2测量误差及数据处理1
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End of chapter 2
谢谢大家 请批评指正！
N
yi
i1
误差与测量
采用线性回归的条件:
当y,x两变量之间的相关系数的绝对值
xyyx yx
N
(yi y)(xi x)
i1
N
N
(yi y)2(xi x)2
i1
i1
大于最小相关系数 m i n 时才能采用线性回归方程,最小相关系数
的确定与N及概率有关.
误差与测量
回归方程的使用应注意:
1. 回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围,超出标定曲 线的范围则误差很大.
2.2 测量结果的表达方式(p13)
一. 用极限误差表示测量结果
x0 xmax
二 . 区间估计原理表达测量结果
x 0 x t ˆ x
概率不同，见P15 表0-1
n
x 1 n xi i1
n
(xi x )2
ˆ 12/17/2020
x
i1
n (n 1)
(0 8)
12
三 .国际上近年来表达测量结果的方式
若要使Q最小,可通过求极值的办法来确定m和b两个未知量,即令:
m b 00m biNiN1122((yyiimmxxiibb))xi00 m，b为未知量
解方程便可求得m和b。
误差与测量
N
xi yi N .x .y
m
i1 N
x
2 i
Nx2
i1
b y mx
其中:
x
1 N
N
xi
i1
y
1 N
2. 用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前 提的,即只考虑Y的误差而不考虑X的误差.
3. 如果两变量中一个变量的误差可以忽略,则应采用另一个变量 对该变量的回归直线（误差小的为自变量）.
4. 如果两变量的误差大体相当,则可以采用两条相交的回归直线 的平均直线.
5. 如果两个变量的误差不相当,一个误差大,一个误差小,则所采 用的中间直线应偏向于误差小的变量对另一变量的回归直线.
间的关系.比如:测力传感器,输入为力,输出为电流,这样力与电流的关系
可用不同的表示方法表示出来. 输入力(N)
输出电流(mA)
1. 列表法:
60
12.2
70
14.2
80
16.2
90
18.3
100
20.4
150
30.4
误差与测量
2. 图示法,即描点作图 坐标可采用直角坐标,极坐标等.
上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究,所以通常还 要采用第三种方法.
3. 回归方程—经验公式法. 根据数理统计的方法,求出两个甚至多个量之间的关系,用
一个数学方程来表示，该方程称之为回归方程,而建立该方程 的过程称之为回归分析,回归分析包括一元线性回归,一元非 线性回归,多元线性回归及多项式回归等.常用的是一元线性 回归分析.
误差与测量
二. 一元线性回归方程的建立
误差与测量
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布）， 正态分布的概率密度：
fx
1 2 ex 2 x p u 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 ex 2 2 2 p
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
u =
x
1 N
N
Xi
i1
——样本均值。
误差与测量
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
n l im N 1iN 1(xix0)2n l im N 1iN 1i2
或用σ的估计值
S N11iN1(xi x)2
——样本标准差
随机误差的分布与测量值相同，只是μ＝０。
误差与测量
2. 极限随机误差的估计 ①σ已知:单次测量的极限随机误差的估计
limt —— t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关
误差与测量
所以,单次测量值的极限随机误差可定义为:
lim 3
算术平均值的极限随机误差:
lim x 3 N3x
-- x
为算术平均值的标准值
误差与测量
②α未知时，用α的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果
则:
limx t(k)
S N
k—自由度=N-1 N 为测量次数 α--显著水平=1-p
例:有10个测量数据,要求测量结果的置信概率为99% 则:α=1-0.99=0.01 k=N-1=9 从P15表0-1可知
t(k)3.250 lim x 3.25S 10
③粗大误差的消除:
当测量值产生的误差 |x1x|3 时,便可认为粗大误差可以删除.
误差与测量
2.1.4 精密度、准确度、精确度
精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。 准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。 精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。
设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
—α称为显著水平（不可靠性）
当t值不同时，概率不同，见P15 表0-1 若取t=1 则 p=68.26%
t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%
而测量值超过|u± 3σ|的概率很小,认为不可能出现.
四
五
测量结果=样本平均值+不确定度
Xxˆx
x
s n
12/17/2020
13
误差与测量
2.3 静态误差数据处理
一. 测量数据表示法.
在测量过程中,被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系.为把
这种关系建立,常常在特定的条件下改变被测量的量值,测出对应的输出,
特别是对传感器而言,这种过程称之为标定.即给出传感器输入/输出之
对一组数据Xi，Yi,若它们之间是线性相关的.则可用一条直线来表示，即 ：
y mx b (对线性关系的评价由相关函数来评价)
通常这条直线可用最小二乘法获得,即设实测值yi与理论计算值 y 之差的
平方和为最小,可列成下式:
N
Q (yi y)2 min i1
Q为剩余平方误差
误差与测量
N
即: Q (yi mxi b)2 min i1
谢谢大家 请批评指正！
N
yi
i1
误差与测量
采用线性回归的条件:
当y,x两变量之间的相关系数的绝对值
xyyx yx
N
(yi y)(xi x)
i1
N
N
(yi y)2(xi x)2
i1
i1
大于最小相关系数 m i n 时才能采用线性回归方程,最小相关系数
的确定与N及概率有关.
