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课后习题及答案_第2章时域离散信号和系统的频域分析--习题答案.doc
n = −∞
∑ x (n)e
2
=
1 jω 1 e + 1 + e − jω 2 2
=1+
1 jω (e + e − jω ) = 1 + cos ω 2
4
jω （ 3） X 3 ( e ) =
n = −∞
∑ a u ( n )e
n ∞ n − jωn
∞
− jωn
=
∑a e
n =0
∞ n = −∞
=
∑ x ( n )e
∞
− jωn
因为 xe(n)的傅里叶变换对应 X(ejω)的实部， 的虚部乘以 j， 因此
dX (e jω ) = FT[ − jnx( n)] dω
∫
π
−π
7 dX (e jω ) 2 dω = 2π nx(n) = 316π dω n = −3
2
∑
6.解： （ 1）
X 1 (e jω ) =
n = −∞ ∞
∑ δ(n − 3) e
− j ωn
∞
− jωn
= e − j3ω
jω （ 2） X 2 ( e ) =
jω
（5）FT[ x(n) y (n)] =
= = =
n = −∞ ∞
∑ x ( n ) y ( n )e
1
∞
− j ωn
n = −∞
Y (e ω )e ω ∑ x ( n) 2π ∫ π
j ′ −
π
j ′n
dω ′e − jωn dω ′
1 2π 1 2π
∫ ∫
π
−π
Y (e jω ′ )
第2章 答案 1.解： （1） FT[ x(n − n0 )] =
信号与系统离散时间系统习题详解
信号与系统离散时间系统习题详解8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。
图 题8-2解：1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。
（1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3解：1[][1][]3y n y n x n --=（1） 1[][]3ny n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）311[](())[]223n y n u n =-8-7 求解下列差分方程的完全解。
（1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -=解：（1）方程齐次解为：h [](2)ny n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程121212142(1)2 2 , 39D n D D n D n D D ++-+=-→==-完全响应为：()14[]239ny n C n =-+-，代入1]0[=y 得：913=C()1314[]2939ny n n ∴=-+-（2）方程齐次解为：h [](5)ny n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程0234121212155(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→==完全响应为：()15[]5636ny n C n =-++，代入0]1[=-y 得：365-=C()11[][565]36n y n n +=-++8-12 用单边z 变换解下列差分方程。
（1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换：11211()0.9[()[1]]0.051(){10.9}0.050.9[1]10.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9)(1)(10.9)(10.9)()0.50.4510.910.90.50.45[][]0.10.9zY z z Y z y z z z Y z z y z z z zY z z z z z z z Y z A B z z z z z z zy n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[]n u n u n +（3）由差分方程得：2(0)3(0)2(1)2(1)22y y y y --+-=-∴-==-差分方程两边同时进行z 变换：1221112222()2[()(1)]21(1)22(1)()(1)(12)(1)(12)(12)()33(1)2(1)(2)(1)3949139(1)2(1)z zY z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++-+-3413[]((2))[]999n y n n u n =-+-8-13 若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y [n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u [n ]。
