高等计算流体力学-06详解
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p*L pL SLSL[*L L ] [(u2 )*L (u2 )L ] pL *L (SL u*L )(SL u*L ) L (SL uL )(SL uL ) pL L (SL uL )(SL u*L ) L (SL uL )(SL uL ) pL L (SL uL )[(SL u*L ) (SL uL )] pL L (SL uL )(u*L uL )
x 0 x 0
Ã称为Roe Jacobian Matrix, Roe要求它满足下列条件：
（A） 双曲性 即Ã 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量；
（B） 相容性 （C） 守恒性
A(U ,U ) A F (U R ) F (U L ) A(U R U L )
根据这些条件可 确定Ã （先假定 为已知）
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
x 0 x 0
v( j) ( j) v( j) 0
t
x
v(
j) ( x,0)
v( v(
j) L
j) R
l( j) l( j)
UL UR
if if
x
0
( j 1,2,
m)
x 0
v(
j)
(
x,
t
)
l(
j)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
第六讲 Riemann问题的近似解
1
十八、Riemann问题的近似解 Approx. Riemann Solver
2
为什么要研究Riemann问题的近似解?
• 精确求解Riemann问题计算量大；某些双曲 型守恒律的Riemann问题无精确解！
• 由于在时间积分、通量积分、重构等步骤 已经引入了各种近似，精确求解Riemann问 题并不会导致整体精度的提高（但对一维 问题而言，基于Riemann问题精确解的 Godunov格式的稳健性和精度的平衡可能较 好。）
如果左右状态满足激波关系，则
A(UL ,UR ) A(U )
F (UR ) F (UL ) D(UR UL ) A(UR UL )
D是Ã 的特征值，此时线性Riemann问题的解与Riemann问题精确解2相0 同！
A 的特征值为 (m) (1) (2) (m)
左、右特征值向量为 l(m), r(m)
UL)
23
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR
)
1 2
~
L1(sign )L(U R
UL)
注意到 F AU
线化方程的数值通量
Fi1/2
F0
1 2
AU L AU R
1 2
L1
~
L(U R
UL)
如何计算原始Euler方程的数值通量？
24
Euler方程（无线性化，但假定与线化方程有相同的解的结构）
则 U A U 0 t x
守恒形式 U F 0 F AU t x
基本思路: •在控制体界面处把方程线性化 •通过求解线性Riemann问题计算通量
UL,UR : Riemann问题左右状态
19
线性Riemann问题 关键问题: 如何线性化?
Ut AU x 0
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
接触间断
利用上二式的第一、二两项
中间波是接触间断
14
SL *L (u)*L SL L (u)L SL (u)*L (u2 p)*L SL (u)L (u2 p)L
(u)*L (u)L SL *L SL L p*L pL SL[(u)*L (u)L ] [(u2 )*L (u2 )L ]
15
变形1
16
变形2
Sk
17
变形3
假定*状态有单一压力
，不直接用
18
Riemann问题的近似解法3：Roe方法
考虑扩张一维守恒型Euler 方程 ：
U F 0 t x 对应的拟线性形式为： U A U 0 t x
Roe 把上式中的矩阵A 用一个常矩阵 Ã 代替 ，即
A A(U L,U R )
一般情况
9
波速的确定
不推荐！ Roe平均
推荐！
还有其他方法，见Toro的书。
10
HLL的变形
Rusanov（Lax）
Lax
11
Riemann问题的近似解法2：HLLC方法
• Toro • 基本思路：三波近似（在HLL基础上加接触
间断）
12
相容条件
13
满足相容条件 超定还是欠定？
假定SL，SR已知，关键问题是求S*
[xL , xR ][0,T ]
U TSR TSL
]L(U R
U
L
)
U
( x, t )
1 2
(U L
U
R
)
1 2
~
L1sign(
(x
/
t)I
)L(U R
U
L
)
为了计算通量，只需在x=0处的解：
v( j) i1/
2
(0)
l( l(
j) j)
U L若（j) U R若（j)
0 0
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR)
1 2
~
L1(sign )L(U R
由双曲性，可知： A L1L
由于 A 是常矩阵，所以L, L-1也是常矩阵
L U L U 0
t
x
定义特征变量V=LU
V V 0 t x
v( j) ( j) v( j) 0
txΒιβλιοθήκη Vv(1)v
(
2)
l(1)
U
l(2) U
v(m)
l(m) U
21
Ut AU x 0
3
Riemann 问题
扩展一维系统
初始条件
的解对应有限体积格
式的数值通量
4
Riemann问题的近似解法1：HLL方法
• Harten-Lax-Van Leer， Einfeldt（1988） • 基本思路：双波近似（不考虑接触间断）
dx dt
SL
UL
t U HLL
dx dt SR
UR
假定SL，SR已知
xL
xR
•为了避免奇异性，不对左右波的类型作假定。左右波只表示间断初始值的影
响范围；
•优点：简单；
•已知问题：对接触间断分辨率低。
5
•取 • 积分区域 • 方程
积分关系
相容条件
6
7
• 把前述积分区域分为 左右两部分，分别积分
相容条件
8
HLL Riemann Solver
通量计算时考虑x/t=0
22
v(
j
)
(
x,
t
)
l(
j
)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
v( j) i 1/
2
(
x,
t
)
1 2 l(
j)
(U L
UR)
1 2
sign( (
j)
x / t)l(
j)
(U R
UL)
Vi1/2
(x
/
t)
1 2
L(U L
U
R
)
1 2
sign[()
(x
/
t)I
x 0 x 0
Ã称为Roe Jacobian Matrix, Roe要求它满足下列条件：
（A） 双曲性 即Ã 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量；
（B） 相容性 （C） 守恒性
A(U ,U ) A F (U R ) F (U L ) A(U R U L )
根据这些条件可 确定Ã （先假定 为已知）
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
x 0 x 0
v( j) ( j) v( j) 0
t
x
v(
j) ( x,0)
v( v(
j) L
j) R
l( j) l( j)
UL UR
if if
x
0
( j 1,2,
m)
x 0
v(
j)
(
x,
t
)
l(
j)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
第六讲 Riemann问题的近似解
1
十八、Riemann问题的近似解 Approx. Riemann Solver
2
为什么要研究Riemann问题的近似解?
