三角函数的积分
三角函数的积分与积分的应用
三角函数的积分与积分的应用积分是微积分中的一个重要概念，它是求解曲线下面的面积的工具之一。
而三角函数则是数学中的基础函数之一，与很多自然现象和物理问题有着密切的关系。
本文将探讨三角函数的积分以及它在实际问题中的应用。
一、三角函数的积分1. 正弦函数的积分正弦函数是最基本的三角函数之一。
它的积分形式可以通过换元法来求解。
假设函数中包含正弦函数，且让自变量变为角度的函数，例如：∫sin(x)dx可以通过令u = cos(x)，然后再将原式转化为对u的积分来求解。
具体过程如下：∫sin(x)dx = ∫cos(x)d(cos(x)) = ∫d(u) = u + C因此，∫sin(x)dx的积分结果为：-cos(x) + C，其中C是积分常数。
2. 余弦函数的积分余弦函数是另一个基本的三角函数。
与正弦函数类似，它的积分形式也可以通过换元法来求解。
假设函数中包含余弦函数，且让自变量变为角度的函数，例如：∫cos(x)dx同样可以通过令u = sin(x)，然后再将原式转化为对u的积分来求解。
具体过程如下：∫cos(x)dx = ∫sin(x)d(sin(x)) = ∫d(u) = u + C因此，∫cos(x)dx的积分结果为：sin(x) + C，其中C是积分常数。
3. 正切函数的积分正切函数虽然在数学上没有原函数，但我们可以通过换元法来求解它的积分形式。
例如：∫tan(x)dx可以通过令u = cos(x)，然后再将原式转化为对u的积分来求解。
具体过程如下：∫tan(x)dx = ∫sin(x)/cos(x)dx再令u = cos(x)，则du = -sin(x)dx，将∫sin(x)/cos(x)dx转化为∫-du/u，进一步求解可得：-∫du/u = -ln|u| + C = -ln|cos(x)| + C因此，∫tan(x)dx的积分结果为：-ln|cos(x)| + C，其中C是积分常数。
二、积分的应用1. 面积求解积分的最基本应用之一是求解曲线下面的面积。
三角函数的积分与反函数公式
三角函数的积分与反函数公式在数学中，三角函数是一类经典的函数，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在解决几何、物理、工程等领域的问题时起到了重要的作用。
在三角函数的研究中，积分与反函数是两个重要的概念和技巧。
本文将介绍三角函数的积分与反函数公式。
一、正弦函数的积分与反函数公式正弦函数是数学中常见的三角函数之一，其函数图像是一个周期性波动的曲线。
下面是正弦函数的积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C其中C为常数。
正弦函数的反函数是反正弦函数，常用符号为arcsin(x)或sin^(-1)(x)。
下面是反正弦函数的导数公式：d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)二、余弦函数的积分与反函数公式余弦函数是另一个常见的三角函数，其函数图像也是一个周期性波动的曲线。
下面是余弦函数的积分公式：∫cos(x)dx = sin(x) + C其中C为常数。
余弦函数的反函数是反余弦函数，常用符号为arccos(x)或cos^(-1)(x)。
下面是反余弦函数的导数公式：d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)三、正切函数的积分与反函数公式正切函数是三角函数中的另一个重要函数，其函数图像有无穷多个渐近线。
下面是正切函数的积分公式：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C其中C为常数。
正切函数的反函数是反正切函数，常用符号为arctan(x)或tan^(-1)(x)。
下面是反正切函数的导数公式：d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)四、其他三角函数的积分与反函数公式除了正弦函数、余弦函数和正切函数以外，还存在其他三角函数如割函数、余割函数和余切函数。
它们的积分和反函数公式如下：∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C∫csc(x)dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C∫cot(x)dx = ln|sin(x)| + C其中C为常数。
三角函数的积分与定积分计算
三角函数的积分与定积分计算三角函数在数学中扮演着重要的角色，它们不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中扮演着重要的作用。