1.2 离散时间系统xxx
| h(n) |
但有
n
| h(n) |
1 h(n) 0 x ( n) 1 h(n) 0
现在令有界输入为
则 y (0)
m
x ( m) h ( m) h ( m) h ( m)
此系统不满足叠加性，不是线性系统。
2、时不变系统
系统对输入信号的运算或处理不随时间变化
即： y(n)=T［x(n)］
则： y(n-m)=T［x(n-m)］ （m为任意整数） 判别: ①y1(n)=T[x(n-n0)] ②y2(n)=y(n-n0) ③ y1(n)= y2(n)
2n 不是时不变系统。 例1 证明 y(n) x(n) sin 7 9
k 0
M
y(n) x(n) + ∑ - D 1/2 D 1/4
y( n) x ( n) y ( n)
1 1 y( n 1) y( n 2) 2 4
1 1 y( n 1) y( n 2) x( n) 2 4
b0 x(n) D b1 ∑
y(n)
y(n) b0 x(n) b1 x(n 1) a1 y(n 1)
m m
即有界的输入时，输出为无界，与系统稳定性的 假设矛盾，因而为保证系统的稳定性，必须要
n
| h(n) | M
例题1-2-3 若描述某离散系统特性的单位脉冲响应为：
试讨论系统的因果性与稳定性。
解： 因果性
因在n<0时，h(n)≠0，
故系统为非因果系统 稳定性
y ( n)
m
x ( m) h ( n m ) x ( m ) h ( n m )
信号与系统第5章离散信号与系统的时域分析习题答案
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第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
信号与系统课后习题答案第5章
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统自测题(第6章 离散时间信号与系统的z域分析)含答案
13
1 1 、某 LTI 系统，若输入 x (n) = ( 1 ) u (n) ，输出 y (n) = [a ( ) + 10( ) ]u (n) ， a 为实 6 2 3 7 。 数；若 x (n) = (−1) u(n) ， y (n) = 4 (−1) ，则系统函数 H ( z) 为（ A ）
二、单项选择题 1, n = 0, 4, • • •, 4m, • • • 1、 x ( n ) = ，则其双边 z 变换及其收敛域为（ 0, 其它
A
A
） 。
4 4
、 z z− 1 , z > 1
4 4
B
、 z 1− 1 , z > 1
4
C
、 1 −1z
, z >1 4
D
z 、 1− z
, z >1
B
1 、3 (−1) u (n) + (−2) u (n) 2 2 1 1 D、 δ ( n) + u ( n) + ( −2) u ( n) 2 2
n n n
1 z + z −1 注： − 1 δ (n) + (−1) u (n) + (−2) u (n) ↔ 似乎原题有错 2 2 z + 3z + 2
，则
z + 0.5 、z 2+ z − 0.75 注：
A
2
B
z + 0.5 、z 2+ z + 0.75
2 2
C
z − 0.5 、z 2+ z − 0.75
2 2
D
z − 0.5 、z 2+ z + 0.75
2 2
信号与系统课后习题答案第5章
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
课后习题及答案_第1章时域离散信号和时域离散系统--答案
1 1 h(−1) + δ (0) + δ (−1) = 1 2 2
题 8 解图（1）
题 8 解图（2）
(3) y(n)=x(n)*h(n)
∞
=
=0.5n ∑ R5(m)0.5－mu(n－m)
m = −∞
m = −∞
∑ R5(m)0.5n
∞
－m
u(n－m)
y（n）对于 m 的非零区间为 0≤m≤4，m≤n ① n<0 时，y(n)=0 ② 0≤n≤4 时，
y (n) = 0.5 n
题 2 解图（1）
题 2 解图（2）
题 2 解图（3）
题 2 解图（4）
-1-
2π 14 3 = 3.解： （ 1） 因为 ω= π， 所以 ， 这是有理数， 因此是周期序列， 周期 T=14。 7 ω 3
（2）因为 ω=
1 2π ，所以 =16π，这是无理数，因此是非周期序列。 8 ω
4. 解： （1）x(－n)的波形如题 4 解图（1）所示。 (2) 将 x(n)与 x(－n)的波形对应相加，再除以 2，得到 xe(n)。毫无疑问， 这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题 4 解图（2）所示。 (3) 画出 xo(n)的波形如题 4 解图（3）所示。
m= n −4
