矩阵的初等变换和初等矩阵
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矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
初等变换与初等矩阵
设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯 形矩阵(2.5.1),我们再对它的第k行分别乘以
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
2-4初等变换、初等阵
1 例如， 例如， 0 B5 = 0 0
0 −1 0 4 1 −1 0 3 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
11 1 0 00 00 0 c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3 0 0 0
←第i 行
以E (i(k)) 左 矩 A 乘 阵， m a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ E m ( i ( k )) A = kai 1 kai 2 ⋯ kain ←第i 行 ⋮ ⋮ ⋮ a am 2 ⋯ amn m1
当 以 相 于 数k 乘A的 i 行(r ×k) 第 ； i
初等变换 初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
的逆变换是其本身， 变换 ri ↔ r j 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) −1 = E ( i , j ) ；
1 变换 ri × k 的逆变换为 ri × ， k 1 −1 则 E ( i ( k )) = E ( i ( )); k 变换 ri × kr j 的逆变换为 ri × ( − k ) r j， 则 E ( ij ( k )) −1 = E ( ij ( − k )) .
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行( ri × k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 ⋱ 1 E ( i ( k )) = k 1 ⋱ 1
二、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算， 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 用广泛 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵
初等变换与初等矩阵
上面的“和” 字换成分块线），左乘初等矩阵（即进行初等行变换），最后求
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
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4-4 初等矩阵与初等变换
A 后, 右边E对应部分即为 A (或对 施行初等列 E 变换, 将A划为单位阵 E后, E对应部分即为 A−1 .
−1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci )， 1 O 1 ← 第 i行 Ri j ( k ) = C ji (k ) = M O k L 1 ← 第 j行 O 1
的方法， 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A−1 B .
Q
即
A ( A B) = ( E A B)
−1
−1
( A B)
初等行变换
E A −1 B
例 例3
求矩阵 X , 使 AX = B，其中 2 3 2 5 2 1 , B = 3 1 . 4 3 4 3 −1 可逆， 若 A 可逆，则 X = A B . 1 2 3 2 5 2 3 ( A B ) = 2 2 1 3 1 ∴ X = − 2 − 3 . 3 4 3 4 3 1 3 1 A = 2 3 解
类似有初等列变换(所用记号是把“ 换成 类似有初等列变换 所用记号是把“r”换成 所用记号是把 “c”)． ． 初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 统称为初等变换 初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
m × n 矩阵 通过有限次初等行变换 矩阵,通过有限次初等行变换
初等矩阵都是可逆矩阵， 定理 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为 同型的初等矩阵，且有： 同型的( k ) = Ri ( ), Rij 1 ( k ) = Rij ( − k ) k 1 −1 −1 −1 Cij = Cij , Ci ( k ) = Ci ( ), Cij ( k ) = Cij ( − k ) k
初等矩阵和初等变换
=
a21 a31
ka22 ka32
a23 a33
a11
3)
a21 a31
a12 a22 a32
a13 1
a23 a33
0 0
0 1 0
k a11 a12
0 1
=
a21 a31
a22 a32
ka11 a13
ka21 ka31
a23 a33
线性代数
回顾
1 0 0 a11 a12 a13
回顾
1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13
1)
0 0
0 1
1 0
a21 a31
a22 a32
a23 a33
=
a31 a21
a32 a22
a33 a23
线性代数
回顾
1 0 k a11 a12 a13 a11 ka31 a12 ka32 a13 ka33
(i(k
),
j)
MO
kL 1
j
O
1
线性代数
初等矩阵
例 判断下面几个矩阵是否为初等矩阵，如果是的话， 是哪一种初等矩阵.