在积分学中，我们经常需要计算与三角函数相关的积分和定积分，这对于理解三角函数的性质和解决实际问题非常有帮助。
本文将介绍一些常见的三角函数的积分和定积分计算方法。
一、三角函数的积分1. 正弦函数的积分正弦函数的积分可以通过换元法来计算。
我们令$u$等于$x$的某个表达式（通常是三角函数的一部分），然后求出$du$，进而将原函数化为一个更容易积分的形式。
举个例子，考虑计算$\int \sin^3(x)dx$，我们可以令$u = \cos(x)$，然后求出$du = -\sin(x)dx$。
将原函数中的$\sin^3(x)$用$\cos^2(x)$替换后，可以将积分化简为$\int u^2 du$，然后求出积分结果为$\frac{1}{3}u^3 + C$，其中$C$表示积分常数。
2. 余弦函数的积分余弦函数的积分也可以通过换元法来计算。
我们可以令$u$等于$x$的某个表达式，然后求出$du$，从而将原函数化为一个更容易积分的形式。
例如，考虑计算$\int \cos^3(x)dx$，我们可以令$u = \sin(x)$，然后求出$du = \cos(x)dx$。
将原函数中的$\cos^3(x)$用$1-\sin^2(x)$替换后，可以将积分化简为$\int (1-u^2) du$，然后求出积分结果为$u-\frac{1}{3}u^3 + C$。
3. 正切函数的积分正切函数的积分可以通过直接计算或者利用恒等变换来求解。
举个例子，考虑计算$\int \tan(x)dx$，我们可以进行换元法，令$u=\cos(x)$，然后求出$du=-\sin(x)dx$。
将原积分化简成$-\int \frac{1}{u}du$，然后求出积分结果为$-\ln|u|+C$，其中$C$表示积分常数。
三角函数的积分与微分
三角函数的积分与微分三角函数是数学中非常重要的一类函数，它在许多领域中都有广泛的应用，其中包括积分和微分。
本文将探讨三角函数的积分和微分，并介绍它们在数学和物理等领域中的应用。
一、三角函数的积分三角函数的积分是指对三角函数进行求积分运算，得到一个与原函数有关的表达式。
在数学中，常见的三角函数包括正弦函数（sin(x)）、余弦函数（cos(x)）、正切函数（tan(x)）等。
1. 正弦函数的积分正弦函数的积分可以表示为∫sin(x) dx。
根据积分的性质，我们知道正弦函数的积分有多种形式。
其中，∫sin(x) dx = -cos(x) + c，其中c为积分常数。
2. 余弦函数的积分余弦函数的积分可以表示为∫cos(x) dx。
与正弦函数的积分类似，余弦函数的积分也有多种形式。
其中，∫cos(x) dx = sin(x) + c，其中c为积分常数。
3. 正切函数的积分正切函数的积分可以表示为∫tan(x) dx。
正切函数的积分较为复杂，可以通过换元法进行求解。
其中，∫tan(x) dx = -ln |cos(x)| + c，其中c为积分常数。
二、三角函数的微分三角函数的微分是指对三角函数进行求导运算，得到一个与原函数斜率相关的函数。
三角函数的微分在微积分中有重要的应用，帮助我们研究函数的变化率和曲线的特性。
1. 正弦函数的微分正弦函数的微分可以表示为d(sin(x))/dx。
根据微分的性质，我们知道正弦函数的微分等于其导数。
因此，d(sin(x))/dx = cos(x)。
2. 余弦函数的微分余弦函数的微分可以表示为d(cos(x))/dx。
与正弦函数的微分类似，余弦函数的微分也等于其导数。
因此，d(cos(x))/dx = -sin(x)。
3. 正切函数的微分正切函数的微分可以表示为d(tan(x))/dx。
正切函数的微分也较为复杂，可以通过求导法则进行求解。
其中，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，其中sec(x)为正切函数的倒数，即1/cos(x)。
三角函数积分
三角函数积分三角函数积分也被称为定向积分，是数学中的一个重要概念，是求取曲线重心的重要工具。
三角函数积分应用多样，其中最重要的应用就是解决非线性微分方程的几何解析法，例如双曲型方程等。
其理论也已被很多学科所采纳，如力学、电学、热力学等。
因此，三角函数积分对于科学技术的发展具有十分重要的意义。
三角函数积分源于古希腊数学家埃赛洛斯，他发明了一种可以测量圆形区域的计算方法，称为“计算三角函数圆积的方法”。
之后，这种方法被改善和发展为现在的三角函数积分。
如今，三角函数积分己被广泛地应用于微积分和科学技术领域。
在公式定义上，三角函数积分包括三角函数定积分和三角函数不定积分。
三角函数定积分是指在一定积分范围内，求取某函数曲线在这一范围内所形成图形的面积。
