离散数学第七章
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说明
同样地,这n个Z的子集具有如下特点: 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R; 2、不同子集的元素之间没有关系R; 3、不同子集的交集是空集; 4、所有这些子集的并集就构成集合Z。
称为集合 Z的一个 划分
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以n为模的同余关系(CongruenceRelation)
上述R称为Z上以n为模的同余关系,记xRy为 x=y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数,则 x=y(mod n) resn(x)=resn(y)。 此时,R将Z分成了如下n个子集: {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
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定理7.2.1的证明(续)
(2) 若y[x]R,设[x]R∩[y]R≠Φ,则存在z∈[x]R∩[y}R。 即z∈[x]R,z∈[y]R,则有:<x,z>∈R,<y,z>∈R,由R 的对称性,<z,y>∈R。由R的传递性有:<x,y>∈R,即 y∈[x]R,矛盾。所以[x]R∩[y]R=Φ。■ 3)因为对任意x∈A,[x]R A,所以 x R A。
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例7.2.7
设集合A={1,2,3,4,5,8},R为A上以3为模的同余关 系。求A/R。 解 根据例7.2.3知,A上以3为模的同余关系R是等 价关系。 因为[1]R={1,4}=[4]R,[2]R=[5]R=[8]R={2,Baidu Nhomakorabea,8}, [3]R={3}, 所以根据商集的定义, A/R={[1]R,[2]R,[3]R}={{1,4},{2,5,8},{3}}。
xA
对任意x∈A,因R是自反的,所以<x,x>∈R,即x∈[x]R。
所以x∈ xR ,即A xR 。故 xR =A。
xA xA xA
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商
集
定义7.2.4 设R是非空集合A上的等价关系,由R 确定的一切等价类的集合,称为集合A上关于R的 商集(QuotientSet),记为A/R,即 A/R={[x]R|(x∈A)} 例7.2.6 设集合A={0,1,2,4,5,8,10},R为A上以4 为模的同余关系。求A/R。 解 根据例7.2.5,商集 A/R={[0]R,[1]R,[2]R}={{0,4,8},{1,5,9},{2}}。
3
……
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15 图7.2.1
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例7.2.2 解 (续)
1、对x∈A,有(x-x)被12所整除,所以<x,x>∈R,即 R是自反的。
2、对x,y∈A,若<x,y>∈R,有(x-y)被12整除,则(y-x)
=-(x-y)被12整除,所以,<y,x>∈R,即R是对称的。 3、对x,y,z∈A,若<x,y>∈R且<y,z>∈R,有(x-y)被12 所整除且(y-z)被12所整除,所以(x-z)=(x-y)+(yz)被12所整除,所以,<x,z>∈R,即R是传递的.
2
1 拟序、全序 和良序关系的 定义; 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
和良序关系的
相关性质。
4
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判定下列关系具有哪些性质
1、在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”关系; 2、对任何非空集合A,A上的全关系; 3、三角形的“相似关系”、“全等关系”; 4、直线的“平行关系”; 5、“朋友”关系; 等价 关系
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例7.2.5(续)
设A={0,1,2,4,5,8,10},R是A上的以4为模的同余 关系。求 (1)R的所有等价类;(2)画出R的关系图。 解: (1)[1]R={1,5,9}=[5]R=[9]R;[2]R={2}; [4]R={0,4,8}=[0]R=[8]R。
7.2.2 集合的划分
定义7.2.2给定非空集合A,设有集合 S={S1,S2,S3...Sm}.如果满足 SiA且Si≠Φ,i=1,2,...,m; Si∩Sj=Φ,i≠j,i,j=1,2,...,m;
Si A 。 i1
m
则集合S称作集合A的一个划分(Partition),而 S1,S2,...Sm叫做这个划分的块(Block)或类 (Class)。
A A1
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A A2 (b)