④ n>7 时， y(n)=0 所以
-6-
y(n)的波形如题 8 解图（1）所示。 (2) y(n)=2R4(n)*[δ(n) － δ(n － 2)]=2R4(n) － 2R4(n － 2)=2[δ(n)+δ(n － 1) － δ(n+4) － δ(n+5)] y(n)的波形如题 8 解图（2）所示。
m = −∞
(完整word版)数字信号处理习题及答案
==============================绪论==============================1。
A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1。
①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用（n ） 表示y （n )=｛2，7,19，28,29，15｝2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的； 若是周期的， 确定其周期。
（1)A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (2）)81(j e )(π-=n n x 解: （1） 因为ω=73π， 所以314π2=ω， 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π， 这是无理数, 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法 乘法序列｛2，3，2，1}与序列｛2，3，5，2，1}相加为__｛4，6，7,3，1}__，相乘为___｛4，9，10，2｝ 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(—n ）的波形图。
②尺度变换:已知x(n)波形，画出x （2n ）及x(n/2）波形图.卷积和:①h(n)*求x(n)，其他2n 0n 3，h(n)其他3n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤=}23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )=｛1,2，4,3},h （n ）={2，3，5}， 求y （n ）=x （n ）＊h （n ）x (m ）={1，2，4,3},h （m ）=｛2,3,5｝，则h (—m ）={5，3,2｝(Step1：翻转)解得y （n )=｛2，7，19,28,29，15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4. 如果输入信号为,求下述系统的输出信号。
陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(离散时间信号与系统的z域分析)
第8章离散时间信号与系统的z域分析8-1 根据定义求以下序列的单边z变换及其收敛域。
解：根据序列单边z变换的定义即可求出上述信号的z变换及收敛域。
8-2 根据单边z变换的位移性质，求以下序列的z变换及其收敛域。
解：单边z变换的位移特性有以下3种形式（8-1）（8-2）（8-3）对于因果序列的位移，利用式（8-1）；非因果序列的位移，利用式（8-2）和（8-3）。
（1）利用因果序列的位移特性，有（2）利用因果序列的位移特性，有（3）利用因果序列的位移特性，有（4）利用因果序列的位移特性，有（5）由于，直接应用指数信号的z变换，可得（6）将改写成，利用因果序列的位移特性，可得8-3 根据z变换的性质，求以下序列的单边z变换及其收敛域。
解：利用z变换的性质求信号z变换的关键是根据待分析信号的构成，确定合适的信号作为基本信号，采用相应的z变换性质。
（1）由，以及z域微分特性，有（2）将改写为利用（1）题结果及因果序列的位移特性，可得（3）将改写为利用的z变换及z域微分特性，有故（4）将改写为利用（3）题结论及因果序列的位移特性，可得（5）将改写为利用卷积特性（6）利用（5）题结果及指数加权特性，有8-4 求以下周期序列的单边z变换。
解：周期为N的单边周期序列可以表示为第一个周期序列及其位移的线性组合，即这样，若计算出的z变换，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的变换为（1）可表示为利用的变换及因果序列的位移特性，可得（2）将改写为利用（1）题的结果及卷积特性，可得8-5 已知，利用z变换的性质，求下列各式的单边z变换及其收敛域。
解：本题的关键是判断各信号是经过什么运算得到的，然后根据其运算，利用相应的z变换性质即可求出它们的z变换。
（1）利用因果序列的位移特性，可得（2）利用指数加权特性，可得（3）利用（1）题结果及指数加权特性，可得（4）利用z域微分特性，可得（5）利用（4）题结果及线性加权特性，可得（6）可以表示为，利用卷积特性可得（7）可以表示为，利用卷积特性可得（8）可以表示为，利用因果序列的位移特性及卷积特性，可得8-6 已知因果序列的z变换式，试求的初值和终值解：利用初值定理和终值定理即可求出的初值和终值。