三角函数定积分中常用到的公式有：圆周率定理、勾股定理、椭圆定理等。
而三角函数不定积分则是指对三角函数的某个范围的积分，求解发生在本范围内的函数的积分值。
该积分方法可将函数曲线分解为几个小曲线，分别求它们的积分，最后求出函数的总积分。
除了以上的定义以外，三角函数积分还可以用来计算曲线的极坐标表示。
在极坐标表示中，被积函数的变量为伸缩变量，也就是微观上一条条曲线；另一变量则作为转换变量，代表把空间上某点到原点的最短距离。
使用极坐标表示，将得到的曲线积分转换成圆积式，从而可以求出曲线区域的面积及其重心。
另外，三角函数积分还可以用来解决非线性微分方程。
如果某一微分方程的变量所处的范围经过转换，以使其形式符合三角函数的表达式，那么它就可以被三角函数积分求解。
例如，双曲方程的解可以通过三角函数变换常数得到，以此来解决该问题。
总而言之，三角函数积分是数学中的一个重要概念，它对于科学技术的发展具有十分重要的意义，既可以用来解决图形的计算，也可以用来解决非线性微分方程。
它不仅是一个理论概念，而且还有其实际的应用，在微积分、热力学、力学等领域更是不可或缺的工具。
因此，三角函数积分应受到更多的重视，以进一步开发其理论及应用。
三角函数的积分与不定积分的计算
三角函数的积分与不定积分的计算在微积分中，三角函数的积分和不定积分的计算是十分重要的内容。
本文将介绍如何计算常见的三角函数积分和不定积分，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、三角函数的积分1. 正弦函数的积分我们知道，正弦函数的积分是一个负的余弦函数。
具体而言，对于∫sin(x)dx，结果为-cos(x) + C，其中C为常数。
2. 余弦函数的积分余弦函数的积分是正弦函数。
对于∫cos(x)dx，结果为sin(x) + C，其中C为常数。
3. 正切函数的积分计算正切函数的积分需要一些技巧。
可以通过将正切函数转化为正弦和余弦函数的比值，来求解。
具体而言，对于∫tan(x)dx，可以将其转化为∫sin(x)/cos(x)dx。
通过变量代换u = cos(x)，可以得到结果为-ln|cos(x)| + C。
4. 余切函数的积分与正切函数类似，计算余切函数的积分也需要转化为正弦和余弦函数的比值。
对于∫cot(x)dx，可以转化为∫cos(x)/sin(x)dx。
通过变量代换u = sin(x)，可以得到结果为ln|sin(x)| + C。
二、不定积分的计算不定积分指的是对函数进行积分，得到的结果不含具体的上下限。
在计算不定积分时，常常需要使用一些基本的积分公式和技巧。
1. 基本积分公式常见的基本积分公式包括幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数的积分公式。
这些公式是计算不定积分的基础，熟练掌握它们对于解题非常有帮助。
2. 分部积分法分部积分法是一种常用的积分计算方法，适用于两个函数的乘积的积分。
具体而言，对于∫u(x)v'(x)dx，可以通过分部积分公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，将积分转化为两个函数相乘积分的差减一个新的积分。
3. 凑微分法凑微分法是一种巧妙的积分计算方法，常常用于分母是同一个函数的不定积分。
通过将被积函数中的某一部分与积分变量的微分形式进行匹配，从而实现凑微分，简化计算过程。
三角函数导数积分公式大全
下面是一些常见的三角函数的导数和积分公式：
1. 正弦函数（sine）：
- 导数公式：d/dx(sin(x)) = cos(x)
- 积分公式：∫(sin(x)) dx = -cos(x) + C
2. 余弦函数（cosine）：
- 导数公式：d/dx(cos(x)) = -sin(x)
- 积分公式：∫(cos(x)) dx = sin(x) + C
3. 正切函数（tangent）：
- 导数公式：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)
- 积分公式：∫(tan(x)) dx = -ln|cos(x)| + C
4. 余切函数（cotangent）：
- 导数公式：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)
- 积分公式：∫(cot(x)) dx = ln|sin(x)| + C
5. 正割函数（secant）：
- 导数公式：d/dx(sec(x)) = sec(x) * tan(x)
- 积分公式：∫(sec(x)) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
