高等计算流体力学-06详解
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高等流体力学2011第六章.ppt
6.5 界面导热系数
控制容积 W w P e E
(δ x)w
(δ x)e
一维问题的典型网格点群
离散化方程：
a T a T a T b p p EE W W
6.5 界面导热系数
其中：
ke aE x e
如何求取导热系数ki？
kw aW x w
6.5 界面导热系数
a T a T a T b P P E E W W
其中
ke aE x e
kw aW x w
a a a S x P E W p
b Sc x
6.2 边界条件与源项的处理
一维稳态导热
a T a T a T b P P E E W W
T aT b P n bn b
S 45 T3
3 4 T
T
P
*
图 4 . 2四 种 可 能 的 线 性 化
6.7 线性代数方程的解
一维离散化方程的解可以用标准的高 斯(Gauss )消去法得到，由于方程的形 式特别简单，消去过程的算法就变得 十分方便．有时候，这种算法称之为 TDMA(三对角矩阵算法)．TDMA的名 称基于：在写这些方程的系数矩阵时， 所有的非零系数均排列在矩阵的三条 对角线上(仅对角元素及其上下邻位上 的元素不为零)．
d S *
*
则： S 4 1 0 TS ,P 1 5 T . C P P
在
* 3
* 2
T
P 点，所选择的直线与S-T曲线相切。
*
6.6 源项的线性化
* 3 * 2 4. S 4 2 0 TS , 2 5 T .收敛慢。 C P P P
工程流体力学第6章明渠均匀流与渠流详解
1、层流的速度分布 定常均匀流速度分布方程
u i y(2h y) 2
y=h，液流表面的速度，
umax
i 2
h2
§6.2 明渠定常均匀流的水力计算
取单位宽度的液体深度为dy，微单元面积为dA=dy×1， 沿液流深度积分得流量
Q udA h i (2h y)dy
A
0 2
Q i h3 3
变的长直明渠称为棱柱形渠道，h=f(i)。
非棱柱形渠道（non-prismatic channel）：断面形状和尺寸
沿程不断变化的明渠称为非棱柱形渠道，h=f(i,s) 2.底坡（ i ）渠道底部沿程单位长度的降低值
i sin z1 z2 z
l
l
§6.1明渠流的概念
平坡（horizontal bed）：i=0，明槽槽底高程沿程不变
1）过水断面的形状和尺寸、断面平均流速、流量和水深 沿程不变。通常将明渠均匀流的水深称为正常水深，
以h0表示。
2）总水头线、测压管水头线（水面坡度）和渠底线互相 平行，即：
§6.1明渠流的概念
列（1）- （2）能量方程得：
§6.1明渠流的概念
物理意义：水流因高程降低而引起的势能减少正好等 于克服阻力所损耗的能量，而水流的动能维持不变
断面平均流速
i h3
v Q 3
A h1
i 3
h2
2 3
umax
§6.2 明渠定常均匀流的水力计算
2、紊流的速度分布
垂线速度分布符合对数分布规律
u u* ln y c 2.3u* lg y c
K
K
式中 u* ghi明渠流动力流速
K紊流系数 c与槽渠粗糙度有一定关系
u 2.3u* K
06中山大学-流体力学课程-课件(精华版)
第六章 理想不可压缩流体的运动
根据理想流体的运动学特性，可以将理想流体的运 动分为无旋运动和有旋运动两大类。
本章将在介绍二维运动引入流函数的概念，介绍无 旋运动时引入势函数的概念，流函数和势函数是描述 流体行为的重要概念。 求解流体无旋运动问题，一般通过解运动学方程 （连续性方程）和动力学方程（运动方程），确定流 场的速度分布和压力分布。
ux , uy ,uz x y z
这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类 似力势的特性，即与起点位置无关，只决定于两点之间的势差。
速度势函数 的求法（一）
M
( x, y, z )
( x , y0 , z 0 )
( x0 , y 0 , z 0 )
理想不可压缩流体基本方程组
将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起， 得到理想不可压缩流体的运动方程组，即
u 0 1 du dt F p
初始条件是t=t0时
u u(r), p p(r)
在固体壁面上 un 0 边界条件为 在无穷远处 u U
流函数和速度势函数是求解量在空间 的分布仅依赖于两个坐标来确定
二维运动 流函数的定义 如果流体质点的运动速度都与已知的x-y平面平行，且 所有平面上的流动情况都相同，则二维流动的流线方程为
dx dy ux u y
连续性方程 为
或
uxdy uy dx 0
d
dr
uy d x
u d r
d ux d y u y d x
ux y , uy x
d u r r d u d r
1 ur , u r r
流函数与流量的关系
根据理想流体的运动学特性，可以将理想流体的运 动分为无旋运动和有旋运动两大类。
本章将在介绍二维运动引入流函数的概念，介绍无 旋运动时引入势函数的概念，流函数和势函数是描述 流体行为的重要概念。 求解流体无旋运动问题，一般通过解运动学方程 （连续性方程）和动力学方程（运动方程），确定流 场的速度分布和压力分布。
ux , uy ,uz x y z
这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类 似力势的特性，即与起点位置无关，只决定于两点之间的势差。
速度势函数 的求法（一）
M
( x, y, z )
( x , y0 , z 0 )
( x0 , y 0 , z 0 )
理想不可压缩流体基本方程组
将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起， 得到理想不可压缩流体的运动方程组，即
u 0 1 du dt F p
初始条件是t=t0时
u u(r), p p(r)
在固体壁面上 un 0 边界条件为 在无穷远处 u U
流函数和速度势函数是求解量在空间 的分布仅依赖于两个坐标来确定
二维运动 流函数的定义 如果流体质点的运动速度都与已知的x-y平面平行，且 所有平面上的流动情况都相同，则二维流动的流线方程为
dx dy ux u y
连续性方程 为
或
uxdy uy dx 0
d
dr
uy d x
u d r
d ux d y u y d x
ux y , uy x
d u r r d u d r
1 ur , u r r
流函数与流量的关系
高等流体力学-第六讲
第六讲 剪切流中的离散
本讲主要内容
一、描述离散的基本方程 二、圆管流中的离散 三、宽矩形断面明槽流动中的离散 四、非定常剪切流中的离散 五、平面二维流动中的离散 六、浓度矩法简介
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
1
第六讲 剪切流中的离散
一、描述离散的基本方程
1、离散概念
离散（ ）：由剪切流中流速分布 离散（弥散 Dispersion）：由剪切流中流速分布（对紊流指时均速 ）：由剪切流中流速分布（ 度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。 度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。
（2）紊动扩散系数的比拟
r 其中： 其中： z = a
Drr ( z ) =
q − ∂C
= ∂r
− ρ ∂u
τ
= ∂r
au z τ 0r / a = * df − ρ ∂u ∂r
