三十六技之三十三技：函数期望是关键,常用分布背特征,特征性质要牢记,二维特征定相关。
31二维随机变量及其分布函数PPT课件
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3.说明
几何上, z f (x, y) 表示空间的一个曲面.
f (x, y) d x d y 1,
表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f (x, y) d x d y G
P{( X ,Y ) G}的值等于以G为底 ,以曲面z f (x, y) 为顶面的柱体体积.
实际中，有些随机试验的结果要用两个或
两个以上的随机变量来描述。例如: 砖的质量
指标：抗压强度，抗折强度；儿童发育指标：
身高，体重，胸围等；衡量企业经济效益的指
标：劳动生产率，资金产值率等。 飞机的重
心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）
来确定的等等.
2
第3.1节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ的二维
正态分布 .记为
(X
,Y
)
~
N ( μ1,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ)
34
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
记为G
(G1 e3) (1 e8) ；
G
P(XY) P(( X ,Y )G ) f ( x, y)dxdy
12
dx
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
常用分布函数及特征函数
威布尔分布
2 x 1e x , x 0 1/ 2 / 2 / 1 1/ 1 f x ，数学期望 1/ 1 ，方差 x0 0,
伽马（Gamma）分布 , ，形状参数 ，尺度参数
j a a 1 a k 1 a b a j it k 特征函数 ， k 阶原点距 EX a b a b 1 a b k 1 a j 0 a b j j 1
卡方分布
2
n ，即
n 1 , 2 2
1 n / 2 1 x / 2 e ,x 0 2n / 2 n / 2 x n / 2 f x ，数学期望 n ，方差 2n ，特征函数 1 2it x0 0,
nm 2 nm n n / 2 m m / 2 x n / 21 nx m 2 , x 0 f x n m 2 2 0, x0
2m 2 n m 2 m ,m 4 , m 2 ，方差 数学期望 2 m2 n m 2 m 4
f x1 , , xn 2
帕累托（Pareto）分布
C
k k k 2 k k 1 , x ,k 2 f x x , k 1 ，方差 ， 0 ，数学期望 2 k 1 k 1 k 2 0, x
t 分布 n 1 n 1 x 2 2 n 2 1 f x ,n 3 ，数学期望 0， n 1 ，方差 n n n2 n 2
特征函数讲解.ppt
| eitx || (eihx 1) | dF ( x)
| (eihx 1) | dF( x) | eihx -1|dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
| x| A
A
2 dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E(eit ) E(eitg( ) )
eitg
(
x
)
dF
(
x
)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
| x| A
A
2
dF( x) 2
A hx | sin |dF( x)
| x| A
A
2
由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意
小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.
(3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1, t2 , , tn ,
nn
以及复数1, 2 , n ,成立
eix d x |
|
eix
|d
x
0
0
因而 | ei 1 || |
因此
|
e e i tx1
i tx2
it
ei tx
|
x2
x1
经过交换积分次序我们可以得到
IT
1 2π
常见分布的特征函数
常见分布的特征函数特征函数概述特征函数是概率论和数理统计中的常用概念，它是一个复数函数，描述了随机变量的特征信息。
对于一个随机变量X，它的特征函数f(t)定义为：f(t) = E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，E为期望运算符。
特征函数不仅对概率密度函数具有很好的描述和表达作用，还可以描述随机变量的各种性质，比如分布、矩和相关系数等。
下面将具体介绍几种常见的分布的特征函数。
1.正态分布正态分布是自然界中多种现象的分布模式，其概率密度函数在数学上也能很好地描述为高斯函数。
其特征函数如下：f(t) = e^(-t^2/2)该特征函数具有良好的解析性质和奇偶性质，能很好地反映正态分布的对称性和峰态。
2.泊松分布泊松分布是描述单位时间内某个随机事件发生次数的概率分布，例如单位时间内打进一个电话亭电话而来的电话数量、在网球场内接到的球的数量等。
其特征函数如下：f(t) = e^(λ(e^(it)-1))其中λ为单位时间内事件发生的平均次数。
3.指数分布指数分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布，例如寿命、等待时间、顾客到达时间等。
其特征函数如下：f(t) = 1 / (1-it/λ)，其中λ为事件发生的平均速率。
4.卡方分布卡方分布是应用最广泛的概率分布之一，常用于分析样本差异性和偏离程度，例如方差分析、偏度分析、正态性检验等。
其特征函数如下：f(t) = (1-2it)^(-k/2)其中k为自由度。
5. beta分布beta分布是应用广泛的概率分布之一，常用于贝叶斯统计、假设检验、数据挖掘等领域。
其特征函数如下：f(t) = B(a+it,b-it) / B(a,b)其中B(a,b)表示beta函数，a,b为形状参数。
上述几种分布是常见的概率分布，它们的特征函数形式各不相同，但都能很好地反映分布的各种性质和特点，为进一步分析和研究提供了便利。
常用分布函数及特征函数
常用分布函数及特征函数常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。
下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布的特征函数为：φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。
其概率函数为：P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1伯努利分布的特征函数为：φ(t) = 1-p + pe^(it)3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n二项分布的特征函数为：φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!泊松分布的特征函数为：φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0指数分布的特征函数为：φ(t) = λ/ (λ-it)6. 卡方分布（Chi-square Distribution）卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。
特征函数与分布函数的关系
特征函数与分布函数的关系
特征函数是概率论与数理统计中的一种重要工具，用于描述随机变量的性质。
它与分布函数密切相关，二者之间有着紧密的联系。
特征函数是指随机变量的复数形式的期望函数，即
E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，t为实数。
它的意义在于，对于任意的t，特征函数都能唯一地描述随机变量X的各种特性，如分布、均值、方差、偏度、峰度等。
特别地，当t=0时，特征函数的值为1，表示随机变量的期望为1。
分布函数是指随机变量取值不超过某个数值时的概率，即
F(x)=P(X<=x)。
它描述了随机变量的取值范围及其概率分布情况。
在统计分析中，分布函数经常用于推断某个事件发生的可能性大小。
特征函数与分布函数的关系可以用逆傅里叶变换来描述。
具体来说，若X的特征函数为φ(t)，则X的分布函数为
F(x)=1/2π∫φ(t)e^(-itx) dt。
反之，若X的分布函数为F(x)，则X的特征函数为φ(t)=∫e^(itx) dF(x)。
这表明，特征函数和分布函数是一一对应的关系，可通过逆傅里叶变换相互转换。
在实际应用中，特征函数与分布函数的关系可用于求解各种随机变量的概率密度函数、累积分布函数、期望值、方差等等。
它对于统计分析和数据建模具有重要的作用，是概率论与数理统计中不可或缺的基础工具。
特征函数的概念及意义
特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()()itXe t E =ϕ, +∞<<∞-t ,为X 的特征函数.因为＝１Ｘit e ，所以()itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为()∑+∞==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.二．常用分布的特征函数1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x1x =-==-，，其特征函数为()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.3、泊松分布()λP ：()λλ-==e k k X P k！，k=0,1， ，其特征函数为()()∑+∞=---===0k 1e e kiktitit e e e e k et λλλλλϕ！. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,0,1其他b x a a b x p所以特征函数为()()⎰--=-=b aiatibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为()2221x e x p -=π， +∞<<∞-x .所以特征函数为()()⎰⎰∞+∞-∞+∞-----∞==dxit x t x itx e edx e x 2222222121πϕ=⎰-∞+-∞----=ititt t t edz ee22222221π.其中⎰-∞+-∞--=ititx dz eπ222 .三．特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求()2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2t i 22et σμϕ=,于是由()k k k i 0ξϕE =得，()μϕξi 0i ′==E , ()22″220i σμϕξ--==E , 由此即得()222D σξξξμξ=E -E ==E ，.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为()()()∑==n 1i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n1i i t t ϕϕ.设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()2N j j a σ，的正态随机变量.试求∑==n1j j ξξ的分布.由于j ξ的分布为()2N j j a σ，，故相应的特征为()222tia j j je t σϕ=.由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==nj j t t 1的特征函数为()()21212221112t t a i n j nj tia j nj j nj j j jeet t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑=====∏∏σσϕϕ.而这正是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则dt e x npq np P xt nn ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-2221lim πμ.要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且(),,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有dt e x nna P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则∑∑==-=-nk k nk kn anna11σξσξ的特征函数为nn t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式()()()()()()222222112000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.从而对任意的t 有，∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t nt n t tn,2122222οσϕ. 而22t e-是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知dt e x n na P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.成立，证毕.我们知道在n 2221P lim μπμ中dt e x npq np xt n n ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-是服从二项分布.()n k q p C k p kn k k n n ≤≤==-0,μ.的随机变量，dt e x xt ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道⎰+∞-022dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量ξ服从⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()21x e x p -=π，其特征函数为：()∑⎰∞+=-∞+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅=0241!41122i tit x itx i tedx e e t πϕξ， 故 ()()()() +++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!131241!!241212k t k k k t k kkξϕ ，所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k kkk ξϕ,由特征函数的性质 ()()()kk kk k i 2!!120222-=-=E ξϕξ，又 ⎰+∞-=E 0222dx e x x k kξ，故()⎰∞+∞-+--=122!!122k x k k dx e x .即 ()⎰∞++--=0122!!122k x k k dx e x四．结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。
