北京交通大学 运筹学 教案2_ 线性规划
《运筹学》教案_目标规划数学模型
d1- : X1产量不足X2 部分
d1+ : X1产量超过X2 部分
d2- : 设备使用不足10 部分 d2+ :设备使用超过10 部分 d3- : 利润不足56 部分 d3+ :利润超过56 部分
8
目标函数 minZ1 = d1+ minZ2 = d2- +d2+ minZ3 = d3或 minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-)
K
14
4、目标规划：求一组决策变量的满意值，使 决策结果与给定目标总偏差最小。 ① 目标函数中只有偏差变量。 ② 目标函数总是求偏差变量最小。
③ Z=0：各级目标均已达到
Z>0：部分目标未达到。
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15
目标规划的数学模型⑴
某厂生产两种产品Ⅰ、Ⅱ，已知有关数据如 下表所示。工厂在考虑到市场等一系列因素 后，提出以下目标： 产品 Ⅰ Ⅱ 拥有量 2 1 11 原材料 1 2 10 设备 8 10 单位利润 ⑴鉴于产品Ⅰ的销售量持续下降，考虑产品 Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ； ⑵原材料的使用量超过拥有量时，需要高价 采购，因此应坚决避免； ⑶尽可能充分利用设备台时，但不希望加 班； ⑷尽可能达到并超过计划利润指标 56 元。 据此制订生产计划。
P1 CB P1 2P3 P3 σ
• 决策变量和偏差变量 • 绝对约束和目标约束
目标值
di di
实 际 值
min z P1d1 P2 (d 2 d 2 ) P3d 3 x1 x2 d1 d1 0 2 x1 x2 11 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x1 , x2 , d i , d i 0, d i d i 0, i 1,2,3.
北京交通大学_运筹学_教案1_绪论与图解法(改)汇总
(6) 解的实施。是指将解用到实际中必须考虑到实施的问题， 如向实际部门讲清楚用法、在实施中可能产生的问题和修改。
§4 本课程的要求
本课程的授课对象是管理科学与工程类及交通运输类专业 本科生，属管理类专业技术基础必修课。
学生通过学习该课程，应了解管理运筹学对优化决策问题进 行定量研究的特点，理解 线性规划、整数规划、动态规划、图与 网络、排队论和库存论等分支的基本优化原理，掌握 其中常用的 模型和算法，具有一定的建模能力。
（1）波得塞（Bawdsey)雷达站的研究 1939年 任务：如何最好地运用空军及新发明的雷达保卫国家
（2）Morse小组领导的运筹学小组
目标：打破德军对英吉利海峡的封锁
建议：用飞机代替舰艇投掷水雷，起爆深度由100米改为25米， 当敌舰刚下潜时攻击；
运送物资的船队及护卫舰的编队由小规模、多批次改为大规模 、少批次。丘吉尔采纳了建议
运用科学方法来解决工业、商业、政府、国防等部门里有关 人力、机器、物资、金钱等大型系统的指挥或管理中所出现的 复杂问题的一门学科。其目的是“帮助管理者以科学方法确定 其方针和行动”——英国运筹学会
运筹学是应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、 检验和求解数学模型而获得最优决策的科学。——近代运筹学工 作者
（3）英国战斗机援法
德军突破马奇诺防线，法军节节败退，英军参与抗德。英军的 战机均在法国上空与德军作战，指挥维护在法国。法国请求增 援10中队，邱吉尔同意。
但运筹学小组认为：按现在的方式，英军的援法战机两周内会 全军覆灭；不增加战机，而应以英国本土为基地与德军战斗， 使局面大为改观。
管理 康托洛维齐（Kantorovich)
《运筹学》完整教案(本科)2011汇总
《运筹学》教案适用专业：适用层次：本科教学时间：2011年上学期授课题目：绪论第一章线性规划及单纯形法第一节：线性规划问题及数学模型。
教学目的与要求：1.知识目标：掌握运筹学的概念和作用及其学习方法；掌握线性规划的基本概念和两种基本建模方法。
2.能力目标：掌握线性规划建模的标准形式及将普通模型化为标准模型的方法。
要求学生完成P43习题1.2两个小题。
3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神教学重点：1、线性规划的基本概念和两种基本建模方法；2、线性规划建模的标准形式及将普通模型化为标准模型的方法。
教学难点：1、线性规划的两种基本建模方法；2、将线性规划模型的普通形式化为标准形式。
教学过程：1.举例引入（ 5分钟）2.新课（60分钟）（1）举例引入，绪论（20分钟）（2）运筹学与线性规划的基本概念（20分钟）（3）结合例题讲解线性规划标准型的转化方法3.课堂练习（20分钟）4.课堂小结（5分钟）5.布置作业《线性规划及单纯形法》（2课时）【教学流程图】举例引入，绪论运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划（结合例题讲解）线性规划的标准型目标函数结合例题讲解线性规划标准型的转化方法约束条件的右端常数约束条件为不等式课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟）（1）齐王赛马的故事（2）两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念（用实例引入）例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。
线性规划教案
线性规划教案一、教案概述本教案旨在介绍线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，帮助学生掌握线性规划的基本理论和应用技巧。
通过理论讲解、示例分析和实践操作等多种教学方法，使学生能够灵活运用线性规划方法解决实际问题。
二、教学目标1. 了解线性规划的基本概念和应用领域；2. 掌握线性规划模型的建立方法；3. 学会使用单纯形法和对偶理论求解线性规划问题；4. 能够应用线性规划解决实际问题。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和特点1.2 线性规划的基本术语和符号1.3 线性规划的应用领域2. 线性规划模型的建立方法2.1 目标函数的建立2.2 约束条件的建立2.3 决策变量的定义3. 单纯形法的基本原理和步骤3.1 单纯形表格的构建3.2 单纯形法的迭代计算过程3.3 单纯形法的终止条件和解的判定4. 对偶理论及其应用4.1 对偶问题的建立4.2 对偶问题与原始问题的关系4.3 对偶理论在线性规划中的应用5. 实际问题的线性规划求解5.1 生产计划问题的线性规划求解5.2 运输问题的线性规划求解5.3 投资组合问题的线性规划求解四、教学方法1. 理论讲解：通过教师讲解线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧，让学生对线性规划有全面的认识。
2. 示例分析：通过具体的实例分析，引导学生理解线性规划模型的建立过程和解题思路。
3. 实践操作：提供一些实际问题，让学生运用线性规划方法进行求解，并对结果进行分析和讨论。
4. 讨论交流：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和经验，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检验学生对线性规划的理解和应用能力。
2. 作业布置：布置一些课后作业，要求学生独立完成线性规划问题的求解，检验学生的独立思考和解决问题的能力。
3. 实践项目：组织学生参与一些实际项目，运用线性规划方法解决实际问题，并进行报告和评估。
六、教学资源1. 教材：《线性规划教程》2. 多媒体教学课件：包括线性规划的基本概念、模型建立方法和求解技巧的讲解和示例分析。
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第2章 线性规划
第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。
教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。
线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。
学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。
2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。
例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。
解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。
设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。
因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。
②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。
约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。
我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。
例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。
问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解 根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学基础-线性规划(2)
四、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标
准型可以转化为标准型计算
（一）线性规划的标准形式
线性规划的标准形式为： 目标函数最大化 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a 约束条件为等式， 11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm 右端常数项 决策变量非负 bi≥0 x1,x2,…,xn ≥0
S.t.
（2）maxZ’= - 6 x1 -7 x2 + x’3－ x’’3 +0 x4 + 0 x5 + 0 x6+ 0 x7
S.t.
五、线性规划解的概念
在讨论线性规划问题的求解之前,先要了解线性规划问 题的解的概念。由前面讨论可知线性规划问题的标准型为：
Max Z
j 1 n a ij x j b j (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
=- x1 + 8 求解 x4 = -2x2 + 12 x5= -3x1 -4 x2+ 36 令非基变量x1=x2=0，得到x3=8，x4=12，x5=36。 得基解 X=(0,0,8,12,36)T
（二）标准型的表达方式
线性规划标准型的表达方式有代数式、矩阵式两种：
1. 代数式 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ=
运筹学课件——第2讲 线性规划模型(1)
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。
运筹学完整教案2
《运筹学》教案（本教案适用于32课时的班级）第一章线性规划与单纯形法1、教学计划第 1 次课 2 学时第 2 次课 2 学时第 3 次课 2 学时2、课件1.1线性规划问题及其数学模型线性规划模型的建立就是将现实问题用数学的语言表达出来。
例1：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，每单位产品生产所需的设备、材料消耗及其利润如下表所示。
问应如何安排生产计划使工厂获利最多？解：设生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量分别为1x 和2x 。
首先，我们的目标是要获得最大利润，即2132max x x z +=其次，该生产计划受到一系列现实条件的约束，设备台时约束：生产所用的设备台时不得超过所拥有的设备台时，即8221≤+x x原材料约束：生产所用的两种原材料A 、B 不得超过所用有的原材料总数，即1641≤x1242≤x非负约束：生产的产品数必然为非负的，即0,21≥x x由此可得该问题的数学规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1241648232max 21212121x x x x x x x x z总结：线性规划的一般建模步骤如下： （1）确定决策变量确定决策变量就是将问题中的未知量用变量来表示，如例1中的1x 和2x 。
确定决策变量是建立数学规划模型的关键所在。
（2）确定目标函数确定目标函数就是将问题所追求的目标用决策变量的函数表示出来。
（3）确定约束条件将现实的约束用数学公式表示出来。
线性规划数学模型的特点（1）有一个追求的目标，该目标可表示为一组变量的线性函数，根据问题的不同，追求的目标可以是最大化，也可以是最小化。
（2）问题中的约束条件表示现实的限制，可以用线性等式或不等式表示。
（3）问题用一组决策变量表示一种方案，一般说来，问题有多种不同的备选方案，线性规划模型正式要在这众多的方案中找到最优的决策方案（使目标函数最大或最小），从选择方案的角度看，这是规划问题，从目标函数最大或最小的角度看，这是最优化问题。
运筹学 第2章 线性规划的图解法
图2-1
管 理 运 筹 学
2-12
•
可行域
可行域的几何形状由于问题不同可以千变 万化，但可行域的几何结构是凸集 要求集合中的任何两点的连线段落在这个 集合中
•
•
管
理
运
筹
学
2-13
§2
图解法
