矩阵的初等变换和初等矩阵

例如
设
A 103
0 1 1
112
则有
~ ~ A103
01A 1
我们知道，决定方程组AX=b解的因素只有：方程组的 系数矩阵A及常数项b. 因此我们令
B(A b) 称为方程组AX=b的增广矩阵。
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例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
Henan Agricultural University
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x4
4 4 9
增广矩阵的比较
B
4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
0 3 3 1 6
B3
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
944
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
即 方程②两端乘以(-2)加到方程①上去
B的第2行乘以(－2)加到第1行.
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③消法矩阵：把单位矩阵E的第i 行的k倍加到第j行上得到的初等矩 阵；Eij (k)
或把单位矩阵E的第i列的k倍加 到第j列上得到的初等矩阵 EiTj (k)
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1 0 0
E
0
1
0
0 0 1
1 0 0
P23 0 0 1
0 1 0
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
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三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
1.定义： 由单位矩阵E经过一次 初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
①换法矩阵：对调单位矩阵E的 第i j两行(列)得到的初等矩阵 Pij
②倍法矩阵：用非零数k乘单位矩 阵E的第i行(列)得到的初等矩阵 Mi (k)
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
即 方程①②换行 交换B的第1行与第2行
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2x1 x2 x3 x4 2
例如，43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
1 0 0
M
3
(5)
0
1
0
0
0
5
1 0 0
E12
(6)
6
1
0
0
0
1
1 6 0
ET 12
(6)
0
1
0
0
0
1
2.性质 (1) 初等矩阵都是可逆矩阵；因为
|Pij|=－1; |Mi(k) |k;
|Eij(k) |=1.
(2)初等矩阵的逆矩阵仍然是同类型的初等矩阵。
Pij1Pij M1i(k)Mi(k-1) ；
12
则有
~ ~ A
A103
101103
112101r1112 [1r,22r1]103r2 101103
112101
2 1 1
E3(1P,122A) A
100 100100
1 0 0
100100 103103
00 11 11
112112
103
1 0 1
112
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4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1wk.baidu.com
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
二、矩阵的初等变换
如上所述，线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程 组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换
把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩 阵的三种初等变换
1.初等变换的定义
(1)换法变换：对调两行(列) (2)倍法变换：以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)消法变换：把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
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2.符号规定
对调i ,j两行(列)： rirj (cicj) 第i行(列)乘非零数k：rik (cik) 第 i 行(列)的 k 倍加到第 j 行(列)上：rj+kri (cj+kci)
也可以这样，
交换i j两行, 记作 [i, j] 交换i j两列, 记作 第i行乘非零数k 记作 [i(k)]
复习 矩阵的运算
一、线性运算 加减法、数乘
二、转置、乘法 三、逆方阵
分块矩阵方法
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第五节 矩阵的初等变换和初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的变化 它 在求解线性方程组及矩阵理论的探讨中具有重要的 作用
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、求逆矩阵的初等变换方法
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
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一、方程组的同解变换与其增广矩阵变化的关系
在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另 一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换
同解变换有 （1）交换两个方程的位置； （2）把某个方程两端乘以一个非零数； (3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上