常用概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（ X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X 的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2 、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数 f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E （ X ） =nd/NX 的方差 D （ X ） =（（nd/N）（（N-d）/N）（（ N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布个阶乘，因而计算起来9超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n 件作为被检样分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1n ，……， x=0，1=np）（X的期望 X E）1-p=np（ X的方差 D（X）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时Δt 的起点无关。
冲击，它和则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：X的期望 E（X）=λtX的方差 D（X）=λt假设仪表受到n次冲击即发生故障，则仪表在[0，t]时间内的可靠度为：。
多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数
多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数多项分布的数学期望、协方差阵、特征函数及母函数 1一、定义与性质设 X 为随机变量， I 是一个包含 0 的 ( 有限或无限的 ) 开区间，对任意t ∈ I ，期望 E e t x 存在设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Ee^{tx}存在设X为随机变量，I是一个包含0的(有限或无限的)开区间，对任意t∈I，期望Eetx存在则称函数M X ( t ) = E ( e t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e t x d F ( x ) , t ∈ I 为 X 的矩母函数则称函数M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{tx}dF(x),t∈I为X的矩母函数则称函数MX(t)=E(etX)=∫−∞+∞etxdF(x),t∈I为X的矩母函数设 X 为任意随机变量，称函数φ X ( t ) = E ( e i t X ) = ∫ − ∞ + ∞ e i t x d F ( x ) 为 X 的特征函数设X为任意随机变量，称函数\varphi_{X}(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{itx}dF(x)为X的特征函数设X为任意随机变量，称函数φX(t)=E(eitX)=∫−∞+∞eitxdF(x)为X 的特征函数一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
一个随机变量的矩母函数不一定存在，但是特征函数一定存在。
随机变量与特征函数存在一一对应的关系随机变量与特征函数存在一一对应的关系随机变量与特征函数存在一一对应的关系二、离散型随机变量的分布0、退化分布(Degenerate distribution)若 X 服从参数为 a 的退化分布，那么 f ( k ;a ) = { 1 , k = a 0 , k ≠ a 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)=\left\{\begin{matrix} 1,k=a \\ 0,k\neq a \end{matrix}\right. 若X服从参数为a的退化分布，那么f(k;a)={1,k=a0,k=a M ( t ) = e t a M(t)=e^{ta}M(t)=eta φ ( t ) = e i t a \varphi(t)=e^{ita}φ(t)=eita M ′ ( t ) = a e t a M'(t)=ae^{ta}M′(t)=aeta E X = M ′ ( 0 ) = a EX=M'(0)=aEX=M′(0)=a M ′ ′ ( t ) = a 2 e t a M''(t)=a^2e^{ta} M′′(t)=a2eta E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = a 2EX^2=M''(0)=a^2 EX2=M′′(0)=a2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 0 DX=EX^2-(EX)^2=0 DX=EX2−(EX)2=01、离散型均匀分布(Discrete uniform distribution)若 X 服从离散型均匀分布 D U ( a , b ) , 则 X 分布函数为 F ( k ; a , b ) = ⌊ k ⌋− a + 1 b −a + 1 若X服从离散型均匀分布DU(a,b) ,则X分布函数为F(k;a,b)=\frac{\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1} 若X服从离散型均匀分布DU(a,b),则X分布函数为F(k;a,b)=b−a+1⌊k⌋−a+1 则矩母函数M ( t ) = ∑ k = a b e t k P ( x = k ) 则矩母函数M(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{tk}P(x=k) 则矩母函数M(t)=k=a∑betkP(x=k) = ( ∑ k = a b e t k ) 1 b − a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{tk})\frac{1}{b-a+1} =(k=a∑b etk)b−a+11 = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)} =(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t 特征函数φ ( t ) = ∑k = a b e i t k P ( x = k ) 特征函数\varphi(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{itk}P(x=k) 特征函数φ(t)=k=a∑beitkP(x=k) = ( ∑ k = a b e i t k ) 1 b −a + 1 =(\sum_{k=a}^{b} e^{itk})\frac{1}{b-a+1}=(k=a∑beitk)b−a+11 = e a i t − e ( b + 1 ) i t ( 1 − e i t ) ( b − a + 1 ) =\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(1-e^{it})(b-a+1)}=(1−eit)(b−a+1)eait−e(b+1)it M ′ ( t ) = 1 b − a + 1 ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) e t ( e t − 1 ) 2M'(t)=\frac{1}{b-a+1}\frac{(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{(e^{t}-1)^{2}} M′(t)=b−a+11(et−1)2(aeat−(b+1)e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t)et t = 0 为M ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t) E X = M ′ ( 0 ) = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e at − ( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) ( 1 − e t ) + ( e at − e ( b + 1 ) t ) e t 2 ( e t − 1 ) e tEX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(1-e^t)+(e^{at}-e^{(b+1)t})e^t}{2(e^{t}-1)e^t}EX=M′(0)=t→0limb−a+112(et−1)et(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(1−et)+(eat−e(b+1)t) et = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 2 e a t − ( b +1 )2 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) + ( e a t − e ( b + 1 ) t ) 2 ( e t − 1 )=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)+(e^{at}-e^{(b+1)t})}{2(e^{t}-1)} =t→0limb−a+112(et−1)(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)(e−t−1)+(eat−e(b+1)t) = lim t → 0 1 b − a + 1 ( a 3 e a t − ( b + 1 ) 3 e ( b + 1 ) t ) ( e − t − 1 ) − ( a 2 e a t −( b + 1 ) 2 e ( b + 1 ) t ) e − t + ( a e a t − ( b + 1 ) e ( b + 1 ) t ) 2 e t=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a+1}\frac{(a^3e^{at}-(b+1)^3e^{(b+1)t})(e^{-t}-1)-(a^2e^{at}-(b+1)^2e^{(b+1)t})e^{-t}+(ae^{at}-(b+1)e^{(b+1)t})}{2e^{t}} =t→0limb−a+112et(a3eat−(b+1)3e(b+1)t)(e−t−1)−(a2eat−(b+1)2e(b+1)t)e−t+(aeat−(b+1)e(b+1)t) = − a 2 + ( b + 1 ) 2 +a − (b + 1 ) 2 ( b − a + 1 ) =\frac{-a^2+(b+1)^2+a-(b+1)}{2(b-a+1)} =2(b−a+1)−a2+(b+1)2+a−(b+1) = − a 2 + ( b + 1 ) 2 2 ( b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{-a^2+(b+1)^2}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2}=2(b−a+1)−a2+(b+1)2−21 = ( b + 1 − a ) ( b + 1 +a ) 2 (b − a + 1 ) − 1 2 =\frac{(b+1-a)(b+1+a)}{2(b-a+1)}-\frac{1}{2}=2(b−a+1)(b+1−a)(b+1+a)−21 = b + 1 + a 2 − 1 2=\frac{b+1+a}{2}-\frac{1}{2} =2b+1+a−21 = b + a 2=\frac{b+a}{2} =2b+a 由于对M ′ ( t ) 求导得到M ′ ′ ( t ) ，再求M ′ ′ ( 0 ) 的方法比较繁琐，而我们只需要 t = 0 时 M 的二阶导数值，由于对M'(t)求导得到M''(t)，再求M''(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，由于对M′(t)求导得到M′′(t)，再求M′′(0)的方法比较繁琐，而我们只需要t=0时M的二阶导数值，因此可以考虑使用 T a y l o r 公式计算M ′ ′ ( 0 ) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M''(0) 因此可以考虑使用Taylor公式计算M′′(0) 令 1 − e t = u , t = 0 时 , u = 0 令1-e^t=u,t=0时,u=0 令1−et=u,t=0时,u=0 M ( t ) = e a t − e ( b + 1 ) t ( 1 − e t ) ( b − a + 1 )M(t)=\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)}M(t)=(1−et)(b−a+1)eat−e(b+1)t = 1 b − a + 1 u a −u b + 1 u =\frac{1}{b-a+1}\frac{u^a-u^{b+1}}{u}=b−a+11uua−ub+1 = 1 b − a + 1 1 + a 1 ! ( − u ) + a ( a − 1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − 1 − b + 1 1 ! ( − u ) −( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( −u 3 ) − o ( u 3 ) u =\frac{1}{b-a+1}\frac{1+\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-1-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)-o(u^3)}{u} =b−a+11u1+1!a (−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1−1!b+1(−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1) (−u3)−o(u3) = 1 b − a + 1 a 1 ! ( − u ) + a ( a −1 ) 2 ! u 2 + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 3 ) + o ( u 3 ) − b + 1 1 ! ( − u ) − ( b + 1 ) b 2 ! u 2 − ( b + 1 ) b ( b − 1 ) 3 ! ( − u 3 ) u=\frac{1}{b-a+1}\frac{\frac{a}{1!