2020届高三数学精准培优专练十四外接球(理科)教师版

2020届高三

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π

C ．24π

D ．32π

【答案】C

【解析】162==h a V ，2=a ，22224441624R a a h =++=++=，24πS =．

例2：如下图所示三棱锥A BCD -，其中5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． 【答案】55π

【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为c b a ,,，

110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，55πS =．

例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为8

9

，底面周长为3，则这个球的体积为 ．

D

C

B

A

培优点十四 外接球

一、墙角模型

二、对棱相等模型

三、汉堡模型

【答案】

4π3

【解析】设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ， 则12

a =

，正六棱柱的底面积为23133

6()428S =⋅⋅=， 则339

88

V Sh h ==

=，∴3h =， 22241(3)4R =+=，也可222

31(

)()122

R =+=，1R =， 设球的体积为V '，则4π3

V '=．

例4：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积

为 ． 【答案】

4π3

【解析】方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =， 故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，4π3

V =

． 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC △的外接圆， 此处特殊，SAC Rt △的斜边是球半径，22=R ，1=R ，4π3

V =．

例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

四、切瓜模型

五、垂面模型

A．3πB．2πC ．

16π

3

D．以上都不对

【答案】C

【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，

2

21

)

3

(R

R=

+

-，

3

2

=

R，2

16

4ππ

3

S R

==．

法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，

故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是2

2

sin603

R==

︒

，下略．

例6：三棱锥ABC

P-中，平面PAB⊥平面ABC，PAB

△和ABC

△均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC

P-外接球的半径为．

【答案】

15

【解析】如图，

12

2

22

sin603

r r

===

︒

，

3

2

2

1

=

=r

r，

3

1

2

=

H

O，

六、折叠模型

3

5

3

4

3

1

2

1

2

2

2=

+

=

+

=r

H

O

R，

15

3

R=．

法二：

3

1

2

=

H

O，

3

1

1

=

H

O，1

=

AH，

3

5

2

1

2

1

2

2

2=

+

+

=

=O

O

H

O

AH

AO

R，

3

15

=

R．

例7：在矩形ABCD中，4=

AB，3=

BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角D

AC

B-

-，则四面体ABCD的外接球的体积为（）

A．

125

π

12

B．

125

π

9

C．

125

π

6

D．

125

π

3

【答案】C

【解析】5

2=

=AC

R，

2

5

=

R，3

44125125π

ππ

3386

V R

==⋅=，故选C．

七、两直角三角形拼接在一起

对点增分集训