泊松方程-椭圆型方程的五点格式
泊松方程的有限差分法的MATLAB实现
泊松方程的有限差分法的MATLAB实现作者：冯立伟徐涛屈福志来源：《电脑知识与技术》2017年第13期摘要：泊松方程是物理及工程应用领域中一类非常重要的方程，研究其数值求解方法具有重要意义。
给出了使用有限差分法求解泊松方程的计算方法，并讨论了使用MATLAB编写计算程序，使用数值算例和静电场实例进行了数值实验，实验结果与理论一致，检验了算法的有效性。
关键词：泊松方程；五点差分格式；有限差分法中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）13-0233-031概述物理过程，都可用椭圆型方程来描述。
其中最典型的方程是泊松（Poisson）方程。
传热学中带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布、流体动力学中不可压缩流体的稳定无旋流动、弹性力学中平衡问题及电磁学中静电场的电势等均满足泊松方程，泊松方程也是数值网格生成技术所遵循的基本方程。
因此，研究其数值求解方法具有重要意义。
MATLAB是目前应用最广泛的科学和工程计算软件。
MATLAB基于矩阵运算，具有强大数值运算能力，是方便实用、功能强大的数学软件；同时，MATLAB具有强大的图形绘制功能，用户只需提供绘图数据和指定绘图方式，用很少的程序指令就可得到将计算结果转化为直观、形象的图像。
使用MAT-LAB求解微分方程已有大量的研究。
因此，近些年来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解泊松方程。
利用MAT-LAB强大的数值计算能力和图形绘制技术，可以实现使用差分法求解泊松方程并绘制出数值解的二维、三维图像，从而可以更好地理解泊松方程解的物理意义。
本文讨论使用差分法通过MATLAB编程求解二维矩形区域上的泊松方程，并使用两个算例进行检验和对结果进行分析。
边界条件为将未知解函数在内部节点上的值按行排列，组成解向量为：3差分格式的求解为了便于使用MATLAB编写程序，将差分方程转化为矩阵形式：4数值实验算例1：为了分析和比较差分格式在不同步长下的结果，使用2范数意义下的绝对误差和相对误差作为评价指标，表1给出了步长h=0.01取不同值的绝对误差和相对误差从表1可看出随着网格步长h的减小数值解的绝对误差和相对误差在变小。
高数泊松方程
高数泊松方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高等数学中的泊松方程是一个非常重要的概念，它在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
泊松方程是一个偏微分方程，它描述了一个标量函数的拉普拉斯算子（拉普拉斯算子是二阶空间导数的和）等于一个给定函数的情况。
泊松方程在物理学中的应用特别广泛，比如在电磁学中描述电势分布、在热传导中描述温度分布等等。
我们来看一下泊松方程的数学表达式：设函数u(x,y,z)在空间区域D内有定义，记\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}、\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} 、\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} 分别为u对x、y、z的二阶偏导数，那么泊松方程可以表示为：其中f(x,y,z)是给定的函数。
可以看出，泊松方程是一个二阶偏微分方程，描述了一个标量函数的拉普拉斯算子等于一个给定函数的情况。
泊松方程在物理学中的应用非常广泛，其中最为著名的应用就是在电磁学中描述电势分布。
根据麦克斯韦方程组，电荷在空间中分布会产生电场，而电场又会引起电荷的移动，形成电流。
泊松方程可以描述电势分布，即描述电场的强度和方向。
通过求解泊松方程，我们可以得到电势分布的解析表达式，从而进一步推导出电场分布、电流分布等物理量。
另一个比较常见的应用就是在热传导中描述温度分布。
热传导是物体内部的热量传递过程，它遵循热传导方程。
如果我们知道物体表面的温度分布，可以通过泊松方程求解得到物体内部的温度分布。
这对于工程设计和热力分析非常重要，可以帮助我们优化散热结构，提高能效等。
除了电磁学和热传导，泊松方程还有很多其他的应用，比如在流体力学中描述流场的速度分布、在弹性力学中描述物体变形的表面位移等等。
泊松方程是一个非常重要且有着广泛应用的数学工具，它帮助我们理解和描述自然界中许多复杂的现象。
在实际应用中，泊松方程的求解并不是一件容易的事情。
泊松方程
泊松方程泊松方程只得是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或Laplacian）是一个微分算子，通常写成Δ或；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。
拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。
在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。
在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。
在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。
在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。
泊松方程成立的条件泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程,△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时,有▽Φ=f（f为引力场的质量分布）.后推广至电场磁场,以及热场分布.该方程通常用格林函数法求解,也可以分离变量法,特征线法求解.泊松方程的物理内涵泊松方程可以看做是不可压缩的流体运动方程。
方程的意义相当于穿过任意封闭曲面的液体的流量等于曲面内所包含的流体源产生液体的总量。
对于电动力学中静电场，电场强度相当于流密度，净电荷相当于流体源电动力学中电场对空间坐标的二次导数与空间内电荷量成正比。
