第4章 根轨迹法

第4章 根轨迹法

在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。

本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。

4.1 根轨迹法的基本概念

本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。

4.1.1 根轨迹的基本概念

根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益*

K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益*

K 是首1形式开环传递函数对应的系数。

在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为

)

2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G

根轨迹增益K K 2*

=。闭环传递函数为

*

2*

2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为

02*2=++K s s

特征根为：

*111K -+-=λ, *211K ---=λ

当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。

表4-1 **K

K

1λ

2λ

0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞

∞

-1+j ∞

-1-j ∞

利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或*

K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或*

K ）增大时两条根轨迹移动的方向。

根轨迹图直观地表示了参数K （或*

K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数

K 对闭环极点分布的影响。

4.1.2 根轨迹与系统性能

依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如*

K ）变化的规律。 1．稳定性

开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。

图4-2 系统根轨迹图

2．稳态性能

由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的

K 值就等于静态误差系数v K 。

当)(1)(t t r =时， =ss e 0；

当t t r =)(时， *

21K K e ss ==

3．动态性能

由图4-2可见，当5.00<

当5.0=K 时，闭环特征根为二重实根，系统呈现临界阻尼状态，阶跃响应仍为单调过程，但响应速度较5.00<

当5.0>K 时，闭环特征根为一对共轭复根，系统呈现欠阻尼状态，阶跃响应为振荡衰减过程，且随K 增加，阻尼比减小，超调量增大，但s t 基本不变。

上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利用根轨迹可以分析当系统参数（K ）增大时系统动态性能的变化趋势。用解析的方法逐点描画、绘制系统的根轨迹是很麻烦的。我们希望有简便的图解方法，可以根据已知的开环零、极点迅速地绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。

4.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系

控制系统的一般结构如图4-3所示，相应开环传递函数为)()(s H s G 。假设

∏∏==--=

g

i i

f

i i

G p s z s K

s G 1

1

*

)

()

()( (4-1)

*11

()

()()

m

H

j

j f n

j

j g K

s z H s s p =+=+-=

-∏∏ (4-2)

因此

*

1

11

1

()()

()()()()

f m

i

j

i j f g

n

i

j

i j g K

s z s z G s H s s p s p ==+==+--=

--∏∏∏∏ （4-3）

式中，*

**H G K K K =为系统根轨迹增益。对于m 个零点、n 个极点的开环系统，其开环传

递函数可表示为

)

()

()()(1

1

*

j

n

j i

m

i p

s z s K

s H s G --=

∏∏== （4-4）

式中，i z 表示开环零点，j p 表示开环极点。系统闭环传递函数为

*1

1

*

1

1

()()

()

()1()()

()()

f n

G

i

j

i j g n

m j

i

j i K

s z s p G s s G s H s s p K s z ==+==--Φ==

+-+-∏∏∏∏ （4-5）

由式（4-5）可见：

⑴ 闭环零点由前向通路传递函数)(s G 的零点和反馈通路传递函数)(s H 的极点组成。对于单位反馈系统1)(=s H ，闭环零点就是开环零点。闭环零点不随*

K 变化，不必专门讨论之。

⑵ 闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益*

K 均有关。闭环极点随*

K 而变化，所以研究闭环极点随*

K 的变化规律是必要的。

根轨迹法的任务在于，由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。一旦闭环极点确定后，再补上闭环零点，系统性能便可以确定。

4.1.4 根轨迹方程

闭环控制系统一般可用图4-3所示的结构图来描述。开环传递函数可表示为

∏∏==--=

n

j j

m

i i

p

s z s K

s H s G 1

1

*

)

()

()()(