建筑力学第六章梁的弯曲内力

7.2 梁的内力计算
2、剪力和弯矩的正负号规定
外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正 剪力：
F FQ F FQ
外力使脱离体产生逆时针转动趋势时为负
F FQ
FQ F
7.2 梁的内力计算
弯矩：外力使脱离体产生下凹变形为正，或使脱离体产生
下部受拉时为正
M
外力使脱离体产生上凸变形为负, 或使脱离体产生 上部受拉为负
MA
FAY
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
F(x) F
②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
FL
x
(0 x l )
③根据方程画内力图
(2)截开截面处，用对应的内力代替（未知力：先假设为正方向，代 入平衡方程，求出正值，说明方向假设正确，求出负值，说明实际 方向和假设相反）
(3) 已知外荷载（已知力：大小方向作用点） (4)隔离体是应用平衡条件进行分析的对 象。在受力图中只画隔离体本身所受到 的力，不画隔离体施给周围的力 (5） “三清”：截面左右分清、外力清楚、 正负号清楚
第 6章
梁的弯曲内力
一、弯曲实例
工厂厂房的天车大梁
1
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
2. 平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、 T形、十字形、槽形等
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所 组成的平面通常称为纵向对称平面 。
平面弯曲
纵向对称面
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M
4、截面法、隔离体、平衡方程 截面法：将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力， 取任一局部作为隔离体，作隔离体受力图（荷载、反力、内力组成 平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的平衡条件可以确定所 求截面的三个内力。
∑X=0 ∑Y=0 ∑M=0
4、截面法、隔离体、平衡方程 隔离体受力图： (1)隔离体与其周围约束要全部截断，而以相应的约束力代替
Fs F (l a ) , l M F (l a) x l
x1
qL
1 2
q
[例]：求1--1、2--2截面处的内力。 解
1a
qL
2
b
F 0, qL F 0. m 0, qLx M 0 .
y s1
1--1 截面
C
1
1
Fs1 qL, M1 qlx1
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx
qlx qx2 M x 2 2
FS,max
Fra Baidu bibliotek
ql 2
ql 2 8
M
l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
3、作剪力图和弯矩图 a A C l Me Fs l
b
Me FS x l
B M x M e x
l
Me l x M x l
0 x a
a x l
几点注意： （1）弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边， 标明正负。 （2）内力图名称、单位、控制竖标大小 （3）大小长度 按比例、直线 要直、曲线光 滑
A
q
ql2 8 l
B
剪力方程 弯矩方程
FS FS ( x)
M M ( x)
(0 x l )
(0 x l )
(2) 1-1截面左段右侧截面：
RA
Fs1 RA 0.8 1.5 0.8 0.7 (kN )
M1 RA 2 0.8 0.5 1.5 2 0.8 0.5 2.6 (kN m) 22截面右段左侧截面： RB q
Fs1
Fs 2 1.2 1.5 2.9 1.1(kN )
反映梁横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式 q
Fs ( x) qx,
1 2 M ( x ) qx , 2
显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力 图和弯矩图。
注意：弯矩图中正的弯矩 值绘在 x 轴的下方(即弯矩值 绘在弯曲时梁的受拉侧)。
Fs
M
x
l (- )
A
B
Fs1
M1
2--2 截面
qL
q
Fs 2
x2
q( x2 a) qL Fs 2 0 1 2 qLx M q ( x a ) 0 mC 0 , 2 2 2 2 M2 Fs 2 q( x2 a L)
y
F
0,
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
Fb FS1 x l B FS2 x Fa l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
x
Fab l
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
注意：弯矩图中正的弯矩 值绘在 x 轴的下方(即弯矩值 绘在弯曲时梁的受拉侧)。
x
M ( x)
例
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A FA x
l
B FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
q A FA
x
2 2 x qlx qx FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M 2 RB 1.5 1.2 1.5 0.75
M2
Fs 2
2.9 1.5 1.2 1.5 0.75
3.0(kN m)
§3-2 列方程作内力图
5、 内力图 定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。 内力方程式：内力与x（表示横截面位置的变量）之间的函数表达式。
ql2 8
M max
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
Fb FA l B Fa FB FB l
M(x) FS(x)
（2）求内力
1--1截面取左侧考虑：
Fa
Fs1 RB 2F
M1 RB 0.3a Fa (2F ) 0.3a Fa 0.4 Fa
F
M2
2--2截面取右侧考虑：
C
D
Fs 2
Fs 2 F
M 2 F 0.5a 0.5Fa
0.8kN
A RA
2
1
1.5m 1.5m 3m
力系平衡方程
(1) 三种形式 (2)平衡方程：同方向同符号 (3)平衡方程的正负和内力的正 负是完全不同性质的两套符号 系统
∑X=0 ∑Y=0 ∑M=0
a A l FAX A
[例]已知：如图，F，a，l。
F B 求：距A 端 x 处截面上内力。 解：①求外力（支座反力）
F
B
F 0 , F 0 m 0 , F l Fa 0 F 0 , F F F 0
[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。 Fa RB 1 RC 2 F 解：（1）确定支座反力
A a 1.3a
RB
Fs1
M1
B a 1
C a 2
D
F 0, R R F 0 M B 0, RC a F 2a Fa 0
y B C
0.5a
RC 3F , RB 2F
1.2kN/m [例]：梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
M RB
B
0, 1.2 31.5 0.8 4.5 RA 6 0
2m
0 .8
1
M1
2 1.5m
RA 1.5 (kN ), RB 2.9 (kN )
2、 列剪力方程和弯矩方程 A FA a
x
b C l
B FB
Me FA l Me FB l