dz
（3）浓度断面平均差方程
ˆ ∂C a D rr ∂ ∂C u* ˆ u = 2 (z )= ∂x ∂z a z ∂z a df
ˆ ∂C ∂ 2C ˆ Dm 2 = u a ∂y ∂ξ
ˆ ∂C 边界条件： 边界条件： = 0, y = 0, 及 ∂y
y=h
（4）纵向离散（或混合系数）系数计算公式 纵向离散（或混合系数）
DL ≈ K = − A
北京工业大学市政学科部——马长明
1 ∂C a
ˆˆ ∫A uCdA ∂x
10
高等流体(水）力学讲稿
ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Ca Dm ∂ ∂C 1 ∂2C ∂ ∂C Dm ∂ ∂C ˆ (r ) u = [ (r ) + + (r )]= 2 ∂x r ∂r ∂r r ∂θ ∂x ∂x r ∂r ∂r
本讲主要内容
一、描述离散的基本方程 二、圆管流中的离散 三、宽矩形断面明槽流动中的离散 四、非定常剪切流中的离散 五、平面二维流动中的离散 六、浓度矩法简介
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
1
第六讲 剪切流中的离散
一、描述离散的基本方程
1、离散概念
离散（ ）：由剪切流中流速分布 离散（弥散 Dispersion）：由剪切流中流速分布（对紊流指时均速 ）：由剪切流中流速分布（ 度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。 度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。
（2）紊动扩散系数的比拟
r 其中： 其中： z = a
Drr ( z ) =
q − ∂C
= ∂r
− ρ ∂u
τ
= ∂r
au z τ 0r / a = * df − ρ ∂u ∂r
dz
（3）浓度断面平均差方程
ˆ ∂C a D rr ∂ ∂C u* ˆ u = 2 (z )= ∂x ∂z a z ∂z a df
ˆ ∂C ∂ 2C ˆ Dm 2 = u a ∂y ∂ξ
ˆ ∂C 边界条件： 边界条件： = 0, y = 0, 及 ∂y
y=h
（4）纵向离散（或混合系数）系数计算公式 纵向离散（或混合系数）
DL ≈ K = − A
北京工业大学市政学科部——马长明
1 ∂C a
ˆˆ ∫A uCdA ∂x
10
高等流体(水）力学讲稿
ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Ca Dm ∂ ∂C 1 ∂2C ∂ ∂C Dm ∂ ∂C ˆ (r ) u = [ (r ) + + (r )]= 2 ∂x r ∂r ∂r r ∂θ ∂x ∂x r ∂r ∂r
高等流体力学PPT课件
1 ur
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
25
速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空
2
aij ijkk
uD S r
表示由于流体微团变形而产生的 M 点相对于M点 的速度变化。
uR
1 ur
2
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 对于M 点的速度变化。
M 点相
26
26
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系：
u t x,y,z
u
u(x,
y,
z,
t)
某一空间点上的流体速度随时间的变化，称当地导 数或局部导数。
拉格朗日参考系：u u(x0, y0, z0,t)
u
t
x0 , y0 ,z0
流体质点速度随时间的变化，即加速度。
在欧拉参考系下用 Du 表示流体质点的速度变化。
25
速度分解定理，应变率张量和旋转率张量
速度分解定理
ui
ui x j
xj
1 2
ui x j
u j xi
1 2
ui x j
u j xi
xj
sij x j aij x j S r A r
Sr 1 ur
2
u uD uR
aij x j ijk x jk r
物质导数
以矢量和张量下标形式表示的物质导数
D
Dt
t
uk
xk
D
Dt
t
u
t
u
算符
u
ui vj wk
i
x
j
y
k
z
u v w x y z
13
13
物质导数物理意义
D Dt t uk xk
D 物质导数，质点导数，随体导数；
Dt
欧拉参考系中的时间导数，称局部导数或就地导数，表示空
高等计算流体力学讲义(1)
(8)
∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ = ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 = ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2、度量系数及其计算方法
在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数： ξ x , ξ y ,η x ,η y 。这些系数 称为坐标变换公式(5)对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平 面中的偏微分方程，如(9)式，必须确定度量系数（有时还包括 ξ xx , ξ xy , ξ yy ,η xx ,η xy ,η yy 等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一 般情况下，我们只知道坐标变换关系(5)、(6)的离散表达式，度量系数一般也要 通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造 ξ x , ξ y ,η x ,η y 的差分近似是不容易 的。以 ξ x 为例，根据偏导数的意义， ξ x 为 y 保持不变时 ξ 随 x 的变化，如图 2 所示，网格点 P 处的 ξ x 的计算公式应为：
不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型 N－S 方程可以写为下列 向量形式： ∂U ∂ ( F − Fv ) ∂ (G − G v ) ∂ ( H − H v ) + + + =0， (1) ∂t ∂x ∂y ∂z 其中
ρu ρv ρw ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρu + p ⎟ ⎜ ρ vu ⎟ ⎜ ρ uw ⎟ F = ⎜ ρ uv ⎟ G = ⎜ ρ v 2 + p ⎟ H = ⎜ ρ vw ⎟ ， ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ρ uw ⎟ ⎜ ρ vw ⎟ ⎜ ρw + p ⎟ ⎜ ( ρ E + p)u ⎟ ⎜ ( ρ E + p )v ⎟ ⎜ ( ρ E + p) w ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎛ ⎞ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ xy τ xx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ ⎜ ⎟ τ xy yy G = Fv = ⎜ v ⎜ ⎟， ⎟ τ τ yz xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ∂ ∂T ⎜ uτ xy + vτ yy + wτ yz + k ⎟ ⎜ uτ xx + vτ xy + wτ xz + k ⎟ ∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ τ xz ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ τ zy Hv = ⎜ ⎟。 τ zz ⎜ ⎟ ⎜ ∂T ⎟ ⎜ uτ xz + vτ zy + wτ zz + k ⎟ ∂z ⎠ ⎝ 如果忽略 N－S 方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为 Euler 方程：
