小学奥数-几何五大模型(等高模型)
小升初奥赛几何五大模型
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换①、等底等高的两个三角形面积相等②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2④、在一组平行线之间的等积变形，如图3图1 图2 图3例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
解：S△ADC=12S△ABC=12×24=12S△ADE=12S△ADC=12×12=6；S△DEF=12S△ADE=12×6=3（2）鸟头（共角）定理模型①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点S△ABC S△ADE =AB×AC AD×AE例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC 的面积。
解：由题意知：S△ABCS△ADE =AB×ACAD×AE=52×53=256∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50(平方厘米)（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①S2=S4(梯形两翼相等)②S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab③梯形S对应的分数为（a+b)2例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
解：S△AOB:S△BOC=25:35=5:7S△AOB:S△DOC=AB2:DC2=52:72=25：49∴S△DOC=49又S△AOD=S△BOC=35∴S ABCD=25+35+35+49=144(平方厘米)2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4②AO:OC=S1:S4=S2:S3=(S1+S2):(S4+S3)例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2，求OC解：AO:OC=S△ABD:S△BCD=1:3OC=2×3=6（4）相似模型1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
小升初奥数几何五大模型
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD 的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。
小学奥数几何五大模型
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。
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（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A。
几何之五大模型
几何之五大模型在小学奥数知识体系中，几何五大模型是几何专题中非常重要的一块知识点，方法性很强，掌握了几何的五大模型，对于我们解决组合型直图形或者非规则图形是非常有帮助的，所以几何五大模型在小学几何体系中的重中之重！几何五大模型的难点在于我们要在掌握各个模型适用的题型、相应的方法、公式的基础上学会灵活运用，还有就是有时要根据题意同时运用多种模型，从而更好的解决问题！PS:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供大家有针对性学习巩固，相信大家对于应用题的攻克将不在话下！一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ABE：S△CBE=AE：CE所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC因此S△ADE：S△ABC =（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。
例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享
小学奥数-几何五大模型(等高模型)模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G D CB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
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（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。
把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。
这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。
根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。
因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。
例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。
小学奥数之几何五大模型
、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图S ：S 2二a: b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S A ACD =S A BCD ；⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;五大模型反之，如果S△ ACD=s △BCD、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图，在 △ ABC 中，D, E 分别是 AB,AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上, 图2），则 S A ABC £△ A DE=（AB AC ）： （AD AE ）三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系 （蝴蝶定理”：① S ： S 2 =S 4 ： S 3 或者 S 汉汉 £ ② AO:OC =(S +S 2 )：(S4 +S3 )蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。
梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”）2 2① S I : S 3 = a : b2 2② S I : S 3: S? : S 4 = a : b : ab: ab ； ③ 梯形S 的对应份数为(a +b $。
E 在AC 上（如1)图2四、相似模型相似三角形性质:金字塔模型沙漏模型① AD _ AE _ DE _ AF AB_AC " BC _ AG所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它 们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