A1
(a)
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例7.2.5
设设A={0,1,2,4,5,8,9}, 1、写出R是A上的以4为模的同余关系R的所有元素; 2、求分别与元素1,2,3,4有关系R的所有元素所作成 的集合。
解:1、R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<4,4>,<5,5>,
<8,8>,<9,9>,<0,4>,<4,0>,<4,8>,<8,4>,<0,8>,
<8,0>,<1,5>,<5,1>,<1,9>,<9,1>,<5,9>,<9,5>}. 显然,R是A的一个等价关系。
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例7.2.5 解
2、与元素1有关系R的所有元素所作成的集合{1,5,9}; 与元素2有关系R的所有元素所作成的集合{2};
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例7.2.2 解
(1)R={<1,1>, …, <24,24>, <1,13>, <13,1>, <2,14>, <14,2>, …,<11,23>, <23,11>, <12,24>, <24,12>}}
(2)此等价关系的关系图:
1 2
{11,23},
这12个A的子集具有如下特点: 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R; 2、不同子集的元素之间无关系R。
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例7.2.3
证明 (1) 对xZ,有n|(x-x),所以<x,x>R, 设n为正整数,考虑整数集合Z上的整除关系如下: 即R是自反的。 R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))} (2) 对x,yZ,若<x,y>R,即n|(x-y),所以 证明R是一个等价关系。 m|(y-x),所以,<y,x>R,即R是对称的。 (3) 对x,y,zZ,若<x,y>R且<y,z>R,有 n|(x-y)且n|(y-z),所以由(x-z)=(x-y)+(y-z) 得n|(x-z), 所以,<x,z>R,即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知,R是Z上的等价关系。 ■
3. 全体中国人所组成的集合上定义的“同性别”
关系。 是等价关系
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例7.2.2
在时钟集合A={1,„,24}上定义整除关系:R= {<x,y>|{x,yA)∧((x-y)被12所整除)}。 (1)写出R中的所有元素; (2)画出R的关系图; (3)证明R是一个等价关系。
解:1,2,3都具有自反性,对称性和传递性; 4 具有反自反,对称和传递性,不具有自反性; 5 具有自反和对称性,不具有传递性。
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7.2 等价关系
定义7.2.1设R是定义在非空集合A上的关系,如 果R是自反的、对称的、传递的,则称R为A上的等 价关系。
由1,2,3知R是等价关系。■
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从例7.2.2可以看出
关系R将集合A分成了如下的12个子集:
{1, 13},
{6, 18},
{2,14}, {3,15}, {4,16}, {5,17}, {12,24}。
{7,19}, {8,20}, {9,21}, {10,22},
[x]R={y|y∈A∧<x,y>∈R}
为x关于R的等价类(equivalence class),或叫作 由x生成的一个R等价类,其中x称为[x]R的生成元 (或叫代表元,或典型元)(generator) 。
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由定义7.2.3可以看出:
(1)等价类产生的前提是A上的关系R必须是等价 关系; (2)A中所有与x有关系R的元素y构成了[x]R; (3)A中任意一个元素一定对应一个由它生成的等 价类; (4)R具有自反性意味着对x∈A,[x]R≠Φ; (5)R具有对称性意味着对任意x,y∈A,若有 y∈[x]R,则一定有x∈[y]R。
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离散数学
电子科技大学
计算机科学与工程学院
示 范 性 软 件 学 院
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第三篇 二元关系
第7章 特殊关系
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7.0 内容提要
1 2 3 4 4
与元素4有关系R的所有元素所作成的集合{0,4,8}.
集合{1,5,9}称为元素1关于等价关系R的等价类, 记为[1]R,即[1]R ={1,5,9};
[2]R= {2}, [4]R = {0,4,8}.