信号与系统第七、八章课后习题
N k
当
2
2．线性时不变离散时间系统 ①线性 线性=叠加性+均匀性（齐次性）
c1 x1 (n) c2 x2 (n)
系统
c1 y1 (n) c2 y2 (n)
②时不变
x(n N )
系统
y (n N )
x ( n)
1 E
y ( n)
y ( n)
a
ay(n)
单位延时
1 T D z （ ）
已知激励初始状态y(-1)=0,y(-2)=1/2, fk=2ku(k),求系统 的零输入响应,零状态响应和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:
yx (k ) 3 yx (k 1) 2 yx (k 2) 0
其初始状态
1 yx (1) y (1) 0, yx 2 y 2 2
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
n
x(n)(n) x(0) (n) x(0)
n
n
x(n)(n n ) x(n ) (n n ) x(n )
0 0 n 0 0
x ( n)
k k 零状态响应
2 1 k k k (1) (2) (2) , k 0 3 3
离散时间系统的单位样值响应
(n)
零状态系统
h( n)
单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。
同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时 刻δ(n)=0，因此系统在n>0时的响应是零输入响应。
离散时间信号处理 期末复习习题精要及答案
1. 1判断下列信号是否是周期性的，并且对于每一个周期信号求其基本点周期。
)125.0cos()(n n x π=}Im{}Re{)(18/12/ππjn jn e e n x +=)2.0sin()(n n x +=π)17/cos()(16ππn en x j=解：1、因为8/125.0ππ=))16(8cos()8cos(+=n n ππ，所以)(n x 是以16=N 为周期。
2、这里我们有两个周期信号之和：)18/sin()12/cos()(ππn n n x +=其中第一个信号的周期241=N ，第二个信号的周期362=N 。
因此，这个和的周期是：7212)36)(24()36,24gcd()36)(24(),gcd(2121====N N N N N3、先须求得N 值，使得))(2.0sin()2.0sin(N n n ++=+ππ，这个正弦函数是以π2为周期的，所以N 2.0必须是π2的整数倍。
但π是无理数，不存在整数N 使这个等式成立，于是这个周期是非周期的。
4．这里有两个周期序列的乘积，321=N 342=N 所以基本周期是5442)34)(32()34,32gcd()34)(32(===N 。
1.2线性离散系统是通过一个时延单位采样)(k n -δ的响应)(n h k 来表征的。
对于如下定义的线性系统，判断是否为稳定的、因果的)()()()(k n u k n n h a k --=，)2()()(k n n h b k -=δ解：（a ）因为∞==-=∑∑∑∞=-∞=∞-∞=0|||||)(|k n k k kk k n n h ，所以这个系统是不稳定的。
因为对于n<k ，0)(=n h k ，所以此系统是因果的。
（b ）注意到)(n h k 最多有一个非零值，且这个非零值为1，因而对于所有n 有∑∞-∞=≤k kn h 1|)(|，于是这个系统是稳定的。
但这个系统不是因果的，因为如果)2()(-=n n x δ，其响应是)1()22()()(2-=-==n n n h n y δδ，这个系统产生一个在输入发生之前的响应，因此它是非因果的。
信号与系统参考习题解答
收敛域为|2z|<1，即|z|< ；极点为z= ；零点为z=0。
23．用长除法、留数定理、部分分式法求以下X(z)的z反变换：
(1) (2)
(3)
解：(1)①长除法求解
可知极点为 而收敛域为 。因而x(n)为因果序列，所以分子、分母要按降幂排列。
即
所以
②留数定理法求解
，设c为 内的逆时针方向闭合曲线。
y'(n)＝3x(n-n0)+2
因为
y(n-n0)＝2x(n-n0)+2=y'(n)
故该系统是时不变的。再讨论线性。由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=3ax1(n)+3bx2(n)+2
而
T[ax1(n)]=3ax1(n)+2
T[bx2(n)]=3bx2(n)+2
所以得
T[ax1(n)+bx2(n)]≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
（2）根据脉冲定理，脉冲频率fs≥2f，取=fs=2f=200Hz。脉冲时间间隔应为
T=1/f=1/200=0.005s