（4）目标函数z=50x1+100x2，当z取某一固定值时得到一 条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之 为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可 行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对 有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z ＝ -f ， 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解， 即 Max z = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn
在线性规划中，一个“ ”约束条件中没使用 的资源或能力称之为松弛量。 • 为了把一个线性规划标准化，需要有代表没有 使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量，记为 si •
管 理 运 筹 学
2-19
§2 图 解 法
• 线性规划的标准化内容之一：——引入松驰变量（含 义是资源的剩余量） 例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 300 2 x1 + x2 + s2 = 400 x2 + s3 = 250 x1 , x2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0 对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0 把所有的约束条件都写成等式，称为线性规划模型的 标准化。
运筹学-线性规划PPT学习教案
2.1 线性规划问题的数学模型
例2.1 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种 产品的 生产， 已知生 产单位 产品所 需的设 备台时 及A、B两种原 材料的 消耗、 资源的 限制， 如下表 ：
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品 才能使 工厂获 利最多 ？
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
2.3 单纯形法基本原理
1.单纯形法的基本思路 基本思路：从可行域中某一 个顶点开始，判断此顶点是否是最 优解，如不是,则再找另一个使得 其目标函数值更优的顶点，称之为 迭代，再判断此点是否是最优解。
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直到找到一个顶点为其最优解，就
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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2.1 线性规划问题的数学模型
例2.3 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡热量，55克蛋白质和 800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和 营养成分以及市场价格如下表所示。
序号
食品名称 热量（卡） 蛋白质（克） 钙（毫克） 价格（元）
o
x1
L0： 0=5X1+4X2
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2.2 图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
例1.6
max Z=x1+2x2
x1 3x2 6
x1 x2 3x1 x
4 2 6
x1 0、x2 0
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
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2.1 线性规划问题的数学模型
6. 线性规划问题的解
线性规划问题
运筹学——第2章_线性规划的图解法
Q点坐标为x1=250,x2=100。也即得到此线性规划问 题的最优解，购买A原料250吨，购买B原料100吨， 可使成本最小，即2x1+3x2=2×250+3×100=800(万元)。 分析: 可知购买的原料A与原料B的总量为 250+100=350(吨)正好达到约束条件的最低限，所需 的加工时间为2×250+1×100=600正好达到加工时间 的最高限。而原料A的购进量250吨则比原料A购进量 的最低限125吨多购进了250-125=125吨， 这个超过 量在线性规划中称为剩余量。
7
对于一般线性规划问题的建模过程。应注意 如下几个问题：
1．要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件
下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量 (X1， X2, …, Xn)表示任何一个方案；这组决策变量的值就代 表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 3．用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标， 称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最 大化或最小化。 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问 题过程上所必须遵循的约束条件。 满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规 划的数学模型，其一般形式为: 8
品的 产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型 如下：
6
目标函数： max Z=50x1+100x2， 满足约束条件：x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400， x2≤250, x1≥0, x2≥0. 由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数， 约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称 之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数， 或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学 模型则称之为非线性规划。 把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行 解。把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称 为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标 函数值，简称最优值。
线性规划教学设计方案（五篇）
