中学代数研究---一元三次方程通解求法1

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一元三次方程解法

一元三次方程解法
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消
去。

所以我们只要考虑形如
x3=px+q
的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为
a3-b3=q
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x。

费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。

所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。

考虑一个参数a，我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以解出参数a。

这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

一元三次方程的解法

一元三次方程的解法邵美悦2018年3月23日修改:2018年4月25日众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.1配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0,(a =0)的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用a (x +b 2a )2=b 2−4ac 4a解出x =−b 2a ±√b 2−4ac 2a.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2−4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2−4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.21值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.1一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑x2+˜bx+˜c=0,其中˜b=b/a,˜c=c/a.然后引进新的变量y=x+˜b/2可以消去一次项得到二项方程y2=˜b24−˜c.最后开平方解出y=±√˜b2−4˜c2,再代入x=y−˜b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程x3+bx2+cx+d=0.类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.2三倍角公式在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.考虑三倍角余弦公式cos3θ=4cos3θ−3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3−3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.53另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.5一般地,定义多项式序列T(x)=1,T1(x)=x,T n+2(x)=2xT n+1(x)−T n(x),(n∈N).2注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =−3/4且−1/4≤q ≤1/4时,y 3−34y +q =0可以用代换q =−(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (−4q )+2kπ3),其中k ∈{0,1,2}.顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,当r 3/rp =−4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√−p /3,就可以归结为4cos 3θ−3cos θ−4q r 3=0.只要−4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.63Vieta 代换和Cardano 公式上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.6如果引进双曲函数sinh θ=12(e θ−e −θ),cosh θ=12(e θ+e −θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ−3cosh θ,则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.3由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换y =r cos θ=rz 2+r 2z,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =−p 3w,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=−4p /3.有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元y =w −p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到w 3−p 327w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程w 6+qw 3−p 327=0,于是w 是w =3√−q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为y 1=w 0−p 3w 0,y 2=ζw 0−p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0−p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=−1+√3i 2.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,−p /(3w 0),−ζp /(3w 0),−ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论4哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.4历史意义在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.5练习题1.在复数域上解方程x 3−24x −32=0.2.在复数域上解方程x 3+5x 2−8x −28=0.3.在复数域上解方程x 3−3i x 2−(1−12i )x −25i =0.4.求3√39√69+324−3√39√69−324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.55.若方程x3−3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21−x23=x1−x2.6.若p,q是给定的实数,记∆=(p/3)3+(q/2)2.证明:•若∆>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;•若∆=0,则(1)有三个实根,并且有重根;•若∆<0,则(1)有三个不同的实根.7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3−3xyz,并由此推导Cardano公式.8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加上2ux2+u2得到(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.10.证明:cos20◦是无理数.6。

现在最常用的解一元三次方程公式

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在解一元三次方程时，我们通常会使用下面介绍的公式。

解一元三次方程专题

解一元三次方程专题---一元三次方程是指次数最高为三次的方程，通常的形式为：$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$解一元三次方程的方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。

---方法一：分离变量法分离变量法是一种常用的解一元三次方程的方法。

它的基本思想是将方程中的$x$和常数项用不同的符号表示，然后将方程化为两个关于不同变量的方程，进而求得解。

具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。

2. 令$x=y-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$y$为变量的形式。

3. 将变量分离，得到两个方程。

4. 解两个方程，得到$y$的值。

5. 将$y$的值代入$x=y-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。

注意：分离变量法只能得到方程的实数根。

---方法二：高斯消元法高斯消元法是解一元三次方程的另一种常用方法。

它的基本思想是通过变量替换和高斯消元的操作，将方程化为一个二次方程和一个一次方程，从而求得解。

具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。

2. 令$u=x-\frac{b}{3a}$，将原方程转化为以$u$为变量的形式。

3. 减去方程两边的$d$，得到$u^3+pu+q=0$的形式。

4. 利用高斯消元法求解$u^3+pu+q=0$，得到$u$的值。

5. 将$u$的值代入$x=u-\frac{b}{3a}$，求得$x$的值。

注意：高斯消元法可以得到方程的实数根和复数根。

---方法三：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值解法，可以用来解一元三次方程。

它的基本思想是通过迭代逼近的方式，不断改进初始值，从而求得解。

具体步骤如下：1. 将方程变形，使得方程右边为0。

2. 选取一个初始值$x_0$。

3. 根据牛顿迭代公式 $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，不断迭代，直到满足精确度要求或达到迭代次数。

