小学奥数-几何五大模型(等高模型)

模型一三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时

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发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来

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的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图S i :S2 a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；

反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。

⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：

⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:

如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？

⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?

因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC

边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积 12高2 6高 三角形ABC 的面积 （12 4）高2 8高 三角形ADC 的面积 4高2 2高

4

所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的-倍；

3 三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的3倍。

如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米。

D

C

图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。

（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积 是 平方厘米。

【例1】

【解

【例2】

【解析】 【例3】

【解析】

⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:

边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第4个三角形相等；左边三角形

【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也 等于平行四

边形面积的一半，为

50 2 25平方厘米。

【巩固】如下图，长方形 AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12,则 它内部

阴影部分的面积是 _______________ 。

【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为

-20 12 120。

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【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的

任意一点，求阴影部分的面积。

连接BH 、CH 。

••• AE EB ,

--S X AEH

S X BEH

•

3个边就都被分成了相等的三段。把 H 和这些分点以及正 9个形状各不相同的三角形。这 9个三角形的底边分别是

在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。

阴影部分被分割成了 3个三角形，右

【解析】

本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

同理,

二S 阴影 BFH

S x CFH 2S

长方形ABCD

,S

VCGH =S

VDGH ,

1 -56 28（平方厘米）•

【巩固】 图中的 分的面积是

E 、

F 、

G 分别是正方形

ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部

【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的

方形的顶点相连，把整个正方形分割成了

B

E C

O

的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

长方形ABCD的面积为36 cm2，E、F、G为各边中点, 是多

少？

解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC，如下图:

可

得:

:S EHB — S

AHB、

2

S FHB—S CHB、S DHG

2

1S

S DHC ，

2

而S ABCD S AHB

S CHB S CHD36

即S EHB S BHF S DHG1

(S,AHB S CHB S CHD )

1

-36

18 ；

22

而S

EHB S BHF S DHG S阴影S EBF

，S EBF BE BF 1 1

(■

AB) i1(BC)136 4.5

2 2 228

所以阴影部分的面积是：S阴影18 S EBF 18 4.5 13.5

解法

「

二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，

O 【例5】H为AD边上任意一点，问阴影部分面积【解析】

【例6】

这样阴影部分的面积就是DEF的面积,

S阴影S ABCD S AED S BEF S CFD36

根据鸟头定理,

1 1 1

36 -

2 2 2

则有:

1 丄

2 2

36 36 13.5。

长方形ABCD的面积为36，E、F、多

少？

G为各边中点, H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是那么图形就可变成右图: