数理统计第二章抽样分布2.7节充分统计量

T ( X ) X i 为充分统计量
证明：记T=T(X来自百度文库，按照定义只要证明下列条 件概率与参数 无关.
i 1
n
当 xi t0时，有
i =1
n
P( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn | T t0 )
5
P( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn | T t0 )
t
16
f ( y1 , , yn1 , t ) f ( y1 , y2 , , yn | T t )= fT ( t )
( n 1)! I =
与 无关.
因此T ( X ) X i 是充分统计量.
i 1
17
yi 0, yi t ,i 1,2, ,n 1 i 1 n 1 [ t 0]
T ( X ) X i 为充分统计量
证明：X1的概率密度函数为
i 1
n
e x , x 0 f ( x , ) x0 0,
则X=(X1,X2,…,Xn)的联合密度为

f ( x, ) ne
xi
i 1
n
I[ xi 0,i 1,2,
,n]
12
I
n1
t
n
例2.7.4 设X=(X1,X2,…,Xn)是从正态总体 N ( ,1) 中抽取的样本，则 T ( X ) X1 不是充分统计量 证明：在 T ( X ) X 1 条件下，
X1,X2,…,Xn的条件密度为 f ( x1 , , xn , T ( x ) x1 ) f (x1 , x2 , , xn | T ( x ) x1 ) fT ( x1 ) n 1 1 2 f (x2 , , xn ) exp ( xi ) 2 2 i 2 与 有关. 因此T ( X ) X1不是充分统计量. 18
P ( X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn , T t0 ) P (T ( x ) t0 ) P ( X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn ) P (T ( x ) t0 ) t0 n t0 1 (1 ) n n t0 n t0 (1 ) t0 t 0
g(t ( x ), )h( x )
其中h(x)=1
22
根据因子分解定理，知
T ( X ) ( X i , X )
为充分统计量. 由于 (
n n i 1 i 1 i 1 2 i i 1 2 i
n
n
Xi , X )
与 (X , S2)
为一一对应的变换. 根据推论2.7.1可知 ( X , S 2 ) 也为充分统计量.
T T ( X )是充分统计量的充要条件是 f ( x, )
可以分解为
f ( x, ) g( t ( x ), )h( x )
其中h( x )=h( x1 , x2 , , xn )不依赖于参数
20
推论2.7.1 ： 设样本T T ( X )为的充分统计量， S (T )是单值可逆函数， 则S (T )也是的充分统计量. 性质 （1）充分统计量的一一变换不改变 统计量的充分性 （2）参数的一一变换不影响统计量的 充分性．
给定 T t (Y1,Y2,…,Yn)的条件密度为
i 1 n 1 t
X 的密度函数为
i
n
f ( y1 , , yn1 , t ) f ( y1 , y2 , , yn | T t )= fT ( t )
15
f ( y1 , , yn1 , t ) f ( y1 , y2 , , yn | T t )= fT ( t )
13
因此只要证明给定 Yn =y n (即T t ) (Y1,Y2,…,Yn)的条件密度和 无关即可.
Y1 ,
, Yn1 , Yn的联合密度为
f ( y1 , y2 , , yn1 , t )= n exp( t ) I
yi 0, yi t , i 1,2, , n 1 i 1
3
2.7.1 充分统计量的定义 定义2.7.1 设样本分布族为F ( x), , 是参数空间 设T=Ｔ(Ｘ)为一统计量，若在T已知的条件下， 样本X的条件分布与参数 无关，则称Ｔ(Ｘ) 为充分统计量. 充分统计量必存在！ 顺序(次序)统计量是充分统计量．
4
例2.7.1设X=(X1,X2,…,Xn)是从0-1分布中抽取 的样本，则
6
因此，有
P ( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn | T ( x ) t0 ) n 1 n , 当 xi t0 i =1 t0 n 0, 当 xi t0 i =1 上述条件概率与 无关.
( n 1)! e I =
n t yi 0, yi t ,i 1,2, ,n 1 i 1 n n 1 t [ t 0]

n1
t e I
( n 1)! I I
n1
=
yi 0, yi t ,i 1,2, ,n 1 i 1 n 1 [ t 0]
n
,n
9
由定理2.2.3的证明过程可知
Y X
2 i 1 i i 1
n
n
2 i
且Y1 ,Y2 , , Yn相互独立，其中
Y1 ~ N ( n ,1)
Yi ~ N (0,1), i 2, 3, , n
显然，X 对原样本X ( X 1 , X 2 , , X n )的充分性
等价于Y1对样本Y1 , Y2 , , Yn的充分性 因此只要证明给定Y1 =y1时(Y1 , Y2 , , Yn )
因此T ( X ) X i 是充分统计量.
i 1 n
7
例2.7.2设X=(X1,X2,…,Xn)是从正态总体N ( ,1) 中抽取的样本，则
1 n T ( X ) X i X 为充分统计量 n i 1
证明：记T=T(X)，按照定义只要证明给定T 时X的概率分布与参数 无关.但是计算复 杂.采取如下正交变换方法进行.
第二章 抽样分布 及若干预备知识
2.7 充分统计量
1
2.7 充分统计量
统计推断的目的：对总体的分布(参数)进行推断． 样本带有总体分布(参数)的信息．
统计量集中了样本中关于总体分布(参数)的某部分 信息． 集中了样本中关于总体分布（参数）的全部信息的 统计量，即不损失信息的统计量——充分统计量. 问题：如何定义一个统计量是充分统计量？