计算流体力学电子教案ppt课件
27
解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题 处理，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增 加了源项。即
d dx
(k
dT dx
)
q
0
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
aPP aWW aEE Su （2 8）
aW
w
xWP
Aw
,
aE
e
k x
A,
aP
aW
aE SP
SP
2k x
A，Su
2k x
A
TB
23
根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：
左端控制体
kA(T2
x
T1
)
kA(T1 TA ) x / 2
0
右端控制体
kA(TB x
T5
/2
)
kA(T5 T4 ) x
0
(T2 T1) (2T1 2TA ) 0 (2TB 2T5 ) (T5 T4 ) 0
计算流体力学电子教案
1
目录
• 第一章 绪论 • 第二章 扩散问题的有限体积法 • 第三章 对流扩散问题的有限体积法 • 第四章 差分格式问题 • 第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 • 第六章 有限体积法离散方程的解法 • 第七章 非稳态流动问题的有限体积法 • 第八章 边界条件处理
2
第二章 扩散问题的有限体积法
即
kA(T2 T1 ) x
kA(T1 TA ) x / 2
0
在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A
解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题 处理，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增 加了源项。即
d dx
(k
dT dx
)
q
0
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
aPP aWW aEE Su （2 8）
aW
w
xWP
Aw
,
aE
e
k x
A,
aP
aW
aE SP
SP
2k x
A，Su
2k x
A
TB
23
根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：
左端控制体
kA(T2
x
T1
)
kA(T1 TA ) x / 2
0
右端控制体
kA(TB x
T5
/2
)
kA(T5 T4 ) x
0
(T2 T1) (2T1 2TA ) 0 (2TB 2T5 ) (T5 T4 ) 0
计算流体力学电子教案
1
目录
• 第一章 绪论 • 第二章 扩散问题的有限体积法 • 第三章 对流扩散问题的有限体积法 • 第四章 差分格式问题 • 第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 • 第六章 有限体积法离散方程的解法 • 第七章 非稳态流动问题的有限体积法 • 第八章 边界条件处理
2
第二章 扩散问题的有限体积法
即
kA(T2 T1 ) x
kA(T1 TA ) x / 2
0
在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A
高等流体力学 第二章 流体力学的基本概念
流体的体积m3vmv对于各点密度不同的非均质流体在流体的空间中某点取包含该点的微小体积则该点的密度为lim0该体积内流体的质量122流体的相对密度流体的相对密度是指某种流体的密度与4时水的密度的比值用符号d来表示的比值用符号d来表示
第二章 流体力学的基本概念
连续介质假设 流动性 压缩性 粘性
1
第一节 流体的特征和连续介质假设
表1-4
压强 p （10 Pa）
5
0℃水在不同压强下的 值
4.9 0.539 9.8 0.537 19.6 0.531 39.2 0.523 78.4 0.515
（×10 -9 m2 /N）
17
气体的压缩性要比液体的压缩性大得多，这是由于气 体的密度随着温度和压强的改变将发生显著的变化。对于 完全气体，其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状 态方程表示，即 p RT （1-6）
气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变 时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积 减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1℃体积就 比0℃时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压 缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的 变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为 可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体， 都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性， 要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时， 水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这
动 力 黏 度 104 （ P a·s） 10.1 10.6 — 11.6 6.5 9.7 — 14900 2.9 19.2 72 — 0.21 2.8 15.6
11
表1-2
在标准大气压和20℃常用气体性质
第二章 流体力学的基本概念
连续介质假设 流动性 压缩性 粘性
1
第一节 流体的特征和连续介质假设
表1-4
压强 p （10 Pa）
5
0℃水在不同压强下的 值
4.9 0.539 9.8 0.537 19.6 0.531 39.2 0.523 78.4 0.515
（×10 -9 m2 /N）
17
气体的压缩性要比液体的压缩性大得多，这是由于气 体的密度随着温度和压强的改变将发生显著的变化。对于 完全气体，其密度与温度和压强的关系可用热力学中的状 态方程表示，即 p RT （1-6）