剪力方程无需分段：
A
FA
x
Me 0 x l FS x FA M(x) M(x) l
B FS(x) FB
FS(x)
弯矩方程——两段：
Me 0 x a AC段： M x FA x x l Me l x a x l CB段： M x FA x M e l
x AX
A BY y AY BY
FAY
FBY
FBY
Fa F (l a) , FAY l l
②求内力 FAX A FAY A FAY
研究对象：m - m 截面的左段：
m
F
B FBY
F
y
0, FAY Fs 0.
Fs FAY
m x
Fs
m
C
0,
F (l a ) l M FAY x 0.
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力 1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
L
（L称为梁的跨长）
L
第3章 梁的弯曲内力
§3-1 梁的弯矩和剪力 §3-2 作内力图 §3-3 斜梁
梁的弯矩和剪力
2、支座反力 单跨静定梁的支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体，由平面 一般力系的三个平衡方程求出。
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
FN

FN
FQ

FQ FQ
M

M
FN

FN
FQ
M+dM

M

M
M
N
说明
Q
dx dx Q+dQ
N+d N
dx
1、内力成对出现：作用力与反作用力； 2、内力正负号统一
二、弯曲内力的符号规定:
① 剪力Fs : Fs(+) Fs(+) ② 弯矩M： M(+) M(+) M(–) M(–) Fs(–) Fs(–)
Fb l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
F (l a) x l
M FAY x
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
M C
FBY F (l a) l
F 0, m 0,
y C
Fs F FBY 0.
FBY
Fa , FAY l
FBY (l x) F (a x) M 0.
1. 弯矩：M
构件受弯时，横截面上 存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： Fs 构件受弯时，横截面上存在 切于截面的内力（剪力）。
FAX A FAY
m
F
B FBY
m x
A
FAY M
Fs C Fs C FBY M F
3、3个内力分量的规定
轴力FN：截面上应力沿杆轴切线方向的合力
剪力FS：截面上应力沿杆轴法线方向的合力 弯矩M：截面上应力对截面形心的力矩
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 三、平面弯曲的概念：
RA
q
M
NB
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
x
ql 0.5ql 2
x
画剪力图和弯矩图的步骤： 1、利用静力方程确定支座反力。 2、根据载荷p分段列出剪力方程、弯矩方程。
3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状
描点绘出剪力图、弯矩图。 4、确定最大的剪力值、弯矩值。
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力 作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。