向量概念公开课导学案
2022年 《向量的概念导学案学生版》优秀教案
§向量的概念目标要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量与单位向量．3、理解并掌握相等向量与共线向量．4、理解并掌握向量的应用学科素养目标向量注重“形〞，是几何学的根底，广泛应用于实际生活和生产中通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：相等向量与共线向量；难点：向量的应用．教学过程根底知识点1向量与数量的概念1既有大小又有_________的量叫作向量2只有大小没有_________的量叫作数量2有向线段1定义:具有___________的线段叫作有向线段2表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作3长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作_____________4三个要素:_____________、方向、长度【思考】向量与有向线段的联系和区别是什么3向量的表示方法1用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作_________有向线段的长度表示向量的__________,有向线段的方向表示向量的_____________2字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母，…4向量的模及两个特殊向量1向量的模:向量的大小称为向量的长度或称模,记作2零向量:长度为__________的向量叫作零向量,记作__________3单位向量:长度等于_________个单位长度的向量,叫作单位向量【思考】0与相同吗0是不是没有方向5相等向量1定义:长度___________且方向_____________的向量叫作相等向量2表示方法:向量与相等,记作_______________6平行向量或共线向量1定义和表示方法2本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合3应用:①证明直线与直线平行;②证明三点共线【思考】“向量平行〞与“几何中的平行〞一样吗7向量的夹角1定义:两个__________向量,O是平面上的任意一点,作,那么_____________________叫作向量与的夹角如下图2三种特殊情况:【思考】1等边△ABC中,向量所成的角是60°吗2向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗8相反向量【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题错误的选项是A两个向量不能比拟大小B任意两个单位向量都相等C向量与向量是相等向量D假设,那么A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点如下图,以下说法不正确的选项是A也可以用表示题3如下图,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形1写出与相等的向量:________;2写出与共线的向量:________关键能力·合作学习类型一向量的概念、零向量与单位向量数学抽象【题组训练】题4以下说法中正确的选项是与表示的含义相同B长度为0的向量都是零向量C单位向量的模等于1 cmD单位向量的方向都相同题5如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心根据图中标出的向量,答复以下问题:1 与的长度相等吗它们是相等向量吗2 与的长度相等吗它们平行吗它们是相等向量吗题6判断以下各命题是否正确1因为,所以;2因为,所以【解题策略】1判断一个量是否为向量的两个关键条件1有大小2有方向两个条件缺一不可2理解零向量和单位向量应注意的问题1零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等2单位向量不一定相等,易忽略向量的方向提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等【补偿训练】题7出以下说法:①零向量是没有方向的;②零向量的长度为0;③零向量的方向是任意的;④单位向量的模都相等其中正确的选项是________填序号类型二相等向量与共线向量数学抽象、直观想象【题组训练】角度1 概念辨析【典例】题8〔多项选择．．的说法是．．．．〕有以下说法: 其中,正确A,那么一定不与共线;B在▱ABCD中,一定有;C假设,那么;D共线向量是在一条直线上的向量【变式探究】题9假设,那么判断此说法是否正确角度2 相等向量、平行向量【典例】题10如下图,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形在图中所示的向量中:1分别写出与相等的向量;2写出与共线的向量【解题策略】1相等向量的判断方法先找与表示向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的2共线向量的判断方法先找与表示向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量3共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量假设两向量相等,那么两向量方向相同,模相等;假设两向量共线,那么两向量方向相同或相反【题组训练】题11给出以下5个条件:①;②;③与的方向相反;④或;⑤填序号题12如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形1找出与相等的向量2找出与共线的向量题13如图,以1×2方格纸中的格点各线段的交点为起点和终点的向量中:1写出与相等的向量;2写出与模相等的向量类型三向量的应用直观想象、逻辑推理【典例】点出发向西行驶了100 m到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了2021m到达C点,又改变方向,向东行驶了100 m到达D点1作出向量;2求1准确画出向量的方法和考前须知1方法①确定向量的起点②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点2考前须知用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可2向量的常见应用1相等向量的应用利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点2平行向量的应用用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点【跟踪训练】题15如下图,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且求证:【补偿训练】题16如下图的方格由假设干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点C为小正方形的顶点,且,画出所有可能的向量课堂检测·素养达标题17如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数为题18以下说法中正确的选项是A假设,那么B模为0的向量的方向是不确定的C向量就是有向线段D任意两个单位向量的方向相同题19如下图,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,那么以下结论正确的是A和共线B和共线C和共线D和共线题2021以下几种说法:①假设A,B,C三点共线,那么;②任一非零向量都可以平行移动;③填序号题21在如下图的坐标纸每个方格的边长均为1中,用直尺和圆规画出以下向量1 ,点A在点O正西方向;2 ,点B在点O北偏西45°方向;3 ,点C在点O南偏东60°方向。
平面向量的概念教案导学案 (4)