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一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小高奥数几何三角形五大模型及例题解析
小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．DC BAb二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;③S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：S4S3s2s1ODC BAS4S3s2s1ba两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？G H F E D CB A FE DCB A【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
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一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于及它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系及四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到及面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，及相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小学奥数之几何五大模型
、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图S1 :S2 a: b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S A ACD =S A BCD ；⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;五大模型反之，如果S△ACD △BCD其它常见的面积相等的情况、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图，在△ ABC中，D, E分别是AB,AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2），则S A ABC £△ A DE（AB AC）：（AD AE）三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”：蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”）2 2①S I : S3 a : b2 2②S I : S3 ： S? ： S4 a : b : ab: ab ；③梯形S的对应份数为 a b 2。
① S ：S2 S4：S3 或者S S3图1 图2S2S3b四、相似模型金字塔模型沙漏模型所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它 们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型① AD AE DE AB AC BCAFAG② ADE : S A ABC2 2AF :AG °S ^ABG : S AAGC S ABGE ：S A EGCBE : ECSMGA : S ^ BGC S ^AGF : S ^ FGC AF : FCS AAGC : S A BCG S A ADG : S ADGB AD : DB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的21平方厘米。
小学奥数-几何五大模型(等高线模型)
小学奥数-几何五大模型(等高线模型)一、引言本文档将介绍小学奥数中的几何五大模型之一：等高线模型。
等高线模型是一个有趣而重要的几何模型，它不仅可以帮助学生理解空间中的形状和结构，还能培养学生的观察力和空间想象能力。
二、等高线模型的基本概念等高线模型是通过连接相同高度的点所得到的曲线或曲面。
在地理中，等高线模型常用于表示山脉、山丘和河流等地形特征。
在几何学中，等高线模型是一个重要的图形展示方法，它可以用来表示并描述三维物体的形状、轮廓和高度变化。
三、等高线模型的应用等高线模型在现实生活和工程领域中有广泛的应用。
以下是等高线模型的一些应用案例：1. 地理学：用于绘制地图和描绘地形。
2. 工程学：用于设计山区公路、水坝和建筑物等。
3. 农业学：用于规划农田排水、灌溉和排污系统。
4. 水资源管理：用于分析和预测水流和洪水情况。
5. 生物学：用于模拟生物栖息地和物种分布情况。
四、如何绘制等高线模型绘制等高线模型需要掌握一些基本的技巧和规则，以下是一些建议：1. 根据所绘制的物体选择适当的比例尺。
2. 使用直尺和铅笔绘制基本轮廓。
3. 根据高度信息确定等高线的间距和密度。
4. 使用曲线工具或自由手绘法绘制等高线。
5. 将等高线逐渐升高或降低以绘制出真实的高度变化。
五、等高线模型的注意事项在绘制等高线模型时需要注意以下事项：1. 保持准确性和规范性，尽量避免绘制错误的轮廓。
2. 根据需要使用不同的线型和颜色来表示不同的高度变化。
3. 在绘制过程中要注意比例和尺寸的准确性。
4. 考虑地图或图纸上的标尺尺寸，以确保其他观看者可以正确理解模型。
结论等高线模型是一种重要的几何模型，它可以帮助学生理解空间中的形状和结构。
通过绘制等高线模型，学生可以培养观察力和空间想象能力，并应用于实际生活和工程领域。
希望本文对小学奥数学习者对等高线模型的理解有所帮助。
小高奥数几何三角形五大模型及例题解析(供参考)
三角形五大模型【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．DC BAb二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。
(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；S 4S 3s 2s 1O DCBA S 4S 3s 2s 1ba②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
hh H cb a CB Aac b HC BA①a b c hA B C H=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ※）如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【例3】（难度等级 ※）如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级 ※※※）如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
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模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。
⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形ABD 的面积 12高2 6高 三角形ABC 的面积 （12 4）高2 8高 三角形ADC 的面积 4高2 2高4所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的-倍；3 三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的3倍。
如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米。
DC图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。
（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积 是 平方厘米。
【例1】【解【例2】【解析】 【例3】【解析】⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第4个三角形相等；左边三角形【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也 等于平行四边形面积的一半，为50 2 25平方厘米。
【巩固】如下图，长方形 AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12,则 它内部阴影部分的面积是 _______________ 。
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为-20 12 120。
2【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
连接BH 、CH 。
••• AE EB ,--S X AEHS X BEH•3个边就都被分成了相等的三段。
把 H 和这些分点以及正 9个形状各不相同的三角形。
这 9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。
阴影部分被分割成了 3个三角形，右【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
同理,二S 阴影 BFHS x CFH 2S长方形ABCD,SVCGH =SVDGH ,1 -56 28（平方厘米）•【巩固】 图中的 分的面积是E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的方形的顶点相连，把整个正方形分割成了BE CO的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。
正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
长方形ABCD的面积为36 cm2，E、F、G为各边中点, 是多少？解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC，如下图:可得::S EHB — SAHB、2S FHB—S CHB、S DHG21SS DHC ，2而S ABCD S AHBS CHB S CHD36即S EHB S BHF S DHG1(S,AHB S CHB S CHD )1-3618 ；22而SEHB S BHF S DHG S阴影S EBF，S EBF BE BF 1 1(■AB) i1(BC)136 4.52 2 228所以阴影部分的面积是：S阴影18 S EBF 18 4.5 13.5解法「二：特殊点法。
找H的特殊点，把H点与D点重合，O 【例5】H为AD边上任意一点，问阴影部分面积【解析】【例6】这样阴影部分的面积就是DEF的面积,S阴影S ABCD S AED S BEF S CFD36根据鸟头定理,1 1 136 -2 2 2则有:1 丄2 236 36 13.5。
长方形ABCD的面积为36，E、F、多少？G为各边中点, H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是那么图形就可变成右图:C【解析】 【巩固】 【解析】那么阴影部分的面积就是AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD1 1面积的-和-，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的1 1 3 ，为36 3 -13.5。
8 48 488（法2）寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如右上图。
1 可得：S EHB S AHB 、S FHB S CHB 、 S DHG S DHC ， 而ABCD SAHBSCHB S CHD36，2 22即 S EHB S BHF S DHG 1 (S AHB S CHB1 S CHD ) 36 18 ；221 1 (2 21BC) 36 4.5。
8而 S EHB S BHF SDHG S 阴影 S EBF ,S 1 EBF — BE BF 2 1 AB)(- 2所以阴影部分的面积是： S 阴影18SEBF 18 4.5 13.5 。
在边长为 6厘米的正方形 ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分, 分别与P 点连接，求阴影部分面积。
P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的P 点与A 点重合，则阴1 1-和-，所以阴影部 4 6【例7】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，AD 面积的几倍？12厘米，DE 3厘米.求三角形ABC 的面积是三角形 EBC（法1）特殊点法。
由于H 为AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如左上图）（法1 ）特殊点法。
由于【解析】连接 CE ，: AE 3AB ,又••• BD 2BC ,••• SBDE 2 S VBCE 4S VABC 4 .【例10】（2008年四中考题）如右图，AD 的面积是_________ 平方厘米.DB , AE EF FC ,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC【解析】 因为AD 垂直于BC ,所以当BC 为三角形ABC 和三角形EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面积 BC 12 2 BC 6三角形EBC 的面积 BC 3 2 BC 1.5所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的4倍.【例8】如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行AC ,连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与VBEC 等积的三角形一 共有哪几个三角形？【解析】VAEC 、VAFC 、VABF .【巩固】如图，在 VABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结 BE 、CE ,那么与VABE 等积的三角形一共 有哪几个三角形？【解析】3 个，VAEC 、VBED 、VDEC .【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?