}(-u)+\frac{a(a-1)}{2!}u^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^3)+o(u^3)-\frac{b+1}{1!}(-u)-\frac{(b+1)b}{2!}u^2-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^3)}{u} =b−a+11u1!a(−u)+2!a(a−1)u2+3!a(a−1)(a−2)(−u3)+o(u3)−1!b+1 (−u)−2!(b+1)bu2−3!(b+1)b(b−1)(−u3) = 1 b − a + 1 ( ( b + 1 − a ) + a ( a − 1 ) 2 ! u + a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( − u 2 ) + o ( u 2 ) − ( b + 1 ) b2 ! u − ( b + 1 ) b ( b − 1 )3 ! ( − u 2 ) )=\frac{1}{b-a+1}((b+1-a)+\frac{a(a-1)}{2!}u+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}(-u^2)+o(u^2)-\frac{(b+1)b}{2!}u-\frac{(b+1)b(b-1)}{3!}(-u^2)) =b−a+11((b+1−a)+2!a(a−1)u+3!a(a−1)(a−2)(−u2)+o(u2)−2!(b+1)bu−3!(b+1)b(b−1)(−u2)) = 1 + a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) u + ( b +1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a −2 )3 ! ( b −a + 1 ) u 2 + o ( u 2 ) =1+\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}u+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}u^2+o(u^2) =1+2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bu+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)u2+o(u2) 而 u = 1 − e t = − t − t 2 2 ! + o ( t 2 ) 而u=1-e^t=-t-\frac{t^2}{2!}+o(t^2) 而u=1−et=−t−2!t2+o(t2) 因此M ( t ) = 1 − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b −a + 1 ) t − a ( a − 1 ) − (b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) t 2 2 ! + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a − 2 ) 3 ! ( b − a + 1 ) t 2 + o ( t 2 ) 因此M(t)=1-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}t-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}\frac{t^2}{2!}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}t^2+o(t^2) 因此M(t)=1−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)bt−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b2!t2+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)t2+o(t2) 又因为M ( t ) = M ( 0 ) + M ′ ( 0 ) t + M ′ ′ ( 0 ) 2 ! t 2 + o ( t 2 ) 又因为M(t)=M(0)+M'(0)t+\frac{M''(0)}{2!}t^2+o(t^2) 又因为M(t)=M(0)+M′(0)t+2!M′′(0)t2+o(t2) 因此M ′ ( 0 ) = − a ( a − 1 ) − ( b + 1 ) b 2 ! ( b − a + 1 ) = a + b 2 因此M'(0)=-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{2!(b-a+1)}=\frac{a+b}{2} 因此M′(0)=−2!(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b=2a+b E X = M ′( 0 ) = a + b 2 EX=M'(0)=\frac{a+b}{2} EX=M′(0)=2a+b 而M ′ ′ ( 0 ) = 2 ! ∗ ( − a ( a − 1 ) − ( b +1 ) b 4 ( b − a + 1 ) + ( b + 1 ) b ( b − 1 ) − a ( a − 1 ) ( a −2 )3 ! ( b − a + 1 ) ) 而M''(0)=2!*(-\frac{a(a-1)-(b+1)b}{4(b-a+1)}+\frac{(b+1)b(b-1)-a(a-1)(a-2)}{3!(b-a+1)}) 而M′′(0)=2!∗(−4(b−a+1)a(a−1)−(b+1)b+3!(b−a+1)(b+1)b(b−1)−a(a−1)(a−2)) = a + b 2 + ( b + 1 − a ) ( b 2 + a b − b + a 2 − 2 a ) 3 ( b − a + 1 ) =\frac{a+b}{2}+\frac{(b+1-a)(b^2+ab-b+a^2-2a)}{3(b-a+1)} =2a+b+3(b−a+1)(b+1−a)(b2+ab−b+a2−2a) = a + b 2 + b 2 + a b − b + a 2 − 2 a 3=\frac{a+b}{2}+\frac{b^2+ab-b+a^2-2a}{3} =2a+b+3b2+ab−b+a2−2a = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 =\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6} =62a2+2b2+2ab+b−a D X = E X 2 − ( E X ) 2 = M ′ ′ ( 0 ) − ( E X ) 2DX=EX^2-(EX)^2=M''(0)-(EX)^2DX=EX2−(EX)2=M′′(0)−(EX)2 = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 a b + b − a 6 − a 2 + 2 a b + b 2 4=\frac{2a^2+2b^2+2ab+b-a}{6}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=62a2+2b2+2ab+b−a−4a2+2ab+b2 = ( b − a + 1 ) 2 − 1 12 =\frac{(b-a+1)^2-1}{12} =12(b−a+1)2−12、伯努利分布/两点分布(Bernoulli distribution)若 X 服从伯努利分布 B ( 1 , p ) , 则 X 满足 P ( x = 1 ) = p , P ( x = 0 ) = 1 − p = q 若X服从伯努利分布B(1,p) ,则X满足P(x=1)=p, P(x=0)=1-p=q 若X服从伯努利分布B(1,p),则X满足P(x=1)=p,P(x=0)=1−p=q M ( t ) = p e t + 1 − p M(t)=pe^{t}+1-p M(t)=pet+1−p φ ( t ) = p e i t + 1 − p \varphi(t)=pe^{it}+1-pφ(t)=peit+1−p M ′ ( t ) = p e t M'(t)=pe^{t}M′(t)=pet E X = M ′ ( 0 ) = p EX=M'(0)=p EX=M′(0)=pM ′ ′ ( t ) = p e t M''(t)=pe^{t} M′′(t)=pet E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = p EX^{2}=M''(0)=p EX2=M′′(0)=p D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=p(1-p) DX=EX2−(EX)2=p(1−p)3、二项分布(Binomial distribution)若 X 服从二项分布 B ( n , p ) , 则 X 满足 f ( k ; n , p ) = P ( x = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( n 为整数 ) 若X服从二项分布B(n,p) ,则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} (n为整数) 若X 服从二项分布B(n,p),则X满足f(k;n,p)=P(x=k)=Cnkpk(1−p)n−k(n为整数) 因为服从二项分布的变量可以看作 n 个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因为服从二项分布的变量可以看作n个独立相同的服从伯努利分布的变量之和因此M ( t ) = ( p e t + 1 − p ) n 因此M(t)=(pe^{t}+1-p)^{n} 因此M(t)=(pet+1−p)n φ ( t ) = ( p e i t + 1 − p ) n \varphi(t)=(pe^{it}+1-p)^{n}φ(t)=(peit+1−p)n M ′ ( t ) = n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M'(t)=np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t}M′(t)=np(pet+1−p)n−1et E X = M ′ ( 0 ) = n pEX=M'(0)=np EX=M′(0)=np M ′ ′ ( t ) = n ( n − 1 )p 2 ( p e t + 1 − p ) n − 2 e 2 t + n p ( p e t + 1 − p ) n − 1 e t M''(t)=n(n-1)p^{2}(pe^{t}+1-p)^{n-2}e^{2t}+np(pe^{t}+1-p)^{n-1}e^{t}M′′(t)=n(n−1)p2(pet+1−p)n−2e2t+np(pet+1−p)n−1et E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = n ( n − 1 ) p 2 + n pEX^{2}=M''(0)=n(n-1)p^{2}+np EX2=M′′(0)=n(n−1)p2+npD X =E X 2 − ( E X ) 2 = n p ( 1 − p ) DX=EX^{2}-(EX)^{2}=np(1-p) DX=EX2−(EX)2=np(1−p)4、几何分布(Geometric distribution)若 X 服从几何分布 G e ( p ) , 则 X 满足 f ( k ; p ) = P ( x = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p ( k = 1 , 2 , 3...... ) 若X服从几何分布Ge(p), 则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1-p)^{k-1}p (k=1,2,3......) 