气体的压缩性都很大。从热力学中可知，当温度不变 时，完全气体的体积与压强成反比，压强增加一倍，体积 减小为原来的一半；当压强不变时，温度升高1℃体积就 比0℃时的体积膨胀1/273。所以，通常把气体看成是可压 缩流体，即它的密度不能作为常数，而是随压强和温度的 变化而变化的。我们把密度随温度和压强变化的流体称为 可压缩流体。 把液体看作是不可压缩流体，气体看作是可压缩流体， 都不是绝对的。在实际工程中，要不要考虑流体的压缩性， 要视具体情况而定。例如，研究管道中水击和水下爆炸时， 水的压强变化较大，而且变化过程非常迅速，这
动 力 黏 度 104 （ P a·s） 10.1 10.6 — 11.6 6.5 9.7 — 14900 2.9 19.2 72 — 0.21 2.8 15.6
11
表1-2
在标准大气压和20℃常用气体性质
高等流体力学(粘性流体力学部分)课件
及变形率的关系式代入公式，
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
zz C12 xx C12 yy C11 zz C37
xy (C11 C12 ) xy
xz (C11 C12 ) xz
yz (C11 C12 ) yz
5个系数是C11,C12,C17,C27,C37。 根据第三个前提。当变形率等于零时， xx yy zz 则，C17 C27 C37 剩下两个系数C11和C12待定。
x l 1 x m1y n 1z y l 2 x m 2y n 2 z z l 3 x m 3y n 3 z
流速分量u′，v′，w′可以表示为
ux ' l1ux m1uy n1uz
ux ' l2ux m2uy n2uz
本例题说明,已知流速场、 和p以后，从本构方程即可得任一点处 的各个应力分量。
§3-2 粘性流体的运动方程 在实际液体中分离出一个微分平行六面体，各边 长为dx、dy、dz，其质量为ρdxdydz。作用在六 面体上的表面力每面有三个：一个法向正应力， 两个切应力。法向力都是沿内法线方向。
x'x' xxl12 yy m12 zz n12 2 xyl1m1 2 yz m1n1 2 xzl1n1
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
zz C12 xx C12 yy C11 zz C37
xy (C11 C12 ) xy
xz (C11 C12 ) xz
yz (C11 C12 ) yz
5个系数是C11,C12,C17,C27,C37。 根据第三个前提。当变形率等于零时， xx yy zz 则，C17 C27 C37 剩下两个系数C11和C12待定。
x l 1 x m1y n 1z y l 2 x m 2y n 2 z z l 3 x m 3y n 3 z
流速分量u′，v′，w′可以表示为
ux ' l1ux m1uy n1uz
ux ' l2ux m2uy n2uz
本例题说明,已知流速场、 和p以后，从本构方程即可得任一点处 的各个应力分量。
§3-2 粘性流体的运动方程 在实际液体中分离出一个微分平行六面体，各边 长为dx、dy、dz，其质量为ρdxdydz。作用在六 面体上的表面力每面有三个：一个法向正应力， 两个切应力。法向力都是沿内法线方向。
x'x' xxl12 yy m12 zz n12 2 xyl1m1 2 yz m1n1 2 xzl1n1
高等流体力学第6章
u v w 0 x y z u u u u p 2 u v w xx u xy u v xz u w x y z x x y z t
8
第一节 层流的稳定性和它向湍流的过渡
三、层流流动稳定性
三、层流流动的稳定性 层流向湍流的过渡与流动中受到的扰动密不 可分： • 惯性力、重力、浮力以及表面张力等可使 扰动趋于增长； • 流体中的粘性阻力和热传导等则会使扰动 消减。 如扰动的增长因素与消减因素的综合作用使 扰动消减，层流流动就是稳定的；反之，若 使扰动增长，则层流流动就是不稳定的。
u
v
w
u
v
w y T y
w
c
T t
u
T x
v
w
式中：
xx
2
u x
, ,
yy
2
v y
, ,
zz
2
w z
xy
v u y x
yz
v w y z
时均周期应比宏观流动 的时变特性小得多，以 便可以描述时均值随时 间的变化。
流体流动与传热的数值计算 13
第二节 湍流运动的雷诺方程组
一、时均法及时均量的性质
说明：湍流是否定常，是针对其时 均值而言的。对于瞬时值来说，湍 流永远为非定常的。
“时均定常湍流”和“时均非定常湍流”： 如果时均值不随时间变化，则称该流动 为时均定常湍流。 如果时均值随时间变化，则称该流动为 时均非定常湍流。
v v v v p 2 u v w xy u v yy v yz u w x y z y x y z t
8
第一节 层流的稳定性和它向湍流的过渡
三、层流流动稳定性
三、层流流动的稳定性 层流向湍流的过渡与流动中受到的扰动密不 可分： • 惯性力、重力、浮力以及表面张力等可使 扰动趋于增长； • 流体中的粘性阻力和热传导等则会使扰动 消减。 如扰动的增长因素与消减因素的综合作用使 扰动消减，层流流动就是稳定的；反之，若 使扰动增长，则层流流动就是不稳定的。
u
v
w
u
v
w y T y
w
c
T t
u
T x
v
w
式中：
xx
2
u x
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yy
2
v y
, ,
zz
2
w z
xy
v u y x
yz
v w y z
时均周期应比宏观流动 的时变特性小得多，以 便可以描述时均值随时 间的变化。
流体流动与传热的数值计算 13
第二节 湍流运动的雷诺方程组
一、时均法及时均量的性质
说明：湍流是否定常，是针对其时 均值而言的。对于瞬时值来说，湍 流永远为非定常的。
“时均定常湍流”和“时均非定常湍流”： 如果时均值不随时间变化，则称该流动 为时均定常湍流。 如果时均值随时间变化，则称该流动为 时均非定常湍流。
v v v v p 2 u v w xy u v yy v yz u w x y z y x y z t
高等流体力学讲义课件-流体力学基本概念
和对流导数联系起来。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
例1. 拉格朗日变数 (x0,y0,z0) 给出的流体运动规律为 x x0e2t , y y0 (1 t)2 ,
z z0e2t (1 t)2
1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。
解: 1) 设速度场的三个分量是 u, v, w
t
d
CV
undA
CS
CV
t
d
undA
CS
D Dt
V dV
V [ t
(u)]dV
D
Dt
dV
V
V
[ tห้องสมุดไป่ตู้
（ xk
uk
)]dV
高斯公式，
undA (u)dV
CS
CV
1 . 3 雷诺输运定理
例2. 一流场中流体的密度为 1,速度分布为 u ax, v ay, w 2az
t t 时刻， (x x, y y, z z,t t)
泰勒级数展开，
(x x, y y, z z,t t)
(x, y, z,t) t x y z
t x
y
z
D lim 1 (x x, y y, z z,t t) (x, y, z,t)
(x, y, z,t) x(x0, y0, z0,t), y(x0, y0, z0,t), z(x0, y0, z0,t),t
D
x
x y
z
Dt
t x0 , y0 ,z0
t x t y t z t x,y,z
y , z ,t
x0 , y0 ,z0
x , z ,t
x0 , y0 ,z0
1.1 连续介质假说
西南交大流体力学(1-6)复习题纲与课后习题复习详解...
