泊松方程-椭圆型方程的五点格式

注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点x1 , x2 , , x N 1的 个数,因此它是N 1阶方程组.
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题： d du du Lu ( p ) r qu f a x b, (2.1) dx dx dx u (a ) , u (b) ( 2 .2 ) 其中p C 1[a, b], p ( x) pmin 0, r , q, f C[a, b],
其中f ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ), ( x, y )及k ( x, y ) 0都是 连续函数。
3.1 五点差分格式
取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2 , h (h h ) .
2 1 1 2 2 2
作两族与坐标轴平行的直线： x ih1 , i 0,1, y jh2 , j 0,1,
(2.8)
Lh ui
u u u u 2 [ p 1 i 1 i p 1 i i 1 ] i hi hi 1 i 2 hi 1 hi 2 ( 2 . 9)
ri [ui 1 ui 1 ] qi ui f i , i 1, , N 1, hi hi 1 (2.10 )
考虑Poisson方程 u f ( x, y ), ( x, y ) G (3.1) G是平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线， 在边界上满足下列边值条件之一：
u ( x, y ) (第一边值问题) (3.1)1 u ( x, y ) (第二边值问题) (3.1) 2 n u k u ( x, y ) (第三边值问题) (3.1)3 n
i
1 2
1 2
,x
i
1 2
],
i
i
x
i
1 2
qudx
x
x
fdx, (2.14 )
i
1 2
考虑到p ( x)允许有间断点，由(2.15)进一步差分 化是不合适的。但“热流量” ( x)恒连续, W
故将(2.15)改写成 du W ( x) , dx p ( x) 再沿[ xi 1 , xi ]积分，得 ui ui 1 W ( x) dx, xi 1 p ( x )
(2.22 )
也可用梯形公式，此时 2 pi 1 pi ai , pi 1 pi 1 d i (qi 1 qi 1 ), 2 2 2 1 f i ( f 1 f 1 ), i 2 i 2 2
(2.23)
§3 矩形网的差分格式
当h足够小，Ri (u )是h的二阶无穷小量. 若舍去Ri (u )，则得逼近方程(1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lhui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q ( xi ), f i f ( xi ).记[ Lu ]i f ( xi )， 称Ri (u )为差分方程(1.6)的截断误差.
x 1 2 i i xi12 f ( x)dx. hi hi 1
2
如果系数p, q及右端f光滑，则可用中矩形公式 计算(2.17 ), (2.19 )和(2.21)，从而 ai p 1 p ( x 1 ), i i 2 2 d i qi q ( xi ), f f ( x ), i i i
令p
1 i 2
p( x
1 i 2
), ri r ( xi ), qi q( xi ), f i f ( xi ),
则由(2.3), (2.6)知, 边值问题的解u ( x)满足方程：
Lhu ( xi ) u ( xi 1 ) u ( xi ) 2 [p 1 hi hi 1 i 2 hi 1
, 为给定常数.
我们将介绍差分格式的两种方法： 直接差分化法、有限体积法
直接差分化
首先取N 1个节点： a x0 x1 xi x N b, 将区间I [a, b]分成N个小区间： I i : xi 1 x xi , i 1,2, N .
p( x
i
1) 2
u ( xi ) u ( xi 1 ) hi hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ] 1 o(h 3 ), dx i 2 24 dx i 2 hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.4) dx i 2 24 dx
xi
利用中矩形公式，得 W ai [ 又 1 hi
i
1 2
ai
ui ui 1 , hi
(2.16) (2.17 ) (2.18)

xi
xi 1
dx 1 ] . p( x)