若X服从几何分布Ge(p),则X满足f(k;p)=P(x=k)=(1−p)k−1p(k=1,2,3......) M ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k − 1 p e t kM(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{tk}M(t)=k=1∑∞(1−p)k−1petk = p e t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e t ) k − 1 =pe^{t}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^t)^{k-1} =petk=1∑∞((1−p)et)k−1 = p e t 1 −( 1 − p ) e t =\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}=1−(1−p)etpet φ ( t ) = ∑ k = 1 ∞ ( 1 − p ) k −1 p e i t k \varphi(t)=\sum_{k=1}^{\infin}(1-p)^{k-1}pe^{itk} φ(t)=k=1∑∞(1−p)k−1peitk = p e i t ∑ k = 1 ∞ ( ( 1 − p ) e i t ) k − 1=pe^{it}\sum_{k=1}^{\infin}((1-p)e^{it})^{k-1}=peitk=1∑∞((1−p)eit)k−1 = p e i t 1 − ( 1 − p ) e i t =\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}} =1−(1−p)eitpeit M ′ ( t ) = p e t ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 2M'(t)=\frac{pe^t}{(1-(1-p)e^t)^2}M′(t)=(1−(1−p)et)2pet E X = M ′ ( 0 ) = 1 pEX=M'(0)=\frac{1}{p} EX=M′(0)=p1 M ′ ′ ( t ) = p e t ( e t − p e t + 1 ) ( 1 − ( 1 − p ) e t ) 3M''(t)=\frac{pe^t(e^t-pe^t+1)}{(1-(1-p)e^t)^3}M′′(t)=(1−(1−p)et)3pet(et−pet+1) E X 2 = M ′ ′( 0 ) = 2 − p p 2 EX^{2}=M''(0)=\frac{2-p}{p^2}EX2=M′′(0)=p22−p D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 − p p 2 DX=EX^{2}-(EX)^{2}=\frac{1-p}{p^2}DX=EX2−(EX)2=p21−p5、负二项分布(Negative binomial distribution)若 X 服从负二项分布 N B ( r , p ) , 则 X 满足 f ( k ; r , p ) = ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r , k = 0 , 1 , 2 , 3...... 若X服从负二项分布NB(r,p), 则X满足f(k;r,p)=\binom{k+r-1}{k}p^{k}(1-p)^{r} ,k=0,1,2,3...... 若X服从负二项分布NB(r,p),则X满足f(k;r,p)=(kk+r−1)pk(1−p)r,k=0,1,2,3...... ( r 可以为实数，此时的分布称为波利亚分布 ) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) (r可以为实数，此时的分布称为波利亚分布) M ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k +r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e t kM(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{tk} M(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)retk = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e t k=\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{tk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)retk = ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r =\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}(1-p)^r =k=0∑∞(−pet)k(k−r)(1−p)r = ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e t ) k( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^t)^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−pet)k(k−r)1−r−k = ( 1 − p ) r ( 1 − p e t ) −r =(1-p)^r(1-pe^t)^{-r} =(1−p)r(1−pet)−r φ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r e i t k \varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^re^{itk} φ(t)=k=0∑∞(kk+r−1)pk(1−p)reitk = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − r k ) p k ( 1 − p ) r e i t k =\sum_{k=0}^{\infin}(-1)^k\binom{-r}{k}p^k(1-p)^re^{itk} =k=0∑∞(−1)k(k−r)pk(1−p)reitk = ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) ( 1 − p ) r=\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}(1-p)^r=k=0∑∞(−peit)k(k−r)(1−p)r = ( 1 − p ) r ∑ k = 0 ∞ ( − p e i t ) k ( − r k ) 1 − r − k =(1-p)^r\sum_{k=0}^{\infin}(-pe^{it})^k\binom{-r}{k}1^{-r-k} =(1−p)rk=0∑∞(−peit)k(k−r)1−r−k = ( 1 − p ) r ( 1 − p e i t ) − r =(1-p)^r(1-pe^{it})^{-r}=(1−p)r(1−peit)−r M ′ ( t ) = ( 1 − p ) r ( − r ) ( 1 − p e t ) − r − 1 ( − p e t ) M'(t)=(1-p)^r(-r)(1-pe^{t})^{-r-1}(-pe^t)M′(t)=(1−p)r(−r)(1−pet)−r−1(−pet) = r p ( 1 −p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 =rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1} =rp(1−p)ret(1−pet)−r−1 E X = M ′( 0 ) = r p 1 − p EX=M'(0)=\frac{rp}{1-p}EX=M′(0)=1−prp M ′ ′ ( t ) = r p ( 1 − p ) r e t ( 1 − p e t ) − r − 1 + r p ( 1 − p ) r e t ( − r − 1 ) ( 1 − p e t ) − r − 2 ( − p e t )M''(t)=rp(1-p)^re^t(1-pe^t)^{-r-1}+rp(1-p)^re^t(-r-1)(1-pe^t)^{-r-2}(-pe^t)M′′(t)=rp(1−p)ret(1−pet)−r−1+rp(1−p)ret(−r−1) (1−pet)−r−2(−pet) E X 2 = r p ( 1 − p ) − 1 + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) − 2 EX^2=rp(1-p)^{-1}+r(r+1)p^2(1-p)^{-2}EX2=rp(1−p)−1+r(r+1)p2(1−p)−2 = r p ( 1 − p ) + r ( r + 1 ) p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp(1-p)+r(r+1)p^2}{(1-p)^2} =(1−p)2rp(1−p)+r(r+1)p2 = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 =\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}=(1−p)2rp+r2p2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = p r ( 1 −p ) 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{pr}{(1-p)^2}DX=EX2−(EX)2=(1−p)2pr6、泊松分布(Poisson distribution)若 X 服从泊松分布P ( λ ) , 则 P ( X = k ) = e− λ λ k k ! , k = 0 , 1 , 2...... 若X服从泊松分布P(\lambda),则P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,2...... 若X服从泊松分布P(λ),则P(X=k)=k!e−λλk,k=0,1,2...... M ( t ) = ∑k = 0 ∞ e − λ λ k k ! e t kM(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{tk} M(t)=k=0∑∞k!e−λλketk = e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambda e^t)^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λe t)k = e − λ e λ e t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} =e−λeλet= e λ ( e t − 1 ) =e^{\lambda (e^t-1)} =eλ(et−1) φ ( t ) = ∑ k = 0∞ e − λ λ k k ! e i t k\varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infin}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}e^{itk} φ(t)=k=0∑∞k!e−λλk eitk = e − λ ∑ k = 0 ∞ ( λ e i t ) k k ! =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infin}\frac{(\lambdae^{it})^k}{k!} =e−λk=0∑∞k!(λe it)k = e − λ e λ e i t =e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}} =e−λeλeit = e λ ( e i t − 1 ) =e^{\lambda (e^{it}-1)} =eλ(eit−1) M ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t M'(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t M′(t)=eλ(et−1)λe t E X = M ′ ( 0 ) = λ EX=M'(0)=\lambda EX=M′(0)=λM ′ ′ ( t ) = e λ ( e t − 1 ) λ e t + e λ ( e t − 1 ) λ e tλ e t M''(t)=e^{\lambda (e^t-1)}\lambdae^t+e^{\lambda (e^t-1)}\lambda e^t\lambda e^tM′′(t)=eλ(et−1)λe t+eλ(et−1)λe tλe t E X 2 =M ′ ′ ( 0 ) = λ + λ 2EX^2=M''(0)=\lambda+\lambda^2 EX2=M′′(0)=λ+λ2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = λ DX=EX^2-(EX)^2=\lambdaDX=EX2−(EX)2=λ三、连续型随机变量的分布1、连续型均匀分布(Uniform distribution (continuous))若 X 服从连续型均匀分布 U ( a , b ) , 则 f( x ) = 1 b − a I [ a , b ] ( x ) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=\frac{1}{b-a}I_{[a,b]}(x) 若X服从连续型均匀分布U(a,b),则f(x)=b−a1I[a,b](x) M ( t ) = ∫ a b 1 b − a e t x d x M(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{tx}dx M(t)=∫abb−a1etxdx = 1 b − a ∫ a b e t x d x =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{tx}dx =b−a1∫abetxdx = 1 b − a ( 1 t e