（3）设采样周期为T=1/f=0.005s采样信号xa(t)，则
=
=0
所以，以T=1/f=0.005s为采样周期，采样信号xa(t)，所得采样序列 无法恢复信号xa(t)。为能恢复xa(t)，应减小采样周期T(采样频率由T确定)。设新采样周期为原采样周期的一半，即T=0.0025s，则采样信号 为
(3)y(n)＝x(n-1) (4)y(n)＝x(-n)
要点提示：
利用系统线性定义和时不变定义来证明。满足可加性和比例性的系统是线性系统，即
课后习题及答案_第1章_第1章时域离散信号和时域离散系统--习题
1 1 y (n − 1) + x(n) + x(n − 1) 2 2
设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。
2
12. 设系统用一阶差分方程 y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，初始条件 y(-1)=0，试分析 该系统是否是线性非时变系统。 13． 有一连续信号 xa(t)=cos(2πft+φ)，式中，f=20 Hz，φ=π/2。 （1） 求出 xa(t)的周期；
1
（3）y(n)=x(n－n0) n0 为整常数 （4）y(n)=x(－n) 6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 （1） y(n)=
1 N
N −1 k =0
∑ x(n－k)
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n + n0
（3） y(n)=
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n) 7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入序列 x(n)如题 7 图所示， 要 求画出 y(n)输出的波形。
试求出 y(n)并画出它的波形。
（2）如果输入信号波形如题 14 图所示，
题 14 图
3
π 3 x(n) = A cos πn − 7 8
A是常数
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
x ( n) =
1 j( n −π ) e 8
4．对题 1 图给出的 x(n)要求： (1) 画出 x(－n)的波形； (2) 计算 xe(n)=[x(n)+x(－n)]， 并画出 xe(n)波形； (3) 计算 xo(n)=[x(n)－x(－n)]， 并画出 xo(n)波形； (4) 令 x1(n)=xe(n)+xo(n)，将 x1(n)与 x(n)进行比较，你能得到什么结论？ 5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与 y(n)分别表示系统输入和输出， 判 断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3
离散时间系统题目及答案
1 判断下列序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=53sin )(x ππn n 解 z k 63220∈===k k k w T ππ 当k=1时，x(n)的最小正周期为6. (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=541)(πn j e n x 解 z 841220∉===k k k w T πππ x(n)为非周期序列. 2.简述离散时间系统线性，时不变性，因果性，稳定性。
答：线性：满足齐次性和可加性设y 1(n )=T [x 1(n )]， y 2(n )=T [x 2(n )]对任意常数a,b ，若T [ax 1(n )+bx 2(n )]=aT [x 1(n )]+bT [x 2(n )]=a y 1(n )+b y 2(n )则称T[ ]为线性离散时间系统。
非时变：设y (n ) = T [x (n )]对任意整数k ,有y (n-k )=T [x (n-k )]稳定性稳定系统是有界输入产生有界输出的系统，充要条件是因果性若系统 n 时刻的输出，只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统线性时不变离散系统是因果系统的充要条件：3傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z 变换的区别与联系。
答：信号与系统的分析方法除时域分析方法以外，还有频域的分析方法。
在连续时间信号与系统中，其变换域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。
在离散时间信号与系统中变换域分析方法是Z 变换法和离散时间傅里叶变换法。