6. 余割函数（cosecant）：
- 导数公式：d/dx(csc(x)) = -csc(x) * cot(x)
- 积分公式：∫(csc(x)) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C
这些是基本的三角函数的导数和积分公式，它们在微积分和数学分析中经常被使用。
需要注意的是，这些公式适用于常规的角度值，而非弧度制。
三角函数的积分计算
三角函数的积分计算在数学中，三角函数是一类经典的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的积分计算是数学分析的重要部分，它在许多实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
本文将介绍三角函数的积分计算方法，包括基本积分公式、特殊积分公式以及常见的积分例题。
一、基本积分公式1. 正弦函数积分：∫ sin x dx = -cos x + C2. 余弦函数积分：∫ cos x dx = sin x + C3. 正切函数积分：∫ tan x dx = -ln|cos x| + C二、特殊积分公式1. 正弦函数的幂函数积分：∫ sin^2(x) dx = (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C2. 余弦函数的幂函数积分：∫ cos^2(x) dx = (1/2) x + (1/4) sin(2x) + C3. 正切函数的幂函数积分：∫ tan^2(x) dx = x - tanx + C4. 正弦函数和余弦函数的积分：∫ sin(x) cos(x) dx = -1/2 cos^2(x) + C5. 正切函数的倒数积分：∫ 1/tan(x) = ln |sin(x)| + C三、常见积分例题1. 计算∫ sin^3(x) cos^4(x) dx：使用三角函数的和差化积公式，将积分化简为∫ sin^3(x) (1-sin^2(x)) cos^2(x) dx，并分别使用换元法和基本积分公式计算，得到最终结果为-(1/4)sin^4(x) + (1/5)sin^6(x) + C。
2. 计算∫ (sin^3(x) + cos^3(x))^2 dx：展开平方后得到二次多项式，再次利用三角函数的和差化积公式，将积分化简为∫ (1+sin^6(x)+2sin^3(x)+cos^6(x)+2cos^3(x)-2sin^3(x)cos^3(x)) dx。
分别使用基本积分公式计算各项，最终结果为 x + (1/7) sin^7(x) + (1/4) cos^4(x) - (1/9) sin^9(x) - (1/5) cos^5(x) + 2/5 C。
三角积分的公式
三角积分的公式
（最新版）
目录
1.三角积分的概念
2.三角积分的公式
3.三角积分的性质和应用
正文
1.三角积分的概念
三角积分是一种数学计算方法，主要用于计算三角函数的积分。
在微积分中，三角函数是一种重要的函数类型，它在各个领域中都有广泛的应用。
为了方便计算和求解三角函数的积分，数学家们研究出了一种名为三角积分的方法。
2.三角积分的公式
三角积分的公式主要包括以下几种：
（1）正弦函数的积分公式：∫sinx dx = -cosx + C
（2）余弦函数的积分公式：∫cosx dx = sinx + C
（3）正切函数的积分公式：∫tanx dx = ln|cosx| + C
（4）余切函数的积分公式：∫cotx dx = ln|sinx| + C
（5）正割函数的积分公式：∫secx dx = tanx + C
（6）余割函数的积分公式：∫cscx dx = 1/tanx + C
其中，x 表示积分的自变量，C 表示积分常数。
3.三角积分的性质和应用
三角积分具有以下性质：
（1）线性性质：如果 f(x) 和 g(x) 是两个可积函数，那么∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
（2）恒等性质：如果 f(x) 是可积函数，那么∫f(x) dx = ∫f(x) dx + 0 = 0
（3）反对称性质：如果 f(x) 是奇函数，那么∫f(x) dx = 0
三角积分在实际应用中具有重要意义，例如在物理学、工程学、经济学等领域中，三角函数的积分常常用来求解变化率、速度、加速度等问题。
三角函数的积分与曲线面积
三角函数的积分与曲线面积在微积分中，三角函数的积分是非常重要的内容之一。
本文将从三角函数积分的基本概念入手，探讨其性质及应用，并介绍与三角函数积分有关的曲线面积计算方法。
一、三角函数的积分1. 正弦函数的积分正弦函数的积分可以通过积分表或者使用基本积分公式求解。