t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{t}e^{tx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(t1etx∣ab) = e t b − e t a t ( b − a ) =\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} =t(b−a)etb−eta φ ( t ) = ∫ a b 1 b − a e i t x d x \varphi(t)=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}e^{itx}dxφ(t)=∫abb−a1eitxdx = 1 b − a ∫ a b e i t x d x=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}e^{itx}dx =b−a1∫abeitxdx = 1 b − a ( 1 i t e i t x ∣ a b ) =\frac{1}{b-a}(\frac{1}{it}e^{itx}\mid_{a}^{b}) =b−a1(it1eitx∣ab) = e i t b − e i t a i t ( b − a ) =\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} =it(b−a)eitb−eita M ′ ( t ) = 1 b − a ( b e t b − a e t a ) t − ( e t b − e t a ) t 2 M'(t)=\frac{1}{b-a}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta})}{t^2} M′(t)=b−a1t2(betb−aeta)t−(etb−eta) t = 0 为M ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ( t ) t=0为M'(t)的可去间断点，补充定义M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}M'(t) t=0为M′(t)的可去间断点，补充定义M′(0)=t→0limM′(t) E X = M ′ ( 0 ) = lim t → 0 ( b e t b − a e t a ) + ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t − ( b e t b − a e ta ) 2 t (b − a )EX=M'(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{(be^{tb}-ae^{ta})+(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t-(be^{tb}-ae^{ta})}{2t(b-a)} EX=M′(0)=t→0lim2t(b−a)(betb−aeta)+(b2etb−a2eta)t−(betb−aeta) = lim t → 0 ( b 2 e t b − a 2 e t a ) 2 ( b − a ) =\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})}{2(b-a)} =t→0lim2(b−a)(b2etb−a2eta) = b 2 − a 2 2 ( b − a ) =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =2(b−a)b2−a2 = a + b 2 =\frac{a+b}{2} =2a+b M ′ ′ ( t ) = 1 b − a ( ( b 2 e t b − a 2 e t a ) t + ( b e t b − a e t a ) −( b e t b − a e t a ) ) t − 2 ( ( b e t b − a e ta ) t − ( e tb − e t a ) ) t 3 M''(t)=\frac{1}{b-a}\frac{((b^2e^{tb}-a^2e^{ta})t+(be^{tb}-ae^{ta})-(be^{tb}-ae^{ta}))t-2((be^{tb}-ae^{ta})t-(e^{tb}-e^{ta}))}{t^3} M′′(t)=b−a1t3((b2etb−a2eta)t+(betb−aeta)−(betb−aeta))t−2((be tb−aeta)t−(etb−eta)) = 1 b − a t 2 ( b 2 e t b −a 2 e t a ) − 2 t (b e t b − a e t a ) + 2 ( e t b − e t a ) t 3 =\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(be^{tb}-ae^{ta})+2(e^{tb}-e^{ta})}{t^3} =b−a1t3t2(b2etb−a2eta)−2t(betb−aeta)+2(etb−eta) t = 0 为M ′ ′ ( t ) 的可去间断点，补充定义M ′ ′ ( 0 ) = lim t → 0 M ′ ′ ( t ) t=0为M''(t)的可去间断点，补充定义M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}M''(t) t=0为M′′(t)的可去间断点，补充定义M′′(0)=t→0limM′′(t) E X 2 =M ′ ′ ( 0 ) = lim t → 0 1 b − a t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) + 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 t ( b 2 e t b − a 2 e t a ) − 2 ( b e t b − a e t a ) + 2 ( b e t b − a e t a ) 3 t 2EX^2=M''(0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{b-a}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})+2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2t(b^2e^{tb}-a^2e^{ta})-2(be^{tb}-ae^{ta})+2(be^{tb}-ae^{ta})}{3t^2}EX2=M′′(0)=t→0limb−a13t2t2(b3etb−a3eta)+2t(b2etb−a2eta)−2t(b2etb−a2eta)−2(betb−aeta)+2(betb−aeta) = 1 b − a lim t → 0 t 2 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3 t 2 =\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{t^2(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3t^2} =b−a1t→0lim3t2t2(b3etb−a3eta) = 1 b − a lim t → 0 ( b 3 e t b − a 3 e t a ) 3=\frac{1}{b-a}\lim_{t\rightarrow0}\frac{(b^3e^{tb}-a^3e^{ta})}{3} =b−a1t→0lim3(b3etb−a3eta) = 1 b − a ( b 3 − a 3 ) 3 =\frac{1}{b-a}\frac{(b^3-a^3)}{3}=b−a13(b3−a3) = b 2 + a b + a 2 3=\frac{b^2+ab+a^2}{3} =3b2+ab+a2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = ( b − a ) 2 12 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{(b-a)^2}{12} DX=EX2−(EX)2=12(b−a)22、指数分布(Exponential distribution)若 X 服从指数分布 E ( λ ) ，则 f ( x ) = λ e− λ x I [ 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从指数分布E(\lambda)，则f(x)=\lambda e^{-\lambdax}I_{[0,+\infin)}(x) 若X服从指数分布E(λ)，则f(x)=λe−λx I[0,+∞)(x) M ( t ) = ∫ 0 + ∞ λ e −λ x e t x d x M(t)=\int_{0}^{+\infin} \lambda e^{-\lambda x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞λe−λx etxdx = λ ∫ 0 + ∞ e ( t − λ ) x d x =\lambda \int_{0}^{+\infin} e^{(t-\lambda)x}dx =λ∫0+∞e(t−λ)xdx = λ t − λ ( e ( t − λ ) x ∣ 0 + ∞ ) =\frac{\lambda}{t-\lambda}(e^{(t-\lambda)x}\mid_{0}^{+\infin}) =t−λλ(e(t−λ)x∣0+∞) t < λ 时，M ( t ) = λ t − λ ( 0 − 1 ) t<\lambda时，M(t)=\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1) t<λ时，M(t)=t−λλ(0−1) = λ λ − t =\frac{\lambda}{\lambda-t} =λ−tλφ ( t ) = λ λ − i t \varphi(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it}φ(t)=λ−itλM ′ ( t ) = λ ( λ − t ) 2M'(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^2} M′(t)=(λ−t)2λE X = M ′ ( 0 ) = 1 λ EX=M'(0)=\frac{1}{\lambda}EX=M′(0)=λ1 M ′ ′ ( t ) = 2 λ ( λ − t ) 3M''(t)=\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^3}M′′(t)=(λ−t)32λ E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = 2 λ 2 EX^2=M''(0)=\frac{2}{\lambda^2} EX2=M′′(0)=λ22 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = 1 λ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\frac{1}{\lambda^2} DX=EX2−(EX)2=λ213、正态分布(Normal distribution)若 X 服从正态分布N ( μ , σ 2 ) , 则 f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 若X服从正态分布N(\mu,\sigma^2),则f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 若X服从正态分布N(μ,σ2),则f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2 引理 1 ：∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 引理1：\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 引理1：∫−∞+∞e−2t2dt=2π证明：( ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t ) 2 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 + y 2 2 d x d y 证明：(\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy 证明：(∫−∞+∞e−2t2dt)2=∫−∞+∞∫−∞+∞e−2x2+y2dxdy = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =∫02πdθ∫0+∞e−2r2rdr = 2 π ∫ 0 + ∞ e − r 2 2 r d r =2\pi \int_{0}^{+\infin}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr =2π∫0+∞e−2r2rdr = 2 π ( − e −r 2 2 ∣0 + ∞ ) =2\pi (-e^{-\frac{r^2}{2}}\mid_{0}^{+\infin}) =2π(−e−2r2∣0+∞) = 2 π =2\pi =2π因此∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 2 π 因此\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi} 因此∫−∞+∞e−2t2dt=2πM ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 e t x d x M(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{tx}dx M(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2etxdx = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e −( x − μ ) 2 2 σ 2 + t x d