总体均值的区间估计

• 区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可 能区间
第二节 单个总体均值和比率的区间估计
一、总体均值的区间估计：大样本（n≥30）情形和小样本 （n＜30）情形。
大样本的情形
• 【例1】Duotu公司是一家专营体育设备和附件的公司，为 了监控公司的服务质量， Duotu公司每月都要随即的抽取 一个顾客样本进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往 的调查，满意分数的标准差稳定在20分左右。最近一次对 100名顾客的抽样显示，满意分数的样本均值为82分，试 建立总体满意分数的区间。 我们可以将样本满意得分的均值（82分）作为该公司 所有顾客组成的总体的平均满意得分的点估计。当然你也 许会问：“这一估计有多好？这次估计的把握程度有多 高？” "有多好"这一问题其实是想知道以样本均值作为 总体均值的点估计时所产生的误差有多大。
这里无偏估计量是指没有系统偏差(非随机偏差)的平均 意义上的量，即如果说一个估计量是无偏性的，并不是保证 用于单独一次估计中没有随机性误差，只是没有系统性偏差 而已。这是一个优良估计量的重要条件。 若以

代表被估计的总体参数， ˆ 代表 的无偏估计量
则有：
ˆ E

第六章 总体参数估计
2、一致性 若估计量随样本容量n的增大而越来越接近总体参数值 时，则称该估计量为被估计参数的一致性估计量。估计 量的一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情 况。如果一个估计量是一致性估计量，那么采用大样本 就更加可靠。当然，样本容量n增大时，估计量的一致性 会增强，但调查所需的人、财、物力也相应增加。例如， 以样本平均数估计总体平均数，符合一致性的要求，即 存在如下关系：
ห้องสมุดไป่ตู้
第六章 总体参数估计
本章重点 1、参数估计的基本问题； 2、单个总体均值和比率的区间估计； 3、小样本下的总体参数估计方法； 4、样本容量的确定方法； 5、两个总体均值和比率差异的区间估计； 6、分层、整群和等距抽样的区间估计。 本章难点 1、一般正态分布标准正态分布； 2、区间估计的原理； 3、两总体联合方差的表达形式。 。
lim P x 1
n
式中
为任意正数。
第六章 总体参数估计
3、有效性 有效性是指无偏估计量中方差最小的估计量。无偏估计 量只考虑估计值的平均结果是否等于待估计参数的真值， 而不考虑估计的每个可能值及其次数分布与待估计参数真 值之间离差大小的离散程度。我们在解决实际问题时，不 仅希望估计值是无偏的，更希望这些估计值的离差尽可能 地小，即要求比较各无偏估计量中与被估计参数的离差较 小的为有效估计量。如样本平均数与中位数都是总体均值 的无偏估计量，但在同样的样本容量下，样本平均数是有 效的估计量。
• 我们把无偏点估计值与总体参数之差的绝对值称为抽样误 差。当我们用样本均值估计总体均值时，抽样误差可以表 达为：
第六章 总体参数估计
实践中的统计
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量约为8000袋
左右。按规定每袋的重量应不低于100克，否则即为不合格。为对产量
质量进行检测，企业设有质量检查科专门负责质量检验，并经常向企 业高层领导提交质检报告。质检的内容之一就是每袋重量是否符合要 求。 由于产品的数量大，进行全面的检验是不可能的，可行的办法是
抽样，然后用样本数据估计平均每袋的重量。质检科从某天生产的一
批食品中随机抽取了25袋，下表1是对每袋食品重量的检验结果。
第六章 总体参数估计
表1 25袋食品的重量（克） 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 10808 101.6 108.4 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
根据表1的数据，质检科估计出该天生产的食品每袋的平均重量在 101.38~109.34克之间，其中，估计的可信程度为95%，估计误差不超过4 克。产品的合格率在96.07%~73.93%之间，其中，估计的可信程度为95%， 估计误差不超过16%。
第六章 总体参数估计
质检报告提交后，企业高层领导人提出几点意见：一是抽取的样 本大小是否合适？能不能用一个更大的样本进行估计？二是能否将估 计的误差再缩小一点？比如，估计平均重量时，估计误差不超过3克， 估计合格率时误差不超过10%；三是总体平均重量的方差是多少？因为 方差的大小说明了生产过程的稳定性，过大或过小的方差都意味着应 对生产过程进行调整。
第一节 参数估计的基本问题
一、点估计 点估计就是用样本估计量的一个具体观测值直接作为总体 的未知参数的估计值的方法。 如上例中随机抽取的100头的平均每头毛重(95.5kg)可作为 10000头平均每头毛重 的点估计值 常用的估计量有： (1)样本平均数 x 为总体平均数
的估计量；
(2)样本方差 S
经证明: D( x )
2
n
D( M e )
2
2 n
第六章 总体参数估计
• 点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
因为点估计是基于样本得到的，是随机变量，不可能期望它的 值与相应的总体参数的真实值相等，也就是说点估计值和总体参数的 真是值之间总会存在一定误差，并且我们是不知道这个误差有多大， 这样我们估计的可信度大打折扣。在这一节中，我们将说明如何利用 点估计值对单个总体均值和总体比率进行区间估计，并给出估计的可 靠程度和准确程度。
2
2 为总体方差 的估计量；
(3)样本成数 P 为总体成数
P 估计量。
第六章 总体参数估计
二、点估计的性质 在对总体特征做出估计时，并非所有估计量都是优良 的，从而产生了评价估计量是否优良的标准。作为优良的 估计量应该符合如下三个标准：
第六章 总体参数估计
1、无偏性
如果样本某统计量的数学期望值等于其所估计的总体 参数真值，则这个估计统计量就叫做该总体参数的无偏估计 量。如样本平均数的数学期望是总体平均数，则样本均值是 总体均值的无偏估计量。