黏滞性是本章学习的重点要掌握牛顿内摩擦定律及两个黏度系数动力黏度???dy与运动黏度的关系理解液体和气体的黏度随温度变化的差异性液体黏度随温度升高而????du减小气体黏度随温度升高而增大以及的物理意义流速沿垂直于流速方向y的变化率了解流体dy内摩擦力与固体间摩擦力的区别
第一章 绪论
§1.1 本章导学 本章主要介绍工程流体力学的研究内容及相关概念。 1.流体 自然界中容易流动的物质称为流体，它包括液体和气体。从形态上看，流体与固体的主要区别在于固 体具有固定的形状，而流体则随容器而方圆。从力学分析的角度看，固体一般可承受拉、压、剪、扭，而 流体则几乎不能承受拉力，处于静止状态的流体还不能抵抗剪力，即流体在很小的剪力作用下将发生连续 不断的变形。至于气体与液体的差别则主要在于气体容易压缩，而液体难于压缩，另外液体能形成自由表 面而气体不能。 2.流体连续介质模型 流体连续介质模型假定流体是由质点（或微团）毫无间隙的组成，其物理性质各向同性，且在空间和 时间上具有连续性，因此可采用数学中的连续函数作为分析工具。 工程流体力学在研究流体运动时， 由于只研究外力作用下的机械运动规律， 而流体分子除稀薄气体外， 相互间一般是极为密集的，因此将流体视为连续介质既有必要又有可能。 3.流体的主要物理性质 流体的主要物理性质主要包括惯性（密度、重度） 、黏滞性（黏度）和压缩性等。其中，表征惯性的 密度 和重度 是大家较为熟悉的，主要掌握 与 的关系 g 及影响因素，应熟记在常温下，淡水 的密度 1000kg / m 和重度 9800N / m 。
原 1.035原 原 0.035 原 原
2
此时动力粘度 增加了 3.5% 1-5． 两平行平板相距 0.5mm， 其间充满流体， 下板固定， 上板在 2N/m 的压强作用下以 0.25m/s 匀速移动， 求该流体的动力粘度。 [解] 根据牛顿内摩擦定律，得
第一章 绪论
§1.1 本章导学 本章主要介绍工程流体力学的研究内容及相关概念。 1.流体 自然界中容易流动的物质称为流体，它包括液体和气体。从形态上看，流体与固体的主要区别在于固 体具有固定的形状，而流体则随容器而方圆。从力学分析的角度看，固体一般可承受拉、压、剪、扭，而 流体则几乎不能承受拉力，处于静止状态的流体还不能抵抗剪力，即流体在很小的剪力作用下将发生连续 不断的变形。至于气体与液体的差别则主要在于气体容易压缩，而液体难于压缩，另外液体能形成自由表 面而气体不能。 2.流体连续介质模型 流体连续介质模型假定流体是由质点（或微团）毫无间隙的组成，其物理性质各向同性，且在空间和 时间上具有连续性，因此可采用数学中的连续函数作为分析工具。 工程流体力学在研究流体运动时， 由于只研究外力作用下的机械运动规律， 而流体分子除稀薄气体外， 相互间一般是极为密集的，因此将流体视为连续介质既有必要又有可能。 3.流体的主要物理性质 流体的主要物理性质主要包括惯性（密度、重度） 、黏滞性（黏度）和压缩性等。其中，表征惯性的 密度 和重度 是大家较为熟悉的，主要掌握 与 的关系 g 及影响因素，应熟记在常温下，淡水 的密度 1000kg / m 和重度 9800N / m 。
原 1.035原 原 0.035 原 原
2
此时动力粘度 增加了 3.5% 1-5． 两平行平板相距 0.5mm， 其间充满流体， 下板固定， 上板在 2N/m 的压强作用下以 0.25m/s 匀速移动， 求该流体的动力粘度。 [解] 根据牛顿内摩擦定律，得
计算流体力学课件
计算流体力学课件
• 引言 • 基本概念与原理 • 数值模拟方法 • 计算流体力学软件介绍 • 计算流体力学在工程中的应用 • 计算流体力学的未来发展与挑战
目录
Part
01
引言
流体力学的重要性
流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热力 学性质以及流体与其他物质的相互作用。
Part
04
计算流体力学软件介绍
Fluent软件介绍
1
商业化的计算流体动力学 软件
4
提供丰富的物理模型和材 料库，方便用户进行模拟 和分析
2
支持多种求解器和网格生
成技术
3
广泛应用于流体动力学模
拟、燃烧模拟等领域
CFX软件介绍
英国AEA公司开发的计算流体动 力学软件
提供丰富的物理模型和材料库， 方便用户进行模拟和分析
迭代法
通过迭代的方式求解离散 化的方程组，得到数值解 。
有限差分法
有限差分法的基本思想
将偏微分方程转化为差分方程，通过 求解差分方程得到数值解。
有限差分法的步骤
建立差分方程、求解差分方程、误差 估计等。
有限元法
有限元法的基本思想
将连续的物理量离散为有限个单元，通过求解每个单元的近似解得到整个问题 的数值解。
规模的流动模拟。
大涡模拟
总结词
大涡模拟是一种针对湍流中大尺度涡旋进行模拟的方法，通过过滤掉小尺度涡旋 的影响，降低计算量。
详细描述
大涡模拟只关注大尺度涡旋的运动规律，忽略小尺度涡旋的影响。这种方法能够 显著减少计算量，适用于较大尺度的流动模拟。然而，由于忽略了小尺度涡旋的 影响，大涡模拟的精度和适用范围有限。
水流模拟
• 引言 • 基本概念与原理 • 数值模拟方法 • 计算流体力学软件介绍 • 计算流体力学在工程中的应用 • 计算流体力学的未来发展与挑战
目录
Part
01
引言
流体力学的重要性
流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热力 学性质以及流体与其他物质的相互作用。
Part
04
计算流体力学软件介绍
Fluent软件介绍
1
商业化的计算流体动力学 软件
4
提供丰富的物理模型和材 料库，方便用户进行模拟 和分析
2
支持多种求解器和网格生
成技术
3
广泛应用于流体动力学模
拟、燃烧模拟等领域
CFX软件介绍
英国AEA公司开发的计算流体动 力学软件
提供丰富的物理模型和材料库， 方便用户进行模拟和分析
迭代法
通过迭代的方式求解离散 化的方程组，得到数值解 。
有限差分法
有限差分法的基本思想
将偏微分方程转化为差分方程，通过 求解差分方程得到数值解。
有限差分法的步骤
建立差分方程、求解差分方程、误差 估计等。
有限元法
有限元法的基本思想
将连续的物理量离散为有限个单元，通过求解每个单元的近似解得到整个问题 的数值解。
规模的流动模拟。
大涡模拟
总结词
大涡模拟是一种针对湍流中大尺度涡旋进行模拟的方法，通过过滤掉小尺度涡旋 的影响，降低计算量。
详细描述
大涡模拟只关注大尺度涡旋的运动规律，忽略小尺度涡旋的影响。这种方法能够 显著减少计算量，适用于较大尺度的流动模拟。然而，由于忽略了小尺度涡旋的 影响，大涡模拟的精度和适用范围有限。
水流模拟
计算流体力学课件完整版
●真实可靠、是发现流动规律、检验理论和为流体机 械设计提供数据的基本手段。
●实验要受测量技术限制，实验周期长、费用高。
☆ 理论研究 ●在研究流体流动规律的基础上，建立了流体流动基 本方程。 ●对于一些简单流动，通过简化求出研究问题的解析 解。
计算流体力学
●对于实际流动问题，通常需运用流体力学基本方程， 借助于计算机求数值解（计算机数值模拟）— 计算流体力学CFD。
Z
skirt.plt X Y
75 50 25
0 -25 -50 -75
-2
Y(M) 0
2
0 2 4 6 10 8 X(M) 12 14
D) 16 Feb 2003 Velocity Vectors
4.5
4 velocity.plt
3.5
3
2.5
2
1.5
Z
Z
(3D) 16 Feb 2003 IJK-Ordered DZ ata
ijkcyl.plt X Y
Z