1 0 0
1)
0 0
2 0
0 1
0 0 1
2)
0 1
1 0
0 0
1 0 2
3)
0 0
0 1
1 0
1 0 0
4)
0 0
1 0
2 1
线性代数
回顾
a11
1)
3)
0 0
1 0
0 1
a21 a31
a22 a32
a23 a33
=
a21 a31
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
矩阵的初等变换与初等矩阵
Er O
O O
0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0
0
0
1
0
0 0 0 1
1 2 1 0
E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0
0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )
2.5矩阵的初等变换和初等矩阵
§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵
~
3 0 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 9 4 0 2 3
3 0 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 r3 9 r2 0 0 1 9 4 6 3 0 0 18 9 12 r1 2 r3 0 2 0 8 4 6 ~ r2 r3 0 0 1 9 4 6
4 1 2 1
00 00 11 00
0 0 10 20 30 00 00 00 00
9 4 6 0 0 0 2 0 8 3 0 00
矩 阵 A 的 标 准 型
例4.2
设
1 1 2 1 A 1 1 1 0 2 0 1 1
的等价标准形.
求
A
注:
1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2.任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵；
3.任一矩阵都可经初等变换r
Er 0, E r 都是 0
0 的特殊情况. 0
O Er 。 O O
行阶梯形矩阵
也就是指可以画一条阶梯折线，
折线的下方元素全为零；并且每个阶梯只有一行，
阶梯数即为非零行的行数，阶梯线每一竖线后面第
一个元素为非零元.
3 3 2 1 0 1 0 , B 0 0 1 2 5 如: A 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 0 8 0 0 2 5 0 0 5 2 4 0 2 1 0 4 , C 0 3 0 0
0 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 8 1 3 0 0
为行阶梯矩阵.
行最简形矩阵
是指行阶梯形矩阵中除每一竖线后面的第一个
第6讲矩阵的初等变换与初等矩阵
1 ... 1 E(i(k)) = k 1 ... 1
1 1 ... ... 1 k 1 or E ( ij ( k )) = E ( ij ( k )) = ... ... k 1 1 ... ... 1 1
第六讲 矩阵的初等变换与初等矩阵
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵
矩阵的初 第一节 等 变 换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的 运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理 论的探讨中都可起到非常重要的作用。 引例：用消元法解下面的线性方程组
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 4x − 6x + 2x − 2x = 4 2 3 4 1 3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9 2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 方 程组 的增 广矩 B = 阵 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9
(1) r1 −r2 −r3 1 (2) r2 −r3 0 ~ 0 (3) 0 (4)
1 1 0 0
0 1 0 0
−2 1 −1 1 0 1 0 0
−1 0 −1 0 0 1 0 0
4 0 −3 0
4 3 −3 0
x1 = x3 + 4 令 即 程 的 为 x2 = x3 + 3 x3 = c， 方 组 解 ： x4 = −3
设矩阵Am×n，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k))， En(i(k))，Em(ij(k))， En(ij(k))，则可以验证：
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
1.6 矩阵的初等变换
解法一 直接求逆矩阵 解法二 行初等变换法
3 8 6 X 2 9 6 . 2 12 9
A1 G1G2 ....Gk AA
1
AG1G2 ....Gk
E AG1G2 ....Gk A1 EG1G2 ....Gk
A 初等列变换 E 1 E A
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1 1 i行 P i ( k ) k 1 1 i列
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的 k 倍加到第 j 列) ( i < j )，得到的初等矩阵记作 P( i，j(k) ),
交换第i , j列 A B AP ( i , j )
第j行的k倍加到第i行
A B AP ( i ( k ))
k 0乘第i列
A B AP ( j , i ( k ))
第j列的k倍加到第i列
例1 设
1 2 3 A 4 5 6
1 an
A1
0
行初等变换法求逆矩阵的计算形式，还可 以用于求解形如
AX = B 的矩阵方程. A 为已知的 n 阶可逆矩阵，B 为 已知的 n m 矩阵，X 为未知的 n m 矩阵.
(A,B)
行初等变换
(E , A-1 B )
例 5 求解矩阵方程 AX = A + 2X , 其中
4 2 3 A 1 1 0 1 2 3
推论 4 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A
可以表为有限个初等矩阵的乘积.
