《轴对称》全章知识点考点训练

全章热门考点整合应用

名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，多以选择题，填空题的形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别，最短距离问题，与翻折有关的计算和证明题等．

两个概念

概念1：轴对称图形

1．【2016·赤峰】下列图形是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是________．(填序号)

2．【2016·北京】甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是( )

概念2：轴对称

3．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．

五个性质

性质1：轴对称的性质

4．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，求四边形纸片ABCD的周长．

性质2：等腰三角形的性质

5.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，

则∠BDC的度数是( )

A．100°B．80°C．70°D．50°

性质3：等边三角形的性质

6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：BD＋CD＝AD.

7．如图，直线PG为△ABC的边BC的垂直平分线，∠PBC＝1

2∠A，BP，CP的延长线分别交

AC，AB于点D，E.试说明：BE＝CD.

性质5：含30°角的直角三角形的性质

8．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.

求：(1)∠CBD的度数；

(2)AB的长．

三个判定

判定1：等腰三角形的判定

9．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．

判定2：等边三角形的判定

10．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，离地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，为什么？

11．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：AD垂直平分EF.

两个应用

应用1：线段垂直平分线的应用

12．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．

应用2：最短与最长路径的应用

13．如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．

两种思想

思想1：方程思想

14．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．

思想2：分类思想

15．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B的度数．

答案：

1．①②③④ 2．D

3．解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．

(第3题)

点拨：判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称．

4．解：由题意可知，△ABE 和△AFE 关于直线AE 成轴对称，所以AB ＝AF ，BE ＝FE. 因为△AFD 的周长为24 cm ，△ECF 的周长为8 cm ， 即AD ＋DF ＋AF ＝24 cm ，FC ＋CE ＋FE ＝8 cm ，

所以四边形纸片ABCD 的周长为AD ＋DC ＋BC ＋AB ＝AD ＋DF ＋FC ＋CE ＋BE ＋AB ＝(AD ＋DF ＋AF)＋(FC ＋CE ＋FE)＝24＋8＝32(cm )．

5．A 点拨：(方法一)因为DA ＝DB ，

所以∠DBA ＝∠DAB ＝20°.因为DA ＝DC ，所以∠DCA ＝∠DAC ＝30°.

在△ABC 中，有∠DBC ＋∠DCB ＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC ＝180°－(∠DBC ＋∠DCB)＝180°－80°＝100°.

(方法二)在△ADB 中，由方法一可得∠ADB ＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC ＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC ＝360°－140°－120°＝100°.故选A .

6．解：因为△ABC ，△BDE 均为等边三角形， 所以BE ＝BD ＝DE ，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°. 所以∠ABE ＋∠EBC ＝∠DBC ＋∠EBC. 所以∠ABE ＝∠DBC. 在△ABE 和△CBD 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，

所以△ABE ≌△CBD(SAS )．所以AE ＝CD. 又因为AD ＝AE ＋ED ，ED ＝BD ，所以BD ＋CD ＝AD.

7．解：如图，在BD 上截取BE ′，使BE ′＝CE ，连接CE ′. 因为直线PG 为BC 的垂直平分线， 所以PB ＝PC.

(第7题)

所以∠PBC ＝∠PCB ，PE ′＝PE. 又因为∠BPE ＝∠CPE ′， 所以△BPE ≌△CPE ′(SAS )． 所以BE ＝CE ′，∠EBP ＝∠E ′CP.

因为∠CDE ′＝∠A ＋∠ABP ，∠CE ′D ＝∠E ′BC ＋∠BCE ′＝2∠PBC ＋∠E ′CP ＝∠A ＋∠E ′CP ，

所以∠CDE ′＝∠CE ′D.所以CD ＝CE ′.所以BE ＝CD. 8．解：(1)在Rt △ADB 中，∵∠A ＝60°，∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＝30°.

∵AB ∥CD ，∴∠CDB ＝∠ABD ＝30°. 又∵∠DBC ＝∠BDC ， ∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°.

(第8题)

(2)如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，交AB 于点E ，连接DE ，∵∠DBC ＝∠BDC ，∴BC ＝CD ，又∵CM ⊥BD ，∴DM ＝MB.∴CE 为线段BD 的垂直平分线，∴DE ＝EB ，

∴∠EDB ＝∠EBD ＝30°. ∵∠CDM ＝30°，∠CMD ＝90°， ∴CM ＝12CD ＝1

2

×4＝2.

又∵∠EBM ＝∠CBM ＝30°，∠EMB ＝∠CMB ＝90°，BM ＝BM ， ∴△EBM ≌△CBM ，∴EM ＝CM ＝2.