x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx}dx =2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+txdx 令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ原式= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+t(wσ+μ)dw = e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + t σ w d w =e^{\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+t\sigma w}dw=eμt2π1∫−∞+∞e−2w2+tσw dw = e μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 − t 2 σ 2 2 d w =e^{\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2-t^2\sigma^2}{2}}dw=eμt2π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2−t2σ2dw = e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − t σ ) 2 2 d w=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-t\sigma)^2}{2}}dw=eμt+2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−tσ)2dw = e μ t + t 2 σ 2 2 1 2 π 2 π =e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\p i} =eμt+2t2σ22π12π= e μ t + t 2 σ 2 2 =e^{\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}} =eμt+2t2σ2 φ ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e −( x − μ ) 2 2 σ 2 e i t x d x \varphi(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}e^{itx}dx φ(t)=∫−∞+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2eitxdx = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 + i t x d x=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+itx}dx=2πσ1∫−∞+∞e−2σ2(x−μ)2+itxdx 令 w = x − μ σ 令w=\frac{x-\mu}{\sigma} 令w=σx−μ原式= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − w 2 2 + i t ( w σ + μ ) d w 原式=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it(w\sigma+\mu)}dw 原式=2π1∫−∞+∞e−2w2+it(wσ+μ)dw = e i μ t 1 2 π ∫ −∞ + ∞ e − w 2 2 + i t σ w d w =e^{i\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{w^2}{2}+it\sigma w}dw=e iμt2π1∫−∞+∞e−2w2+itσw dw = e i μ t 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 + t 2 σ 2 2 d w =e^{i\mut}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2+t^2\sigma^2}{2}}dw=e iμt2π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2+t2σ2dw = e i μ t − t 2 σ 2 2 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( w − i t σ ) 2 2 d w =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{(w-it\sigma)^2}{2}}dw=e iμt−2t2σ22π1∫−∞+∞e−2(w−itσ)2dw = e i μ t − t 2 σ 2 2 12 π 2 π =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi} =e iμt−2t2σ22π12π= e i μ t − t 2 σ 2 2 =e^{i\mu t-\frac{t^2\sigma^2}{2}} =e iμt−2t2σ2 M ′ ( t ) = eμ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) M'(t)=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)M′(t)=eμt+2t2σ2(μ+σ2t) E X = M ′ ( 0 ) = μEX=M'(0)=\mu EX=M′(0)=μM ′ ′ ( t ) = e μ t + t 2 σ 2 2 ( μ + σ 2 t ) 2 + e μ t + t 2 σ 2 2 σ 2M''(t)=e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}(\mu+\sigma^2t)^2+e^{\mut+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\sigma^2 M′′(t)=eμt+2t2σ2 (μ+σ2t)2+eμt+2t2σ2σ2 E X 2 = M ′ ′ ( 0 ) = μ 2 + σ 2 EX^2=M''(0)=\mu^2+\sigma^2 EX2=M′′(0)=μ2+σ2 D X = E X 2 − ( E X ) 2 = σ 2 DX=EX^2-(EX)^2=\sigma^2 DX=EX2−(EX)2=σ2 特别地 , X 服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) 时特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时特别地,X服从标准正态分布N(0,1)时 M ( t )= e t 2 2 M(t)=e^{\frac{t^2}{2}} M(t)=e2t2 φ ( t ) = e − t 2 2 \varphi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}} φ(t)=e−2t2 E X = 0 , D X = 1 EX=0,DX=1 EX=0,DX=14、伽马分布(Gamma distribution)若 X 服从伽马分布Γ ( α , β ) ( α , β > 0 ) , 则 f ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x I( 0 , + ∞ ) ( x ) 若X服从伽马分布\Gamma(\alpha,\beta)(\alpha,\beta>0),则f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}I_{(0,+\infin)}(x) 若X服从伽马分布Γ(α,β)(α,β>0),则f(x)=Γ(α)βαxα−1e−βx I(0,+∞)(x) 其中，Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ t α − 1 e − t d t , α > 0 其中，\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infin}t^{\alpha-1}e^{-t}dt,\alpha>0 其中，Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt,α>0 指数分布 E ( λ ) 是伽马分布Γ ( 1 , λ ) , χ 2 分布χ n 2 是伽马分布Γ ( n 2 , 1 2 ) 指数分布E(\lambda)是伽马分布\Gamma(1,\lambda),\chi^2分布\chi^2_n是伽马分布\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) 指数分布E(λ)是伽马分布Γ(1,λ),χ2分布χn2是伽马分布Γ(2n,21) M ( t ) = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α −1 e − β x e t x d xM(t)=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alp ha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}e^{tx}dx M(t)=∫0+∞Γ(α)βαxα−1e−βx etxdx = ∫ 0 + ∞ β α Γ ( α ) x α − 1 e ( t − β ) x d x=\int_{0}^{+\infin}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =∫0+∞Γ(α)βαxα−1e(t−β)xdx = β α ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) x α− 1 e ( t − β ) x d x=\beta^\alpha\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha) }x^{\alpha-1}e^{(t-\beta) x}dx =βα∫0+∞Γ(α)1xα−1e(t−β)xdx t < β 时，令v = ( β − t ) x ，原式= β α β − t ∫ 0 + ∞ 1 Γ ( α ) ( v β −t ) α − 1 e − v d v t<\beta时，令v=(\beta-t)x，原式=\frac{\beta^\alpha}{\beta-t}\int_{0}^{+\infin}\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(\frac{v}{ \beta-t})^{\alpha-1}e^{-v}dv t<β时，令v=(β−t)x，原式=β−tβα∫0+∞Γ(α)1(β−tv)α−1e−vdv = ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) ∫ 0 + ∞ v α − 1 e − v d v =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infin}v^ {\alpha-1}e^{-v}dv =(β−tβ)αΓ(α)1∫0+∞vα−1e−vdv = ( β β − t ) α 1 Γ ( α ) Γ ( α ) =(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha)=(β−tβ)αΓ(α)1Γ(α) = ( β β − t ) α=(\frac{\beta}{\beta-t})^\alpha =(β−tβ)αφ ( t ) = ( β β − i t ) α \varphi(t)=(\frac{\beta}{\beta-it})^\alpha φ(t)=(β−itβ)αM ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 1 α M'(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-1}\alpha M′(t)=βα(β−t)−α−1α E X = M ′ ( 0 ) = α β EX=M'(0)=\frac{\alpha}{\beta}EX=M′(0)=βαM ′ ′ ( t ) = β α ( β − t ) − α − 2 α ( α + 1 ) M''(t)=\beta^\alpha(\beta-t)^{-\alpha-2}\alpha(\alpha+1)M′′(t)=βα(β−t)−α−2α(α+1) E X 2 = α ( α + 1 ) β 2 EX^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\beta^2}EX2=β2α(α+1) D X = E X 2 − ( E X ) 2 = α β 2。
第九讲二维变量函数的分布和期望
1
分析：首先，均匀分布定义f
(
x,
y)
SG
0,
( x, y) G求出（x, y） 其它
的密度，然后将U转换成（X ,Y）的区域概率，对u的不同取值区间
并利用F (u) P[( X ,Y ) D] f ( x, y)dxdy求解结果，
解 ： 由 条 件 知X与Y的 联 合D 密 度 为 ：
例9-1-3
某仪器由六个相互独立的部件 Lij , i 1,2, j 1,2,3 组成,
联接方式如图所示。设各部件的使用寿命 X ij 服从相同的指数
分布 e(), 求仪器使用寿命的概率密度。 L11 解 各部件的使用寿命
L12
L13
X ij , i 1,2, j 1,2,3 的分布函数
L21 L22 L23
ex , x 0
1 ex ,
f
Xij
(
x)
0,
x
0
FX i j
(
x)
0,
x0 x0
先求两个串联组的寿命 Yi i 1,2 的分布函数
串 联 ： 最 小 寿 命 的 一 个就 是 串 联 组 的 寿 命 ， 所以 ：
Y1 min(X11, X12 , X13 ),Y2 min(X 21, X 22 , X23 ).