3 8 6 X 2 9 6 . 2 12 9
A1 G1G2 ....Gk AA
1
AG1G2 ....Gk
E AG1G2 ....Gk A1 EG1G2 ....Gk
A 初等列变换 E 1 E A
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1 1 i行 P i ( k ) k 1 1 i列
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的 k 倍加到第 j 列) ( i < j )，得到的初等矩阵记作 P( i，j(k) ),
交换第i , j列 A B AP ( i , j )
第j行的k倍加到第i行
A B AP ( i ( k ))
k 0乘第i列
A B AP ( j , i ( k ))
第j列的k倍加到第i列
例1 设
1 2 3 A 4 5 6
1 an
A1
0
行初等变换法求逆矩阵的计算形式，还可 以用于求解形如
AX = B 的矩阵方程. A 为已知的 n 阶可逆矩阵，B 为 已知的 n m 矩阵，X 为未知的 n m 矩阵.
(A,B)
行初等变换
(E , A-1 B )
例 5 求解矩阵方程 AX = A + 2X , 其中
4 2 3 A 1 1 0 1 2 3
推论 4 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A
可以表为有限个初等矩阵的乘积.
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23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
1.定义： 由单位矩阵E经过一次 初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
①换法矩阵：对调单位矩阵E的 第i j两行(列)得到的初等矩阵 Pij
②倍法矩阵：用非零数k乘单位矩 阵E的第i行(列)得到的初等矩阵 Mi (k)
我们知道，决定方程组AX=b解的因素只有：方程组的 系数矩阵A及常数项b. 因此我们令
B(A b) 称为方程组AX=b的增广矩阵。
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例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
③消法矩阵：把单位矩阵E的第i 行的k倍加到第j行上得到的初等矩 阵；Eij (k)
或把单位矩阵E的第i列的k倍加 到第j列上得到的初等矩阵 EiTj (k)
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1 0 0
E
0
1
0
0 0 1
1 0 0
P23 0 0 1
0 1 0
x4 2x4 7x4
4 4 9
增广矩阵的比较
B
4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
0 3 3 1 6
B3
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
944
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
即 方程②两端乘以(-2)加到方程①上去
B的第2行乘以(－2)加到第1行.
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复习 矩阵的运算
一、线性运算 加减法、数乘
二、转置、乘法 三、逆方阵
分块矩阵方法
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第五节 矩阵的初等变换和初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的变化 它 在求解线性方程组及矩阵理论的探讨中具有重要的 作用
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、求逆矩阵的初等变换方法
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例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
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一、方程组的同解变换与其增广矩阵变化的关系
在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另 一个同解的方程组 这种变换过程称为同解变换
同解变换有 （1）交换两个方程的位置； （2）把某个方程两端乘以一个非零数； (3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上
12
则有
~ ~ A
A103
101103
112101r1112 [1r,22r1]103r2 101103
112101
2 1 1
E3(1P,122A) A
100 100100
1 0 0
100100 103103
00 11 11
112112
103
1 0 1
112
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例如
设
A 103
0 1 1
112
则有
~ ~ A103
01A 1
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
即 方程①②换行 交换B的第1行与第2行
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2x1 x2 x3 x4 2
例如，43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
1 0 0
M
3
(5)
0
1
0
0
0
5
1 0 0
E12
Байду номын сангаас
(6)
6
1
0
0
0
1
1 6 0
ET 12
(6)
0
1
0
0
0
1
2.性质 (1) 初等矩阵都是可逆矩阵；因为
|Pij|=－1; |Mi(k) |k;
|Eij(k) |=1.
(2)初等矩阵的逆矩阵仍然是同类型的初等矩阵。
Pij1Pij M1i(k)Mi(k-1) ；
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2.符号规定
对调i ,j两行(列)： rirj (cicj) 第i行(列)乘非零数k：rik (cik) 第 i 行(列)的 k 倍加到第 j 行(列)上：rj+kri (cj+kci)
也可以这样，
交换i j两行, 记作 [i, j] 交换i j两列, 记作 第i行乘非零数k 记作 [i(k)]
二、矩阵的初等变换
如上所述，线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程 组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换
把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩 阵的三种初等变换
1.初等变换的定义
(1)换法变换：对调两行(列) (2)倍法变换：以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)消法变换：把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去