半导体中的泊松方程泊松方程表明电荷产生电场：电位的二阶导数与电荷密度成正比。
近似条件：PIN结中无载流子即全部耗尽，施主和受主完全电离。
PIN结的泊松方程：(0<x<Xn)d^2V(x)/dx^2=-Nd/ε，(-Xp<x<0)d^2V(x)/dx^2=-Na/ε边界条件E(0)=E(Xn)=-dV(x)/dx(x=-Xp,Xn)=0，V(x=-Xp)=0,V(x=Xn)=0 将上面的式子一次积分（注意符号）带入边界条件就能得出电场的分布，再次积分就能得出电势的分布。
泊松方程详解
椭圆型方程的五点差分格式
解 网格点如图所示
u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80
u(0,2)=80 U7 U4 U1 U8 U5 U2 U9 U6 U3 u(4,3)=0
u(4,2)=0
u(4,1)=0
u(0,1)=80
边界 x = 1上(3.15)
4U M ,m 2U M 1,m U M ,m1 U M ,m1 2hgM ,m
边界 y = 0上(3.16)
4U l ,0 2U l ,1 U l 1,0 U l 1,0 2hgl ,0
边界 y = 1上(3.17)
4U l , M 2U l , M 1 U l 1,M U l 1, M 2hgl , M
椭圆型方程的五点差分格式
例1 用五点差分格式求解 Laplace方程
u u 2 0 2 x y
2 2
在区域
( x, y) | 0 x 4,0 y 4
内的近似解，边界值为：
u( x,0) 20, u( x,4) 180,0 x 4
u(0, y) 80, u(4, y) 0,0 y 4
椭圆型方程的五点差分格式
§3.1 正方形区域中的Laplace 方程
Dirichlet边值问题的差分模拟
设Ω 是 xy 平面中的具有正方形边界 的 一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值 Dirichlet ）问题
2u 2u 2 2 0 ( x, y ) x y u ( x, y ) f ( x, y ) ( x, y )
U7 U8 U9 顶点
椭圆方程的公式
椭圆方程的公式椭圆方程是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆方程的公式及其应用。
一、椭圆方程的定义椭圆方程是一个二元二次方程，其一般形式为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F均为实数，且A、C不同时为0。
二、椭圆方程的标准形式椭圆方程可以通过变量替换和平移来化为标准形式：(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1其中(x0,y0)为椭圆中心点坐标，a、b为椭圆长轴和短轴的长度。
三、椭圆方程的参数椭圆方程的参数包括中心坐标、长轴和短轴长度、离心率等。
1. 中心坐标：椭圆的中心坐标为(x0,y0)。
2. 长轴和短轴长度：长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
3. 离心率：椭圆的离心率为e，e的值介于0和1之间，表示椭圆长轴与短轴长度之比。
四、椭圆方程的性质1. 对称性：椭圆方程具有关于x轴和y轴的对称性。
2. 焦点和直径：椭圆方程有两个焦点F1和F2，它们之间的距离为2c，c^2=a^2-b^2。
椭圆的长轴是过焦点F1和F2的直径。
3. 弦和法线：椭圆方程上任意一点P的切线与椭圆长轴的夹角是β，法线与椭圆长轴的夹角是α。
弦是连接椭圆上任意两点的线段，弦的中垂线与长轴的夹角是β/2，法线与弦的夹角是α-β/2。
五、椭圆方程的公式1. 椭圆方程的离心率公式：e=sqrt(1-b^2/a^2)2. 椭圆焦点的坐标公式：F1(x0-c,y0)，F2(x0+c,y0)3. 椭圆长轴和短轴长度公式：a^2=c^2+b^2b^2=a^2-c^24. 椭圆周长公式：C=4aE(e)其中E(e)是第二类椭圆积分，可以用级数或逼近公式计算。
5. 椭圆面积公式：S=πab六、椭圆方程的应用椭圆方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用，以下是一些例子：1. 圆轨道的近似：当椭圆的离心率e足够小时，它近似为一个圆，因此可以用椭圆方程来描述圆形轨道。
数学物理方程泊松方程
在保险精算中，泊松方程可以用来预测未来的风险和 损失。
股票市场预测
在股票市场中，泊松方程可以用来预测股票价格的波 动和趋势。
泊松方程的扩展
04
非线性泊松方程
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非线性泊松方程
在泊松方程的基础上，引入非线 性项，使其能够描述更复杂的物 理现象。
求解方法
由于非线性项的存在，求解非线 性泊松方程的难度增加，需要采 用迭代法、有限元法等数值解法。
泊松方程的来源和重要性
泊松方程的起源可以追溯到18世纪的数学和物理学领域。它是由法国数学家和物理学家西莫恩·德尼· 泊松在研究电场和重力场问题时提出的。
泊松方程在数学物理、工程技术和科学计算等领域具有广泛的应用价值。它涉及到许多物理现象和工 程问题的建模与求解，如静电场、位势论、量子力学和流体动力学等。因此，掌握泊松方程的基本理 论和方法对于深入理解和解决实际问题至关重要。
应用领域
非线性泊松方程在物理学、工程 学等领域有广泛的应用，如描述 晶体生长、流体动力学等。
泊松方程的数值解法
有限差分法
将泊松方程转化为差分方程，通过迭代求解。
有限元法
将求解区域划分为若干个小的单元，对每个单元进行近似求解，再 通过求解全局方程得到最终结果。
应用领域
数值解法广泛应用于实际问题的求解，如工程设计、物理模拟等。
泊松方程的应用
03
在物理中的应用
描述粒子在势场中的运动
泊松方程可以描述粒子在势场中的运 动，例如在量子力学和经典力学中， 粒子在势能场中的运动可以用泊松方 程来描述。
电磁波传播
热传导问题
在热传导问题中，泊松方程可以用来 描述温度场的变化和分布。
8_6泊松方程
Laplace方程的一般解
w( ρ , ϕ ) = C0 + D0 ln ρ + ∑ ρ m ( Am cos mϕ + Bm sin mϕ )
m =1
∞
+ ∑ ρ − m (Cm cos mϕ + Dm sin mϕ ).
