高中数学解题方法谈用函数知识解决数列问题 (1)

用函数知识解决数列问题

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成是关于n 的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n 的一次函数（公差d ≠０时），而其求和公式可以看成是关于n 的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较.因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决.

1．等差数列的通项公式可以看成自变量为n 的一次函数（公差d ≠０时）

例1已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，是否存在常数k ，使得221

1n n n ka S S +-=-成立.

分析：将n a 看成是n 的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.

解：设存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立，

令n a pn q =+（p 、q 为常数），

则221()1n n k pn q S S ++-=-.①

又∵(12)(1)2n p S p n nq n n nq =++

++=++,， 代入①式变为22223121()22kp n kpqn kq pn p q n p q ⎛⎫++-=+-+-+ ⎪⎝⎭

， 22321221()kp p kpq p q kq p q ⎧=⎪⎪⎪∴=-+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩

， ②

， ③， ④ 由②，得 0p =或32

kp =. 将p =0代入③、④不成立. 将k p=代入③，得 4p q =-

， 代入④，得 21164kp p p -=-+，即331324

p p -=-， ∴3227p =，从而得出8164

k =． ∴存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.

评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、

函数等）不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.

2．构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题

例２ 等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100，则它的前3n 项和为（ ）. （Ａ）30 （B ）170 （C ）210 （D ）260

分析：运用等差数列求和公式，先对1(1)2

n n n S na d -=+进行变形，122n S d d n a n =+-，则122

n S d d n a n =+-可以看成是关于n 的一次函数，再利用点共线的性质求解.

解：由1(1)2n n n S na d -=+

，可得122n S d d n a n =+-， 由此可知数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

成等差数列， ∴23323n n n S S S n n n n n n ⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭，，2，，，三点共线. ∴310030302323n S n n n n n n n n

--=--， ∴3210n S =.

评注：①n S n

可以看成是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解3n S 的.运用该法还可以推得在等差数列中若()p q S q S p p q ==≠，，则()p q S p q +=-+．②等差数列的通项公式n a 也可以看成是关于n 的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若()p q a q a p p q ==≠，，则0p q a +=.

3．等差数列的前n 项和可看成是关于n 的二次函数

例3 已知等差数列{}n a ，首项1a ，且310S S =，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？

分析：等差数列前n 项和n S 为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值. 解：设等差数列公差为d ，前n 项和为n S ，

∵310S S =，即116

d a =-，

∴211111*********(1)(1)22612248n S na n n d na n n a a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭， ∴当n =6或n =7时，67172

S S a ==为最大. 评注：关于等差数列前n 项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n 取何值时，n S 最大（最小）.

4．利用函数单调性知识解（证）数列中的单调性问题

例4 已知函数()22x x

f x -=-，数列{}n a 满足2(lo

g )2n f a n =-．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求证数列{}n a 是递减数列.

分析：①本题已知函数关系式，并给出了n a 的关系式，将其看作关于n a 的方程解出即可.②数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.

（1）解：∵2()22(log )2x x n f x f a n -=-=-，，，

∴22log log 2

22n n a a n --=-，即12n n a n a -=-．. ∴2210n n a na +-=， （※）

解得 21n a n n =-+ 又∵0n a >，∴21n a n n =+；

（2）证明：由22122(1)1(1)111(1)1(1)

n n n n a n a n n n n +++-++==<+-++++． 又∵10n n n a a a +>∴<，

．. ∴数列{}n a 是递减数列.

评注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（※）式可看成是关于n a 的方程；而求出的通项公式又反映了n a 是关于n 的函数.解题过程中0n a >这个细节要注意．