误差与测量
回归方程的使用应注意:
1. 回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围,超出标定曲 线的范围则误差很大.
2.2 测量结果的表达方式(p13)
一. 用极限误差表示测量结果
x0 xmax
二 . 区间估计原理表达测量结果
x 0 x t ˆ x
概率不同，见P15 表0-1
n
x 1 n xi i1
n
(xi x )2
ˆ 12/17/2020
x
i1
n (n 1)
(0 8)
12
三 .国际上近年来表达测量结果的方式
若要使Q最小,可通过求极值的办法来确定m和b两个未知量,即令:
m b 00m biNiN1122((yyiimmxxiibb))xi00 m，b为未知量
解方程便可求得m和b。
误差与测量
N
xi yi N .x .y
m
i1 N
x
2 i
Nx2
i1
b y mx
其中:
x
1 N
N
xi
i1
y
1 N
2. 用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前 提的,即只考虑Y的误差而不考虑X的误差.
3. 如果两变量中一个变量的误差可以忽略,则应采用另一个变量 对该变量的回归直线（误差小的为自变量）.
4. 如果两变量的误差大体相当,则可以采用两条相交的回归直线 的平均直线.
5. 如果两个变量的误差不相当,一个误差大,一个误差小,则所采 用的中间直线应偏向于误差小的变量对另一变量的回归直线.
间的关系.比如:测力传感器,输入为力,输出为电流,这样力与电流的关系
可用不同的表示方法表示出来. 输入力(N)
输出电流(mA)
1. 列表法:
60
12.2
70
14.2
80
16.2
90
18.3
100
20.4
150
30.4
误差与测量
2. 图示法,即描点作图 坐标可采用直角坐标,极坐标等.
上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究,所以通常还 要采用第三种方法.
3. 回归方程—经验公式法. 根据数理统计的方法,求出两个甚至多个量之间的关系,用
一个数学方程来表示，该方程称之为回归方程,而建立该方程 的过程称之为回归分析,回归分析包括一元线性回归,一元非 线性回归,多元线性回归及多项式回归等.常用的是一元线性 回归分析.
误差与测量
二. 一元线性回归方程的建立
误差与测量
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布）， 正态分布的概率密度：
fx
1 2 ex 2 x p u 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 ex 2 2 2 p
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
u =
x
1 N
N
Xi
i1
——样本均值。
误差与测量
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
n l im N 1iN 1(xix0)2n l im N 1iN 1i2
或用σ的估计值
S N11iN1(xi x)2
——样本标准差
随机误差的分布与测量值相同，只是μ＝０。
误差与测量
2. 极限随机误差的估计 ①σ已知:单次测量的极限随机误差的估计
limt —— t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关
误差与测量
所以,单次测量值的极限随机误差可定义为:
lim 3
算术平均值的极限随机误差:
lim x 3 N3x
-- x
为算术平均值的标准值
误差与测量
②α未知时，用α的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果
则:
limx t(k)
S N
k—自由度=N-1 N 为测量次数 α--显著水平=1-p
例:有10个测量数据,要求测量结果的置信概率为99% 则:α=1-0.99=0.01 k=N-1=9 从P15表0-1可知
t(k)3.250 lim x 3.25S 10
③粗大误差的消除:
当测量值产生的误差 |x1x|3 时,便可认为粗大误差可以删除.
误差与测量
2.1.4 精密度、准确度、精确度
精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。 准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。 精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。
设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
—α称为显著水平（不可靠性）
当t值不同时，概率不同，见P15 表0-1 若取t=1 则 p=68.26%
t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%
而测量值超过|u± 3σ|的概率很小,认为不可能出现.
四
五
测量结果=样本平均值+不确定度
Xxˆx
x
s n
12/17/2020
13
误差与测量
2.3 静态误差数据处理
一. 测量数据表示法.
在测量过程中,被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系.为把
这种关系建立,常常在特定的条件下改变被测量的量值,测出对应的输出,
特别是对传感器而言,这种过程称之为标定.即给出传感器输入/输出之
对一组数据Xi，Yi,若它们之间是线性相关的.则可用一条直线来表示，即 ：
y mx b (对线性关系的评价由相关函数来评价)
通常这条直线可用最小二乘法获得,即设实测值yi与理论计算值 y 之差的
平方和为最小,可列成下式:
N
Q (yi y)2 min i1
Q为剩余平方误差
误差与测量
N
即: Q (yi mxi b)2 min i1