Z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉∑∑∑=====N k N k N k k k k k k k n y a n x T a n x a T 111)()]([)]([()00h n n =<n h n P ∞=-∞=<∞∑斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多正弦/复指数信号的加权，也就是说，傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式。
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yzi[n] 2(2)n u[n] (1)n u[n]
Yzs (z)
1 2z2 1 z1 2z2
X
2
(
z
)
X
1
1 4z z1
z(z 4) (z 2)(z 1)
(z)
Yzs (z) B1 B2 B3 2 1 2 2 3 z z 2 z 1 z 1 z 2 z 1 z 1
y zs [n]
[2(2)n
1 2
(1)n
8-16 对于由差分方程 y[n] + y[n 1] = x[n]所表示的因果离散系统：
（1）求系统函数 H(z)及单位样值响应 h[n]，并说明系统的稳定性；
3 ]u[n] 2
（2）若系统起始状态为零，而且输入 x[n] = 10 u[n]，求系统的响应 y[n]。
Y (z) 0.9z1[Y (z) y[1]z] 0.05 z z 1
Y (z){1 0.9z1} 0.05 z 0.9 y[1] z 1
Y
(z)
(z
0.05z 1)(1 0.9z1)
Y (z) A B 0.5 0.45 z z 1 z 0.9 z 1 z 0.9
Y (z)
(z
z 1)2 (1 2 z 1 )
Y (z) z2 3z 3
z
y(1) z]
1 6
0.9 0.9 z 1 )
(z
,
D2
z ( z 1)2
5 36
(z
2z 1)(1 2 z 1)
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又
（当 ω0＝0 时， 里叶变换）
所以
，故可由
的傅里叶变换得到１的傅
区间－π≤ω＜π 上，有
5.4 利用傅里叶变换的综合公式求下列逆变换：
解：（a）为了方便起见，在迚行傅里叶逆变换时，取积分区间为－π＜ω≤π。 由定义有
令上式两端的 ω＝0，有
即 A 的值为 2。
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可知
，其中
对于
，当 n＜－1 时，该和式等于 0；当 n＝－１时，该和式等于１；当 n＝0
时，该和式等于 2；当 n≥１时，该和式等于 3。故
于是得
由于
，所以也可将 x[n]表示为
5.9 对某一特殊的 x[n]，其傅里叶变换为 X（#），已知下面四个条件： （1） （2） （3） （4） 求 x[n]。 解：要确定 x[n]，一开始无法从条件（1）、（2）、（4）入手，只能考虑从条件（3）入 手。 对于实信号 x[n]来说，有
，丌难看出，F（ejω）是一个实奇函数。一般
我们知道，一个实偶函数 x[n]的傅里叶变换 X（ejω）也是实偶函数，而一个实奇函数 x[n]
的傅里叶变换 X（ejω）则是纯虚且奇的函数。若假设 f[n]是纯虚且奇的函数，则可将其表
示为 f[n]＝jp[n]。
式中，p[n]是一个实奇函数。那么，p（ejω）就是一个纯虚且奇的函数，从而 F（ejω）
由条件（3），可得
9 / 93
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于是由傅里叶变换的时秱性质，对上式求逆变换，有
对比上式左右两边，并注意到条件（1），可以得到
第1章_离散时间信号与系统_习题
(2) (n − 1)u (n − 1) (3) 2 u ( − n + 1)
n
(4) n(2)
n −1
u ( n)
−2
解：(1) Z [δ ( n − 2) + 2δ ( n) + 4δ ( n + 2)] = z (2) Z [( n − 1)u ( n − 1)] =
n n
+ 2 + 4z2
0 <| z |< ∞
(4) y 4 = x(n / 2 − 4 )
(5) y 5 = x(2n ) ∗ [δ (n ) + δ (n − 4 )]
(6) y 6 = x(2n ) ∗ δ (n − 4 )
1-3 判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) x(n) = 2 cos(
n π + ) 5 3 2nπ π + ) 5 3 2nπ π 3π + ) + sin( n) 5 3 4
苏州大学
数字信号处理
第一章
离散时间信号与系统
（习题参考答案）
1-1 画出下列序列的示意图 (1) x (n ) =
{
2 n ,n ≥ 0 n +1, n < 0
(2) x( n) = 3δ ( n + 2) − 0.5δ ( n) + δ ( n − 1) + 1.5δ (n − 2) (3) x ( n )