-0.4 -0.2 Y0 0.2 0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4
Z
jetflow.plXt Y
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 Y0.1 0.2
-0.6 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4 0.6
轴流叶轮计算与实验叶片表面极限流线
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验性能比较
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验流场结构比较
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能
●实验要受测量技术限制，实验周期长、费用高。
☆ 理论研究 ●在研究流体流动规律的基础上，建立了流体流动基 本方程。 ●对于一些简单流动，通过简化求出研究问题的解析 解。
计算流体力学
●对于实际流动问题，通常需运用流体力学基本方程， 借助于计算机求数值解（计算机数值模拟）— 计算流体力学CFD。
Z
skirt.plt X Y
75 50 25
0 -25 -50 -75
-2
Y(M) 0
2
0 2 4 6 10 8 X(M) 12 14
D) 16 Feb 2003 Velocity Vectors
4.5
4 velocity.plt
3.5
3
2.5
2
1.5
Z
Z
(3D) 16 Feb 2003 IJK-Ordered DZ ata
ijkcyl.plt X Y
Z
-0.4 -0.2 Y0 0.2 0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4
Z
jetflow.plXt Y
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 Y0.1 0.2
-0.6 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4 0.6
轴流叶轮计算与实验叶片表面极限流线
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验性能比较
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验流场结构比较
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能
高等流体力学讲义6
r C 1 2 V sin
圆柱绕流
无环量圆柱绕流——均匀流、偶极子的组合 （一）均匀流、偶极子的组合 在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个 沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为
前进
无粘性流体的势流理论
主要内容：
势流理论的地位和作用 有势流动的基本方程 有势流动理论基础 基本势流及其叠加 圆柱绕流 复变函数及保角变换 若干简单势流的复势 儒可夫斯基翼型绕流
前进 结束
有势流动的基本方程 连续方程 Euler运动方程 势流条件
不可压缩流体恒定流 u v w D 0 V 2 0 x y z Dt
cy cx ,v 2 x 2 y2 x y2
或 涡量
ur 0,v
v u 1 c y 2 x 2 c y2 x2 z 0 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 2 x y
r r
在极坐标中，自由涡流的势函数φ 的全微分为 1 d d rd u d v rd r r ——自由涡流的流速势 把ur, uθ代入后积分，可得 2 1 1 和Φ是共轭的，故， u ,v
（ii）求流函数——Dirichlet问题
（iii）求复势W（z）函数
有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点· 源和汇 m r 流速矢量V=gradφ与 φ=const的表面垂直，流动系径向流动，
c
任一点的流速为
圆柱绕流
无环量圆柱绕流——均匀流、偶极子的组合 （一）均匀流、偶极子的组合 在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个 沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为
前进
无粘性流体的势流理论
主要内容：
势流理论的地位和作用 有势流动的基本方程 有势流动理论基础 基本势流及其叠加 圆柱绕流 复变函数及保角变换 若干简单势流的复势 儒可夫斯基翼型绕流
前进 结束
有势流动的基本方程 连续方程 Euler运动方程 势流条件
不可压缩流体恒定流 u v w D 0 V 2 0 x y z Dt
cy cx ,v 2 x 2 y2 x y2
或 涡量
ur 0,v
v u 1 c y 2 x 2 c y2 x2 z 0 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 2 x y
r r
在极坐标中，自由涡流的势函数φ 的全微分为 1 d d rd u d v rd r r ——自由涡流的流速势 把ur, uθ代入后积分，可得 2 1 1 和Φ是共轭的，故， u ,v
（ii）求流函数——Dirichlet问题
（iii）求复势W（z）函数
有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点· 源和汇 m r 流速矢量V=gradφ与 φ=const的表面垂直，流动系径向流动，
c
任一点的流速为
北京理工大学高等流体力学-计算流体力学
定义：自学（Anderson，Hoffman） 不同类型的方程有不同的数值解法！
2.2 抛物型方程显式解法
FTCS(Forward time/ central space) Richardson Method Dufort-Frankel Method
2.2.1 FTCS – Forward time and Central space
ADI
Laasonen Crank-Nicolson Beta Formulation
二维方程
FTCS(Forward Time-Central Space)
Why CFD? – 理论
理论方法（解析法）
原 理：在研究流体运动规律的基础上，建立相应的流动模型（一 般有简化），形成描述流动的控制方程，并在一定的假设和条件 下，经过解析推导，得到问题的解析解或者简化解。 所需设备：无
地 位：主要用于定性分析或者初步的设计和分析。
优 点：可给出使用范围较广的信息，所需花费的代价非常小便可 以给出规律性的结果或者变化规律。 缺 点：工程流体力学相关领域中极少或者没有解析解，因此应用 范围受限。
在网格节点上的信息u：
一阶向后差分
Slide 28
1.3.3 差分格式构造-中心差分
二阶中心差分
Slide 29
1.3.4 二阶导数的差分
二阶导数的二阶精度中心差分格式
Slide 30
1.3.4 二阶导数的差分
对 求 导 数 相 减
y
混合导数的二阶精度中心差分格式
Slide 31
1.3.5 基本差分格式汇总
Slide 19
1.2 区域离散化初步
A
网格顶点
《流体力学》课后习题答案详解
