77动能和动能讲义定理上

解 设 从 脱 钩 开 始 ， 前 面 的 部 分 列 车 和 末 节 车 厢 分 别 行 驶 了 s 1 、 s 2
才停止,则两者距离s=s1-s2.对前面部分的列车应用动能定理,有
F-L k （ M -m ） g1s =-1 2 （ M -m ） v0 2
对末节车厢应用动能定理，有
-kmgs2 =-21mv02
又 整 列 车 匀 速 运 动 时 ， 有 F = k M g ， 则 可 解 得 △ s = M L ． M - m
说明 本题所求距离为两个物体的位移之差，需分别对各个物体 应用动能定理．求解时也可假设中途脱节时，司机若立即关闭 发动机，则列车两部分将停在同一地点．现实际上是行驶了距 离L后才关闭发动机，此过程中牵引力做的功，可看作用来补 续前部分列车多行驶一段距离而
说法正确的是 ( A)C D
A．手对物体做功 12J B．合外力对物体做功 12J
F
V=2m/s
C．合外力对物体做功 2J D．物体克服重力做功 10 J
F h=1m
mg
例5.如图所示，质量为m的物块从高h的斜面顶端O由
静止开始滑下，最后停止在水平面上B点。若物块从斜
面顶端以初速度v0沿斜面滑下，则停止在水平面的上
功是多少？
解： 对象—运动员
过程---从起跳到落水
受力分析---如图示 V1
由动能定理
W 合1 2m22v1 2m12vEK
f
mgH W f 1 2m22v1 2m12vH
W f mgH 1 2m22v1 2m12v
mg
V2
练习4.一质量为1kg的物体被人用手由静止向
上提升1m，这时物体的速度2 m/s，则下列
77动能和动能定理 上
一. 动能
1.物体由于运动而具有的能叫动能．
2.动能的大小： 3.动能是标量．
EK
1 mv2 2
4.动能是状态量，也是相对量．因为Ｖ为瞬时速度， 且与参考系的选择有关,公式中的速度一般指相对于地 面的速度 ． 5.动能的单位与功的单位相同-----焦耳.
6.动能与动量大小的关系：
例7.将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的 理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空
气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的
80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的
速度大小v?
解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升 过程对小球用动能定理：
mgH
1 2
mv02
和
0.8mgfH12m02v
A→B
S=1/2a1 t2 =F1 t2 /2m v=at=F1 t/m
B→C→A - S=vt - 1/2 a2 t2 = F1 t 2/m - F2 t2 /2m ∴F2 =3 F1
A→B→C→A 由动能定理 F1S+F2S=32
∴W1= F1S=8J
F甲 F乙
v
W2= F2S=24J
A
S
B
C
例10.总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀 速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节．司 机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关 闭发动机滑行．设运动的阻力与质量成正比， 机车的牵引力恒定，当列车的两部分都停止时， 它们的距离是多少？
物体做的功一定为零
B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一
定为零
C．物体在合外力作用下作变速运动，动能一定变
化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
例4质. 量为m的跳水运动员从高为H的跳台上以速
率v1 起跳，落水时的速率为v2 ，运动中遇有空气阻力 ，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的
f
2
练习7.如图所示，A、B是位于水平桌面上的两质量相
等的木块，离墙壁的距离分别为l1 和l2 ，与桌面之间的
滑动摩擦系数分别为A和B，今给A以某一初速度， 使之从桌面的右端向左运动，假定A、B之间，B与墙 间的碰撞时间都很短，且碰撞中总动能无损失，若要 使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的
初速度最大不能超过 4g[μA(1ll2)μBl2] 。
(2)“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加， ΔEK＜0表示动能减小．
(3)在动能定理中,总功指各外力对物体做功的代数 和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、 电场力或其他的力等．
(4)动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有 相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于 此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如 内能）的转化． (5)各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不 同时，分别求力做功，然后求代数和．
，小球与钢板相撞时无机械能损失，小球最终停止运动 时，它所经历的路程S 等于 多少？ ( g=10m/s2 )
解： 对象 — 小球
过程 — 从开始到结束
受力分析---如图示
f
由动能定理
W 合Ek1 2m2 2v 1 2m1 2v
V0=2m/s mg
Sm mgghfhS 12m0 0v212m 300v2216m h=3m
∴W1 =m源自文库h－1 /2 mv02 O m
h ABC
练习5．某人在高h处抛出一个质量为m的物体． 不计空气阻力，物体落地时的速度为v，这人对物体
所做的功为：( D)
A．mgh B．mv2/2 C．mgh+mv2/2 D．mv2/2- mgh
例6. 斜面倾角为α，长为L， AB段光滑，BC段粗糙 ，AB =L/3, 质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑， 到达C端时速度刚好为零。求物体和BC段间的动摩擦 因数μ。
总之，无论做何种运动，只要不涉及加速度和时间， 就可考虑应用动能定理解决动力学问题。
例1. 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气 阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n 倍， 求：钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h 的 比值 H∶h =?