根据基本积分公式，∫sin(x)dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
正弦函数的积分在物理学、工程学等领域中具有广泛应用。
2. 余弦函数的积分余弦函数的积分同样可以通过积分表或者基本积分公式求解。
根据基本积分公式，∫cos(x)dx = sin(x) + C，其中C为常数。
3. 正切函数的积分正切函数的积分可以通过代换法进行求解。
例如，使用代换u =tan(x)可以将∫tan(x)dx转化为∫(1/u)du，进而求得∫tan(x)dx = ln|sec(x)| + C，其中C为常数。
4. 其他三角函数的积分其他三角函数如余切函数、割函数、反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等的积分也可以通过一些特定的变量代换或者使用积分表求解。
二、三角函数积分的性质1. 有界性三角函数的积分有界，即在特定区间上的积分结果是有限的。
例如，sin(x)在区间[0, π]上的积分结果为2，而在区间[-π/2, π/2]上的积分结果为0。
2. 周期性三角函数的积分具有周期性，即在特定区间上的积分结果可以通过一个周期得到。
例如，sin(x)的积分在[0, 2π]上的结果与[2π, 4π]上的结果相等。
3. 奇偶性正弦函数的积分是奇函数，即∫sin(x)dx在区间[-a, a]上的积分结果为0。
而余弦函数的积分是偶函数，即∫cos(x)dx在区间[-a, a]上的积分结果为2sin(a)。
三、三角函数积分的应用1. 物理学中的应用三角函数的积分在物理学中具有广泛的应用。
例如，在动力学中，三角函数的积分可以用于描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。
2. 工程学中的应用三角函数积分在工程学中也有重要的应用。
三角函数的积分与不定积分
三角函数的积分与不定积分一、前言在数学中，三角函数是一类重要的函数，与之相关的积分和不定积分也是学习高等数学的基础知识之一。
本文将介绍三角函数的积分和不定积分的概念、性质以及求解方法。
二、三角函数的积分三角函数的积分是指对三角函数进行积分运算，其结果可以表示为一个含有三角函数的表达式。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
1. 正弦函数的积分正弦函数的积分常用的表示方法有两种：∫sin(x) dx和∫sin(x) dω。
其中，前者是常见的函数积分形式，后者是工程领域中常用的符号表示形式。
（1）∫sin(x) dx的求解：根据积分的定义和三角函数的性质，我们知道∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C是常数。
（2）∫sin(x) dω的求解：根据换元法，令ω = x，则dω = dx，将∫sin(x) dω转化为∫sin(ω) dω，再根据(1)中的结果得知∫sin(ω) dω = -cos(ω) + C = -cos(x) + C。
2. 余弦函数的积分余弦函数的积分与正弦函数的积分类似，也有两种常用的表示方法：∫cos(x) dx和∫cos(x) dω。
（1）∫cos(x) dx的求解：根据积分的定义和三角函数的性质，我们知道∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C是常数。
（2）∫cos(x) dω的求解：根据换元法，令ω = x，则dω = dx，将∫cos(x) dω转化为∫cos(ω) dω，再根据(1)中的结果得知∫cos(ω) dω = sin(ω) + C = sin(x) + C。
3. 正切函数的积分正切函数的积分与正弦函数、余弦函数稍有不同，一般表示为∫tan(x) dx。
根据积分的定义和三角函数的性质，我们知道∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C是常数。
注意，在某些特殊情况下，正切函数的积分结果可能出现发散的情况。
三角函数积分运算
三角函数的积分运算在微积分中是常见的。
以下是一些常见的三角函数积分运算公式：
正弦函数积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
余弦函数积分：
∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
正切函数积分：
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为常数。
这个积分通常在tan(x)的定义域内，当cos(x) = 0时需要特殊处理。