习题【1】1-1 解：已知：120t =℃，1395p kPa '=，250t =℃ 120273293T K =+=，250273323T K =+= 据p RT ρ=，有：11p RT ρ'=，22p RT ρ'= 得：2211p T p T '='，则2211323395435293T p p kPa T ''=⋅=⨯=1-2 解：受到的质量力有两个，一个是重力，一个是惯性力。
重力方向竖直向下，大小为mg ；惯性力方向和重力加速度方向相反为竖直向上，大小为mg ，其合力为0，受到的单位质量力为01-3 解：已知：V=10m 3，50T ∆=℃，0.0005V α=℃-1根据1V V V Tα∆=⋅∆，得：30.000510VVV Tα∆=⋅⋅∆=⨯⨯1-4 解：已知：419.806710Pa p '=⨯，52 5.884010Pa p '=⨯，150t =℃，278t =℃得：1127350273323T t K=+=+=，G ＝mg自由落体： 加速度a ＝g2227378273351T t K =+=+=根据mRTp V=，有：111mRT p V '=，222mRT p V '=得：421251219.8067103510.185.884010323V p T V p T '⨯=⋅=⨯='⨯，即210.18V V = 体积减小了()10.18100%82%-⨯=1-5 解：已知：40mm δ=，0.7Pa s μ=⋅，a =60mm ，u =15m/s ，h =10mm根据牛顿内摩擦力定律：uT Ayμ∆=∆ 设平板宽度为b ，则平板面积0.06A a b b =⋅=上表面单位宽度受到的内摩擦力：1100.70.06150210.040.01T A u b N b b h b μτδ-⨯-==⋅=⨯=--/m ，方向水平向左下表面单位宽度受到的内摩擦力： 2200.70.061506300.010T A u b N b b h b μτ-⨯-==⋅=⨯=--/m ，方向水平向左平板单位宽度上受到的阻力：12216384N τττ=+=+=，方向水平向左。
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p*L pL SLSL[*L L ] [(u2 )*L (u2 )L ] pL *L (SL u*L )(SL u*L ) L (SL uL )(SL uL ) pL L (SL uL )(SL u*L ) L (SL uL )(SL uL ) pL L (SL uL )[(SL u*L ) (SL uL )] pL L (SL uL )(u*L uL )
x 0 x 0
Ã称为Roe Jacobian Matrix, Roe要求它满足下列条件：
（A） 双曲性 即Ã 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量；
（B） 相容性 （C） 守恒性
A(U ,U ) A F (U R ) F (U L ) A(U R U L )
根据这些条件可 确定Ã （先假定 为已知）
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
x 0 x 0
v( j) ( j) v( j) 0
t
x
v(
j) ( x,0)
v( v(
j) L
j) R
l( j) l( j)
UL UR
if if
x
0
( j 1,2,
m)
x 0
v(
j)
(
x,
t
)
l(
j)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
第六讲 Riemann问题的近似解
1
十八、Riemann问题的近似解 Approx. Riemann Solver
2
为什么要研究Riemann问题的近似解?
• 精确求解Riemann问题计算量大；某些双曲 型守恒律的Riemann问题无精确解！
• 由于在时间积分、通量积分、重构等步骤 已经引入了各种近似，精确求解Riemann问 题并不会导致整体精度的提高（但对一维 问题而言，基于Riemann问题精确解的 Godunov格式的稳健性和精度的平衡可能较 好。）
如果左右状态满足激波关系，则
A(UL ,UR ) A(U )
F (UR ) F (UL ) D(UR UL ) A(UR UL )
D是Ã 的特征值，此时线性Riemann问题的解与Riemann问题精确解2相0 同！
A 的特征值为 (m) (1) (2) (m)
左、右特征值向量为 l(m), r(m)
UL)
23
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR
)
1 2
~
L1(sign )L(U R
UL)
注意到 F AU
线化方程的数值通量
Fi1/2
F0
1 2
AU L AU R
1 2
L1
~
L(U R
UL)
如何计算原始Euler方程的数值通量？
24
Euler方程（无线性化，但假定与线化方程有相同的解的结构）
则 U A U 0 t x
守恒形式 U F 0 F AU t x
基本思路: •在控制体界面处把方程线性化 •通过求解线性Riemann问题计算通量
UL,UR : Riemann问题左右状态
19
线性Riemann问题 关键问题: 如何线性化?
Ut AU x 0
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
接触间断
利用上二式的第一、二两项
中间波是接触间断
14
SL *L (u)*L SL L (u)L SL (u)*L (u2 p)*L SL (u)L (u2 p)L
(u)*L (u)L SL *L SL L p*L pL SL[(u)*L (u)L ] [(u2 )*L (u2 )L ]
15
变形1
16
变形2
Sk
17
变形3
假定*状态有单一压力
，不直接用
18
Riemann问题的近似解法3：Roe方法
考虑扩张一维守恒型Euler 方程 ：
U F 0 t x 对应的拟线性形式为： U A U 0 t x
Roe 把上式中的矩阵A 用一个常矩阵 Ã 代替 ，即
A A(U L,U R )
一般情况
9
波速的确定
不推荐！ Roe平均
推荐！
还有其他方法，见Toro的书。
10
HLL的变形
Rusanov（Lax）
Lax
11
Riemann问题的近似解法2：HLLC方法
• Toro • 基本思路：三波近似（在HLL基础上加接触
间断）
12
相容条件
13
满足相容条件 超定还是欠定？
假定SL，SR已知，关键问题是求S*
[xL , xR ][0,T ]
U TSR TSL
]L(U R
U
L
)
U
( x, t )
1 2
(U L
U
R
)
1 2
~
L1sign(
(x
/
t)I
)L(U R
U
L
)
为了计算通量，只需在x=0处的解：
v( j) i1/
2
(0)
l( l(
j) j)
U L若（j) U R若（j)
0 0
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR)
1 2
~
L1(sign )L(U R
由双曲性，可知： A L1L
由于 A 是常矩阵，所以L, L-1也是常矩阵
L U L U 0
t
x
定义特征变量V=LU
V V 0 t x
v( j) ( j) v( j) 0
txΒιβλιοθήκη Vv(1)v
(
2)
l(1)
U
l(2) U
v(m)
l(m) U
21
Ut AU x 0
3
Riemann 问题
扩展一维系统
初始条件
的解对应有限体积格
式的数值通量
4
Riemann问题的近似解法1：HLL方法