线性规划教学设计方案（五篇）第一篇：线性规划教学设计方案线性规划教学设计方案教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：（1）在直线x+y-1=0上；{(x,y)/x+y-1=o}（2）在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；{(x,y)/}（3）在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.{(x,y)/}点（1，1）、（1，2）、（2，2）等x+y-1>0 点（0，0）、（－1，－1）等x+y-1<0 猜想。
在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.{(x,y)x+y-1>0}在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；{(x,y)x+y-1<0}证明：在此直线右侧任意一点P（x,y）过点P作平行于x轴的直线交直线x+y-1=0点P0（x0,y0)都有x＞x0，y=y0,所以，x+y＞x0+y0，x+y-1＞x0+y0-1=0, 即x+y-1＞0.同理，对于直线x+y-1=0左下方的任意点（x,y），x+y-1＜0都成立.所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集点．{(x,y)x+y-1>0}是直线x+y-1=0右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y-1<0}是直线x+y-1=0左下方的平面区域．2．二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面域．（1）结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊(x,y)代入ax+by+c，点(x0,y0)，以a0x+b0y+c的正负情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．【应用举例】例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域解；先画直线2x+y-6=0（画线虚线）取原点（0，0），代入2x+y-6，∴2x+y-6<0∴原点在不等式2x+y-6<0表示的平面区域内，不等式2x+y-6<0表示的平面区域如图阴影部分．例2 画出不等式组⎧x-y+5≥0⎪⎨x+y≥0⎪x≤3⎩表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的平面区域，x≤3上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）x-y+1<0（2）2x+3y-6>0（3）2x+5y-10>0（4）4x-3y-12<0⎧x+y-1>0（5）⎨x-y>0⎩1．如图所示的平面区域所对应的不等式是（）．A.3x+2y-6<0.B.3x+2y-6≤0C.3x+2y-6>0.D.3x+2y-6≥02．不等式组⎨⎧x+3y+6≥0⎩x-y+2<0表示的平面区域是（）．⎧x<0⎪3．不等式组⎨y<0表示的平面区域内的整点坐标是．⎪4x+3y+8>0⎩思考：画出(x+2y-1)(x-y+3)>0表示的区域．总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业第二篇：简单的线性规划教学反思《简单的线性规划》教学反思桐城五中杨柳线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。
运筹学—线性规划
，确定基变量 xl
为换出变量。
-1 -1 （6） 用 Pk 替代 Pl 得新基Ｂ1，由变换公式 B1 Elk B
计算新基的逆阵Ｂ1-1，求出新的基本可行解 其中 Elk 为变换矩阵，构造方法是： 从一个单位矩阵出发，把换出变量
xl 在基B中的对应列的单位
向量，替换成换入变量 x k 对应的系数列向量 B-1Pk，并做如下变形，
C=(3,2,0,0)
1 1 1 0 A= 2 1 0 1
-1 0 -1 0
40 b= 60
1 0 （2）计算单纯行乘子 π0 =CB B (c3 ,c4 )B (0, 0) (0, 0) 0 1 目标函数当前值 40 Z0 = π0 b = (0,0) 0 60
2 0 B = E 32 B = 1 1 0
-1 2 -1 1
x 3 ,x 4 为非基变量， 2 2 -1 -1 1 = 1 -1 1 进入第三循环. 2
C=(3,2,0,0) -1 1 1 1 1 1 0 40 -1 2 B2 =(P2 ,P1 )= A= B2 = b= 1 2 2 1 0 1 60 -1 1
第j个约束为等式约束
第i个变量为自由变量
例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2 x 1 3x 2 x 1 2x 2 3 2 x x 5 1 2 s .t . x 1 3 x 2 1 x 1 0
例8：写出下面线性规划的对偶规划模型：
甲 乙
对偶模型的一般式
以例7为例，原问题为
记Y ( y ，y , y ), 则对偶问题为
第二章运筹学 线性规划-推荐下载
第二章 线性规划主要内容：1、线性规划问题及数学模型2、线性规划问题的解及其性质3、图解法4、单纯形法5、大M 法和两阶段法重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求解步骤。
要求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概念、基本性质，熟练掌握其求解技巧；培养解决实际问题的能力。
§1 线性规划的数学模型及解的性质一、数学模型（一般形式）例1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的住宅面积总数达到最大？造价（元/m 2）钢材（kg/m 2）水源（kg/m 2）砖(块/m 2)人工（工日/m 2）砖混结构大板结构大模结构资源限量10513712211000万元1230252000万千克11019018015000万块21014700万块4.53.03.5400万工日解：设三种体系的建筑面积依次为,,万平方米，1x 2x 3x 则目标函数为 321max x x x z ++=约束条件为 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,104005.335.414700210150001801901102000253012110001221371053211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j 例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。
已知：煤耗（T/T ）电耗（kwh/T ）油耗（T/T ）单价（万元/T ）甲产品乙产品资源限量94360T45200kwh310300T712问：如何安排两种产品的生产数量，才能使总产值最高？解：设分别为甲、乙两种产品的生产量：21,x x 则目标函数为21127max x x z += 约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j 从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。