高中数学必修一学年高中数学幂函数练习题测试题及答案解析

2.3幂函数双基限时练 新人教A 版必修1

1．若函数f (x )＝x 3

(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数

解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3

.

∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B

2．设α∈⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α

为奇函数，且在(0，＋∞)

上单调递减的α的值的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1

满足题意，因此选A. 答案 A

3．已知幂函数y ＝x m

在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个

值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )

A ．－2，－12，1

2，2

B ．2，12，－1

2，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－12

解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B. 答案 B

4．函数y ＝x 5

3

的图象大致是( )

解析 由于5

3>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图

象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．

答案 B

5．函数y ＝log a (2x －3)＋2

2

的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )

A.13

B. 3 C ．3

D ．9

解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x －3)＋2

2

的图象恒过定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，

22， 设f (x )＝x α

，则

22＝2α

，故α＝－12

， 所以f (x )＝x － 12

，所以f (9)＝9－ 1

2 ＝3－1

＝13

.

答案 A

6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 34 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15 34 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12 ，则( ) A ．a

D ．b

解析 构造幂函数y ＝x

3

4

(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数

函数y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

，由该函数在定义域内单调递减，所以a a >b .

答案 D

7．函数y ＝(m －1)x

m 2

－m

为幂函数，则该函数为________(填序号)．

①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)x

m 2

－m 为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2

，故该函

数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．

答案 ②

8．给出以下列结论：

①当α＝0时，函数y ＝x α

的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α

在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的序号为________．

解析 当α＝0时，函数y ＝x α

的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α

的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1

的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．

答案 ④

9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13n

，则n ＝________.

解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n

，

∴y ＝x n

在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2

10.已知函数f (x )＝(m 2

－m －1)x －5m －3

，m 为何值时，f (x )

(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数， 故m 2

－m －1＝1，即m 2

－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－4

5.

此时m 2

－m －1≠0，故m ＝－45

.

(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1， 则m

＝－25，此时m 2

－m －1≠0，故m ＝－25.

(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2

－m －1≠0，故m ＝－1.

11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，

有：

①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )

解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β

. ∵(2)α＝2，(－2)β

＝－12，

∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2

，g (x )＝x －1

.

分别作出它们的图象，如图所示．

由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )

3－p

(p ∈N *

)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求

满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p

2

的实数a 的取值范围．

解 ∵幂函数y ＝x 3－p

(p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x

3－p

是偶函数．

又y ＝x

3－p

在(0，＋∞)上为增函数，

∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *

，∴p ＝1，