曲线与方程,圆的方程

曲线与方程、圆的方程

江苏 郑邦锁

1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ）

A B C D

解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--4

0122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直

线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。选D 。

[举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA

是解决本题的关键。用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。

设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论：

① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α

此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α，

,2

)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(11222

2+-+∙=--∴x y x y

x y

得： 132

2

=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．

当2090=α时, α=450

，MAB ∆为等腰直角三角形,此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(132

2

≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(132

2

<<-=≥=-x y x y x 或．

[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，

则它的方程是

A ．（21y x -+）·（21x y -+）=0

B ．（21y x --）·（21x y --）=0

C ．（21y x -+）·（21x y --）=0

D ．（21y x --）·（21x y -+）=0

[巩固2]已知点R （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足RP ·PM =0，2PM +3MQ =0，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。

[迁移]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱AB 的中点，点P 是平面ABCD 上的一动点，且点P 到直线A 1D 1的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4，则点P 的轨迹为： A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二

元二次方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0⇔A=B ≠0，C=0,且D 2+E 2-4AF>0）。判断点P （x 0,y 0）与

⊙M ：(x-a)2+(y-b)2= r 2的位置关系，用|PM|与r 的大小，即：|PM|>r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2> r 2⇔P 在⊙M 外；|PM|

[举例1]一圆经过A （4，2），B （-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。

解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆

的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A 、B ，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，

圆在x 轴上的截距即圆与x 轴交点的横坐标，当y=0时，x 2+Dx+F=0，x 1+x 2=-D

圆在y 轴上的截距即圆与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y 2+Ey+F=0，y 1+y 2=-E

由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。

[举例2]若存在实数k 使得直线l ：kx-y-k+2=0与圆C ：x 2+2ax+y 2-a+2=0无公共点，则实数

a 的取值范围是： 。

解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线l 对任意的实数k 恒过定点

M （1，2），要存在实数k 使得直线l 与⊙C 相离，当且仅当M 点在圆外；方程x 2+2ax+y 2-a+2=0

变形为：(x+a)2+y 2= a 2+a -2, M 点在⊙C 外⇔(1+a)2+4>a 2+a -2>0，解得：-71. 注：本题中a 2+a -2>0是极易疏漏的一个潜在要求。

[巩固1]过点A （3，-2），B （2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。

[巩固2]已知定点M(x 0,y 0)在第一象限，过M 点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r 1，