2019年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)解析版

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.已知双曲线C：＞的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（）A. B. 2 C. D. 44.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.已知角α为第三象限角，若=3，则sinα=（）A. B. C. D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.若函数＞图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.函数的图象大致为（）A.B.C.D.9.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. B. C. D.10.己知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A.B. 平面C.D. 平面A11.己知F1、F2分别是椭圆C：＞＞的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2x轴，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，则f（-3）=______．14.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，则b=______15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=______16.如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB=4，D为AB的巾点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=2，（1）判断数列{ }是否为等差数列，并说明理由； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n ．18. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收5（）统计学中用相关系数来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r | [0.75，1]，则认为相关性很强；若|r | [0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r | [0，0.25]，则认为相关性较弱． 请根据上表数据计算y 与x 之间相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ （月销售金额=月销售量×当月售价） 附注：参考数据： ≈12.85， 参考公式：相关系数r =，线性回归过程=x，=，=．19. 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P -AECF ．（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点A 到平面PEC 的距离20. 设点P 是直线y =-2上一点，过点P 分别作抛物线C ：x 2=4y 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）若点A 的坐标为（1，），求点P 的横坐标； （2）当△ABP 的面积为时，求|AB |．21. 已知函数f （x ）=ae x+2x -1．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：对任意的a ≥1，当x ＞0时，f （x ）≥（x +ae ）x ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数）．圆C 2的方程为（x -2）2+y 2=4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）． （l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：（2）当 ＜ ＜时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，若|ON |=2|OM |，求△MC 2N 的面积．23.已知函数＞．（Ⅰ）当m=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：双曲线C ：的渐近线方程为，可得a=，b=1，则c==2．所以C的焦距为：4．故选：D．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，故选：C．由频率分布直方图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，由分层抽样方法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为=3，得解本题考查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题5.【答案】B【解析】解：∵角α为第三象限角，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα=-，故选：B．由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：V=V1+V2=，=．故选：C．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．7.【答案】A【解析】解：函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则：T=π，解得：ω=2，故：．令：（k Z），解得：（k Z），当k=0时，，即：x．故选：A．首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，∴m∥平面B1D1Q．故选：B．由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C ：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2x轴，可得AF2的方程为x=c，AF1的方程y=，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】D【解析】解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f（100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a=时，f（x）=x-，f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成立，函数是增函数，f（1）=0，所以a=时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】4【解析】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），当x＞0时，f（1）=1+3=4，则f（-3）=4；故答案为：4．根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），又由解析式求出f（1）的值，综合即可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：∵sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：a=2b，又∵c=，cosc=-，∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：b=1．故答案为：1．由已知利用正弦定理可求a=2b，进而根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】【解析】解：等边△ABC的边长为2，若点D满足，则=（+）=+=+=．故答案为：．利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可．本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查．16.【答案】【解析】解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D=BD，CD平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF平面A'BD，且OF=DE=1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'=R=，∴A'F===2，所以，BF=2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD=R，三角形ODE为直角三角形，∴OE===2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF=，故∠A'DB=，故填：．根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于难题．17.【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=2，，∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．a1-2=0，∴数列{}为等差数列，首项为0，公差为2．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），∴S n=+2×=2n+1-2+n2-n．【解析】（1）数列{a n}满足a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利用求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，∵|r|≈|-0.97|[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知===-1.25，=-=5-（-1.25）×7=13.75，∴=-1.25x+13.75．（3）由题意可知，月销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者=x=-1.25x2+13.75x（千元），则当x=5.5时，取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．【解析】（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的大小进行判断即可（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可．（3）结合回归方程，进行预报计算即可．本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平面EFG，连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA=AC，∵PA∥平面EFG，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EFG=OG，∴PA∥OG，∴==．∴线段PC上是否存在一点G，使PA与平面EFG平行，且=．（2）∵PC PE，PC PF，PE∩PF=P，∴PC平面PEF，∴PC PO，PC EF，∵E，F是正方形AB，AD的中点，∴EF AC，又PC∩AC=C，∴EF平面PAC，∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，∴sin∠PCA==，∴S△PAC==．又OE=EF=，∴V E-PAC==，又S△PCE===4，设A到平面PCE的距离为h，则V A-PCE==，解得h=．∴点A到平面PEC的距离为．【解析】（1）假设存在点G符合条件，利用线面平行的性质可得PA∥OG ，故而可得的值；（2）根据V E-PAC=V A-PCE列方程求出点A到平面PEC的距离．本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，∴直线PA的方程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，∴P（-，-2），点P的横坐标为-．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-2），则直线PA的方程为x1x=4×，即x1x-2y-2y1=0，因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，同理可得x0x2-2y2+4=0，∴直线AB的方程为x0x-2y+4=0，联立消去y得x2-2x0x-8=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，∴|AB|==，又点P到直线AB的距离d==，∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，解得，x02=5，|AB|==3．【解析】（1）求出切线PA的方程后，将P的纵坐标代入可求得横坐标；（2）利用抛物线x2=2py的切线方程xx0=2p×可得PA，PB的切线方程，可得切点弦AB方程：x0x-2y+4=0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P的横坐标和|AB|．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）=，则g′（x）=．当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．即，故f（x）≥（x+ae）x．【解析】（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a ＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae ）x⇔．令g（x）=，利用导数求其最小值得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.【答案】解：（1）由，得C1的普通方程为+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，即ρ2==，所以C1的极坐标方程为ρ2=，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=，得ρM2=，把θ=θ0代入ρcosθ，得=4cosθ0，则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，又0＜θ0＜，所以ρM==，ρN=4cosθ0=，所以△MC2N的面积S=S△ -S△ =|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．【解析】（1）由，得C1的普通方程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x＜；②当-＜＜时，原不等式等价于＞3，不等式无解；③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x[-，m]时等号成立，∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，∴f（x）+≥3．当m=2，且x[-，2]时等号成立．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并；（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x [-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。