【解析】 V ABD 与 V ACD , VABC 与 V DBC , VABO 与 V DCO .（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形 ABC 的面积为1，其中AE 3AB , BD 2BC ，三角形BDE 的面积是多少？【例9】 AD…BE 2 AB , S VB CE2S VACBB C【解析】 连接CD •根据题意可知， DEF 的面积为 DAC 面积的-,DAC 的面积为 ABC 面积的-，所3 2111以 DEF 的面积为 ABC 面积的—--.而 DEF 的面积为5平方厘米，所以 ABC 的面积为2 3 61 5 30 （平方厘米）•6 【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点,长的3倍.那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？【解析】V Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，••• ZY 1 1DB , S VZ CY 丄S/DCB ,2 2 41 1 1又••• ABCD 是长方形，• S VZCY -S VDCB - -S YABCD 24 （平方厘米）.4 4 2【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是24, D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点.求三角形 DEF 的面积.【解析】三角形ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半24 2 12 ,三角形ADE 又是三角形 ADC 面积的一半12 26 .三角形FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积 6 23 .【巩固】如图，在三角形 ABC 中，BC 8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米?AD 的长是 AE 长的3倍，EF 的长是BF【解析】 V ABD , VABC 等高，所以面积的比为底的比，有S/ABDBD1&ABCBC2所以S/ABD = S V ABC1-180 90 （平方厘米）.同理有S /ABE2AEADS VABD1-90 30（平方厘米）, 3S/AFEFE BES/ABE3 30 22.5 （平方厘米）.即三角形 AEF 的面积是22.5平方厘米.4【巩固】如图，在长方形 ABCD 中，Y 是BD 的中点,三角形ZCY 的面积.Z 是DY 的中点，如果 AB 24厘米，BC 8厘米，求DC【解析】•/ F 是AC 的中点--S/ABC 2S VABF 冋理 S/ABF 2S/BEF 二 SVBEFS /ABC4 8 6 2 4 6(平方厘米).【例11】 如图ABCD 是一个长方形，点 E 、F 和G 分别是它们所在边的中点•如果长方形的面积是36EFG 的面积是多少个平方单位.个平方单位，求三角形 【解析】如右图分割后可得, S VEFG S 矩形DEFC 2 S 矩形ABCD 4 36 4 9 (平方单位) 【巩固】 （97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD 的面积是1 , 那么，阴影部分的面积是多少？ M 是AD 边的中点, N 在AB 边上，且2AN BN .【解析】 【例12】 连接BM ，因为M 是中点所以△ ABM 的面积为-又因为42AN BN , 所以△ BDC 的面积为1 3 121，又因为△BDC 面积为2，所以阴影部分的面积为: 1丄 12512如图，大长方形由面积是 形组合而成•求阴影部分的面积.12平方厘米、24平方厘米、 36平方厘米、 48平方厘米的四个小长方12cm 248cm 2 【解析】如图，将大长方形的长的长度设为 AB12 36241 1 所以MN -— 3 4 1 -，阴影部分面积为 12 (12 24 36 48)12 - 24 48 3， 25(cm ).【例13】 如图，三角形 的面积是多少？ABC 中，DC 2BD , CE3AE ,三角形 ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC【解析】T CE 3AE ，二 AC 4AE , S VADC 4S VADE ；又•/ DC 2BD ，二 BC 1.5DC , S VABC 1.5S VADC 6S VADE 120(平方厘米).【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可B 【解析】【例15】【解析】【例16】【解析】【例17】【例14】 （2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89, 28, 26 .那么三角形 DBE 的面积是DCAE ADBB CCDEC 的面积就DEC 的高）是ADOBCDAACCB 三角形 15分米7 19 92:9 是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差OB 的长度为OD 的3倍，求梯形 ABCD 的面积89 28 117 （10平方分米）•从而，可求出梯形高（三角形 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形、DE如右图，作AB 的平行线DE .三角形BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等，三角形2 10 5 4（分米），梯形面积是：154 2 30（平方分米）根据题意可知，S ADC S ADE S DCE （第四届《小数报》数学竞赛 ）如图，梯形ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是 它们的差是5分米.求梯形ABCD 的面积A ________ D所以 BD: AD S BDC ：S ADC 26:117 图中VAOB 的面积为15cm 2，线段 那么 S DBE : S ADE BD: AD 2:9 ,,, 2 2 2 故 S DBE 89 (90 1)20 9 99 因为VABD 和VACD 等底等高，所以有 S VABD S VACD .2 2 2从而 S VOCD 15cm ，在 VBCD 中，S VBOC 3S VOCD 45cm ，所以梯形面积：15 5 15 45 80( cm )在 VABD 中，因为 S VAOB 15cm，且 OB 3OD ，所以有 S AOD S VAOB 35cm以利用三角形等积变形的方法， 如右上图把顶点 A 移到CB 的延长线上的A 处，VA B D 与VABD 面 积相等，从而VA 'DC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等.这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角 形VA 'DC •问题是A 位置的选择是依据三角形等积变形原则•过 A 作一条和DB 平行的直线与 CB的延长线交于A 点. 具体做法：⑴连接BD ;⑵ 过A 作BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A • ⑶ 连接A D ，则VA CD 与四边形ABCD 等积.