1.75 = 3.16．
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米．
【例5】下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
解：两个空白部分拼起来正好是一个4×4的正方形．
所以阴影部分面积等于2×4的长方形面积．
2 × 4 = 8（平方厘米）
答：影阴部分的面积是8平方厘
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米．
【例6】如图所示，这是一个正六边形，它的面积为1040平方厘米．空白部分是半径为10cm的6个小扇形．求阴影部分的面积．
解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面积．正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积．
我们观察每3个小扇形可以拼成一个半径为10厘米的圆，6个小扇形可以拼成2个小圆形．阴影部分的面积就是正六边形的面积减去2个半径为10厘米的小圆的面积．
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*欧阳光明*创编 2021.03.07 6个扇形的面积为
3.14 × 102 × 2 = 628（平方厘米），
阴影部分的面积：1040 628 = 412（平方厘米）．
答：阴影部分的面积为412平方厘米．
难题详解
如下图所示，在 4 × 7的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?
解：矩形纸板共28个小正方形．其中弧线是14
圆周．非阴影部分共6个，也共6个．可拼成6
个小正方格．因此阴影部分共28 6 3=19个小方格．所以，
．
阴影面积占纸板面积的19
28
答：阴影面积占纸板面积的19
．
28
同步练习
1．如下图，ABCD为正方形，且FA = AD = DE = 2厘米，求阴影部分的面积？
2．有三个形状相同的圆形纸片，面积都是90平方厘米，重叠在一起（如图），盖住桌面的总面积是150平方厘米，三张纸片重叠的面积是28平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？
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3．已知图中各圆相切，小圆半径为1，求阴影部分面积．
4．已知每个圆的直径为6厘米，求阴影部分的面积．
5．图中正方形ABCD的边长是20厘米，求阴影部分面积．
6．如图，已知每个小正方形的面积为1平方厘米，求阴影部分面积．（注：所用分点均理解为所在边中点）．
7．如图，大圆直径上的黑点是五等分点，求A，B，C三部分面积之比．
8．如图，O为圆心，C为扇形
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ACB 的圆心，CO 垂直于AB ，三角形ABC 的面积为45平方厘米，求阴影部分面积．
同步练习解答
1．图形DGC 为图形DBC 面积的一半，于是，阴影部分的面积为 ()()22
1
1133.1422222 3.1424242⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯= 2.43（平方厘米）
2．解：90 × 3 150 28 × 2 = 64（平方厘米）
3．如图I ，II ，III 部分面积是相等的，剩余3块小阴影面积也相等．那么所求阴影部分面积是一个小半圆面积加上大半圆减去2个小
*欧阳光明*创编 2021.03.07
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圆和3个小半圆剩余部分的13
． 阴影面积为：2π1π3πππ52π3π2322236
⎛⎫⨯+⨯--⨯=+= ⎪⎝⎭ 4．如图，长方形外的阴影部分一共3
311442
+=个圆，移至长方形内正好填满长方形，阴影部分的面积就是长方形面积．
阴影部分面积 = 6 × 2 × 6 = 72（平方厘米）．
5．充分利用圆的对称性，如图，大扇形ABC 的半径是20，它的面积减去三角形ABC 的面积就是I 的面积．正方形ABCD 减去圆O 的面积就是4个II 的面积．
阴影部分就是ABCD 面积减去2个I ，4个II 的面积．
20
()
2211202π2020204(2020π10)42⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯
= 129（平方厘米）
6．阴影分成两部分，一部分是字母“A”，一部分是字母“r”．
字母“A”的面积，我们只需算一半，再2倍就可以了．
平行四边形ABCD 面积=1
3322
⨯= 梯形EFHG 面积=
()131********+⨯⨯= 字母“A”的面积()3
529123 3.62521688
+⨯===．
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字母“r”的面积
2π3662212.26⨯-⨯÷+=．
最后，阴影面积为
3.625 + 12.26 = 15.885（平方厘米）．
7．显然，A 与C 面积相等，B 与C 面积比为
（ 1.52 12）：
[（ 2.52 1.52 + 12）÷ 2] = 1∶2．
所以，A ，B ，C 面积比为：2∶1∶2．
8．设CA = CB = a ，OC = OB = OA = r ．
则由三角形ABC 面积为45知，
1452a a ⨯⨯=，a2 = 90． 再以AB 为底计算三角形ABC 面积：
AB ⨯OC ⨯12=2⨯OA ⨯OC ⨯12
=b2知，b2 = 45．
阴影部分面积 = 半圆面积 + 三角形ABC 面积 扇形ACB 面积．即 45 + b2⨯3.14⨯
12 a2 ⨯3.14⨯14= 45 + 45⨯3.14⨯1
2 90⨯3.14⨯14= 45。