解: 画出示意图并分析受力如图示：
由动能定理，选全过程 mg(H+h)－nmgh=0
mg Hf
H+h=nh ∴H : h = n - 1
h mg
练习1.放在光滑水平面上的某物体，在水平恒力F
的作用下，由静止开始运动，在其速度由0增加到v
和由v增加到2v的两个阶段中，F对物体所做的功之
比为
(C )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
例2．如右图所示，水平传送带保持 1m/s 的速度运
l1
l2 B
A
例9.在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力
甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒
力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时
间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32
J,则在整个过程中，恒力甲做的功等于 8J焦耳，恒
力乙做的功等于
焦耳. 24J
解：画出运动示意图如图示：由牛顿定律和运动学公式
分析：以木块为对象，下滑全过程用动能定理：
重力做的功为 WG mgLsαin
2
摩擦力做功为 Wf 3μmgLcαos L
支持力不做功,初、末动能均为零。 C
α
B
A
由动能定理 mgLsin α-2/3 μmgLcos α=0
可解得 μ 3tgα
2
点评：用动能定理比用牛顿定律和运动学方程解
题方便得多。
练习6.竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气 阻力的大小正比于球的速度( B 、) C （A） 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重 力做的功 （B） 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重 力做的功 （C） 上升过程中克服重力做功的平均功率大于下 降 过程中重力做功的平均功率 （D） 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降 过程中重力做功的平均功率
a
2h l2
v2 0
由牛顿第二定律得:F=mg＋ma=
mg 1
2h gl 2
v02
(2)升力做功W=Fh=
mgh 1
2h gl 2
v2 0
在h处,vt=at= 2ah 2hv0 l
Ek 1 2mv02vt2 1 2mv0 214lh22
例11．如图示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一
A.s1∶s2=1∶2
B.s1∶s2=1∶1
C.s1∶s2=2∶1
D.s1∶s2=4∶1
例3. 如下图所示，一个质量为m的小球从A点由静 止开始滑到B点，并从B点抛出，若在从A到B的过程
中，机械能损失为E，小球自B点抛出的水平分速度为
v，则小球抛出后到达最高点时与A点的竖直距离是
v2/2g+E/mg
(9)动能定理中涉及的物理量有Ｆ、Ｓ、ｍ、ｖ、Ｗ、 ＥＫ等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以 考虑使用动能定理。由于只需从力在整个位移内的功 和这段位移始末两状态动能变化去考察，无需注意其 中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量， 无方向性，无论是直线运动或曲线运动，计算都有会 特别方便。
根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F 向下拉，
维持小球在水平面上做半径为r 的匀速圆周运动．现
缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小．当拉力变为
C点，已知，AB=BC , 则物块在斜面上克服阻力做的
功为
mgh－1 /2 mv02。（设物块经过斜面与水
平面交接点处无能量损失）
解：设物块在斜面上克服阻力做的功为W1， 在AB或BC段克服阻力做的功W2
由动能定理 O→B
mgh -W1 –W2= 0
O→C
mgh -W1 –2W2= 0 - 1 /2 mv02
可得H=v02/2g，
f 1 mg 4
f v
v/
f
G
G
再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升 和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零， 所以有：
f20.8H1 2m0 2v1 2m2v
解得
3 v 5v0
例8.地面上有一钢板水平放置，它上方3m处有一钢球
质量 m=1kg，以向下的初速度v0=2m/s竖直向下运动 ，假定小球运动时受到一个大小不变的空气阻力 f=2N
克 服 阻 力 所 做 的 功 ， 即 ： F L = k （ M - m ） g △ s ， 故 △ s = M L ． M - m
练习8.质量为m的飞机以水平v0飞离跑道后逐渐上升, 若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和 竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含 重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时,它的上升 高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升 至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动 能? 解析(1)飞机水平速度不变,L= v0t,竖直方向的加速度恒 定,h=½at2,消去t即得
(6)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，若物 体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受 力等情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须 根据不同情况分别对待.
(7)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考 系.一般以地面为参考系.
(8)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题 时可以分段考虑. 若有能力，可视全过程为一整体，用 动能定理解题.
解得 S=0.25m，说明工件未到达B点时，速度已达到v，
所以工件动能的增量为 △EK = 1/2 mv2 = 0.5×1×1= 0.5J
练习2.两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质 量之比m1∶m2=1∶2，速度之比v1∶v2=2∶1，两 车急刹车后甲车滑行的最大距离为s1，乙车滑行的 最大距离为s2，设两车与路面间的动摩擦因数相等， 不计空气阻力，则( D)
。
解: 小球自B点抛出后做斜上抛运动,水平方向做匀速 直线运动,到最高点C的速度仍为v ,设AC的高度差为h
由动能定理, A→B →C mgh – E=1/2×mv2
∴h=v2/2g+E/mg
A h
v BC
练习3、下列关于运动物体所受的合外力、合外
力做功和动能变化的关系，正确的是
[A]
A．如果物体所受的合外力为零，那么，合外力对
EK
P2 2m
P 2mEK
一个物体的动量发生变化，它的动能不一定变化一个 物体的动能发生变化，它的动量一定变化
二、动能定理
1.合外力所做的功等于物体动能的变化,这个结论叫做 动能定理.
W 合 1 2m22v1 2m12vEK
2.动能定理的理解及应用要点:
(1)等式的左边为各个力做功的代数和，正值代表正功， 负值代表负功。等式右边动能的变化，指末动能 EK2=1/2mv22与初能EK1=1/2mv12之差.
动。一质量为1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为
0.2。现将该物体无初速地放到传送带上的A点，然后
运动到了距A点1m 的B点，则皮带对该物体做的功为
（ A）
A. 0.5J B. 2J
C. 2.5J D. 5J
A
B
解: 设工件向右运动距离S 时，速度达到传送带的速 度v，由动能定理可知 μmgS=1/2mv2