一个长方形分成 4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形221cm .问：长方形的面积是多少平方厘米？黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的 15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% 15% 35% .已知黄色三角形面积是 21cm 2，所以长方形面积等于 21 35%如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点P 作边的平行线 EF 、GH ，若 分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米?根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行四边【例18】（第三届"华杯赛”初赛试题） 面积的15%，黄色三角形面积【解析】 260 ( cm ). 【例19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是5cm 2 , 积是多少？OAB 的面积是2 _ ,2cm ，求 OBD 的面【解析】 由于ABCD 是长方形，所以S AO DS BOC*ABCD，而S ABD 则S BOC SOAB SOBD, 所以S OBD SBOC SOAB1-S ABCD ，所以 25 2 3cm 2.S AOD S BOC S ABD ,【例20】 PBD 的面积为8平方【解析】形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.如右上图，连接CP、AP .由于S BCP S ADP S ABP S BDP1 、S ADP ，所以S BCP S ABP S2BDP・1而S BCP S BC FE ,2S ABPS AB HG,2所以S BCFE S ABHG 2 S BCP S ABP 2S BDP 16(平方分米).【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20 , 求阴影BPD的面积.【解析】连接AC交BD于0点，并连接P0.如下图所示,可得PO//DC，所以S BPO S CPO S BPO、1因为S S ABCD4DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有:S PDO14SBPD ,20 5，所以S BPD 15 510 .【巩固】5，求阴影BPD的面积.【解析】连接AC交BD于0点,可得PO//DC，所以S BPO S CPO S BPO、 1因为S S ABCD4并连接P0.如右上图所示，DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有：S PDO S BPD ,3，所以S BPD 5 3 2 .【例22】在长方形ABCD内部有一点0,形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少？【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去可求出AOC的面积.DOC的面积（长方形面积的18%），再减去AOD的面积，即1根据模型可知S COD S AOB —S ABCD ,2又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半,1所以S ABCD 16 (—18%)250，所以AOD的面积等于长方3 215100cm •20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论. 本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G 与E 重合，则CDE 的面积占梯形面积的一半，那么ADG 与BCG 合起来占一半.【例24】如图所示，四边形 ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.F F【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半.1形面积的丄,41所以 S AOC S ACD S AOD S COD —S ABCD 25%S ABCD 18%S ABCD 25 12.5 92 3.5•【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形分别是其两腰 AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知 ADG 的面积为 面积恰好是梯形 ABCD 面积的—，则梯形ABCD 的面积是20ABCD 中，E 、F2一 …15cm ,而 BCG 的 2cm 【解析】如果可以求出 ABG 与 CDG 的面积之和与梯形 ABCD 面积的比，那么就可以知道 ADG 的面积占 梯形ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形 ABCD 的面积. 如图，连接CE 、DE •则S AEG S DEG , S BEG S CEG , 是 S ABG S CDG SCDE • 要求 CDE 与梯形ABCD 的面积之比，可以把梯形 ABCD 绕F 点旋转180，变成一个平行四边形.如 下图所示：1半.（也可以根据21 1 1S AED S AFD — S ADC , S BEC S AED — S ABC — S ADC2 2 21—S ABCD 得来）2 那么，根据题意可知 ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的173 2 2）20，所以梯形ABCD 的面积是证明：连接BE .（我们通过△ ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起. ）1•••在平行四边形 ABCD 中，S A ABE - AB AB 边上的高,21 ABE — S W ABCD .2 1 -S YAEGF ,•平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等.2E 【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?EABA BF FCCG本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平))HHA A EEGGBBCDC三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍如图，正方形 ABCD DU连接DE ，DF ，则长方形 的边长为6，AE 1.5，CF 2.长方形EFGH 的面积为F CF CS A DEF 6 6 1.5 6 22 6 2 4.5 4 2 16.5 ,所以长方形 EFGH 面积为 33S EFGB .2正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）冋理，S A ABG行四边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明：连接 AG .