平面向量的概念一、教学目的1、理解向量的有关概念及向量的几何表示.2、理解共线向量、相等向量的概念.3、正确区分向量平行与直线平行二、教学重点1、理解向量的有关概念及向量的几何表示2、理解共线向量、相等向量的概念三、教学难点1、理解共线向量、相等向量的概念.2、正确区分向量平行与直线平行四、教学过程1．向量的概念定义：既有大小，又有方向的量叫做向量.2．向量的表示(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段.包含三个要素：起点、方向、长度(2)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB的大小就是向量的长度(或称模)，记作.⑶字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c,…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母7，~b，T，….共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量思考尝试1.思考判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)若a=b,b=c，贝U a=c.()⑵若a〃b，则a与b的方向一定相同或相反.()—>—>⑶若非零向量AB〃CD，那么AB^CD.()(4)向量的模是一个正实数.()2.下列各量中不是向量的是：()A.位移B.力C.速度D.质量3.设e1,e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.勺=勺B.勺〃勺C.I e1l=l e2lD.以上都不对4.向量a与任一向量b平行，则a一定是.5._______________________________________________________________ 如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有.IFF丨ABCD类型1向量的概念例1、给出下列命题：—>—>①若AB=DC,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；—>—>②在口ABCD中，一定有AB=DC；^③a=b，b=c，贝9a=c；④若a〃b，b〃c，则allc.其中所有正确命题的序号为.归纳1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2.向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a l b,b l c,则a〃c,”是错误的.当b=0时，a,c可以是任意向量，但若b H0,贝寸必有a〃b,b〃c斗a〃c.问题的关键是注意考虑0.变式训练、在下列说法中，正确的是（）A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B.模为0的向量与任一非零向量平行C.向量就是有向线段D.两个有公共终点的向量一定是共线向量类型2向量的表示例2、一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点.⑴作出向量AB,BC,CD;—>(2)求I AD I.归纳1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.2．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.变式训练、一架飞机从A点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100羽km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50羽km到达D点.问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？类型3共线向量与相等向量例3、(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中：—>—>—>—>—>—>①AB与CD是共线向量；®AB=CD；®AB>CD.以上结论中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是．①若AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在一条直线上；②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；—>—>④若四边形ABCD是平行四边形，贝i AB=DC；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.迁移探究、(变换条件)在例(1)中若把“梯形ABCD”改为“口ABCD中”呢？归纳1.判断两个向量的关系应围绕向量的模和向量的方向两个方面进行判断.2.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.3.(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0).3.向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．4.任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量|0|五、课题练习：见变式训练六、课堂小结：1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2.向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a〃b,b〃c,则a〃c,”是错误的.当b=0时，a,c可以是任意向量，但若b丰0,贝寸必有a〃b,b〃c O a〃c.问题的关键是注意考虑0.3.注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.七、教学反思平面向量的概念一、学习目的1、理解向量的有关概念及向量的几何表示.2、理解共线向量、相等向量的概念.3、正确区分向量平行与直线平行二、教学过程1.向量的概念定义：既有，又有的量叫做向量.2.向量的表示⑴有向线段：的线段叫做有向线段•包含三个要素：起点、_、_、_（2）几何表示：用表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的（或称模），记作.⑶字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a,b,c,…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母;，b，C，….共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量m、"一思考尝试1.思考判断（正确的打“厂，错误的打“X”）（1）若a=b,b=c,则a=c・（）（2）若allb,则a与b的方向一定相同或相反.（）—>—>⑶若非零向量AB I CD，那么AB I CD・（）（4）向量的模是一个正实数.（）2•下列各量中不是向量的是：（）A.位移B.力C.速度D.质量3.设勺，勺是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.e’=e2B.e、lle2C.I e」=l e2lD.以上都不对1212124.向量a与任一向量b平行，则a一定是.5.____________________________________________________________ 如图，已知B、C是线段AD的两个三等分点，则与AB相等的向量有.1111ABCD类型1向量的概念例1、给出下列命题：—>—>①若AB=DC,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；—>—>②在口ABCD中，一定有AB=DC；③若a=b，b=c，则a=c；④若a l b，b l c，则a〃c其中所有正确命题的序号为.归纳1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a l b，b l c，则a〃c,”是错误的.当b=0时，a,c可以是任意向量，但若b H O,则必有a l b,b〃c O a〃c•问题的关键是注意考虑0.变式训练、在下列说法中，正确的是（）A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B.模为0的向量与任一非零向量平行C.