4. 得到近似解。

注意：牛顿迭代法可以得到方程的实数根和复数根，但要求初始值选择得当。

一元三次方程及解法简介

一元三次方程一元三次方程的标准型为023=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。

【盛金公式】一元三次方程023=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;322-=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22-。

当A=B=0时，盛金公式①： cd b c a b x x x 33321-=-=-===，当Δ=AC B 22->0时，盛金公式②：a y y b x 33123111---=； i ay y a y y b x 63623123113223113,2-±++-=；其中2)4(322,1AC B B a Ab y -±-+=,12-=i .当Δ=AC B 22-=0时，盛金公式③：K a b x +-=1；232K x x -==，其中)0(≠=A ABK .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：aCosa b x 3321θ--=，aSin CosA b x 3)333(3,2θθ±+-=；其中arcCosT =θ，)11,0(),232(<<->-=T A AaB Ab T .【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22-=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22-<0时，方程有三个不相等的实根。

【盛金定理】当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。

高中一元三次方程快速解法

高中一元三次方程快速解法高中一元三次方程是高中数学中的重要内容之一，解法也是需要掌握的基本技能。

本文将介绍一种快速解法，帮助读者更好地理解和解决高中一元三次方程。

一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为待求的未知数。

解一元三次方程的常用方法有因式分解、配方法、待定系数法等，但这些方法在解决复杂的一元三次方程时可能会比较繁琐，需要耗费大量的时间和精力。

因此，我们需要一种更快速的解法。

在介绍快速解法之前，我们先来回顾一下一元三次方程的基本性质。

一元三次方程一般有三个根，这些根可以是实数或复数。

如果方程的系数都是实数，但方程没有实数根，那么它一定有两个共轭复数根。

快速解法的关键在于观察方程的特点，通过变量的替换和简化，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组，从而更容易求解。

具体步骤如下：步骤1：观察方程是否有特殊形式。

有些一元三次方程可以通过观察特殊形式来简化。

例如，如果方程中含有因式(x-a)(x-b)(x-c)，那么方程的根就是a、b、c。

步骤2：变量替换。

通过变量的替换，将一元三次方程转化为二次方程或二次方程组。

常用的变量替换方法有令x=y+m，其中m为常数，通过这种替换可以将方程转化为二次方程。

另外，还可以通过令x=y+z，将方程转化为二次方程组。

步骤3：解二次方程或二次方程组。

将转化后的二次方程或二次方程组进行求解，得到解的表达式。

步骤4：反变换。

将步骤2中的变量替换反过来，得到原方程的解。

通过以上步骤，我们可以快速解决一元三次方程的问题。

下面通过一个例子来说明具体的解题方法。

例题：解方程x^3-5x^2+8x-4=0解法：观察方程，发现方程的系数都是实数，但方程没有实数根。

因此，方程一定有两个共轭复数根。

步骤1：由于方程没有特殊形式，我们需要进行变量替换。

令x=y+1，将方程转化为(y+1)^3-5(y+1)^2+8(y+1)-4=0展开并化简得y^3-4y^2+3y=0步骤2：解二次方程。

一元三次方程公式大全

一元三次方程公式大全
一元三次方程是指形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的三次方程。

解一元三次方程的方法有很多种，可以通过因式分解、换元法、牛顿法、Cardano公式等多种方法来求解。

下面我将从不同角度介
绍一元三次方程的求解方法和公式。

1. 因式分解法：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，如果能够
因式分解为(x r)(ax^2 + bx + c) = 0的形式，其中r为实数根，
那么我们可以先通过因式分解找到一个实数根，然后再使用因式分
解或者配方法求得另外两个根。