（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起1•••在正方形ABCD 中，S A ABG — AB AB 边上的高，2 S A ABG1弘BCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的 2如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ,如果VADE 的面积为4平方厘米.求三角形 CDF 面积.D【解析】 【例25】 【解析】 【例26】 的冋理，S A ABE【解析】连结AF、CE.--S V ADE S V ACE；S V CDF S V ACF；又V AC与EF平行，••• S V ACES V ACF.• S VADE S VCDF 4 （平方厘米）.【巩固】如右图，在平行四边形的面积.ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S A ADE 1，求△ BEF【解析】【例27】【例28】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等相等）和等量代换的思想•连接AC .T AB //CD ，…ADE ACE同理AD // BC ,「. S^ACF S AABF又S A ACF S A ACE S A AEF , ABF图中两个正方形的边长分别是【解析】如图，有三个正方形的顶点厘米，求阴影部分的面积.S A BEF S A AEF ,（或夹在一组平行线之间的三角形面积--S A ACE S A BEF , 即S A BEF S A ADE 1 .6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10PKPK【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的,如右图所示，连接得S DGE S 方厘米.BGE ,从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.FK、GE、BD，则BD//GE//FK，根据几何五大模型中的面积比例模型，可S KGES FGE，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为102100平【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积.【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系•连接AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等•因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4 4 2 8.（2008年西城实验考题）如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积10 10 2 50（平方厘米）•方法二：连接CF，那么CF平行BD ,所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积50（平方厘米）•【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.【巩固】【解析】【巩固】【解析】别相等，所以ABF与正方形ABCD和正方形ABF与ADF，由于AB AD , FG FE，即ABF与ADF的底与高分ADF的面积相等，那么阴影部分面积与ABH的面积相等，为6平方厘米.方法一：三角形BEF的面积BE EF 2 ,梯形EFDC的面积（EF CD）CE 2而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，BE EF三角形2三角形BEF的面积，DHF的面积三角形BCH的面积, 如图，连接AF ,比较则图中阴影面积为多少平方厘米?FCEFG ,且正方形【解析】如果注意到DF 为一个正方形的对角线 （或者说一个等腰直角三角形的斜边 ），那么容易想到 DF 与CI 是平行的•所以可以连接 CI 、CF ，如上图.1由于DF 与CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等•而 DFC 的面积为10 4 - 20，所 2 以DFI的面积也为20.【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ,已知CH等于CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积.【解析】连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形 ACGF 构成一个梯形.1由于 HCG 面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的-，根据梯形蝴蝶2 定理或相似三角形性质， 可知 FHG 的面积为12平方厘米， AHF 的面积为6平方厘米， AHC 的面积为3平方厘米.那么正方形CGEF 的面积为 6 12 2 36平方厘米，所以其边长为 6厘米.又AFC 的面积为6 3 9平方厘米，所以 AD 9 2 6 3（厘米），即正方形ABCD 的边长为3厘2 1米.那么，五边形 ABGEF 的面积为：36 9 3 - 49.5（平方厘米）.2【例30】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形 ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC ,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形 ABCD 的面积是32平方厘米.求图 中阴影部分的面积.【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底 DF FC .所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即 AE1与CD 平行，四边形 ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积 平行四边形 ADCE 的面积的-，所以2阴影部分的面积乙的面积 2 .设甲、乙、丙的面积分别为 1份，则阴影面积为 2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积32 5 2 12.8（平方厘米）.【例31】 如图，已知长方形 ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？【解析】方法一：连接对角线 AE •••• ADEF 是长方形因为AD 2BE ，所以 AG 2GE ,1所以阴影部分的面积是 - S 四边形ABCD •32-1:2，所以阴影面积与空白面积的比是3 【例33】 （第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形 ABC 中，D 是AB 边的中点，E是AC 边上的一点，且AE 3EC , O 为DC 与BE 的交点.若 CEO 的面积为a 平方厘米，BDO 的面积为b 平方厘米•且b a 是2.5平方厘米，那么三角形 ABC 的面积是 ______________ 平方厘米.