• 精确求解Riemann问题计算量大；某些双曲 型守恒律的Riemann问题无精确解！
• 由于在时间积分、通量积分、重构等步骤 已经引入了各种近似，精确求解Riemann问 题并不会导致整体精度的提高（但对一维 问题而言，基于Riemann问题精确解的 Godunov格式的稳健性和精度的平衡可能较 好。）
如果左右状态满足激波关系，则
A(UL ,UR ) A(U )
F (UR ) F (UL ) D(UR UL ) A(UR UL )
D是Ã 的特征值，此时线性Riemann问题的解与Riemann问题精确解2相0 同！
A 的特征值为 (m) (1) (2) (m)
左、右特征值向量为 l(m), r(m)
UL)
23
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR
)
1 2
~
L1(sign )L(U R
UL)
注意到 F AU
线化方程的数值通量
Fi1/2
F0
1 2
AU L AU R
1 2
L1
~
L(U R
UL)
如何计算原始Euler方程的数值通量？
24
Euler方程（无线性化，但假定与线化方程有相同的解的结构）
则 U A U 0 t x
守恒形式 U F 0 F AU t x
基本思路: •在控制体界面处把方程线性化 •通过求解线性Riemann问题计算通量
UL,UR : Riemann问题左右状态
19
线性Riemann问题 关键问题: 如何线性化?
Ut AU x 0
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
接触间断
利用上二式的第一、二两项
中间波是接触间断
14
SL *L (u)*L SL L (u)L SL (u)*L (u2 p)*L SL (u)L (u2 p)L
(u)*L (u)L SL *L SL L p*L pL SL[(u)*L (u)L ] [(u2 )*L (u2 )L ]
15
变形1
16
变形2
Sk
17
变形3
假定*状态有单一压力
，不直接用
18
Riemann问题的近似解法3：Roe方法
考虑扩张一维守恒型Euler 方程 ：
U F 0 t x 对应的拟线性形式为： U A U 0 t x
Roe 把上式中的矩阵A 用一个常矩阵 Ã 代替 ，即
A A(U L,U R )
一般情况
9
波速的确定
不推荐！ Roe平均
推荐！
还有其他方法，见Toro的书。
10
HLL的变形
Rusanov（Lax）
Lax
11
Riemann问题的近似解法2：HLLC方法
• Toro • 基本思路：三波近似（在HLL基础上加接触
间断）
12
相容条件
13
满足相容条件 超定还是欠定？
假定SL，SR已知，关键问题是求S*
[xL , xR ][0,T ]
U TSR TSL
]L(U R
U
L
)
U
( x, t )
1 2
(U L
U
R
)
1 2
~
L1sign(
(x
/
t)I
)L(U R
U
L
)
为了计算通量，只需在x=0处的解：
v( j) i1/
2
(0)
l( l(
j) j)
U L若（j) U R若（j)
0 0
U i1/ 2
U
(0, t )
1 2
(U L
UR)
1 2
~
L1(sign )L(U R
由双曲性，可知： A L1L
由于 A 是常矩阵，所以L, L-1也是常矩阵
L U L U 0
t
x
定义特征变量V=LU
V V 0 t x
v( j) ( j) v( j) 0
txΒιβλιοθήκη Vv(1)v
(
2)
l(1)
U
l(2) U
v(m)
l(m) U
21
Ut AU x 0
3
Riemann 问题
扩展一维系统
初始条件
的解对应有限体积格
式的数值通量
4
Riemann问题的近似解法1：HLL方法
• Harten-Lax-Van Leer， Einfeldt（1988） • 基本思路：双波近似（不考虑接触间断）
dx dt
SL
UL
t U HLL
dx dt SR
UR
假定SL，SR已知
xL
xR
•为了避免奇异性，不对左右波的类型作假定。左右波只表示间断初始值的影
响范围；
•优点：简单；
•已知问题：对接触间断分辨率低。
5
•取 • 积分区域 • 方程
积分关系
相容条件
6
7
• 把前述积分区域分为 左右两部分，分别积分
相容条件
8
HLL Riemann Solver
通量计算时考虑x/t=0
22
v(
j
)
(
x,
t
)
l(
j
)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
v( j) i 1/
2
(
x,
t
)
1 2 l(
j)
(U L
UR)
1 2
sign( (
j)
x / t)l(
j)
(U R
UL)
Vi1/2
(x
/
t)
1 2
L(U L
U
R
)
1 2
sign[()
(x
/
t)I