向量就是有向线段D.两个有公共终点的向量一定是共线向量类型2向量的表示例2、一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D—>—>—>—>点.⑴作出向量AB,BC,CD；(2)求AD I.归纳1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.2．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.变式训练、一架飞机从A点向西北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100羽km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50、f2km到达D点.问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？类型3共线向量与相等向量例3、(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中：—>—>—>—>—>—>①AB与CD是共线向量；®AB=CD；③AB>CD・以上结论中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是.①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上;②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD是平行四边形，贝U AB=DC；⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.迁移探究、(变换条件)在例(1)中若把“梯形ABCD”改为“^ABCD中”呢?归纳1.判断两个向量的关系应围绕向量的模和向量的方向两个方面进行判断2.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.3．(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0).3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小．4.任何一个非零向量a都有与之对应的单位向量O i五、课题练习：见变式训练六、课堂小结：1.明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据.2.向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传递性，即“若a〃b,b〃c,则a#c，”是错误的.当b=0时，a，c可以是任意向量，但若b工0，则必有a〃b,HEallc•问题的关键是注意考虑0.3.注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.七、教学反思。
导学案2：2.1.1 向量的概念
必修四第二章平面向量2．1.1向量的概念使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。
学习难点：向量的概念及对平行向量的理解。
学习过程一．自学目标向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．二.合作探讨如何理解向量的有关概念巩固练习1.若|-|41-20a b =，||4,||5a b ==，则a b 与的数量积为 （ ） A ．103 B ．－103 C ．102 D ．10 2.若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-73 3．若将向量(2,1)a =围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为（ ） A ．)223,22(-- B ．)223,22( C ．)22,223(- D ．)22,223(- 4．在矩形ABCD 中，11,,(,0),(0,)22AE AB BF BC AB a AD b ====设 ，当EF DE ⊥时， ||||a b 的值为 ( ) A ．2B ．3C ．2D ．3 5．已知A （5，7），B （2，3），将AB a 按=（4，1）平移后的坐标为（ ）A ．（－3，－4）B ．（－4，－3）C ．（1，－3）D ．（－3，1）6．将函数)(x f y =图象上的点P （1，0）平移至P′（2，0），则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为（ ）A ．(-1)y f x =B ．()-1y f x =C ．(1)y f x =+D ．()1y f x =+7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）A.（ ∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-21)个人收获与问题知识：方法：我的问题：五.拓展能力：已知△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （2，3），C （3，1），把△ABC 按向量),(n m a =平移后得到C B A '''∆，若C B A '''∆的重心为G′（3，4）求△ABC 的对应点A′、B′、C′以及a 的坐标.答案：巩固练习1．A 2. C 3.B 4.A 5.A .A 7. A拓展能力：a，A′=（2，4），B′=（3，5），C′=（4，3）．)2,1(。
向量概念公开课导学案答案
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段起点无关 D．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同 2．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点， 则( B )
→ → A.AB与AC共线 → → C.AD与AE相等
金品质•高追求
→ → B.DE与CB共线 → → D.AD与BD相等
返回
◆数学•必修4•(配人教A版)◆
跟踪训练 4．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点
向东飞行100 2 km到达C点，再从C点向东偏南30°飞行50 2
km到达D点．问D点在A点的什么方向？D点距A点多远？
解析：由|BC|＝100 2 ，知C在A的正北方向，
|AC|＝100 2 . 又由|CD|＝50 2 ，∠ACD＝60°
相同
D．若a与b平行同向，且|a|＞|b|，则a＞b 解析：A正确． B不正确．共线向量包括方向相同和相反． C不正确．共起点长度相等的向量方向不一定相同． D不正确．向量不能比较大小． 答案：A 点评：共线向量包括同向和反向，向量相等指向量的大 小相等方向相同，0与任意向量共线． 返回 金品质•高追求 我们让你更放心！
◆数学•必修4•(配人教A版)◆
平 面 向 量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
金品质•高追求
我们让你更放心 ！
◆数学•必修4•(配人教A版)◆
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•必修4•(配人教A版)◆
1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之 间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学 习向量的认知基础． 2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、 单位向量、相等向量、共线向量．
苏教版数学高一《向量的概念及表示》名师导学案
四、课中研学
变题： 的相反向量有几个？
（10）若|a|=|b|，则
2.课本57页习题2.1 题 23．课本57页练习1、2、3、4
六、课堂小结
七、课后作业：教学与测试19课时
三、课前预习
1.向量的概念：
2.向量的表示方法记作：
3.向量的模：记作
4.两种特殊向量
零向量：单位向量：
注意：零向量的方向是任意的.零向量与零不一样.