余切函数积分：
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为常数。
这个积分通常在cot(x)的定义域内，当sin(x) = 0时需要特殊处理。
正弦函数的幂函数积分：
∫sin^n(x) dx，其中n为正整数，可以使用递推法或者换元法来求解。
余弦函数的幂函数积分：
∫cos^n(x) dx，其中n为正整数，可以使用递推法或者换元法来求解。
正切函数的幂函数积分：
∫tan^n(x) dx，其中n为正整数，可以使用递推法或者换元法来求解。
这些是常见的三角函数积分公式。
对于更复杂的三角函数积分，可能需要使用分部积分、换元法或其他积分技巧来求解。
此外，还可以使用计算机代数系统来计算复杂的三角函数积分。
三角函数积分
三角函数积分
三角函数积分，是一个在数学中非常重要的概念，它是一种特殊的数学计算方法，用于计算函数在一定范围内的积分值。
在我们日常学习和工作中，三角函数积分有着广泛的应用，比如用来求解物理和数学问题，如统计物理、机械运动、力学等。
简单来说，三角函数积分是指将三角函数作为一元函数，以积分形式来表示它们的结果。
三角函数积分由它所拥有的三个特殊性质组成：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）函数。
三角函数积分的求解需要运用到定积分的计算公式。
此外，如果函数中包含一些复杂的形式，那么求解三角函数积分就更加复杂了。
比如如果函数中包含三角函数的幂函数，或者多项式的嵌套形式，那就涉及到微积分的概念了。
这就需要用到积分变换法、解析积分法等等一系列公式手段来求解。
在学习三角函数积分时，应该特别重视它的几个典型性质，比如基本三角函数积分的计算，嵌套函数积分的求取，以及反三角函数积分的解决等等。
这些典型性质的学习可以帮助我们更好地理解它们的基本原理，更熟练地运用它们，从而解决更多的实际应用问题。
另外，尽管三角函数积分看起来非常复杂，但实际上，它也有某些计算结果通用规律，只要我们找到这些规律，也就可以更快地解决三角函数积分问题。
比如：正弦函数的积分可以分解为多项式形式，其中各项都必须是实数，同时也能利用正弦函数的特性来求解积分。
综上所述，三角函数积分是数学中的重要概念，它在我们的日常
学习和工作中也有着广泛的应用，但由于它的复杂性，在求解时需要我们结合积分及微积分的内容，运用一些科学的计算方式去分析和求解它们。
因此，我们必须要充分学习并熟练掌握三角函数积分的求解方法，才能正确运用它们来解决实际的问题。
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12-1三角函數之積分當結合一些有用的三角恒等式及代換法時，可以求出更多含有三角函數型式的積分，以下是幾種常見的類型： 型1. 及∫xdx n sin ∫xdx n cos （1）n 為正奇數：可利用變數變換，提出或x sin x cos 後，再利用恒等式 或。
x x 22cos 1sin −=x x 22sin 1cos −=（為正整數） ∫∫∫==+xdx x xdx xdx k k n sin sin sin sin 212k 化簡得 ()()∫∫−−=x d x xdx kn cos cos 1sin 2令x u cos =，得 ()∫∫−−=du u xdx kn 21sin再利用羃函數之積分公式即可。
1. 求。
∫xdx 5sin 解答：∫xdx 5sin 提出x sin ∫=xdx x sin sin 4 用對作轉換x x 22cos 1sin −=x 2sin ()∫−=xdx x sin cos 122 將()22cos 1x −展開提出負號，將改寫成 (∫+−=xdx x x sin cos cos 2142))xdx sin xdx sin −()(∫−+−−=xdx x x sin cos cos 2142利用變數變換xdx du x u sin cos −=⇒= (∫+−−=du u u 4221) 將不定積分求出c u u u +−+−=535132 將x u cos =代回式子c x x x +−+−=53cos 51cos 32cos（2）n 為正偶數：利用三角函數半角公式22cos 1sin 2x x −=；22cos 1cos 2xx += 已知 ()∫∫∫==dx x xdx xdx kkn22sin sinsin代入22cos 1sin 2xx −=得 ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=dx x xdx kn22cos 1sin2. 