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7.2.3 等价类与商集
定义7.2.3 设R是非空集合A上的等价关系,对任意 x∈A,称集合
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例7.2.4
试给出非空集合A上2个不同的划分 解(1)在A中设定一个非空子集A1,令A2=A-A1,则根 据集合划分的定义,{A1,A2}就构成了集合A的一个 划分,见图 (a); (2)在A中设定两个不相交非空子集A1和A2,令A3=A(A1∪A2),则根据集合划分的定义,{A1,A2,A3}就 构成了集合A的一个划分,见图 (b)。
xA
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定理7.2.1的证明
证明:1)对任意x∈A,因为R是等价关系,所以R是 自反的,因此<x,x>∈R,即x∈[x]R,故[x]R≠Φ 。 2) 对任意x,y∈A,若y∈[x]R,则<x,y>∈R。 a) 对z∈[x]R,则有:<x,z>∈R,又<x,y>∈R, b) 对z∈[y]R,则有:<y,z>∈R,又<x,y>∈R, 由R的对称性有:<y,x>∈R,由R的传递性有: 由R的传递性有:<x,z>∈R。所以,z∈[x]R,即: <y,z>∈R。所以z∈[y]R,即:[x]R[y]R。 [y]R[x]R。 所以,由a)和b)知:[x]R=[y]R。
1 1 2 5
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5 图7.2.3
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定理7.2.1
设R是非空集合A上的等价关系,则有下面的结论成立: 1)对xA,[x]R≠Φ; 2)对x,y∈A, a)如果y∈[x]R,则有[x]R=[y]R, b)如果y R,则有[x]R∩[y]R=Φ。 [x] 3) x R=A;
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集合的概念 等价关系
集合的表示方法 拟序关系 偏序关系 全序关系
良序关系
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7.1本章学习要求
重点掌握 1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
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一般掌握
了解 3 1 拟序、全序
由定义7.2.1知: (1)关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反 性、对称性和传递性; (2)关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反 性或对称性或传递性。
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例7.2.1
判定下列关系是否是等价关系? 不具有对称性 1. 幂集上定义的“”关系; 2. 整数集上定义的“<”关系; 不具有对称性,自反性
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说明
同样地,这n个Z的子集具有如下特点: 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R; 2、不同子集的元素之间没有关系R; 3、不同子集的交集是空集; 4、所有这些子集的并集就构成集合Z。
称为集合 Z的一个 划分
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以n为模的同余关系(CongruenceRelation)
上述R称为Z上以n为模的同余关系,记xRy为 x=y(mod n) 称为同余式。如用resn(x)表示x除以n的余数,则 x=y(mod n) resn(x)=resn(y)。 此时,R将Z分成了如下n个子集: {…,-3n,-2n,-n,0,n,2n,3n,…} {…,-3n+1,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n+1,…} {…, -3n+2,-2n+2,-n+2,2,n+2,2n+2,3n+2,…} … {…,-2n-1,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,4n-1,…}
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定理7.2.1的证明(续)
(2) 若y[x]R,设[x]R∩[y]R≠Φ,则存在z∈[x]R∩[y}R。 即z∈[x]R,z∈[y]R,则有:<x,z>∈R,<y,z>∈R,由R 的对称性,<z,y>∈R。由R的传递性有:<x,y>∈R,即 y∈[x]R,矛盾。所以[x]R∩[y]R=Φ。■ 3)因为对任意x∈A,[x]R A,所以 x R A。
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例7.2.7
设集合A={1,2,3,4,5,8},R为A上以3为模的同余关 系。求A/R。 解 根据例7.2.3知,A上以3为模的同余关系R是等 价关系。 因为[1]R={1,4}=[4]R,[2]R=[5]R=[8]R={2,Baidu Nhomakorabea,8}, [3]R={3}, 所以根据商集的定义, A/R={[1]R,[2]R,[3]R}={{1,4},{2,5,8},{3}}。
xA
对任意x∈A,因R是自反的,所以<x,x>∈R,即x∈[x]R。
所以x∈ xR ,即A xR 。故 xR =A。
xA xA xA
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商
集
定义7.2.4 设R是非空集合A上的等价关系,由R 确定的一切等价类的集合,称为集合A上关于R的 商集(QuotientSet),记为A/R,即 A/R={[x]R|(x∈A)} 例7.2.6 设集合A={0,1,2,4,5,8,10},R为A上以4 为模的同余关系。求A/R。 解 根据例7.2.5,商集 A/R={[0]R,[1]R,[2]R}={{0,4,8},{1,5,9},{2}}。
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15 图7.2.1
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例7.2.2 解 (续)
1、对x∈A,有(x-x)被12所整除,所以<x,x>∈R,即 R是自反的。
2、对x,y∈A,若<x,y>∈R,有(x-y)被12整除,则(y-x)
=-(x-y)被12整除,所以,<y,x>∈R,即R是对称的。 3、对x,y,z∈A,若<x,y>∈R且<y,z>∈R,有(x-y)被12 所整除且(y-z)被12所整除,所以(x-z)=(x-y)+(yz)被12所整除,所以,<x,z>∈R,即R是传递的.