5向量间的特殊关系
（1）平行向量：
规定0与任一向量平行.
（2）相等向量定义：
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）共线向量：
§2.1 向量的概念及表示
一、学习目标：
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的
2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分
3.平行向量、相等向量和共线向量.
二、学习重点：
（1）向ห้องสมุดไป่ตู้概念的引入，会表示向量.
（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，
高中数学必修四导学案：2.1.1向量的概念
数学中，把既有，又有的量叫做，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程等是向量吗？
（探究三：向量的几何表示）
思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？
课题
2.1.1向量的概念
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（二）过程与方法：
经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用。
（三）情感、态度与价值观：
通过实例，体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用。
（1）画图表示向量；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.
☆我的收获与困惑
反思：
（探究四：相等向量）大小方向的向量是相等向量。记作 。
（探究五：共线向量），叫做向量 的基线。
则称这些向量共线或平行。
共线向量的方向向量 平行与 ，记作
（探究六：零向量）模为0的向量叫做，记作，零向量的方向模为1个单位的向量叫做.
☆基础训练
已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地.
思考4：用有向线段 表示向量，有向线段的方向表示向量的，有向线段 的长度就是指线段AB的长度，也称为向量 的或，它表示向量 的大小，记作，两个不同的向量可以比较大小吗？向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
思考5：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母a，b，c，…，表示向量，手写时写成
高中数学人教B版必修4导学案：2.1.1向量的概念
撰稿教师：李丽丽1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长； 3．注意向量的特点：可以平行移动 学习重、难点：2．向量的几何表示页，找出疑惑之处） 二、新课导学 （一）问题探究：湖面上有三个景点O,A,B ，一游艇将游客从景点O 送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O 到景点A 有一个位移，从景点A 到景点B 也有一个位移。
探究：1、位移和距离的区别2、生活中还有哪些量既有大小又有方向？（二）概念讲解1．向量定义：_____________________________。
2．向量的表示方法：（1）______________； （2）用字母表示：_______3、向量的模：如果AB a =，那么____________________________也叫___________，记作_________．4、两种特殊向量：（1）长度为0的向量叫_______，记为_____，方向是______ （2）长度为１个单位的向量叫__________5、两种特殊关系：（1）平行向量: ______________________________________________.记作：//a b （2）相等向量：______________________________.记作：a b = （3）相反向量：______________________________. （三）反思回顾：1、所有的单位向量都相等吗？2、向量平行是否具有传递性？3、平行向量就是向量所在直线平行吗？4、相反向量：把与向量a_________________的向量，叫做a 的相反向量,记作：_____。
三、※典型例题B （终点）A （起点）123O ABCDEF FE FE OA BC 例1：已知为正六边形的中心，在前图中所标出的向量中：（）试找出与共线的向量；（）确定与相等的向量；（）与相等吗？A45,AB AB AB ⨯例2：在方格纸中有一个向量以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？(AB 除外）例3、一人从O 点出发向西走了100米，到达A 点，然后改变方向向西北方向走了200米到达B 点，然后又改变方向向东走了100米到达C 点， （1）作出向量AB 、BC 、CO （2四、※当堂检测：（1）下列各量中是向量的是（）A ．时间B ．速度C ．面积 D. 长度（2）等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC上，EF 过点P 且EF//AB ，则下列等式正确的是（）A ．AD BC =B ．AC BD =C ．PE PF =D ．EP PF = （3）如图是单位正方形组成的网络，则：||PQ =f = （4）下列说法正确的是 ( )A 、平行向量是方向相同或相反的向量 B、零向量表示为0C 、长度相等的向量叫做相等向量D 、共线向量是在一条直线上的向量E 、向量就是有向线段（5）已知a 、b 是任意两个向量,下列条件: ①a b =；②a b =；③a 与b 的方向相反；④0a =或0b =；⑤a 与b都是单位向量。
高中数学向量的概念导学案
NO.1 平面向量的实际背景及基本概念【课标要求】由平面向量的实际背景引出其基本概念，让学生理解向量的模及向量的共线.【学习目标】（1）平面向量的基本概念；（2）向量的模及向量的共线.【重难点】向量的模与向量共线的判定.【知识回顾】1、我们把既有大小又有方向的量叫做向量，把那些只有大小，没有方向的量叫做数量.2、带有方向的线段叫做有向线段，例如以A为起点，B为终点的有向线段记作AB，起点写在终点的前面，这就是向量的表示方法，同时，我们也可以用一个小写字母来表示向量AB，例如a、b、c等.3、有向线段，即向量包括三个要素：起点，方向，长度。
向量的长度也就是有向线段的长度。