m =1
8
∞
由于是圆内问题，因此在圆心处，解应为有限值。但是，在 一般解中lnρ 和 半径ρ负幂项在圆心处为无限大，所以应当排 除，即
10
小结 分离变量法、傅里叶级数法、冲量定理法和非其次边界条 件的处理方法。可以求解最一般的有界定解问题： 泛定方程－－非齐次
边界条件－－非齐次 初始条件－－非零值
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一、一般的有界波动和输运问题 法1、边界条件齐次化。 泛定方程－－非齐次 泛定方程－－非齐次
边界条件－－非齐次 初始条件－－非零值
边界条件－－齐次 初始条件－－非零值
法2、利用叠加原理转化为两个简单的定解问题。
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二、一般的有界稳定场问题 法1、用特解法，将非齐次方程转化为齐次方程。 法2、利用叠加原理转化为两个简单的可直接求解的定解问题。 注意: (1) 本章研究的全是定义在有界区域的定解问题，并且可 以用分离变数(傅立叶级数)法求解，但是并非任何有界的线性 的定解问题都能用此方法求解。例如变系数的线性偏微分方程
6
分离变量，令
w( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ(ϕ ),
Φ′′ + λΦ = 0,
得到两个常微分方程
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0,
利用周期性边界条件， Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ), 得到本征值问题
五点差分格式
《微分方程数值解》大作业（一）——椭圆型方程编程计算：采用五点差分格式求如下椭圆型方程2222uu x y f (x,y),(x,y);∂∂∂∂--=∈Ω其中f (x,y)、Ω及边条件为：1． f (x,y)0,= (1,2)(0,1)Ω=⨯， 且边条件如下：222u(x,0)2ln x,u(x,1)ln(x 1)1x 2;u(1,y)ln(1y ),u(2,y)ln(4y ),0y 1.⎧==+<<⎪⎨=+=+<<⎪⎩， 问题存在精确解为： 22(,)ln()u x y x y =+2．f (x,y)4,=- (0,1)(0,2)Ω=⨯，且边条件如下：2222u(x,0)x ,u(x,2)(x 2)0x 1;u(0,y)y ,u(1,y)(y 1),0y 2.⎧==-<<⎪⎨==-<<⎪⎩， 问题存在精确解为： 2(,)()u x y x y =-3．f (x,y)cos(x y)cos(x y),=++- (0,)(0,)2πΩ=π⨯，且边条件如下：u(x,0)cos x,u(x,)00x ;2u(0,y)cos y,u(,y)cos y,0y .2π⎧==<<π⎪⎪⎨π⎪=π=-<<⎪⎩， 问题存在精确解为： (,)cos cos u x y x y =.代码：主函数1，差分解function g=fivepoints(x1,x2,y1,y2,M,N)%变步长法h=(x2-x1)/M; %横轴步长k=(y2-y21/N; %纵轴步长m=M-1;n=N-1;h1=h^2;r=h1/k^2; %五点中的上下两个点的系数t=2+2*r; %五点中的中心点的系数x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M; %x，y向量表示横纵坐标y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N;a=zeros(m*n,m*n);b=zeros(m*n,1);%初始化a，b矩阵，a为系数矩阵%内部的（m-2）*（n-2）个点for i=2:m-1for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1));endend%下边缘j=1;for i=2:m-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1));end;%右边缘i=m;for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(j-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+right(y(j+1));end%上边缘j=n;for i=2:m-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-i-1)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1));end%左边缘i=1;for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2) -rzeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+left(y(j+1));end;%左下角的那个点i=1;j=1;a(1,:)=[t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-1)*m-1)];b(1)=h1*f(x(2),y(2))+r*bottom(x(2))+left(y(2));%右下角的那个点i=m;j=1;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-2)*m)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1))+right(y(j+1)); %左上角的那个点i=1;j=n;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+left(y(j+1));%右上角的那个点i=m;j=n;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+right(y(j+1));u=a\bab2，精确解：function g=ni(x1,x2,y1,y2,M,N)m=M-1;n=N-1;x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M;y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N;for i=1:mfor j=1:nu1(i+(j-1)*m)=f1(x(i+1),y(j+1))endend（1）辅助函数function g=f(x,y)g=0;function g=bottom(x)g=2*log(x);function g=right(y)g=log(4+y^2);function g=top(x)g=log(x^2+1);function g=left(y)g=log(1+y^2);function g=f1(x,y)g=log(x^2+y^2);运行fivepoints(1,2,0,1,4,4)u =数值解0.4847467147016780.8376456266975491.1390195099193150.5944295076643080.9158860659528741.1974022894530100.7539416986884711.0340668399966291.287784599003526a =4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4b =0.5069117244448540.8109302162163292.5210301235267010.2231435513142101.4469189829363251.3872704470929461.1786549963416462.919669266564466运行ni(1,2,0,1,4,4)u1 =精确解Columns 1 through 30.485507815781701 0.838329190404443 1.139434283188365 Columns 4 through 60.594707107746693 0.916290731874155 1.197703191312341 Columns 7 through 90.753771802376380 1.034073767530539 1.287854288306638 误差很小（2）辅助函数function g=f(x,y)g=-4;function g=bottom(x)g=x^2;function g=right(y)g=(y-1)^2;function g=top(x)g=(x-2)^2;function g=left(y)g=y^2;function g=f1(x,y)g=(x-y)^2;fivepoints(1,2,0,1,4,4)fivepoints(0,1,0,2,4,4)u =0.062500000000000-0.0000000000000000.0625000000000000.5625000000000000.2500000000000000.0625000000000001.5625000000000001.0000000000000000.562500000000000a =Columns 1 through 32.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000 -0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000000 0 00 0 00 0 0Columns 4 through 6-0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000002.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000 -0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.250000000000000Columns 7 through 90 0 00 0 00 0 0-0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000002.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000b =0.015625000000000-0.1875000000000000.1406250000000000.750000000000000-0.250000000000000-0.2500000000000002.7656250000000000.3125000000000000.390625000000000精确解ni(0,1,0,2,4,4)u1 =u1 =Columns 1 through 30.062500000000000 0 0.062500000000000 Columns 4 through 60.562500000000000 0.2500000000000000.062500000000000Columns 7 through 91.562500000000000 1.0000000000000000.562500000000000误差很小（3）辅助函数function g=f(x,y)g=cosd(x+y)+cosd(x-y);function g=bottom(x)g=cosd(x);function g=right(y)g=-cosd(y);function g=top(x)g=0;function g=left(y)g=cosd(y);function g=f1(x,y)g=cosd(x)*cosd(y);数值解Pi=3.1415926fivepoints(0,pi,0,pi/2,4,4)u =0.6578183624886530.000000024999241-0.6578183271343870.5049807980892560.000000019229497-0.5049807708946410.2736443626241530.000000010432161-0.273644347870850a =10 -1 0 -4 0 0 0 0 0 -1 10 -1 0 -4 0 0 0 0 0 -1 10 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0 10 -1 0 -4 0 0 0 -4 0 -1 10 -1 0 -4 0 0 0 -4 0 -1 10 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0 10 -1 0 0 0 0 0 -4 0 -1 10 -1 0 0 0 0 0 -4 0 -1 10b =4.5582604075302670.000000137720159-4.5582602127645491.323957*********0.000000023374742-1.3239570281549570.7165204234523470.000000012650320-0.716520405562093精确解ni(0,pi,0,pi/2,4,4)u1 =Columns 1 through 30.653281493003155 0.000000024755257-0.653281457993935Columns 4 through 60.500000013397448 0.000000018946853-0.499999986602551Columns 7 through 90.270598066826879 0.000000010253963-0.270598052325585误差很小注：（1）需要对数值解与精确解作比较，以及不同步长选取下的误差比较。
泊松方程
泊松方程是在数学中的静电学，机械工程学和理论物理学中常见的偏微分方程。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）；考虑重力场时，△Φ= f（f为重力场的质量分布）。
后来，它扩展到了电场，磁场和热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用分离变量法和特征线法求解。
泊松方程为△φ=f
在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而f 和φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。
现在有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。
折叠编辑本段静电场的泊松方程
泊松方程是描述静电势函数V与其源(电荷)之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度(ρ=▽·D，D为电位移矢量。
)，ε为介电常
数绝对值εr*εo。
椭圆型方程_中学教育-高中教育
简称椭圆型方程,一类重要的偏微分方程。
早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中,就有三个问题(第19、20、23问题)是关于椭圆型方程与变分法的。
八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。
椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。
拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。
拉普拉斯方程许多定常的物理过程，如稳定的热传导过程、牛顿引力理论及电磁理论中的位势、弹性薄膜的平衡、不可压流体的定常运动等，提出形如(1)的方程，称之为拉普拉斯方程，以及泊松方程(2)式中ρ一般有密度的意义。
容易得到方程(1)和(2)的一些特解。
由于方程是线性的，因此可以由已知的一些特解叠加而得到新的解。
积分也是一种叠加。
通过积分型叠加,便可得到方程(1)的如下的重要解：(3)式中S为一曲面，μ为定义在S上的连续函数。
由(3)确定的函数u在S以外的地方满足方程(1)。
非齐次方程(2)有一个重要的特解，它就是以ρ为密度的体位势：(4)只要ρ在域Ω内有界且连续可微,由(4)确定的函数u在Ω内就满足方程(2)，而在Ω外则满足方程(1)。
在应用上，往往不是求一些特解，而是求满足某些附加条件的解。
例如，第一边值问题（狄利克雷问题）：；第二边值问题（诺伊曼问题）：。
这里Ω为(x,y,z)空间的一个有界域，φ为定义在边界嬠Ω上的已知连续函数，n为嬠Ω的单位外法向量。
这些边值问题的解的惟一性，由调和函数的一个极值性质很容易推出。
拉普拉斯方程的二次连续可微解，称为调和函数。
极值原理域Ω内的调和函数不可能在域内一点取极大值或极小值，除非这个调和函数恒等于常数。
若调和函数的最大值只在某一边界点p上达到，则（假设u在p点可微）。
这些边值问题的解的存在性，也不难证明。
由格林公式可以推得(5)从而有式中，称为拉普拉斯方程关于域Ω的格林函数。
由此引出解第一边值问题的如下方法：先求出G(ξ,η,ξ；x,y,z)，再将所给的边界值代入，得到(6)只要对边界面再加上一些限制,就可以证明由(6)确定的函数u是第一边值问题的解。
五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题(可编辑)
五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题（可编辑）五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题摘要:给出了二维泊松方程在单位正方形上的五点差分格式。
并运用线性方程组的古典迭代解法??Jacobi迭代求解出在区域上的数值解。
最终绘制数值解的图形。
关键字:泊松方程五点差分格式 Jacobi迭代有限差分法的介绍有限差分法是求解偏微分方程的主要数值解法之一;其基本思想是把连续问题离散化,即对求解区域做网格剖分,用有限个网格点代替连续区域;其次将微分算子离散化,从而把微分方程组的问题化为线性方程组的求解问题,解方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
差分法的步骤:1 对求解域做网格剖分2 插值函数的选择3 方程组的建立4 方程组的求解五点差分格式的构造二维泊松方程:在单位正方形上,在正方形边界上的边界条件.在正方形网格上,就是在上离散化,.对于N3如图1所示:图1沿方向分别用二阶中心差商代替2.12.21、2式相加可得差分方程:2.3利用Taylor展式可得差分算子的截断误差其中是方程2.3的光滑解。
由于差分方程2.3中只出现在及其四个邻点上的值见图1的中间的粗的点,所以称为五点差分格式。
由边界条件知道,因而2.3式确定了一组具有个未知量的个线性方程。
对应的系数矩阵为对称、不可约对角占优,且对角元为正,因而系数矩阵非奇异,且为对称正定阵。
三、方程组的求解我们已经知道,利用差分方法解椭圆型方程边值问题归结为解大型线性代数方程组的问题。
因为差分格式产生的大型线性代数方程组的系数矩阵中非零元素占的比例小,分布很有规律性。
而且通过数值线性代数的学习,我们知道对于大型的稀疏矩阵来说,迭代法是比较好的选择,其程序实现比较简单,迭代过程能自动校正计算过程中的偶然误差,要求计算机的存储相对较少。
本文采用了线性方程组古典迭代解法??Jacobi迭代求解由五点差分格式得到的线性方程组。
以下对Jacobi迭代作简要的介绍:给定3.1令3.2其中3.3那么3.1可以写成,3.4其中.若给定初始向量,并代入3.4的右端,就可以计算出一个新的向量,即,再把代入3.4的右端,又可以得到一个向量;依次类推有,.这就是Jacobi迭代格式.称为Jacobi迭代的迭代矩阵,称为常数项.四、算法及流程图1算法:输入整数NN可取自2n+1n1,2,3,…构成称数列中的任意数;误差要求e;最大迭代次数M。
椭圆方程形式范文
椭圆方程形式范文椭圆方程是数学中一种重要的二次曲线方程形式，其表示了平面上一系列点的集合，它们到两个固定点的距离之和等于一个常数。
在本文中，我们将详细介绍椭圆方程的形式，并讨论其性质和一些实际应用。
椭圆方程的一般形式为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a表示椭圆的长半轴的长度，b表示椭圆的短半轴的长度。
椭圆的中心在坐标原点(0,0)处。
当a=b时，椭圆为一个圆。
根据椭圆方程的定义，我们可以得到一些重要的性质。
首先，椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越小，椭圆越扁平，当e=0时，椭圆退化为一个点。
其次，椭圆的焦点表示离圆心固定距离为c，通过椭圆方程的推导可得c=\sqrt{a^2-b^2}。
在椭圆的焦点上，可以找到两个特殊的点，称为焦点点F1和F2，两个焦点与圆心的距离等于离心率与长半轴之积，即，PF1，+，PF2，=2a。
椭圆方程的形式可以用来描述各种实际问题和现象。
例如，在天文学中，椭圆方程可以用来描述行星或其他天体围绕太阳运动的轨道。
在工程学中，椭圆方程可以用来设计椭圆形的机械零件，如齿轮或连杆。
在物理学中，椭圆方程可以用来描述电磁波的偏振状态。
椭圆方程的性质也是研究该方程的重要内容。
首先，椭圆是对称于x 轴和y轴的。
其次，椭圆沿两个轴对称，因此可以通过图形的外形来确定长半轴和短半轴的长度。
此外，椭圆的面积可以通过椭圆方程中的参数a 和b来计算，即S=\pi ab。
椭圆还具有一定的切线性质，切线的斜率等于椭圆方程的导数值。
在实际应用中，这些性质对于计算椭圆的相关参数和解决问题非常重要。
在实际问题中，使用椭圆方程可以解决一些几何问题。
例如，我们可以利用椭圆方程来确定两个点到一定距离的所有可能位置。
此外，在数学竞赛和工程项目中，椭圆方程也经常用于求解问题，训练学生的问题解决能力和创造性思维。
总之，椭圆方程是数学中一种重要的二次曲线方程形式，它广泛应用于各个领域。
《工程数值计算Python教程》第7章 偏微分方程
, − = ,
将上式代入五点格式方程可以排除假格点，于是得到：
, = + ℎ, 0 + − ℎ, 0 + 1 − , 0
2
= +ℎ + −ℎ + 1−
2
利用上式计算 = 一行格点处的值，然后再用五点格式方程计算n ≥ 2时的值。
其中： = /ℎ2 。上式可用作关于变量逐步求解的工具，如果 , 在0 ≤ ≤ 1和
0 ≤ ≤ 0 时已知，那么由上式可求得 = 0 + 的解。由于解在区域边界上是已知的，
反复运用上式即可求得区域内部的近似解。该法求解过程很直接，称为显式法。
方程中四点位置如图7-2所示。
ℎ
2
2
2
ቤ
1
,−2
1
= , − , −
1
2
由于的值仅在的整数倍处是已知的，因此将形如 , − 的项都由在上下两个
相邻格点的算术平均值代替。
1
1
, − ≈ , + , −
2
2
代入偏微分方程得到：
1
ሾ + ℎ, + + ℎ, − − 2 , − 2 , − + − ℎ,
网格示意图
将上述方程组写为矩阵形式，已知项移至右端，未知向量排列为：
= 11 , 21 , 31 , 12 , 22 , 32 , 13 , 23 , 33
系数矩阵为：
4 − ℎ2 11
−1
0
−1
0
0
0
0
0
泊松方程
泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。
是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。
泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。
后推广至电场磁场，以及热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。
方程的叙述泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
泊松方程数学表达通常泊松方程表示为这里代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而为未知函数。
当f=0时，这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件: 其中为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为: 其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。
为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数为一个校正函数，它满足通常情况下是依赖于。
通过可以给出上述边界条件的解其中表示上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
泊松方程应用在静电学很容易遇到泊松方程。
对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。
在国际单位制（SI）中：此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。
如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度：此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf(x)代表的是误差函数。
椭圆问题五点格式迭代法与快速Poisson算法比较
目录摘要 (1)ABSTRACT (3)第1章绪论 (4)第1.1节背景介绍、动机和任务 (4)第1.2节关于MA TLAB (5)第2章椭圆方程的五点差分格式 (6)第2.1节椭圆方程的介绍 (6)第2.2节差分格式的建立 (7)第2.3节差分格式解的存在性 (10)第2.4节差分格式的求解 (11)第3章 GAUSS-SEIDEL求解及快速POISSON算法的求解 (12)第3.1节迭代法的基本概念 (12)第3.2节G AUSS-S EIDEL迭代法 (13)第3.2节快速P OISSON算法 (14)第4章数值试验 (19)第5章总结 (26)参考文献 (27)致谢 (28)摘要本文主要商议在椭圆方程五点格式的问题中，分别使用Gauss-Seidel迭代法与快速Poisson算法对其求解，并对二者求解该线性方程组的速度进行比较。
我们都知道，在系数矩阵是稀疏的大型线性方程组中，迭代法是一个很好的求解该问题的算法，主要是因为给定一个初始向量，通过一定的迭代公式，我们就可以求得之后任意一次迭代的结果，且运算简便，但是，对于迭代法所求得的近似解是否收敛于精确解，并且，在线性方程组有快速算法的情况下，迭代法是否还能在求解方程组中占优势，还得我们进一步比较。
本文主要是通过比较不同的λ、不同的步长以及不同的误差要求，来推断Gauss-Seidel迭代法与快速Poisson算法的优劣。
关键词椭圆方程五点格式、Gauss-Seidel迭代法、快速Poisson算法AbstractIn this paper , we mainly discusses the solution of the five-point scheme for the elliptic equation by using Gauss-Seidel iteration method and fast Poisson algorithm, and compare the speed of solving the linear equation group. We all know that in the large scale linear equations with sparse coefficients, the iterative method is a very good algorithm to solve the problem, mainly because given an initial vector, we can obtain the result of any one iteration after a certain iterative formula, and the calculation is simple. However , if the approximate solution obtained by the iterative method converges to the exact solution, and if there is a fast algorithm in the linear equation group, whether the iterative method can still prevail in solving the equation group, we have to compare it further. This paper is mainly to judge the pros and cons of Gauss-seidel iterative method and fast Poisson algorithm by comparing different, different step sizes and different error requirements.Keywordsfive-point scheme for elliptic equation, Gauss-Seidel iterative method, fast Poisson algorithm第1章绪论第1.1节背景介绍、动机和任务本文从椭圆方程五点格式问题出发，对其分别使用Gauss-Seidel迭代法和快速Poisson算法进行求解，并将迭代法与快速算法的速度进行比较，从而深入探究迭代法是否更便利，进而为我们以后的解题拓展新的思路（使用迭代法）。
泊松方程-椭圆型方程的五点格式
称为半整数点，则由节点 a x0 x 1 x 3 x
2 2 i 1 2
x
N
1 2
又构成[a, b]的一个网格剖分，称为对偶剖分.
其次用差商代替微商将方程(2.1)在节点xi离散化， 为此，对充分光滑的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) u ( xi 1 ) hi hi 1 hi 1 hi d 2u du [ ]i [ 2 ]i o(h 2 ), (2.3) dx 2 dx 其中[ ]i 表示括号内函数xi点取值。
hi 1 hi 2 du du d 3u ([ p ] 1 [ p ] 1 ) [ p 3 ]i o(h 2 ), hi hi 1 dx i 2 dx i 2 12 dx hi 1 hi d 2 hi 1 hi d du du d 3u [ ( p )]i [ 2 ( p )]i [ p 3 )]i o(h 2 ), (2.6) dx dx 4 dx dx 12 dx
两族直线的交点(ih1 , jh2 )称为网点或节点， 记为( xi , y j )或(i, j ). 说两个节点( xi , y j )和( xi , y j )是相邻的, 如果 xi xi yi yi 1或 i i j j 1. h1 h2