2. 换元法：
通过变量代换的方法，将一元三次方程转化为二次方程的形式，然后利用二次方程的求根公式来求解。

3. 牛顿法：
牛顿法是一种迭代逼近的方法，通过不断迭代计算，可以逼近一元三次方程的根。

4. Cardano公式：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，Cardano公式给出了其解的表达式，但是由于其表达式较为复杂，实际应用中并不常用。

总的来说，一元三次方程的求解方法有很多种，选择合适的方法取决于具体的问题和方程的形式。

在实际应用中，常常需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解一元三次方程。

希望以上介绍对你有所帮助。

怎么解一元三次方程一元三次方程的解法有哪些

怎么解一元三次方程一元三次方程的解法有哪些一元三次方出一直是同学们比较难过的一个坎，很多同学不知道该如何解开它，以下是由编辑为大家整理的“怎么解一元三次方程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

怎么解一元三次方程一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以(2)可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q，化简得(6)A+B=-q，AB=-(p/3)^3(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a(9)对比(6)和(8)，可令A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)可化为(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a代入(11)可得(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)式(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

一元三次方程的解法详细

详细一元三次方程023=+++d cx bx ax 的解法先把方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式：令aby x 3-=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-d aby c a b y b a b y a 0)3()932()273(222332223=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a b a y b a by y a03932273232223223=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay0)3272()3(2323=-++-+a bcab d y a bc ay 0)3272()3(233223=-++-+a bca b a d y a b a c y如此一来二次项就不見了，化成03=++q py y ，其中223a b a c p -=，2333272abca b a d q -+=。

---------------------------对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式：3323321)3()2(2)3()2(2pq q p q q y +--+++-= 33223322)3()2(2)3()2(2pq q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω 33233223)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω 其中i 31+-=ω。

32)3()2(p q +=∆是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。

附：方程03=++q py y（2）求根公式的推导过程：不妨设p 、q 均不为零，令v u y += （3）代入（2）得，0)3)((33=+++++q p uv v u v u （4）选择u 、v ，使得0p 3uv =+，即3puv -= （5）代入（4）得，q v u -=+33 （6）将（5）式两边立方得，27333p v u -= （7）联立（6）、（7）两式，得关于3u 、3v 的方程组：32733333p uv p v u qv u -=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+　，且于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t 的一元二次方程02732=-+p qt t 的两根3u 、3v 。

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

一元三次方程通解

一元三次方程通解中学的时候学过一元二次方程的求解公式。

有没有解一元三次方程的公式？目录1.1. 化归思想回顾一元二次方程：ax^2+bx+c=0它的公式解的来源于通过配方将问题转化为一个简单二次方程和一个一般一次方程：x^2=a(a\in\mathbb{r}) \\ ax+b=0(a\neq 0)即得到如下式子：(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}要算出一个完全正方形的目的，因为这样可以把问题变成已知问题。

总结我们的菜谱技巧，本质就是转化的思想，转化就是把未知的问题变成已知的问题。

1.2. 一元三次方程给出实数系三次方程的一般形式：ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)\tag{1}我们采用化归思想来寻找公式解：1.2.1. 化归为缺省二次项的三次方程为了归一化最高次，我们总可以除以最高次的系数a，得到如下多项式：x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0，其中b'=\frac{b}{a},c'=\frac{c}{a},d'=\frac{d}{a}即公式(1)转为如下形式x^3+b'x^2+c'x+d'=0到这步的时候，没有任何方向的时候，开始思考如何减少次数项的次数，于是就有了z=x+\frac{b'}{a}，从而可以消去二次项，得到：z^3+pz+q=0,其中p=c'-\frac{b'^2}{3},q=\frac{2b'^3}{27}-\frac{b'c'}{3}+d' 1.2.2. 归结为解二次方程这一步非常巧妙，通过多元来降低次数。

令z=u+v,得到(u^3+v^3)+(u+v)(3uv+p)+q=0 \tag{2}由于人为地引入了一个额外的自由变量，我们可以为方程(2)找到两组约束(并满足原方程)，形成方程的解，它等价于方程(1)的解。