求 xdx ∫4sin 解答： 解：∫xdx 4sin ()∫=dx x 22sin 利用半角公式22cos 1sin 2xx −=∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=dx x 222cos 1 將222cos 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛−x 展開(∫+−=dx x x 2cos 2cos 21412)再用一次半角公式24cos 12cos 2x x +=∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=dx x x 24cos 12cos 2141 將被積分式化簡 ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=dx x x 24cos 2cos 22341 將被積分式提出21 (∫+−=dx x x 4cos 2cos 4381) 計算不定積分 c x x x +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=44sin 2sin 2381型2.∫xdx x n m cos sin （1）若或為奇數：可利用變數變換，將奇次方提出或m n x sin x cos 後，再利用恒等式 或。
x x 22cos 1sin −=x x 22sin 1cos −=3. 求 xdx x 43cos sin −∫解答：xdx x 43cos sin −∫提出 x sin xdx x x sin cos sin 42⋅⋅=−∫ 用對作轉換 x x 22cos 1sin −=x 2sin ()∫⋅−=−xdx x x sin cos cos 142 將()x x 42cos cos 1−−展開()∫⋅−=−−xdx x x sin cos cos 24 提出負號，將改寫成 xdx sin xdx sin −()()∫−⋅−−=−−dx x x x sin cos cos 24 利用變數變換xdx du x u sin cos −=⇒= (∫−−−−=du u u 24) 計算不定積分C u u +−=−−1331 將x x u sec cos 11==−代回式子 C x x +−=sec sec 313（2）若、皆為偶數：利用三角函數半角公式m n 22cos 1sin 2x x −=；22cos 1cos 2xx +=4. 求 xdx x 42cos sin ∫解答：xdx x 42cos sin ∫利用半角公式 dx x x 222cos 122cos 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=∫ 將22cos 1x −222cos 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛−x 展開()()()dx x x x ∫++−=82cos 12cos 12cos 1 將81提出 ()()(∫++−=dx x x x 2cos 12cos 12cos 181) ()()()x x x 2cos 12cos 12cos 1−=+− ()(∫+−=dx x x 2cos 12cos 1812) 利用三角恒等式 x x 2sin 2cos 122=−()(∫+=dx x x 2cos 12sin 812) 將被積分式展開 ()()()∫∫+=dx x x dx x 2cos 2sin 812sin 8122 計算不定積分 C xx x +⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=32sin 1614sin 411613型3.∫、、⋅nxdx mx cos sin ∫⋅nxdx mx sin sin ∫⋅nxdx mx cos cos 利用積化和差公式： ()()[]x n m x n m nx mx −++=⋅sin sin 21cos sin ()()[]x n m x n m nx mx −−+−=⋅cos cos 21sin sin ()()[]x n m x n m nx mx −++=⋅cos cos 21cos cos5. 求 xdx x 3cos 2sin ∫解答：利用xdx x 3cos 2sin ∫()()[]x n m x n m nx mx −++=⋅sin sin 21cos sin [dx x x ∫−+=)sin(5sin 21] 計算不定積分 C x x +−−=cos 215cos 101型4. 、dx x n ∫tan dx x n ∫cot利用三角函數恒等式、 1sec tan 22−=x x 1csc cot 22−=x x6. 