【例32】-S ADES AEFS XADEF2DB S ADB 3 FC S ACF 1DE S ADE8EF SAEF2BEDE DI B 5 CEFE CF 1 DE DE8， EF EF2-S BEC 1 5 1 516 -2 8 2 213-S ABCS XADEFS ADB S ACFS:BE—2方法二 :连接 BF ，由图知 S A ABF 1 6 2A AEF 面积的 一半，所以C 是EF S A ABC 16 3 4 2.5 6.5中点，因16BCE5，又由S A ACF4，恰好是 S A BCF 5 22.5，所以如图，在平行四边形 ABCD 中, BE EC , CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比.【解析】方法一：因为BE EC , CF 2FD，所以S A ABE—Sg 边形 ABCD, S A ADF4—&边形 ABCD•6所以S A BGE 1 —S A ABE 3 丄 &边形ABCD , 122S A ABG — S A ABE3 四边形ABCD•同理可得, S A ADH 11 —Sg 边形 ABCD , S A DHF S 四边形 ABCD •因为S A BCD四边形ABCD 2，所以空白部分的面积 241—)S 四边形ABCD — &边形ABCD , 8 31:2 . 8，所以 S\ BEF的 1A11 、 1S ABC S BCE a S BCO , ABC4 2 10（平方厘米）・【例34】如图，在梯形ABCD 中，AD:BE 4:3 , BE: EC 2:3 ,且 BOE 的面积比 AOD 的面积小10平方厘米•梯形 ABCD 的面积是 _________ 平方厘米.【解析】根据题意可知AD: BE: EC 8:6:9，则■^巴8, S ABE - S ABDS ABE 6 4而 SABDSABESAODSBOE110平方厘米，所以 —S ABD 10,则S ABD 40平方厘米4 又 S BCD9 6 15 所以S15 BCD 40 75平方厘米.S ABD8 88所以S 弟形 ABCDS ABD S BCD40 75 115（平方厘米）.（第五届《小数报》数学竞赛初赛）如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与DC 平行，AE2BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大4平方米，并且EC - BC .求5梯形ABCD 的面积.b O a E1【解析】—S ABC S BCD b S BCO2米）.所以 S ABC 2.5 4S ABC b a 2.5 （平方厘 4【巩固】 与BD 相交于O 点•已知三角形 【解析】连接AC .根据差不变原理可知三角形 ABE 的面积比三角形 ABD 大4平方米，而三角形 ABD 与三 角形ACD 面积相等，因此也与三角形ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角形ACE 的大4平方米.2 2 2ABE的面积是但EC -BC，所以三角形ACE的面积是三角形ABE的^ -，从而三角形5 5 2 32 24 1 - 12 （平方米），梯形ABCD的面积为：12 1 - 2 28（平方米）.13 , 35 , 49 •那么图中【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是阴影部分的面积是多少？A1【解析】三角形ABC 的面积 三角形CDE 的面积(13 35 49)长方形面积阴影部分面积；又因为三角 1形ABC 的面积 三角形CDE 的面积 -长方形面积，所以可得：2 阴影部分面积13 35 49 97 •12厘米、13厘米的直角三角形. 将它的短直角边对折到斜边 (即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母.有 ABC 为直角，而 CED ABC ，所以 CED 也为直角•而CE CB 5 . VADE 与VCED 同高， 所以面积比为底的比，及= AE = ^ = 8，设VADE 的面积为“ 8” ,则VCED 的面积为 SV C ED EC 5 5“ 5”.VCED 是由VCDB 折叠而成，所以有VCED 、VCDB 面积相等，VABC 是由VADE 、VCED 、VCDB 1 5组成，所以SV X BC = “ 8” + “ 5” + “ 5” = “ 18”对应为-5 12 30 ,所以“ 1 ”份对应为-，那么2 35 1 1△\DE 的面积为8 5= 13丄平方厘米.即阴影部分的面积为 131平方厘米.3 3 3【例37】 如图，长方形 ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE , F 是DG 的中点.阴影部分的面积是【例36】图中是一个各条边分别为 5厘米、上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分C 5 B【解析】如下图，连接FC , VDBF、VBFG的面积相等，设为x平方厘米；VFGC、VDFC的面积相等，设为1-y平方厘米.3【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路 AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道 DF DC ，且 AD 2DE .则两块地 ACF 和CFB 的面积比是 ________________ .DI FK 14 10 24.111 SV BCD 2x 2y 1, SV B DE =X + y=l.所以有33 3式左边多2x ,②式右边比①式右边大 0.5，有2X2 5 5 y -y - 0.25 —平方厘米.3 3 12X y 0.5①… .比较②、①式，②式左边比① 3X y 1②0.5，即X 0.25, y 0.25 .而阴影部分面积为【解析】方法一：连接BD .设厶CED 的面积为1,△ BED 的面积X ,则根据题上说给出的条件,即△ BDF 的面积为X 1、& ADC 又有AD 2DE ,S ^ ADC S ^ ADF得 X 3，所以S ^ ACF: S ^CFB (2 方法二：连接BD ，设S A CED2SA CDE2、 SA ABD 2S A BDE2X,2):(1 3 4) 1:2 .由DF DC 得 SA BDCS A BDF,而 S A ABDX 1 2 2X ;X S A BFDy 则有X 1 y,2X y 2X 3解得 ，所以S A ACF : SA CFB(2 2)：(4 3 1) 1:2y 4方法三：过F 点作FG //BC 交AE 于G 点，由相似得CD : DF ED :DG 1:1,又因为AD 2DE ，所以AG:GE AF: FB 1:2，所以两块田地 ACF 和CFB 的面积比 AF : FB 1:2【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图, 9DIBC 45, AC 21, ABC 被分FK【解析】由题意可知，BD : BC S BAD : S ABC2:9 ,所以 BD|BC10 ,CD BC BD 35 ;又DI : DC S DIF : S DFC 2:5,所以DI-DC 145同样分析可得FK 10【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角 并且 OAB 、 ABC 、 BCD 、 CDE 、MON 的两边上分别有 A 、 DEF 的面积都等于1，则 C 、E 及 B 、D 、 DCF 的面积等于F 六个点,BBSA； 1 (份)，则 S A ACDS A ADF2 ,设 S A BED。