因式分解一元三次方程的解法

因式分解一元三次方程的解法因式分解一元三次方程是解决代数问题中的一种常见方法，它可以将复杂的三次方程转化为简单的一次方程，从而求出方程的解。

本文将介绍因式分解一元三次方程的解法，并通过实例进行演示。

一元三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。

为了解这个方程，我们可以先尝试使用因式分解的方法来对其进行简化。

在进行因式分解之前，我们需要先找出方程中的公因式。

通常情况下，我们可以通过试除法来找出公因式。

首先，我们可以尝试将方程中的x因子提取出来，得到x(ax^2 + bx + c) + d = 0。

接下来，我们需要对括号中的二次多项式进行因式分解。

对于二次多项式ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式或配方法来进行因式分解。

具体的方法取决于方程的具体形式。

以求根公式为例，对于一般形式为ax^2 + bx + c的二次多项式，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

通过求根公式，我们可以得到二次多项式的两个根x1和x2。

将求得的根带入到方程x(ax^2 + bx + c) + d = 0中，我们可以得到两个新的一次方程：x1(ax1^2 + bx1 + c) + d = 0和x2(ax2^2 + bx2 + c) + d = 0。

我们可以将这两个一次方程进行因式分解，得到最终的解。

具体的方法与一次方程的因式分解相同，可以使用试除法或配方法。

通过因式分解，我们可以得到方程的解。

下面，我们通过一个实例来演示因式分解一元三次方程的解法。

假设我们有一个方程2x^3 + 5x^2 + 3x + 6 = 0，我们可以首先尝试将x因子提取出来，得到x(2x^2 + 5x + 3) + 6 = 0。

接下来，我们需要对括号中的二次多项式进行因式分解。

根据求根公式，我们可以求得二次多项式的两个根x1和x2。

求一元三次方程的解法

求一元三次方程的解法哎，大家好，今天咱们聊聊一元三次方程，听起来是不是有点高深莫测？这玩意儿就像那天晚上你找不到的车钥匙，晦涩难懂，但只要找到正确的办法，保证你能把它搞定，真心不难。

一元三次方程，顾名思义，里面有个“x”的三次方，那就是咱们要解的方程。

想想咱们平常生活中的小烦恼，比如今天晚上吃什么，有时候选择多得让人头大，一样的道理。

三次方程的形式一般是这样的：ax³ + bx² + cx + d = 0。

哇，听着是不是有点复杂？只要心里有数，就好比知道冰淇淋的味道，其他的都不算什么。

解决这方程的第一步就是要找出它的根，想象一下，就像寻找失散多年的老朋友。

咱们可以用一些技巧来找到这些根。

比如说，试试“代入法”，把一些简单的数字代进去，看看会不会让方程成立。

就像你在游戏里试试不同的角色，看看哪个能帮你通关一样。

很多时候，直接试试整数，比如1、1，甚至0，都是个不错的主意。

再说了，根的数量可是非常有趣的，三次方程最多能有三个根，有可能都是实数，有可能有复数，甚至可能有些重复的根。

就像你聚会的时候，能不能遇到老同学，运气好的话，能看到不少，运气不好的话，可能就只有一个。

这就是数学的奇妙之处，让人欲罢不能。

如果实在找不到根，咱们可以用更为高大上的“求根公式”。

说实话，这个公式就像是一把万能钥匙，能帮你打开所有的门。

公式看上去可能有点吓人，像是天书一样，但别怕，其实就是把方程的系数代入公式，然后一步一步来。

记得你小时候解谜游戏的时候，得耐心点，答案就藏在你细心探索的每个角落里。

有的时候，咱们也可以用图像的方式来理解。

拿纸笔，画出这个方程的图像，看看它是怎样穿越坐标轴的。

方程的根就是图像与x轴的交点，想象一下，那些交点就像是你人生路上的几个重要节点，让你明白了什么是对，什么是错。

咱们的三次方程还有个小秘密，就是它的判别式。

这个小家伙能告诉你方程的根的性质。

简单来说，判别式的值可以帮助你判断有多少个实根。

一元三次方程

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。

所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。

这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

一元三次方程因式分解技巧一元三次方程求根公式

一元三次方程因式分解技巧一元三次方程求根公式一元三次方程因式分解技巧:因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