求∫xdx 2tan解答：∫xdx 2tan利用三角函數恒等式 1sec tan 22−=x x (∫−=dx x 1sec 2)計算不定積分 c x x +−=tan7. 求∫xdx 3tan 解答：∫xdx 3tan 利用三角函數恒等式 1sec tan 22−=x x (∫−=dx x x 1sec tan 2) 將被積分式展開()dx x x x ∫−=tan sec tan 2∫∫−=xdx xdx x tan sec tan 2變數變換令 xdx du x u 2sec tan =⇒=∫∫−=xdx udu tan將不定積分求出 =C x u ++=cos ln 212 將x u tan =代回式子 C x x ++=cos ln tan 212型5. （為偶數或為奇數）（1）當為偶數時，型可先分出，及 變數變換dx x x n m ∫⋅sec tan n m n dx x x n m ∫⋅sec tan 1tan sec 22+=x x x u tan =、再化簡xdx du 2sec =8. 求∫xdx x 42sec tan 解答：∫xdx x 42sec tan 將改寫成xdx 4sec ()()xdx x 22sec sec ()(∫=xdx x x 222sec sec tan ))利用 1tan sec 22+=x x ()(∫−=xdx x x 222sec tan 1tan 將()x x 22tan 1tan −展開 ()()∫−=xdx x x 242sec tan tan變數變換，令xdx du x u 2sec tan =⇒=()∫−=du u u 42 求出不定積分C u u +−=535131 將x u tan =代回式子 C x x +−=53tan 51tan 31（2）當為奇數時，型可先分出m dx x x n m ∫⋅sec tan x x sec tan ， 及變數變換x u sec =、xdx x du tan sec =再化簡9. 求∫xdx x 53sec tan 解答：∫xdx x 53sec tan 先分出x x sec tan(∫=xdx x x x tan sec sec tan 42))利用三角恒等式 1sec tan 22−=x x ()(∫−=xdx x x x tan sec sec 1sec 42變數變換x u sec =、xdx x du tan sec = ()∫−=du u u 124將被積分式展開 ()∫−=du u u 46將不定積分求出 C u u +−=575171將x u sec =代回式子 C x x +−=57sec 51sec 71型6 、令，；或∫axdx x n sin ∫axdx x n cos n x u =bxdx dv cos =bxdx dv sin =。
再代入分部積分公式，即()()()()()()∫∫−=x du x v x v x u x dv x u10. 求∫xdx x 2sin 解答：令x u =，xdx dv 2sin =則，dx du =x v 2cos 21−= ∫xdx x 2sin 利用分部積分∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=dx x x x2cos 212cos 2求出不定積分∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−dx x 2cos 21c x x x++−=2sin 412cos 2練習題1. 求∫xdx x 2sin 解答：提出∫xdx 3sin x sin 用對作轉換 ∫=xdx x sin sin 2x x 22cos 1sin −=x 2sin 提出負號，將改寫成()∫−=xdx x sin cos 12xdx sin xdx sin − ()()∫−−−=xdx x sin cos 12 令xdx du x u sin cos −=⇒=將不定積分求出 ()∫−−=du u 21 C u u ++−=33將x u cos =代回式子 C xx ++−=3cos cos 3練習題2. 求 ()()dx x x ∫−2cos 3cos 解答： ()()dx x x ∫−2cos 3cos 三角函數性質()x x 2cos 2cos =− ()()dx x x ∫=2cos 3cos 積化和差()()[]x n m x n m nx mx −++=⋅cos cos 21cos cos ()()[dx x x ∫+=cos 5cos 21] 求出不定積分 ()()C x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=sin 515sin 251。