向量是可以平行移动的，所以当我们用有向线段表示向量的时候，起点可以随意取，一旦确定了向量的起点，方向和长度，它的终点就唯一确定了.4、向量AB的大小，也就是向量AB，长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，与向量a同向的单位向量可表示a==，且两5、长度相等且方向相同的有向线段表示相等向量，例如b向量的方向相同.6、我们把通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线，如果向量的基线平行或重合，a∥.那么就称这这些向量共线或平行，例如向量a与b平行，则记作b7、规定：零向量与非零向量都是平行的.【随堂练习】1、把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．两个孤立的点D．一个圆2、把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在()A．同一个圆上B．同一个点上C．同一条直线上D．以上都有可能3、如图，在菱形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )A ．DA →与BC →B ．DC →与AB → C ．DC →与BC →D ．DC →与DA →4、在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤5、四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形6、若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤7、如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线 8、若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形9、如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是( )A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线10、若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________．11、等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________．12、如图所示，如果小正方形的边长为1，则|AB →|＝________，|CD →|＝________，|EF →|＝________.13、给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b .其中正确命题的序号是________．14、如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？15、如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF→＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．。
向量的概念及其表示
导学案2.1.1-2.1.3向量的几何表示及其几何意义一、学习目标：1、 理解向量、相等向量、共线向量、零向量、单位向量等相关的概念及其向量的几何表示法与字母表示法；（重点）2、 能判断两个向量是共线向量、相等向量。
（难点）二、问题探究：1、 力、位移、路程、功这四个量之间有什么共同点及不同点；概括出向量的概念，能再举几个向量的例子吗？2、通过你对向量的认识，能谈谈它和数量的区别与联系吗？3、你能几种方法表示向量？单位向量与0r 向量的模与方向是怎么规定的？4、在矩形ABCD 中，（1） 找出与向量AD u u u r ,BA uu r 相等的向量；（2） 找出与向量AD u u u r ,BA uu r 共线的向量；分别谈谈你对相等向量、共线向量的认识，并概括它们的区别与联系是什么？能自己编一个类似的题吗？三、小试牛刀1、判断正误，并说明理由；A 温度、速度、位移、功、海拔都是向量 （ ）B 0r 向量的方向是任意的，所以0r 向量与任一向量都平行 （ ）C 向量a r 的模a r 一定是正数 （ ）D 非零向量的单位向量是唯一的 （ ）E AB CD u u u r u u u r 与共线，则它们的方向相同或相反 （ ）2、已知0,0,//,a b a b ≠≠r r r r r r 且则下列说法正确的是 （ ）A a b =r rB a b r r 向量与的方向相同C a b r r 向量与所在的直线平行或重合D a b =r r四、能力提升1、 已知如图四边形ABCD ，D(1) 向量AB uu u r 与DC uuu r 满足什么条件时， 四边形ABCD 为平行四边形？（2） 当四边形为菱形时，应满足的条件是什么？梯形呢？2、一个人从A 点出发沿东北方向走了100m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15o方向又走了100m 到达C 点；（1）选择适当的比例，用向量表示这个人的位移； （2）求CA uu r。
向量的概念导学案
、向量的表示方法：______________AB ,BA 一样吗？:如果AB a ，那么AB 的长度零向量长度____，大小_____,记作0,方向____________.______________________。
、共线向量______________________ .0的方向是确定的吗？0与那些向量平行向量 AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、 ）如果两个向量不相等，且表示它们的有向线段的起点相同，那它们的终点位置是否相同？ AB =DC ,那么四边形是平行四形，那么AB =DC 吗？ 下列命题中，正确的是 （ ）a >b ，则a >b . B a =b ，则a =bAB CD =，则在平行四边形ABCD AB CD =.a =b , b =c ,则a =c 。
a ∥b , b ∥c ,则a ∥c 。
||=|b|a ,a b 且则a=b其中正确地命题的序号是_____________________.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF OA ,OB , OC 等的向量变式：已知D 、E ,,DE EF FD 相等的向量。
DOP：方向东南，大小为④与任意向量都平行的向量一定是零向量AB DC，则相等的向量是AC DB D. ,DO OB.AD BC B. ,OA OC C。