(
x,
y)
2
x 0,
y,
0
x 1, 0 y 1 其它
（1）求P( X 2Y )
y
(2)求Z X Y的概率密度
解 ：(1)根 据 联 合 分 布 的 定 义
G
0
x
P[(X ,Y ) G] f (x, y)dxdy
G
由 已知 ， 被 积函 数f ( x, y)非 零的 区域G由 ：
常见概率分布特征总结
常见概率分布特征总结
1、正态分布：正态分布是最常用的概率分布之一，它出现在许多形
式的研究中，主要是属于连续性概率分布。
正态分布的形状是一个钟形曲线，由一个均值(μ)和标准差(σ)决定。
它两侧各有一个“长”尖，就像
一个钟形。
正态分布的总体平均值μ=样本的均值，正态分布的总体方差
σ2=样本的方差。
正态分布有着特殊的性质：（1）中位数等于均值。
（2）标准差越大，尖峰越低，右腹越宽，左腹越窄。
（3）曲线两侧对称，均值、中位数、众数均相同。
2、贝叶斯分布：贝叶斯分布是一种连续性概率分布，其函数形式为
x^(α-1)*exp(-x^2/2b^2)。
贝叶斯分布具有有限的可变性，因此可以用
来描述连续现象的概率分布，如测量误差、估计参数等现象。
贝叶斯分布
亦称为Α-分布，其中α是分布的形状参数，β则表示尺度参数，可以
衡量其方差的大小。
当α=1和β=1时，贝叶斯分布可以用高斯分布来描述，此时又称为双变量高斯分布。
3、对数正态分布：对数正态分布是一种同密度连续概率分布，它是
一种特殊的正态分布，分布的概率密度函数与正态分布不同之处在于，其
取值范围限制在非负值，而且在正值上变化更为迅速，由均值μ和方差
σ2决定。
二项分布的定义和公式二项分布的定义和基本特征
二项分布的定义和公式二项分布的定义和基本特征二项分布（Binomial Distribution）是概率论中一种常见的离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数X的概率分布。
在二项分布中，每次试验只有两种结果，一种为成功（Success），概率为p；另一种为失败（Failure），概率为1-p。
试验独立重复进行n 次，其中成功事件发生的次数X就是我们关心的随机变量。
P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n次试验中成功发生k次的组合数，计算方式为C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!),n!表示n的阶乘。
1. 期望值：二项分布的期望值E(X)等于n乘以成功事件发生的概率p，即E(X) = np。
期望值表示了试验重复进行n次时，成功事件发生的平均次数。
2. 方差：二项分布的方差Var(X)等于n乘以成功事件发生的概率p乘以失败事件发生的概率1-p，即Var(X) = np(1-p)。
方差表示了试验重复进行n次时，成功事件发生次数的离散程度。
3. 归一性：二项分布是归一概率分布，即所有可能的取值k的概率之和等于1，即∑(k=0 to n) P(X=k) = 14.对称性：在二项分布中，如果成功事件的概率p等于失败事件的概率1-p，即p=1-p，那么二项分布具有对称性。
5.可加性：两个相互独立的二项分布的和仍然是二项分布。
也就是说，如果X1和X2分别是n1和n2次独立重复试验中成功事件发生的次数，那么X1+X2也是n1+n2次独立重复试验中成功事件发生的次数，且满足参数p1=p2=p。
6. 正态近似性：当试验次数n很大，且成功事件发生的概率p不接近0或1时，二项分布可以近似为正态分布。
这是由于中心极限定理的推论。
近似后的正态分布的均值和方差分别为μ = np，σ^2 = np(1-p)。
总之，二项分布广泛应用于概率统计的许多实际问题中，如抽样调查、质量控制、假设检验等。
二项分布公式和基本特征
二项分布公式和基本特征二项分布是离散概率分布的一种，常用于描述重复进行的二元试验（每次试验有两种可能的结果）中成功次数的概率分布。
二项分布的公式和基本特征可以通过以下几个方面进行说明：1.公式：二项分布的概率质量函数（PMF）可以用以下公式表示：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数恰好为k的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数，即从n次试验中选择k次成功的可能性。
2.基本特征：（1）期望值：二项分布的期望值E(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p，即E(X)=n*p。
期望值表示成功次数的平均值。
（2）方差：二项分布的方差Var(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p乘以每次试验失败的概率1-p，即Var(X) = n * p * (1-p)。
方差表示成功次数的离散程度。
（3）标准差：二项分布的标准差等于方差的平方根，即SD(X) = sqrt(Var(X))。
（4）偏度：二项分布的偏度表示分布的不对称性。
二项分布的偏度为0，表示分布是对称的。
（5）峰度：二项分布的峰度表示分布的峰值尖锐程度。
二项分布的峰度为负数，表示分布为轻尾分布。
3.性质：（1）二项分布是离散的，取值范围为0到n。
（2）当每次试验成功的概率p等于0.5时，二项分布是最为对称的，此时方差达到最大值。
（3）当试验次数n足够大时，二项分布可以用正态分布进行近似。
（4）二项分布可以通过不同n和p的取值呈现出不同形态的分布，当n足够大时，分布形状趋于对称且趋近于正态分布。
总结起来，二项分布公式和基本特征通过概率质量函数进行描述，其中包括期望值、方差、标准差、偏度和峰度等性质。
二项分布可以用于描述重复进行的二元试验中成功次数的概率分布，具有一定的特殊性和应用范围。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E（X）=nd/NX的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1x=0，1，……，nX的期望 E（X）=npX的方差 D（X）=np（1-p）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
分布特征函数
分布特征函数分布特征函数是概率分布函数的一种表示方法，它能够提供更加详细的信息，帮助我们更好地理解概率分布的性质及其与其他分布的关系。
本文将为您介绍分布特征函数的定义及其常见形式，同时探讨如何利用它计算概率分布的矩、协方差和相关系数等特征。
一、定义对于一维随机变量 X，其分布特征函数φ(t)定义为：φ(t)=E(e^(itX))其中，E表示期望运算，i是虚数单位。
可以看出，分布特征函数是对随机变量在复平面上的一个积分变换，在概率论中具有重要的应用价值。
二、常见形式1.二项分布对于二项分布B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示单次成功概率，其分布特征函数为：由此可见，二项分布的分布特征函数具有幂函数的形式。
2.泊松分布对于泊松分布P(λ)，其中λ表示单位时间（或单位面积等）内发生某一事件的平均次数，其分布特征函数为：3.正态分布从中不难看出，正态分布的分布特征函数是一个关于t的高斯函数。
三、计算矩、协方差和相关系数在掌握了概率分布的分布特征函数之后，我们可以将其应用于计算概率分布的矩、协方差和相关系数等特征。
具体地，我们可以通过对分布特征函数求导得到矩的公式。
例如，对于一维随机变量X的k阶矩，其可以表示为：其中，φ^(k)(0)表示分布特征函数在t=0处的k阶导数。
同样地，通过求分布特征函数的二阶导数可以得到随机变量X和Y的协方差公式：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=i^2φ^(2)XY(0)-iE(X)E(Y)Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/[Var(X)Var(Y)]^0.5其中，Var表示方差。
基于这些公式，我们可以在实际问题中计算不同概率分布的矩、协方差和相关系数，从而更好地理解它们的性质以及它们之间的联系。
《函数分布期望》课件
05
总结与展望
函数分布期望的重要性和意义
函数分布期望是概率论和统计学 中的基本概念，它对于理解随机
变量的性质和行为至关重要。
通过研究函数分布期望，我们可 以深入了解随机变量的变化规律 和分布特征，为实际问题的解决
概率分布函数
通过函数分布期望，可以计算概率 分布函数的值，从而了解随机变量 在不同取值范围内的可能性。
在统计学中的应用
参数估计
在统计学中，函数分布期望可以用于估计未知参数，如均值、方 差等，通过样本数据来估计总体参数。
假设检验
在假设检验中，函数分布期望可以用于计算检验统计量，从而判断 假设是否成立。
实例计算
以标准正态分布为例，其概率密度函数为 $f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2}}$，通过积分计算得 到期望值为 $mu = 0$。
实例二：泊松分布的期望值计算
总结词
详细描述
实例计算
泊松分布期望值的计算方法
泊松分布是一种离散概率分布，其期 望值计算公式为 $E(X) = lambda$， 其中 $lambda$ 是泊松分布的参数， 表示单位时间内（或单位面积内）随 机事件的平均发生率。在计算过程中 ，需要将参数 $lambda$ 代入期望值 公式中即可得到结果。
积分法
积分法适用于连续型随机变量 ，通过积分计算期望值。
计算公式为：$E(X) = int xf(x)dx$，其中$f(x)$是随机变 量的概率密度函数。
积分法可以处理更复杂的函数 分布，但计算过程相对复杂。
微分法
微分法是通过随机变量的概率密度函数的导数计算期望值。
二维随机变量的特征函数及其推导公式
对于二维连续变量的分布函数F(x，y)，一般应用其概率密度函数f(x，y)的定积分求解；对于非连续变量，需要分别累加求得【与一维随机变量的求法相仿】。
∴本题中，当x∈(0,∞)、y∈(0，∞)时，分布函数F(x，y)=∫(-∞，x)du∫(-∞,y)f(u，v)dv=∫(0，x)du∫(-0，y)2e^(-2u-v)dv=∫(0，x)2e^(-2u)du∫(-0，y)e^(-v)dv=[1-e^(-2x)][1-e^(-y)]。
当x∉(0，∞)、y∉(0，∞)时，分布函数F(x,y)=∫(-∞，0)du∫(-∞，0)f(u，v)dv=0。
扩展资料：
随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。
可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。
所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。
离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。
它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更
直观简明，处理更方便。
因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。
6函数分布期望-PPT文档资料
X 0 1 4 pk 0 .1 0 .6 0 .3
2 P { Y 1 } P { X 1 } P { X 1 } P { X 1 }
2
0 . 2 0 . 4 0 . 6
（二） 连续型随机变量函数分布
例2：设随机变量X的概率密度为 x 0 x4 fX(x) 8 0 其它 求随机变量 Y = 2X+8 的概率密度。
一、随机变量的数学期望
对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。 先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指 标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135， 140的各有1根。 则它们的平均抗拉强度指标为：
1 ( 110 120 2 125 3 130 2 135 140 ) 10
（一） 离散型随机变量函数分 布 例1：设随机变量X的分布律为
X 1 0 1 2
p 0 . 2 0 . 1 0 . 4 0 . 3 k 2 求 ( 1 ) Y X 1( 2 ) Y 2 X ( 3 ) Y X 的分 解： 由X的分布律可得 pk 0.2 0.1 0.4 0.3
F (y ) F ( y ) X X
将 F ( y ) 关于 y 求导数， 得 Y 的概率密 Y 1 [ fX ( y) fX ( y)] y 0 fY ( y) 2 y 0 y 0
2.3 随机变量的数字特征
用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机 一个随机变量，知道概率分布也就知道它的全部统 变量的数字特征。 计特征。然而实际问题中，随机变量的概率分布往 往不易求得，也有不少问题并不要求全部统计特性. 如比较电子元件寿命,不能一个一个比较，而是用它 寿命平均比较；其次比较元件寿命“离散程度”,离 散程度大,说明生产不稳定，反之,说明生产比较稳定。 随机变量常用数字特征：数学期望(均值)、 方差、协方差和相关系数。
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f ( x) =
1 −| x | e , − ∞ < x < +∞ 2
【0，2； 1 − e −1 】
求（1） EX 和 DX ； （2） E[min(| X |,1)] . 例 33-2. 设随机变量 X~ U[ 1, 2]; 记随机变量
2 2
(IV) P(Y1+Yn ≤ 0). 【 (I)
n n −1 2 1 σ (i = 1,2,L, n). (II) − σ 2 . III) c = 2(n − 2) n n
2
(IV) 1/2】
【类似例子 设X1, X2, …,Xn iid, ~ N(μ, σ ), 它们的算术平均值记为 X 令Yk = Xk −⎯X, 求 DYk, k=1, 2, …, n.
