2021年圆的面积奥数

圆的面积

欧阳光明（2021.03.07）

圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见．如圆桌，圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子．这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法．圆的面积计算公式，扇形面积计算公式，同学们在课本上已经都

*欧阳光明*创编

2021.03.07

有初步的理解和掌握，我们主要讨论组合图形的面积的计算方法与技巧．

请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是90度，八分之一圆对应的圆心角是45度．

经典题再现

如下图所示，O是圆心，圆的周长等于75.36分米，点A、B、C都在圆周上，OABC是梯形，梯形的面积是98.28平方分米．AB = 20.76分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（π取3.14）

解：由圆的周长可求圆的半径：

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75.36 = 2 × 3.14 × r，r = 12．

即OC = 12．

由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高．

98.28 = (12 + 20.76) ×高 ÷ 2，高 = 6．

阴影的面积 = 12 × 6 ÷ 2 = 12 × 3 = 36（平方分米）．

典型例题

【例1】长方形长6分米，宽4分米，分别以长、宽为半径画弧，如图．那么阴影部分的面积是多少平方分米？

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*欧阳光明*创编 2021.03.07 解：226 3.144 3.146444⎛⎫⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭

= 16.82（平方厘米）

答：影阴部分的面积是16.82平方厘米．

【例2】 如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

解：因为s1的面积为14.13平方厘米，所以半径的平方为14.13⨯2÷3.14 = 9，故半径为3厘米，直径为6厘米．

又因为s2的面积为19.625平方厘米，所以S2的半径的平方为

19.625÷3.14 = 6.25（平方厘米），所以它的半径为2.5厘米，直径为5厘米，所以阴影部分面积为（6 5）⨯5 = 5（平方厘米）．

答：阴影部分的面积是5平方厘米．

【例3】如图，A与B是两个

）的圆心，那么，两个圆（只有1

4

阴影部分的面积相差多少平方厘米?

圆的解：观察上图可以发现大1

4

面积减去长方形的面积（包括小阴

圆影和大空白两部分）再减去小1

4

的面积．就是两个影阴部分的面积差．

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即

22113.14424 3.14244

⨯⨯-⨯-⨯⨯= 1.42（平方厘米）

答：两个阴影部分的面积相差

1.42平方厘米．

【例4】 如图，圆的直径

4cm ，ABCD 的面积是7cm2，∠ABC 等于30°，求阴影部分面积．

解：这个题许多同学将ABC 看成是圆心角为30°的扇形．这是错误的，因为AB 是直径，BC 不是，AB ，BC 不一样长，所以，ABC 不是扇形．

如下图，找到圆心O，连CO，AOC才是扇形．先要求这个扇形的圆心角，就可以求出它的面积．然后再求三角形COB的面积，用ABCD的面积减去，就是阴影面积．

阴影面积等于平行四边形面积减去扇形AOC的面积，再减去△BOC 的面积．

扇形的圆心角 = 180°（180° 30°× 2）= 60°．

扇形的面积 =2 × 2 × 3.14 × 60 ÷ 360 = 2.09（平方厘米）．

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△BOC的面积 = 7 ÷ 2 ÷ 2 = 1.75（平方厘米）．

阴影部分的面积 = 7 – 2.09 1.75 = 3.16．

答：阴影部分的面积是3.16平方厘米．

【例5】下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

解：两个空白部分拼起来正好是一个4×4的正方形．

所以阴影部分面积等于2×4的长方形面积．

2 × 4 = 8（平方厘米）

答：影阴部分的面积是8平方厘

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米．

【例6】如图所示，这是一个正六边形，它的面积为1040平方厘米．空白部分是半径为10cm的6个小扇形．求阴影部分的面积．

解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面积．正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积．

我们观察每3个小扇形可以拼成一个半径为10厘米的圆，6个小扇形可以拼成2个小圆形．阴影部分的面积就是正六边形的面积减去2个半径为10厘米的小圆的面积．

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*欧阳光明*创编 2021.03.07 6个扇形的面积为

3.14 × 102 × 2 = 628（平方厘米），

阴影部分的面积：1040 628 = 412（平方厘米）．

答：阴影部分的面积为412平方厘米．

难题详解

如下图所示，在 4 × 7的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?

解：矩形纸板共28个小正方形．其中弧线是14

圆周．非阴影部分共6个，也共6个．可拼成6