xi
利用中矩形公式，得 W ai [ 又 1 hi
i
1 2
ai
ui ui 1 , hi
(2.16) (2.17 ) (2.18)
xi
xi 1
dx 1 ] . p( x)
x
i
1 2
x
qudx
i
1 2
hi hi 1 d i ui , 2
椭圆方程差分格式
由Guass公式有
D
D
u u udxdy D n ds ( l l l ) n ds D l1 2 3 4
从上面的公式把边界积 分转化为在四条边上的 积分， 于是积分分成 段进行，也即转化为定 4 积分。
对于在边l1上，因为在矩形边1上的外法向就是 的负 l y 方向，弧长的微分 dx，于是对此定积分用矩 ds 形 公式近似计算，并且用 差商代替微商，得到
u u x (b( x, y) x )dxdy [b( xi , y j 12 ) x ( xi , y j 12 ) Dij u b( xi , y 1 ) ( xi , y 1 )]h j j 2 x 2
c( x, y)udxdy c u hk, f ( x, y)dxdy f
１：直接差分方法
1 1 (aij xuij ) 2 y (aij y uij ) cijuij f ij 2 x h h
２：有限体积法（积分差分方法）
u x (a( x, y) x )dxdy Dij
y
u u [a( x 1 , y ) ( x 1 , y ) a( x 1 , y ) ( x 1 , y )]dy i i x i 2 x i 2 2 2 y 1
j 2
j
1 2
对上面定积分利用梯形 公式有
u u x (a( x, y) x )dxdy [a( xi 12 , y j ) x ( xi 12 , y j ) Dij u a( x 1 , y j ) ( x 1 , y j )]k i x i 2 2
1.1:五点差分格式
对于poisson方程，考虑在内部节点 xi，y j）取值， （ 于是有 2u 2u [ 2 ]ij [ 2 ]ij [ f ( x, y )]ij x y
湘潭大学数学物理方法课件之84泊松方程
以分离变数形式的试探解
( x, y) X ( x)Y ( y)
代入泛定方程（8.4.14）和边界条件（8.4.15） ，得 这样就得到 X " X 0 , （8.4.17） X (0) 0, X (a) 0 (8.4.18)
将本征值代入方程（8.4.19） ，解得
Y ( y) Ae
n y a
Be
n y a
这样，分离变数形式的解已经给出为
n ( x, y ) ( An e
称为本征解。
n y a
Bn e
n y a
n )sin x a
数学物理方法
一般解是本征解的叠加，
( x, y) ( Ane
（8.4.9）
数学物理方法
从而得到一般解
( , ) C0 D0 ln
m ( Am cos m Bm sin m )
m ห้องสมุดไป่ตู้
m 1
1
m
(Cm cos m Dm sin m )
在圆内处处有限，而上式 ln 和 m 在圆心出为无限
数学物理方法
陈尚达
材料与光电物理学院
第八章 分离变数法
1、齐次方程的分离变数法
数学物理方法
2、非齐次振动方程和输运方程
3、非齐次边界条件的处理 4、泊松方程 5、小结
8.4 泊松方程
泊松方程
数学物理方法
2u f ( x, y, z )
可说是非齐次的拉普拉斯方程。它与时间无关，显然不适 用冲量定理法求解。
偏微(13)椭圆型方程的差分方法
S1 e u0 e u0 e u0 e u0
1 4 2 4u0 h u0 h 2 D 4 u0 h6 12
2
1 4 2 S2 4u0 2h u0 h 4 D 4 u0 h6 6
其中D x , y | 0 x , y 1 .
1 取特殊的网格 h k 。 此时网格点分布见图5.3， 3
1.1 五点差分格式
在内点P , P2 , P3和P4 1 上用差分格式（ ）， 1.6
在其余点，即边界点 取边界条件
1 x 2 y 2 a x, y log
1 u 1 u r u r r r 2 2 f r , r r
2
(1.8)
r
y x y , tan . 域0 r ,0 2 . x
2 2
方程( 8) 1. 的系数当r 0时具有奇异性，因此为了 选出我们感兴趣的解，需补充u在r 0处有界的条 件，可设u满足
1 u xi h, y j 2u xi , y j u xi h, y j （1.2） h2 Nhomakorabea
2u 2u u 2 2 f ( x , y（ ） ) 1.1 x y
1 u x i , y j k 2u x i , y j u x i , y j k 2 k （1.3） 2 2 4 4 u k 2 4 u xi ,1 4 u xi ,2 y y ij 24 y
h uij ui 1, j 2uij ui 1, j h2 ui , j 1 2uij ui , j 1 k2 f ij ,
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x x( 2) x( 2 ) x( 2) d du ( p )dx (1) qudx (1) fdx, x x dx dx (1) ( 2) x( 2 ) x( 2)
或 W ( x ) W ( x ) (1) qudx (1) fdx, (2.14)
, 为给定常数.
区间剖分
将区间[a, b]分成N等分，分点为 xi a ih i 0,1,2, N , h (b a) / N . 于是我们得到区间I [a, b]的一个网格剖分， xi 称为网格结点（节点），间距h称为步长.
微分方程离散(差分方程）
现在将方程(1.1)在节点xi离散化，对充分光滑 的解u，由Taylor展式可得 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) h2 d 2u ( x ) h 2 d 4u ( x ) [ ]i [ ]i O (h 3 ), (1.3) dx2 12 dx4 其中[ ]i 表示括号内函数在xi点取值.
第2章 poission方程的五点差 分法
§1 差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx u ( a ) , u (b) (1.2) 其中q, f为[a, b]上的连续函数, q 0;
于是得到区间I的一个网格剖分，记hi xi xi 1 , 称h max hi为最大网格步长。用I h 表示网格内点
i
x1 , x2 , xN 1的集合, I h 表示内点和界点x0 a, xN b 的集合.
取相邻节点xi 1 , xi的中点x
i
1 2
1 ( xi 1 xi )(i 1,2, , N )， 2 x N b,
当h足够小，Ri (u )是h的二阶无穷小量. 若舍去Ri (u )，则得逼近方程(1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lhui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q ( xi ), f i f ( xi ).记[ Lu ]i f ( xi )， 称Ri (u )为差分方程(1.6)的截断误差.
i 1 2
p
u ( xi ) u ( xi 1 ) ] hi
ri [u ( xi 1 ) u ( xi 1 )] qi u ( xi ) hi hi 1
f i Ri (u ), (2.7)
1 d2 du 其中Ri (u ) (hi 1 hi )( [ 2 ( p )]i 4 dx dx 1 d 3u 1 d 2u [ p 3 ]i [r 2 ]i ) o(h 2 ), 12 dx 2 dx 为差分算子Lh的截断误差，舍去Ri (u ), 便得逼近边值问题(2.1), (2.2)的差分方程.