n1
n 1 n exp( t )，当yi 0, yi t , i 1, 2, , n 1 i 1 0, 其它
14
由于
T ( X ) X i ~ G ( n, )
i 1
n
因此 T ( X )
n
n n 1 t fT ( t ) t e I[ t 0] t e I[ t 0] ( n) ( n 1)!
2
关于样本X=(X1,X2,…,Xn)的信息可以设想成 如下公式 {样本X}中的信息 ={T(X)中所含样本的信息}
+{在知道T(X)后样本X含有的剩余信息} 因此T(X)为充分统计量的要求归结为 要求后一项信息为0
用统计语言描述为，即要求
P ( X A | T t )与 无关，其中A为任一事件.
(Y1 , Y2 , , Yn )'=A(X1 , X 2 , , X n )'
其中A是正交阵,为
8
1 1n n a21 a22 A a n1 an 2
a2 n ann
1 n
因此
1 Y Xi nX 1 n i =1 n Y a X , j 2,3, j jk k k 1
2.7.2 充分性的判别准则——因子分解定理 因子分解定理首先是由R.A.Fisher在20世纪 20年代提出来，最一般形式和严格数学证明 是由Halmos和Savage在1949年给出.
19
定理2.7.1 (因子分解定理)：
设样本X ( X1 ,X 2， , X n )的概率函数为f ( x, ) 依赖于参数，T T ( X )是一个统计量，则
26
证明：记 X (1) min{ X 1 , , X n }，X (n ) max{X 1 , , X n },
23
例2.7.6设X=(X1, X2,…,Xn)是从总体 b(1, ) 中抽取的样本，则
T ( X ) X i 为充分统计量
证明：样本X ( X1 , X 2 , , X n )的联合分布列为
f ( x, )=P ( X1 x1 , ，X n xn )
= i1 (1 ) xi
证明：样本X ( X1 , X 2 , , X n )的联合密度为
f ( x , )= I[0 x( n ) ] g(t ( x ), )h( x )
n
其中h(x)=1
根据因子分解定理，知 T ( X ) X ( n ) 为充分统计量.
25
例2.7.8 设X=(X1,…,Xn)是从均匀分布 U ( 1/ 2, 1/ 2), 其中 , 中抽取的样本，利用因子分解定理验证 X 不是充分统计量.
作变换
Y1 X 1 Yn 1 X n 1 Yn X 1 X 2
Xn t
变换的雅可比行列式为|J|=1 这是一个一一对应的变换.
T ( X ) X i 对原样本 X=(X1,X2,…,Xn)
i 1 n
的充分性等价于
Yn
对 (Y1,Y2,…,Yn)的充分性
n
n
i 1
n
xi
i 1
n
g(t ( x ), )h( x )
其中h(x)=1
n
根据因子分解定理，知 T ( X ) X i i 1 为充分统计量.
24
例2.7.7设X=(X1,…,Xn)是从均匀分布 U (0, ) 中抽取的样本，则
T ( X ) X ( n ) max{X 1 , , X n } 为充分统计量
21
例2.7.5设X=(X1,…,Xn)是从正态总体N ( , 2 ) 中抽取的样本，令 ( , 2 ) 则
T ( X ) ( X i , X ) 为充分统计量
i 1 i 1 2 i
n
n
证明：样本X ( X1 , X 2 , , X n )的联合密度为
n 1 n/ 2 n 2 f ( x , )=(2 ) exp 2 ( xi ) 2 i 1 n n 1 n/ 2 n 2 2 =(2 ) exp 2 xi 2 xi n i 1 2 i 1
因此T ( X ) X 是充分统计量.
11
n 1 1 n/2 2 2 f ( y1 , y2 , , yn )=(2 ) exp yi ( y1 n ) 2 2 i2 1 Y1的边缘密度为 1 2
例2.7.3设X=(X1,X2,…,Xn)是从指数分布 Exp( ) 中抽取的样本，则
的条件密度与 无关即可.
10
Y1 , Y2 ,
, Yn的联合密度为
exp ( y1 n ) 2 2 给定Y1 =y1时(Y1 , Y2 , , Yn )的条件密度 f ( y1 , y2 , , yn ) f ( y1 , y2 , , yn | y1 )= fY1 ( y1 ) n 1 ( n 1)/ 2 2 =(2 ) exp yi 与 无关. 2 i 2 fY1 ( y1 )=