2
1 拟序、全序 和良序关系的 定义; 2拟序与偏序关 的联系 3 拟序、全序、 良序的联系。
和良序关系的
相关性质。
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判定下列关系具有哪些性质
1、在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓”关系; 2、对任何非空集合A,A上的全关系; 3、三角形的“相似关系”、“全等关系”; 4、直线的“平行关系”; 5、“朋友”关系; 等价 关系
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例7.2.5(续)
设A={0,1,2,4,5,8,10},R是A上的以4为模的同余 关系。求 (1)R的所有等价类;(2)画出R的关系图。 解: (1)[1]R={1,5,9}=[5]R=[9]R;[2]R={2}; [4]R={0,4,8}=[0]R=[8]R。
7.2.2 集合的划分
定义7.2.2给定非空集合A,设有集合 S={S1,S2,S3...Sm}.如果满足 SiA且Si≠Φ,i=1,2,...,m; Si∩Sj=Φ,i≠j,i,j=1,2,...,m;
Si A 。 i1
m
则集合S称作集合A的一个划分(Partition),而 S1,S2,...Sm叫做这个划分的块(Block)或类 (Class)。
A A1
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A A2 (b)
A1
(a)
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例7.2.5
设设A={0,1,2,4,5,8,9}, 1、写出R是A上的以4为模的同余关系R的所有元素; 2、求分别与元素1,2,3,4有关系R的所有元素所作成 的集合。
解:1、R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<4,4>,<5,5>,
<8,8>,<9,9>,<0,4>,<4,0>,<4,8>,<8,4>,<0,8>,
<8,0>,<1,5>,<5,1>,<1,9>,<9,1>,<5,9>,<9,5>}. 显然,R是A的一个等价关系。
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例7.2.5 解
2、与元素1有关系R的所有元素所作成的集合{1,5,9}; 与元素2有关系R的所有元素所作成的集合{2};
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例7.2.2 解
(1)R={<1,1>, …, <24,24>, <1,13>, <13,1>, <2,14>, <14,2>, …,<11,23>, <23,11>, <12,24>, <24,12>}}
(2)此等价关系的关系图:
1 2
{11,23},
这12个A的子集具有如下特点: 1、在同一个子集中的元素之间都有关系R; 2、不同子集的元素之间无关系R。
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例7.2.3
证明 (1) 对xZ,有n|(x-x),所以<x,x>R, 设n为正整数,考虑整数集合Z上的整除关系如下: 即R是自反的。 R={<x,y>|{x,y∈Z}∧(n|(x-y))} (2) 对x,yZ,若<x,y>R,即n|(x-y),所以 证明R是一个等价关系。 m|(y-x),所以,<y,x>R,即R是对称的。 (3) 对x,y,zZ,若<x,y>R且<y,z>R,有 n|(x-y)且n|(y-z),所以由(x-z)=(x-y)+(y-z) 得n|(x-z), 所以,<x,z>R,即R是传递的。 由(1)、(2)、(3)知,R是Z上的等价关系。 ■
3. 全体中国人所组成的集合上定义的“同性别”
关系。 是等价关系
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在时钟集合A={1,„,24}上定义整除关系:R= {<x,y>|{x,yA)∧((x-y)被12所整除)}。 (1)写出R中的所有元素; (2)画出R的关系图; (3)证明R是一个等价关系。
解:1,2,3都具有自反性,对称性和传递性; 4 具有反自反,对称和传递性,不具有自反性; 5 具有自反和对称性,不具有传递性。
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7.2 等价关系
定义7.2.1设R是定义在非空集合A上的关系,如 果R是自反的、对称的、传递的,则称R为A上的等 价关系。
由1,2,3知R是等价关系。■
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从例7.2.2可以看出