一元三次方程因式分解技巧因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。

当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。

导数求解法利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。

如,移项得,设,y2=-1,y1的导数y1'=3x²+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。

盛金公式法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。

当Δ=0时，盛金公式3不存在开方；当Δ=0(d≠0)时，卡尔丹公式仍存在开立方。

与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。

重根判别式A=b²-3ac；B=bc-9ad；C=c²-3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B²－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

一元三次方程的15种解法

一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。

解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。

本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。

1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。

2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。

具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。

3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。

具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。

4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。

具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。

一元三次方程的解法

i 1,2,3 Y { yi | y 3 py q 0, y C}
3. 通过
x F 1 y
反变换求出方程的解集
i 1,2,3。 X {xi | ax 3 bx 2 cx d 0, a 0, x C}
下面就按照这三个步骤求出三次方程的解。
1 a 1 a 1 a
a 0 ax 3 bx 2 cx d 0
在复数域内的解。
Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.
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一元三次方程的解法
一元三次方程的解法
对一元三次方程
a 0 ， ax 3 bx 2 cx d 0
用代数方法求解其在复数域内全部解的步骤，可以分为以下三个步骤。 1. 通过线性变换
y F x
将方程变化为无二次项的三次方程
y 3 py q 0
2. 求解上述方程的解集
如何变换？
则设存在线性变换
k 0 y F x kx h
使得
a 0 ax 3 bx 2 cx d 0
k 和 h 。将方程
y＝kx h
代入
y 3 py q 0
并整理得
k 3 x 3 3hk 2 x 2 3h 2 k pk x h 3 ph q 0
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一元三次方程的解法
如何进行反变换？
由
y F x 3 a x
可知
b
2
3a 3
x F 1 y 3
于是解出
1 b 1 y 3 a 3 a

中学代数研究---一元三次方程通解求法

关于一元三次方程通解的解法设有一般一元三次方程320ax bx cx d +++=（0a ≠），我们对它先进行化简，目标是将它的二次项系数化为0，这种想法的由来是因为我们通过实践发现无二次项的一元三次方程比较容易求解，因此，我们想到先除去二次项，然后再求解；具体做法是：令x y k =+其中k 是一个待定的常数，将其代入原一般一元三次方程320ax bx cx d +++=（0a ≠）中，得到：32()()()0a y k b y k c y k d ++++++= 展开并整理得到： 32232(3)(32)()0ay ka b y k a bk c y ak bk ck d +++++++++=---------○1 取3bk a =-，即 3b x y a=- -------○2 ，将其代入方程○1并整理得：23322()()03273b b bcay c y d a a a+-+-+= ，两边同时除以a 得到： 3y py q ++= --------○3 其中 21()3b p c a a=- ，3212()273b bcq d a a a=-+ 事实上，以上过程也证明了对于任意一个一元三次方程，我们都可以将它化为上述○3的这种形式，这样我们就可以直接求不含二次项的一元三次方程的解了；接下来，我们只要将方程○3的解求出来，就可以自然的求得最原始的一般的一元三次方程的通解了；我们再次将○3式作变换，令y u v =+（其中u 和v 是未知数），并将其代入方程○3得到：3()()0u v p u v q ++++=，化简后得到：33(3)()0u v q uv p u v +++++= --------○4 因为我们用两个未知数u 和v 代替了y ，因此为了减少○4中未知数的个数，我们不妨再要求(3)uv p +=0 -----○5，这样我们就可以得出3p uv =-------○6，将其代入方程○4我们可以得到：330u v q ++=，从而我们就得到以下方程组：333p uv u v q ⎧=-⎪⎨⎪+=-⎩，即 3333327p u v u v q ⎧=-⎪⎨⎪+=-⎩这样我们就可以利用韦达定理知道：3u 和3v 可以看成是一元二次方程32027p z qz +-=的两个根；从而我们利用一元二次方程的求根公式可以得到：32q u =-+，32q v =-从而1u = ，21u u ω= ， 231u u ω= ；1v = ，21v v ω= ， 231v v ω= ；（其中ω= ，2ω=）由于y u v =+，所以将上式进行组合得到以下三个解：111y u v =+ ，2211y u v ωω=+ ，2311y u v ωω=+ 容易发现2y 和3y 是一对共轭的虚根，这与我们已学到的代数基本定理是一致的。