λn
(3) e u ( n) ⎯⎯ →
Z
Z Z Z | Z |> eλ , nu (n) ⎯⎯ ， | Z |> 1 → λ ( Z − 1) 2 Z −e
2 − eλ eλ Z Z Z λ Z Z (1 − eλ ) 2 (1 − eλ ) 2 λn Z e 1 − e u (n) ∗ nu (n) ⎯⎯ → = + + Z −1 Z − eλ ( Z − 1) 2 Z − eλ ( Z − 1) 2 | Z |> eλ
_第五章离散时间信号与系统的时域分析习题解答
— P3-1 —第五章 离散系统的时域分析习题解答5-1. 画出下列各序列的图形：。
)2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f kk-==+=⎩⎨⎧<+=++=+=-/εε5-2 写出图示各序列的表达式。
解： )6()3(2)()( )d ( )1()1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41321---+-=--=---=----=-k kk k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周期。
)(sin )( )3( )()2( )873cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f kj εωπππ==-=-解：; 14 , , 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a)(b)— 2 —. , )( )3(;, 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ5-4.解：)]1()1()([1)(1100---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。
5-5. 列写图示系统的差分方程，指出其阶次。
解：)1()()2()1()(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。
5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为α，每月利息不取出，试用差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k )510元，α50.0018，y (0)520元，求y (k )，若k 512，则y (12)为多少。
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（2）若系统起始状态为零，而且输入x[n] = 10 u[n]，求系统的响应y[n]。
解：（1）
差分方程两边同时进行
z变换：
Y ( z )Байду номын сангаас
z1Y ( z )
X ( z )
Y ( z )
1
H ( z )
1
z1
X ( z )
h [ n ]
信号与系统离散时间系统习题详解
8-2列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。
图题8-2
解：y[ n]b1y[ n1]b2y[n2]a0x[ n]a1x[ n1]二阶
8-3列出图题8-3所示系统的差分方程， 已知边界条件y[ 1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y[n]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。
8-20已知系统函数为H(z) =( z0.5)(10z)，分别在z> 10及0.5 <z< 10两种收敛
域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。
解：
H ( z )
9.5
1
1
z
( z
0.5)(
10
z )
z
0.5
z 10
h [ n ]
[(0.5)
n
10
n] u [ n ]
z
10
系统是因果，不稳定的。
( z
z
2
z
1
1 )2
z
Y ( z )
z
2 z
2
y ( 1 )
( z
1 )2(1
2 z1)
( z
1)( 1
2 z1)
(1
2 z1)
Y ( z )
z2
3 z
3
A
B
C
z
( z
1 )2( z
2)
( z
1 )2
( z
1 )
z
2
3
9
4
9
13
9
( z
1 )2
( z
1 )
z
2
y[n] (3n
4
13( 2)n)u[ n]
Y ( z) 0.9 z1[Y ( z)
y[ 1] z] 0.05
z
z 1
Y ( z){ 1 0.9 z
1}
0.05
z
0.9 y[
1]
z
1
Y ( z)
Y( z) z
y[ n]
0.05 z
0.9
0.05 z2
0.9 z
( z
1)(1
0.9 z