,,、在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60o,3cm”处，点Q在点“南偏西30o,3cm”处，画出点P和点相对于点O的位置向量。
在图中所示的向量中：AO,BO相等的向量AO共线的向量）写出与AO模相等的向量AO，CO是否相等。
AO。
中职数学教案：向量的概念(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。
重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。
大学向量的概念的教案
一、教学目标1. 知识目标：使学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 能力目标：培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对向量学习的兴趣，培养学生的数学思维。
二、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、向量的表示方法。
2. 教学难点：向量的几何表示和向量的运算。
三、教学过程一、导入1. 提问：同学们在生活中有哪些现象可以用向量来描述？2. 学生回答，教师总结：向量在物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用，如力、速度、加速度等。
二、新课讲解1. 向量的概念（1）向量的定义：向量是既有大小又有方向的量。
（2）向量的表示方法：向量可以用有向线段表示，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
（3）向量的性质：向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。
2. 向量的几何表示（1）有向线段表示：向量的几何表示就是用一条有向线段来表示向量，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
（2）向量坐标表示：在直角坐标系中，向量可以用一对有序实数（坐标）来表示。
3. 向量的运算（1）向量加法：两个向量的和等于它们的终点与起点的连线。
（2）向量减法：两个向量的差等于它们的终点与起点的连线，但方向相反。
（3）向量数乘：一个向量乘以一个实数，相当于向量的大小乘以实数的大小，方向不变。
三、课堂练习1. 根据向量的定义和表示方法，写出下列向量的表示：（1）一个向东的向量，大小为5；（2）一个向北的向量，大小为3；2. 计算下列向量的和与差：（1）向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)；（2）向量a = (4, -2)，向量b = (-3, 5)。
四、总结1. 向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段或坐标表示。
2. 向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。
3. 向量的运算包括加法、减法和数乘。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 思考向量在实际生活中的应用，如力、速度、加速度等。
高中数学【向量的概念】导学案
高中数学【向量的概念】导学案【预习目标】1.理解向量、零向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线平行相等的关系.【自主学习】知识点一向量及其表示1．定义既有又有的量叫作向量．2．有向线段具有和的线段叫作有向线段．其方向是由指向，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→，线段AB的长度也叫作有向线段AB→的，记作|AB→|.3．向量的长度|AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的，即长度(也称模)．4．向量的表示法(1)向量可以用来表示，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用黑体斜体小写字母如a，b，c等来表示．知识点二几种特殊向量【思考探究】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意函数都有反函数．( )(2)互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称．( )(3)函数y＝f(x)的反函数为x＝f－1(y)．( )(4)函数y＝f－1(x)的反函数为y＝f(x)．( )(5)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)的定义域与值域互为倒置．( )【互动课堂】题型一向量的有关概念【例1】下列命题中，正确的是( )A．有相同起点的两个非零向量不共线B．“a＝b”的充要条件是|a|＝|b|且a∥bC．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[跟踪训练1]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB→，CD→满足|AB→|＞|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→＞CD→；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中说法正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4题型二向量的画法【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长都为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O的北偏东45°方向上；(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A的正东方向上；(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B的北偏东30°方向上．[跟踪训练2]某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向，向东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向，向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求AD→的模．