求解含分式的一元三次方程

求解含分式的一元三次方程在数学中，一元三次方程是指具有以下形式的方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d是已知的系数，并且a不等于0。

本文将讨论如何解决含有分式的一元三次方程。

首先，我们来看一个例子，如何解决形如(x+1)/(x-2)的分式方程。

为了解决这个方程，我们可以采用以下步骤：步骤1：将分式方程转化为标准形式的一元三次方程。

要将分式方程转化为标准形式的一元三次方程，我们可以通过消除分母的方法实现。

首先，我们将方程两边的分母乘以(x-2)，得到(x+1) = (x-2) * (ax^3 + bx^2 + cx + d)。

然后，我们可以展开右侧的乘积，得到(x+1) = ax^4 - (2a+b)x^3 + (-2b - c)x^2 + (-2c - d)x + (-2d)。

现在，我们得到了一个标准形式的一元四次方程。

步骤2：将一元四次方程化简为一元三次方程。

由于我们需要求解的是一元三次方程，因此我们需要将以上得到的一元四次方程化简为一元三次方程。

为了实现这一点，我们可以通过合并同类项的方法将其化简。

在这个例子中，我们可以将方程两边的同类项合并，得到ax^4 - (2a+b)x^3 + (-2b - c)x^2 + (-2c - d)x + (1 - 2d) = 0。

现在，我们得到了一个标准形式的一元三次方程。

步骤3：求解一元三次方程。

现在，我们需要解决这个一元三次方程。

由于一般情况下，解析解法比较复杂，我们可以利用数值方法来求解方程的近似解。

常见的数值方法有牛顿切线法、二分法等，这里我们以牛顿切线法为例。

牛顿切线法是一种迭代的求根方法，在每一步迭代中，我们使用切线代替曲线，然后通过切线与x轴的交点作为下一步迭代的起点。

我们可以按照以下步骤应用牛顿切线法：步骤3.1：选择一个初始点作为迭代的起点。

选择一个初始点x0，通常是方程解的一个近似值。

这个初始点非常重要，因为不同的初始点可能会导致不同的解。

一元二次、三次方程的通解

一元二次、三次方程的通解徐厚骏㈠一元二次方程的通解以下形式的一元二次方程我们很容易解x 2-c=0其解为c x ±=，现在要讨论标准型方程ax 2+bx +c =0可改写为02=++a c x a b x ……………⑴如果x 1，x 2为方程的两个根，有根与系数的关系：2121;)(x x ac x x a b =+−=我们对方程⑴进行变换，令ab y x 2−=…………………⑵代入方程⑴，则有0)2(2(2=+−+−ac a b y a b a b y ，整理后为0(4122=+−ac a b y 改写为22244a ac b y −=……………⑶显然，方程⑶的解为2244a ac b y −±=再代入⑵式，得aac b b x 242−±−=………………⑷这就是一元二次方程的通解公式。

㈡一元三次方程的通解一元三次方程式：032213=+++a x a x a x ………………⑸如果x 1，x 2，x 3为方程的三个根，有根与系数的关系：a 1=-(x 1+x 2+x 3)a 2=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3a 3=-x 1x 2x 3也可以求其通解令131a y x −=代入⑸，得03=++q py y ……………⑹其中：22131a a p −=，3121327231a a a a q +−=，令;12−=i ,2742;2742332332p q q B p q q A +−−=++−=则三个根分别是：)(23)(21)(23)(21321B A i B A y B A i B A y BA y −−+−=−++−=+=我们令32427p q +=∆，称作判别式，显然⒈Δ>0时有一个实根和一对复根；⒉Δ=0时有三个实根，特别当042732≠−=p q 时，三个实根中有两个相等，0==q p ，时有三重零根；⒊Δ<0时有三个不等的实根。