【类似例子 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0< p <1), 各产品合格与否相互独 立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X, 求X的数学期望EX和方差DX. ● 常见分布的综合或结合 例 33-13. 设X,Y 【1 /p, q /p 】 】
2
t≥0 t<0
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1
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Z
0
1
2
P
服从均匀分布, 令 U = ⎨
2/3
1/4
1/1
例 33-6. 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1), (1,0), (−1,0)为顶点的三角形区域上
⎧ 1, 若2Y ≥| X |, 则 其 数 学 期 望 EU = ______, 其他. ⎩− 1,
方 差 DU =
__________ .
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i.i.d. ~ Ex(λ), 记T =X+Y，则DT=
2
.
【Γ (2, λ), 2/λ 】
2
例 33-14. 设X1, X2, …,Xn (n>2)为来自总体N(0, σ ) 的简单随机样本，⎯X为样本均值， 记Yi = Xi −⎯X, i = 1, 2, …, n. 求：(I) Yi的方差 D Yi , i = 1, 2, …, n; (II) Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn) (III) 若c(Y1+Yn) 是σ 的无偏估计量，求参数c.
三十六技之三十三技：函数期望是关键，常用分布背特征， 特征性质要牢记，二维特征定相关。
【相关知识点】 随机变量（向量）的函数的期望的计算公式； 常见分布的期望与方差； 期望、方差、协方差、相关系数的求法与性质应用 随机变量分解法求数字特征 例题 ● 数字特征的计算（包括期望、方差、协方差、相关系数等）
若X
⎧0, V =⎨ ⎩1，
≤ 2Y .. 若X > 2Y
若X
【解】
cov(U ,V ) 1 = . DU ⋅ DV 3
例 33-17. 设随机变量 Y~ Ex(1), 随机变量 求 (I) X1，X2的联合概率分布. (III) X1，X2的相关系数. 【解】 (I)
⎧0, 若Y ≤ k Xk = ⎨ k = 1, 2 ⎩1, 若Y > k ,
其中 0 ≤ α ≤ 1, λ > 0, μ > 0 为常数， （1）求 T 的数学期望与方差； （2）求在呼唤时间不超过 1 小时的条件下，呼唤时间 T ≤ t 的概率密度.
α 1−α 2α − α 2 （ 2 1 − α） − (1 − α ) 2 2α (1 − α ) ； DT = = + − 【解】(1) ET = + λ μ λμ λ2 μ2
例 33-12.
如第i名射手每次命中概率p i (0< p i <1), i=1,2. 求两射手均停止射击时脱靶（未命中） 总数的分布及数学期望. 【解】当p1 ≠ p2 ，
p1 p2 [(1 − p2 ) n+1 − (1 − p1 ) n +1 ] ； p1 − p2
2
当p1 = p2 ，
(n + 1) p1 (1 − p1 ) n .
【解】 (I) r = 0
(III) EU= EV= 0,
Cov(U,V)= EUV= E(X *)2 − E(Y *)2 = 0= EUEV ρ = 0
【注】 rX *Y * = rXY , E ( X *) = 0, D ( X *) = 1, E ( X *) = 1 .
2
● 特殊方法 — 随机变量的分解法 例 33-10. 设 X ~ B(n,p), 求 EX 和 DX.
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=
1 n
∑k =1 X k .
n
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Y X
0 1
2 2 2 2
1 0.07 0.08
0 0.18 0.32
1 0.15 0.20
则X 和Y 的协方差 Cov(X , Y ) = ________ . 【 0.02】 例 33-5. 设A, B为随机事件，且P( A) = 1/4, P(B| A) = 1/3, P( A | B) =1/2, 令
【解】
DZ = P( Z = 1) P ( Z = 0) = 2λμ /(λ + 2 μ ) 2 .
例 33-16. 设（X, Y）服从 G 上的均匀分布， 其中 G
= {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} ，
求 U 和 V 的相关系数.
记
⎧0, U =⎨ ⎩1，
r=
≤Y , 若X > Y
2
(B) E ( X 1 X 2 ) = (1 − r ) ；
∑
n
i =1
X i ) = n (1 − r ) ； (D) 令 Yi = X i2 , i = 1,2,..., n 则 ∑i =1Yi ~ B(n, 1 − r ) .
n
例 33-8. 将一枚硬币重复掷 n 次, 以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 ( （A） –1. ) (B) 0.
(II) U＝ X 1 X 2 的分布.
X2 X1
0 0 1 1 0
1 − e −1
e −1 − e −2
e −2
−1
(II) U 的分布律（分布列）为
0 ⎛ ⎜ −1 −2 ⎝1 − e + e
e
1 ⎞ −2 ⎟ 。 −e ⎠
(III)
r = 1/ 1 + e .
例 33-18. 某箱装有 100 件产品, 其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在随机抽 取一件，令
【1/3， 8/9 】
例 33-7. 设随机变量 X1, X2, …,Xn是iid的, 且 ~ ⎜ ⎜ < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. (A) X1 = X2; (C) D( 则（ ） 。
⎛ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ , 其中 0 < p <1, 0 ⎝ q r p⎠
【D 】
⎧ ∑ h( x i ) p i , ⎪ ⎪ i E[h( X )] = ∫ h( x)dF ( x) = ⎨+ ∞ −∞ ⎪ ∫ h( x) f ( x)dx, ⎪ ⎩−∞
+∞
+ ∞+ ∞
A：直接计算
X ~ { pi }, X ~ f ( x).
⎧ ∑∑ h( xi , y j ) pij , ( X , Y ) ~ { pij }, ⎪ i j ⎪ E[h( X )] = ∫ ∫ h( x, y )dF ( x, y ) = ⎨+ ∞+ ∞ − ∞− ∞ ⎪ ∫ ∫ h( x, y ) f ( x, y )dxdy , ( X , Y ) ~ f ( x, y ). ⎪ ⎩ − ∞− ∞
若X > 0 ⎧1 ⎪ Y = ⎨0 若X = 0 ⎪ ⎩− 1 若X < 0,
则方差 DY = _________.
【 8/9
】
例 33-3. 某寻呼台的来电呼唤时间 T（单位：小时）是一个随机变量，满足
⎧αe − λt + (1 − α )e − μt P(T > t ) = ⎨ 1 ⎩