题型三向量与平面几何【例3】如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO→，BO→相等的向量；(2)写出与AO→共线的向量；(3)写出与AO→的模相等的向量．[跟踪训练3]如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→长度相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．【随堂检测】1．下列量不是向量的是( )A．力B．速度C．质量D．加速度2．如图，在圆O中，向量OB→，OC→，AO→是( )A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量3．下列说法正确的是( )A．若|a|＞|b|，则a＞bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a，b不是共线向量4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝( )A．1 B． 3C．2 D．2 35．下列说法中正确的是( )A．|AB→|与线段BA的长度不相等B．对任一向量a，|a|＞0总是成立的C．|AB→|＝|BA→|D．若a∥b，且|a|＝1 001，|b|＝1 010，则|a＋b|＝2 0116．(多选题)下列说法错误的是( )A．有向线段AB→与BA→表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．单位向量都相等7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积等于________．8．设点O是△ABC所在平面上一点，若|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则O是△ABC 的________心．9．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有A，B两个定点，点C为小正方形的顶点，且|AC→|＝ 5.(1)作出所有的向量AC→；(2)求|BC→|的最大值与最小值．10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；(3)|a|＝42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量的实际背景及基本概念
学习目标
1.通过再现物理学中学过的力，位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量
概念，建立学生学习向量的认知基础。
2.理解向量的有关概念：向量的表示法，向量的模，单位向量，相等向量，共线向量。
预习导学
一向量的概念
1向量的实际背景
有下列物理量：位移，路程，速度，力，质量，密度，其中位移，速度，力都是既有又有的量。
路程，速度，质量，密度都是的量。
2数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小。
平面向量是既有又有的量，向量比较大小。
练习：时间，温度，位移，质量，体积，力，哪些是向量？
答案：
二向量的表示
1 几何表示
有向线段是的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A为起点，B为终点的有向线段记作，起点要写在终点的前面。
有向线段包含三个要素：，，。
向量的有向线段表示方法
向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的，箭头的指向表示向量的。
2 字母表示
向量也可以用黑体的字母表示，如 a , b , c .
三向量的大小（模）
|AB|表示向量AB的大小，即长度，长度为0 的称零向量，记作0，长度等于1个单位的的向量称为单位向量。
思考应用
1.单位向量是否唯一？有多少个单位向量？
2.若将所有的单位向量的起点放在同一个点，则终点构成的图形是。
四共线向量与相等向量
1平行向量：叫做平行向量，向量a 与b 平行，记作。
规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a 都有。
2 相等向量：长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作。
任意两个非零向量相
等都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
注：1）向量不能比较大小，但可以说相等不相等，
2）向量可以自由平移。
3
共线向量：任一组平行向量都可以移到现一直线上，因此 也叫做共线向量，也就是共线向量的方向相同或相反。
精讲精练
例1 第二次龟兔赛跑：兔子因为贪玩而忘记了两点之间线段最短，走了弯路。
但聪明的乌龟由起点A 向东南方向前进100米直达终点B 。
乌龟获胜。
请用有向线段表示下列向量
（1）乌龟的位移 （用1cm 表示50m)
（2）1千克乌龟所受的重力。
(用1cm 长度表示5N)
例2．如图，设 是正六边形 的中心，分别写出图中
与向量OA 、OB 、OC 相等的向量．
练习∶上题中
（1）向量OA 与FE 相等吗?
（2）与向量OA 长度相等的向量有多少个？
（3）与向量 OA 共线的向量有哪几个？
O ABCDEF
过关训练
过关竞技场1
（1）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（3）单位向量是相等向量吗？
过关竞技场2
判断：
（1）平行向量是否方向一定相同？
（2）不相等的向量一定不平行吗？
过关竞技场3
下列结论正确的是：
（1）如果两向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；
（2）两个相等向量的模相等；
（3）任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等.
过关竞技场4
（1）若两个向量在同一条直线上，那么这两个向量是什么向量？（2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）
？
c
a
c
b
b
a成立吗
则
若
//
,
//
,
//
过关竞技场5
设O为正△ABC的中心，则向量AO，B0，CO是
（）
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
过关竞技场６
如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上的中点，
四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：
（1）与CM模相等且共线的向量；
（2）与FE相等的向量。