(2.22 )
也可用梯形公式，此时 2 pi 1 pi ai , pi 1 pi 1 d i (qi 1 qi 1 ), 2 2 2 1 f i ( f 1 f 1 ), i 2 i 2 2
(2.23)
§3 矩形网的差分格式
p( x
i
1) 2
u ( xi ) u ( xi 1 ) hi hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ] 1 o(h 3 ), dx i 2 24 dx i 2 hi du d 3u [ p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.4) dx i 2 24 dx
考虑Poisson方程 u f ( x, y ), ( x, y ) G (3.1) G是平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线， 在边界上满足下列边值条件之一：
u ( x, y ) (第一边值问题) (3.1)1 u ( x, y ) (第二边值问题) (3.1) 2 n u k u ( x, y ) (第三边值问题) (3.1)3 n
u0 , u N ,
有限体积法
考虑守恒型微分方程： d du ( p ) q ( x)u f ( x)， (2.13) dx dx 如果把它看作是分布在一根杆上的稳定温度场方 Lu 程，则在[a, b]内任一小区间 x (1) , x ( 2 ) ]上的热量守 [ 恒律具有形式
截断误差 ， (1.7) Ri (u )是用差分算子Lh 代替微分算子L所引起的 截断误差.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立， 加上边值条件就得到关于ui的线性代数方程组： ui 1 2ui ui 1 Lhui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , u N . (1.9) 它的解ui是u ( x)于x xi的近似.称(1.8), (1.9)为逼近(1.1), (1.2)的差分方程或差分格式.此格式称为中心差分格式.
两族直线的交点(ih1 , jh2 )称为网点或节点， 记为( xi , y j )或(i, j ). 说两个节点( xi , y j )和( xi , y j )是相邻的, 如果 xi xi yi yi 1或 i i j j 1. h1 h2
2 2
p( x
i
1) 2
u ( xi 1 ) u ( xi ) hi 1 du h 2 i 1 d 3u [p ] 1 [ p 3 ]i o(h 3 ), (2.5) dx i 2 24 dx
由(2.5)减( 2.4)，并除以
hi hi 1 ，得 2 u ( xi 1 ) u ( xi ) u ( xi ) u ( xi 1 ) 2 [ p( x 1 ) p( x 1 ) ] i i hi hi 1 hi 1 hi 2 2
令p
1 i 2
p( x
1 i 2
), ri r ( xi ), qi q( xi ), f i f ( xi ),
则由(2.3), (2.6)知, 边值问题的解u ( x)满足方程：
Lhu ( xi ) u ( xi 1 ) u ( xi ) 2 [p 1 hi hi 1 i 2 hi 1
hi 1 hi 2 du du d 3u ([ p ] 1 [ p ] 1 ) [ p 3 ]i o(h 2 ), hi hi 1 dx i 2 dx i 2 12 dx hi 1 hi d 2 hi 1 hi d du du d 3u [ ( p )]i [ 2 ( p )]i [ p 3 )]i o(h 2 ), (2.6) dx dx 4 dx dx 12 dx
其中f ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ), ( x, y )及k ( x, y ) 0都是 连续函数。
3.1 五点差分格式
取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2 , h (h h ) .
2 1 1 2 2 2
作两族与坐标轴平行的直线： x ih1 , i 0,1, y jh2 , j 0,1,
xi
利用中矩形公式，得 W ai [ 又 1 hi
i
1 2
ai
ui ui 1 , hi
(2.16) (2.17 ) (2.18)
xi
xi 1
dx 1 ] . p( x)
x
i
1 2
x
qudx
i
1 2
hi hi 1 d i ui , 2
将(2.16), (2.18)代到(2.14)，即得守恒型差分方程 [ai 1 ui 1 ui u u 1 ai i i 1 ] (hi hi 1 )d i ui , hi 1 hi 2 1 (hi hi 1 )i , 2 (2.20) (2.21)
i
1 2
1 2
,x
i
1 2
],
i
i
x
i
1 2
qudx
x
x
fdx, (2.14 )
i
1 2
考虑到p ( x)允许有间断点，由(2.15)进一步差分 化是不合适的。但“热流量” ( x)恒连续, W
故将(2.15)改写成 du W ( x) , dx p ( x) 再沿[ xi 1 , xi ]积分，得 ui ui 1 W ( x) dx, xi 1 p ( x )
于是在xi可将方程(1.1)写成 u ( xi 1 ) 2u ( xi ) u ( xi 1 ) q ( xi )u ( xi ) f ( xi ) Ri (u ), (1.4) 2 h h 2 d 4u ( x ) 其中 Ri (u ) [ ]i O(h 3 ), (1.5) 12 dx4
x x
其中 W ( x) p( x)
du ， (2.15) dx
把微分方程写成积分守恒型后，最高阶微商由二阶降到一阶， 从而可减弱对函数光滑性的要求。
特别于(2.14 )取[ x (1) , x ( 2 ) ]对偶单元[ x 则 W (x
1 ) W (x 2 1) 2 x
i 1 2
i
注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点x1 , x2 , , x N 1的 个数,因此它是N 1阶方程组.
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题： d du du Lu ( p ) r qu f a x b, (2.1) dx dx dx u (a ) , u (b) ( 2 .2 ) 其中p C 1[a, b], p ( x) pmin 0, r , q, f C[a, b],
, 为给定常数.
我们将介绍差分格式的两种方法： 直接差分化法、有限体积法