x
i
1 2
x
qudx
i
1 2
hi hi 1 d i ui , 2
将(2.16), (2.18)代到(2.14)，即得守恒型差分方程 [ai 1 ui 1 ui u u 1 ai i i 1 ] (hi hi 1 )d i ui , hi 1 hi 2 1 (hi hi 1 )i , 2 (2.20) (2.21)
u0 , u N ,
有限体积法
考虑守恒型微分方程： d du ( p ) q ( x)u f ( x)， (2.13) dx dx 如果把它看作是分布在一根杆上的稳定温度场方 Lu 程，则在[a, b]内任一小区间 x (1) , x ( 2 ) ]上的热量守 [ 恒律具有形式
于是在xi可将方程(1.1)写成 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) q ( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ), (1.4) 2 h h 2 d 4u ( x ) 其中 Ri (u ) [ ]i O(h 3 ), (1.5) 12 dx4
2 2
p( x
i
1) 2
u ( xi 1 ) u ( xi ) hi 1 du h 2 i 1 d 3u [p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.5) dx i 2 24 dx
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由(2.5)减( 2.4)，并除以
hi hi 1 ，得 2 u ( xi 1 ) u ( xi ) u ( xi ) u ( xi 1 ) 2 [ p( x 1 ) p( x 1 ) ] i i hi hi 1 hi 1 hi 2 2
(1 )
x x( 2) x( 2 ) x( 2) d du ( p )dx (1) qudx (1) fdx, x x dx dx (1) ( 2) x( 2 ) x( 2)
或 W ( x ) W ( x ) (1) qudx (1) fdx, (2.14)
, 为给定常数.
区间剖分
将区间[a, b]分成N等分，分点为 xi a ih i 0,1,2, N , h (b a) / N . 于是我们得到区间I [a, b]的一个网格剖分， xi 称为网格结点（节点），间距h称为步长.
微分方程离散(差分方程）
现在将方程(1.1)在节点xi离散化，对充分光滑 的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 d 2u ( x ) h 2 d 4u ( x ) [ ]i [ ]i O (h 3 ), (1.3) dx2 12 dx4 其中[ ]i 表示括号内函数在xi点取值.
第2章 poission方程的五点差 分法
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx u ( a ) , u (b) (1.2) 其中q, f为[a, b]上的连续函数, q 0;
i 1 2
p
u ( xi ) u ( xi 1 ) ] hi
ri [u ( xi 1 ) u ( xi 1 )] qi u ( xi ) hi hi 1
f i Ri (u ), (2.7)
1 d2 du 其中Ri (u ) (hi 1 hi )( [ 2 ( p )]i 4 dx dx 1 d 3u 1 d 2u [ p 3 ]i [r 2 ]i ) o(h 2 ), 12 dx 2 dx 为差分算子Lh的截断误差，舍去Ri (u ), 便得逼近边值问题(2.1), (2.2)的差分方程.
两族直线的交点(ih1 , jh2 )称为网点或节点， 记为( xi , y j )或(i, j ). 说两个节点( xi , y j )和( xi , y j )是相邻的, 如果 xi xi yi yi 1或 i i j j 1. h1 h2
hi 1 hi 2 du du d 3u ([ p ] 1 [ p ] 1 ) [ p 3 ]i o(h 2 ), hi hi 1 dx i 2 dx i 2 12 dx hi 1 hi d 2 hi 1 hi d du du d 3u [ ( p )]i [ 2 ( p )]i [ p 3 )]i o(h 2 ), (2.6) dx dx 4 dx dx 12 dx
x x
其中 W ( x) p( x)
du ， (2.15) dx
把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶， 从而可减弱对函数光滑性的要求。
特别于(2.14 )取[ x (1) , x ( 2 ) ]对偶单元[ x 则 W (x
1 ) W (x 2 1) 2 x
i 1 2
i
称为半整数点，则由节点 a x0 x 1 x 3 x
2 2 i 1 2
x
N
1 2
又构成[a, b]的一个网格剖分，称为对偶剖分.
其次用差商代替微商将方程(2.1)在节点xi离散化， 为此，对充分光滑的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) u ( xi 1 ) hi hi 1 hi 1 hi d 2u du [ ]i [ 2 ]i o(h 2 ), (2.3) dx 2 dx 其中[ ]i 表示括号内函数xi点取值。
于是得到区间I的一个网格剖分，记hi xi xi 1 , 称h max hi为最大网格步长。用I h 表示网格内点
i
x1 , x2 , xN 1的集合, I h 表示内点和界点x0 a, xN b 的集合.
取相邻节点xi 1 , xi的中点x
i
1 2

1 ( xi 1 xi )(i 1,2, , N )， 2 x N b,
截断误差 Ri (u ) Lh u ( xi ) [ Lu ]i ， (1.7) Ri (u )是用差分算子Lh 代替微分算子L所引起的 截断误差.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立， 加上边值条件就得到关于ui的线性代数方程组： ui 1 2ui ui 1 Lhui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , u N . (1.9) 它的解ui是u ( x)于x xi的近似.称(1.8), (1.9)为逼近(1.1), (1.2)的差分方程或差分格式.此格式称为中心差分格式.