关系R将集合A分成了如下的12个子集:
{1, 13},
{6, 18},
{2,14}, {3,15}, {4,16}, {5,17}, {12,24}。
{7,19}, {8,20}, {9,21}, {10,22},
[x]R={y|y∈A∧<x,y>∈R}
为x关于R的等价类(equivalence class),或叫作 由x生成的一个R等价类,其中x称为[x]R的生成元 (或叫代表元,或典型元)(generator) 。
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由定义7.2.3可以看出:
(1)等价类产生的前提是A上的关系R必须是等价 关系; (2)A中所有与x有关系R的元素y构成了[x]R; (3)A中任意一个元素一定对应一个由它生成的等 价类; (4)R具有自反性意味着对x∈A,[x]R≠Φ; (5)R具有对称性意味着对任意x,y∈A,若有 y∈[x]R,则一定有x∈[y]R。
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第三篇 二元关系
第7章 特殊关系
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7.0 内容提要
1 2 3 4 4
与元素4有关系R的所有元素所作成的集合{0,4,8}.
集合{1,5,9}称为元素1关于等价关系R的等价类, 记为[1]R,即[1]R ={1,5,9};
[2]R= {2}, [4]R = {0,4,8}.
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7.2.3 等价类与商集
定义7.2.3 设R是非空集合A上的等价关系,对任意 x∈A,称集合
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例7.2.4
试给出非空集合A上2个不同的划分 解(1)在A中设定一个非空子集A1,令A2=A-A1,则根 据集合划分的定义,{A1,A2}就构成了集合A的一个 划分,见图 (a); (2)在A中设定两个不相交非空子集A1和A2,令A3=A(A1∪A2),则根据集合划分的定义,{A1,A2,A3}就 构成了集合A的一个划分,见图 (b)。
xA
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定理7.2.1的证明
证明:1)对任意x∈A,因为R是等价关系,所以R是 自反的,因此<x,x>∈R,即x∈[x]R,故[x]R≠Φ 。 2) 对任意x,y∈A,若y∈[x]R,则<x,y>∈R。 a) 对z∈[x]R,则有:<x,z>∈R,又<x,y>∈R, b) 对z∈[y]R,则有:<y,z>∈R,又<x,y>∈R, 由R的对称性有:<y,x>∈R,由R的传递性有: 由R的传递性有:<x,z>∈R。所以,z∈[x]R,即: <y,z>∈R。所以z∈[y]R,即:[x]R[y]R。 [y]R[x]R。 所以,由a)和b)知:[x]R=[y]R。
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5 图7.2.3
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定理7.2.1
设R是非空集合A上的等价关系,则有下面的结论成立: 1)对xA,[x]R≠Φ; 2)对x,y∈A, a)如果y∈[x]R,则有[x]R=[y]R, b)如果y R,则有[x]R∩[y]R=Φ。 [x] 3) x R=A;
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集合的概念 等价关系
集合的表示方法 拟序关系 偏序关系 全序关系
良序关系
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7.1本章学习要求
重点掌握 1
1 几个特殊关 系的概念 2 等价和偏序 关系的证明 3 等价类和商 集的计算 4 8个特殊元
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一般掌握
了解 3 1 拟序、全序
由定义7.2.1知: (1)关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反 性、对称性和传递性; (2)关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反 性或对称性或传递性。
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例7.2.1
判定下列关系是否是等价关系? 不具有对称性 1. 幂集上定义的“”关系; 2. 整数集上定义的“<”关系; 不具有对称性,自反性