• Harten-Lax-Van Leer， Einfeldt（1988） • 基本思路：双波近似（不考虑接触间断）
dx dt
SL
UL
t U HLL
dx dt SR
UR
假定SL，SR已知
xL
xR
•为了避免奇异性，不对左右波的类型作假定。左右波只表示间断初始值的影
响范围；
•优点：简单；
•已知问题：对接触间断分辨率低。
5
•取 • 积分区域 • 方程
积分关系
相容条件
6
7
• 把前述积分区域分为 左右两部分，分别积分
相容条件
8
HLL Riemann Solver
通量计算时考虑x/t=0
22
v(
j
)
(
x,
t
)
l(
j
)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
v( j) i 1/
2
(
x,
t
)
1 2 l(
j)
(U L
UR)
1 2
sign( (
j)
x / t)l(
j)
(U R
UL)
Vi1/2
(x
/
t)
1 2
L(U L
U
R
)
1 2
sign[()
(x
/
t)I
x 0 x 0
Ã称为Roe Jacobian Matrix, Roe要求它满足下列条件：
（A） 双曲性 即Ã 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量；
（B） 相容性 （C） 守恒性
A(U ,U ) A F (U R ) F (U L ) A(U R U L )
根据这些条件可 确定Ã （先假定 为已知）
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
x 0 x 0
v( j) ( j) v( j) 0
t
x
v(
j) ( x,0)
v( v(
j) L
j) R
l( j) l( j)
UL UR
if if
x
0
( j 1,2,
m)
x 0
v(
j)
(
x,
t
)
l(
j)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
第六讲 Riemann问题的近似解
1
十八、Riemann问题的近似解 Approx. Riemann Solver
2
为什么要研究Riemann问题的近似解?
• 精确求解Riemann问题计算量大；某些双曲 型守恒律的Riemann问题无精确解！
• 由于在时间积分、通量积分、重构等步骤 已经引入了各种近似，精确求解Riemann问 题并不会导致整体精度的提高（但对一维 问题而言，基于Riemann问题精确解的 Godunov格式的稳健性和精度的平衡可能较 好。）
如果左右状态满足激波关系，则
A(UL ,UR ) A(U )
F (UR ) F (UL ) D(UR UL ) A(UR UL )
D是Ã 的特征值，此时线性Riemann问题的解与Riemann问题精确解2相0 同！
A 的特征值为 (m) (1) (2) (m)
左、右特征值向量为 l(m), r(m)
UL)
23
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR
)
1 2
~
L1(sign )L(U R
UL)
注意到 F AU
线化方程的数值通量
Fi1/2
F0
1 2
AU L AU R
1 2
L1
~
L(U R
UL)
如何计算原始Euler方程的数值通量？
24
Euler方程（无线性化，但假定与线化方程有相同的解的结构）
则 U A U 0 t x
守恒形式 U F 0 F AU t x
基本思路: •在控制体界面处把方程线性化 •通过求解线性Riemann问题计算通量
UL,UR : Riemann问题左右状态
19
线性Riemann问题 关键问题: 如何线性化?
Ut AU x 0
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
接触间断
利用上二式的第一、二两项
中间波是接触间断
14
SL *L (u)*L SL L (u)L SL (u)*L (u2 p)*L SL (u)L (u2 p)L
(u)*L (u)L SL *L SL L p*L pL SL[(u)*L (u)L ] [(u2 )*L (u2 )L ]
15
变形1
16
变形2
Sk
17
变形3
假定*状态有单一压力
，不直接用
18
Riemann问题的近似解法3：Roe方法
考虑扩张一维守恒型Euler 方程 ：
U F 0 t x 对应的拟线性形式为： U A U 0 t x
Roe 把上式中的矩阵A 用一个常矩阵 Ã 代替 ，即
A A(U L,U R )
一般情况
9
波速的确定
不推荐！ Roe平均
推荐！
还有其他方法，见Toro的书。
10
HLL的变形
Rusanov（Lax）
Lax
11
Riemann问题的近似解法2：HLLC方法
• Toro • 基本思路：三波近似（在HLL基础上加接触
间断）
12
相容条件
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满足相容条件 超定还是欠定？
假定SL，SR已知，关键问题是求S*
[xL , xR ][0,T ]
U TSR TSL
]L(U R
U
L
)
U
( x, t )
1 2
(U L
U
R
)
1 2
~
L1sign(
(x
/
t)I
)L(U R
U
L
)
为了计算通量，只需在x=0处的解：
v( j) i1/
2
(0)
l( l(
j) j)
U L若（j) U R若（j)
0 0
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR)
1 2
~
L1(sign )L(U R
由双曲性，可知： A L1L
由于 A 是常矩阵，所以L, L-1也是常矩阵
L U L U 0
t
x
定义特征变量V=LU
V V 0 t x
v( j) ( j) v( j) 0
txΒιβλιοθήκη Vv(1)v
(
2)
l(1)
U
l(2) U
v(m)
l(m) U
21
Ut AU x 0
3
Riemann 问题
扩展一维系统
初始条件
的解对应有限体积格
式的数值通量
4
Riemann问题的近似解法1：HLL方法
• Harten-Lax-Van Leer， Einfeldt（1988） • 基本思路：双波近似（不考虑接触间断）
dx dt
SL
UL
t U HLL
dx dt SR
UR
假定SL，SR已知
xL
xR
•为了避免奇异性，不对左右波的类型作假定。左右波只表示间断初始值的影
响范围；
•优点：简单；
•已知问题：对接触间断分辨率低。
5
•取 • 积分区域 • 方程
积分关系
相容条件
6
7
• 把前述积分区域分为 左右两部分，分别积分
相容条件
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HLL Riemann Solver
通量计算时考虑x/t=0
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v(
j
)
(
x,
t
)
l(
j
)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
v( j) i 1/
2
(
x,
t
)
1 2 l(
j)
(U L
UR)
1 2
sign( (
j)
x / t)l(
j)
(U R
UL)
Vi1/2
(x
/
t)
1 2
L(U L
U
R
)
1 2
sign[()
(x
/
t)I