1)
(1
0.9 z
1) ( z 1)( z 0.9)
( z 0.9)
1
2n
( 2)nu[ n]
2
8-23如下各序列中，x[n]是系统的激励序列，h[n]是线性时不变系统的单位样值响应。
1
z
z
2
z
1
z
2
z
1
yzi[n]
2(2)nu[n]
(
1)nu[ n]
Yzs(z)
1
2z2
X (z)
z2
2
z
1 z12z2
z 2
z 1
z2
Yzs(z)
B1
B2
B3
2
1 2
2 3
z
z 2 z 1 z 1 z 2 z 1 z 1
yzs[n]
[2(2)n1( 1)n
3]u[ n]
2
2
8-16对于由差分方程y[ n] + y[n1] = x[n]所表示的因果离散系统：
z
2
1 z
（1）8z2
2z
2
（2）2 5z
解：
1
z2
3z
4
1 z1
1
2 z2
（3）2z2
z 1
（4）1 z1
z2
（1）收敛域为
（2）收敛域为
（3）收敛域为
（4）收敛域为
z117，包括单位圆，所以稳定。
8
zz2不包括单位圆，所以不稳定。
zz2不包括单位圆，所以不稳定。
zz1不包括单位圆，所以不稳定。
9.5 z
z2y[
2]
zy[
1]]
X ( z)
2z2X ( z)
Y( z)[1
z1
2z2]
(1
2z2) X ( z)
y[
1]
2 y[
2]
2z1Y[
1]
1
2z2
1 4z1
Y( z)
1 z1
2z2X ( z)
1 z1
2z2
Yzi(z)
1
4z1
z( z
4)
1 z1
2z2
( z 2)( z 1)
Yzi(z)
A1
A2
2
h[ n ]
(0.5)nu [ n ]
10nu [
n 1]
0.5
z
10
系统是非因果，稳定的。
8-21建立图题8-21所示各系统的差分方程，并求单位样值响应h[n]。
图
题8-21
1
1
n
解：（a）y[ n]
y[ n
1] x[n]
h[ n]
u[n]
3
3
（b）y[ n] 4 y[ n
2]
x[ n]
h[ n]
y[0] 1
（2）y[n] 5 y[n
1] n,
y[ 1] 0
解：（1）方程齐次解为：
yh[n]
C( 2)n，特解为：yp[n]
D1n
D2，代入原方程
D n D
2
2D (n 1) 2D n 2D
1, D
4
1
1
2
1
3
2
9
1n
4，代入y[0]
完全响应为：y[ n]
C
2
n
1得：C
13
3
9
9
y[ n]
13
n
1
n
4
2
3
9
9
（2）方程齐次解为：yh[ n]C( 5)n，特解为：yp[ n]D1nD2，代入原方程
D n D
2
5D (n 1) 5D n
D
1
, D
5
1
1
2
1
6
2
36
完全响应为：
y[n]
1[ 5
36
y[ n] C 5
n
1n
5，代入y[ 1]
0得：C
5
6
36
36
n 1
6n5]
8-12用单边z变换解下列差分方程。
9
9
9
8-13若描述某线性时不变系统的差分方程为：y[n]y[n1]2y[n2] = x[n] + 2x[n
2]，已知y[ 1] = 2，y[ 2] =1/2，x[n] = u[n]。求系统的零输入响应和零状态响应。
解：差分方程两边同时进行Z变换：
Y( z)
z1Y ( z)
y[
1]
2z2[Y ( z)
A
B
0.5
0.45
z
1
z
0.9
z
1
z 0.9
Z
-1
0.5 z
0.45 z
]
0.
5u[ n ]
0.45(0.9)
n
u[ n ]
[
1
z
0.9
z
（3）由差分方程得：
y (0)
2 y
(
1 )
2
y (
1 )
2
y (0)
3
2
2
差分方程两边同时进行
z变换：
Y ( z )
2 z1[ Y ( z )
y ( 1 ) z ]
（1）y[n] + 0.1y[n
1] 0.02y[n 2] = 10 u[n]，y[
1] = 4，y[ 2] = 6
（2）y[n] 0.9y[n
1] = 0.05 u[ n]，y[
1] = 1
（3）y[n] + 2y[n 1]
= (n 2) u[n]，y[0]
= 1
解： （2）差分方程两边同时进行
z变换：
（1）x[ n]
[n]
（2）x[ n]
u[ n]
图
题8-3
解：y[ n]
1
y[ n
1] x[ n]
3
1
n
（2）y[ n] (3
1(1)n)u[ n]
（1）y[ n]
u[ n]
3
2
2
3
y[ n]y[n]
1
3
2
1
01234n
01234n
8-7求解下列差分方程的完全解。
（1）y[n] 2y[ n 1] n 2,
( 1)nu [ n ]
z
z1
系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。
(2) X ( z )
10 z
1
z
z
1
Y ( z )
X ( z ) H ( z )
10 z2
5 z
5 z
( z 1)( z 1)
z 1
z 1
y [ n ]
5[1
( 1)n] u [ n ]
8-19因果系统的系统函数H(z)如下，试说明这些系统是否稳定。