公开课等差数列
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1212等差数列及前n项和(公开课)ppt
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汇报人：
01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
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等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算
汇报人：
01 添 加 目 录 文 本
02 等 差 数 列 的 概 念
等差数列的前n项和 03 公 式
04 等 差 数 列 的 应 用
05 等 差 数 列 的 实 例
等差数列的图表表 06 示
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等差数列的概念
等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列的性质 等差数列的应用
项和公式
定义：等差数列的每一项和它前面的那一项的差是一个定值，这个定值叫做公差。 通项公式：an=a1+(n-1)d。 前n项和公式：sn=n/2(a1+an)。 例子：以a1=1，d=2为例，计算前n项和。
通项公式：a_n = a_1 + (n-1) * d 前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) 等差数列的图像特征：二次函数的图像
出前n项和
应用场景：常 用于解决等差 数列的相关问 题，如求和、
判断等
等差数列的应用
等差数列在求和公式中的应用
等差数列在找规律问题中的应用
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等差数列在解决数列问题中的应用
等差数列在解决实际问题中的应用
等差数列可以用于描述粒子运动 规律
等差数列可以用于描述振动和波 动
前n项和公式：sn=(a1+an)n/2
潮汐现象：海水受月亮和太阳的引力而产生的周期性涨落现象 年份：每4年一闰，每100年不闰，每400年又闰 气温：白天和晚上的温度差是一定的，随着时间推移，温度逐渐升高或降低 种植：在农田中种植庄稼，等距离种植保证光照和养分分布均匀生物学中细胞增殖ຫໍສະໝຸດ 次数日常生活中的存款复利计算
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列PPT市公开课一等奖省优质课获奖课件
=2n
当n=1时，a1=0
0
(n 1)
an 2n (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
an
0 (n 1) 2n 1 (n 2)
an＝4n 5
第15页
在某个活动中，学校为衬托节日气氛， 在200米长校园主干道一侧，从起点开始， 每隔3米插一面彩旗，由近及远排成一列， 迎风飘扬。问最终一面旗子会插在终点处 吗？一共应插多少面旗子？
?
03 6 9
…
200
…
第16页
若从距离起点2米开始，每隔3米插一面 彩旗，则在距离起点80米处是否应该插旗？ 若是，是第几面旗子？
?
2 5 8 11 … 80
第17页
12
3
4 n
↓↓ ↓ ↓
↓
25
8
11
↓↓ ↓ ↓
↓
3 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3n 1
an 3n 2. 令 3n 1 80 ，得n 27
第8页
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d. 三数成等差数列，它们和为12，首尾二数 积为12，求此三数.
第9页
例.已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项
解：a1=1,
1
a2
1 1
2
a4
1
2 3
5 3
13 a3 1 2 2
第7页
例题分析
例 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
2.4等差数列前n项和公开课(第一课时)课件人教新课标
如何算的呢？
高斯 (1777—1855） 德国著名数学家
我们先看下面的问题.
怎样才能快速计算出一堆钢 管有多少根呢？
(1)先算出各层的根数， (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：
一 4+10=14
二 5+9=14
三
6+8=14
四 7+7=14
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
Sn
n(a1 2
an )
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
即Sn=an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
说明：两个求和公式的使用-----知三求二.
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn
n(a1 2
an )
这种求和的方 法叫倒序相加 法！
等差数列的前n项和公式的其它情势
Sn
n（a1 2
高斯 (1777—1855） 德国著名数学家
我们先看下面的问题.
怎样才能快速计算出一堆钢 管有多少根呢？
(1)先算出各层的根数， (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：
一 4+10=14
二 5+9=14
三
6+8=14
四 7+7=14
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
Sn
n(a1 2
an )
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
即Sn=an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
说明：两个求和公式的使用-----知三求二.
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn
n(a1 2
an )
这种求和的方 法叫倒序相加 法！
等差数列的前n项和公式的其它情势
Sn
n（a1 2
小学奥数等差数列省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
例题
• 1、求等差数列3，5，7，9…..旳第10 项和第100项。
例题
例、电影院旳座位排列成扇形，第一排有60 个座位，后来每一排都比前一排多两个座位，共 有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个 座位？
第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最终一排即第50排：60+2X(50-1)=158
+1 +1 +1 +1 +1 +1
(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,(128 ) …等比数列
×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2
(3)1, 4， 9， 16,（ 25 ），36，平…方数列
1×1 2×2 3×3
4×4
(4) 1,2，3 ,5，8, 13，21 ，（ 34 ）…斐波拉
契数列
第50项与倒数第50项旳和：50＋51＝101，
于是所求旳和是：
101 100 5050. 2
一、定义：
一般地，假如一种数列从第2项起，后一项与它旳前一项旳
差等于同一种常数，那麽这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列旳公差，公差一般用字母d表达。
公差 = 第二项－首项
例 1： 观察下列数列是否是等差数列：
2
例题
例、求首项为5，末项为155，项数是51旳等差数列旳和。 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2
解：（5＋155）×51÷2 =160×51÷2 =80×51 =4080
例题
例、1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2 解：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99
等差数列优质说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解：∵an是等差数列，且 1＋17＝13＋5＝2×9， ∴a1＋a17＝a5＋a13＝2a9. ∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
题型二 等差数列的综合应用
【例
2】
等差数列an
的第
5 项为
5，第
10 项
为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？
答案：仍是等差数列
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
预习测评
1．在等差数列an
中，
a3，a9
是方程
2x2－x－7＝0
的两根，则 a6＝
()
1 A.2
1 B.4
C．－72
D．－74
解析：由韦达定理 a3＋a9＝12＝2a6⇒a6＝14，故选 B.
答案：B
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
2．等差数列an中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
特别注意：“数列an中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的．
3．等差数列an中，若公差 d＞0，则数列an为递 增数列；等差数列an中，若公差 d＜0，则数列an为递 减数列．
()
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
题型二 等差数列的综合应用
【例
2】
等差数列an
的第
5 项为
5，第
10 项
为－5，问此数列中第一个负数项是第几项？
答案：仍是等差数列
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
预习测评
1．在等差数列an
中，
a3，a9
是方程
2x2－x－7＝0
的两根，则 a6＝
()
1 A.2
1 B.4
C．－72
D．－74
解析：由韦达定理 a3＋a9＝12＝2a6⇒a6＝14，故选 B.
答案：B
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
2．等差数列an中，若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
特别注意：“数列an中，若 m＝p＋q，则 am＝ap ＋aq”是不一定成立的．
3．等差数列an中，若公差 d＞0，则数列an为递 增数列；等差数列an中，若公差 d＜0，则数列an为递 减数列．
()
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac
＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
误区解密 注意题目中的隐含条件
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
等差数列名师大课堂获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
8844.43米
高度(km) 1
2
3
45
…
减少6.5
9
温度(℃) 28 21.5 15 8.5 2
…
-24
(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.
你能根据规律在（ ） 内填上适宜的数吗？
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）. ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. (3) 1，4，7，10，（13 ），16，… (4) 2， 0， -2， -4， -6，（-8 ）…
在过去的三百 数年里，人们 分别在下列时 间里观察到了 哈雷慧星：
相差76
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
你能预测出下一次 的大致时间吗？
主持人问: 近来的时间什么时 候能够看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左 右。
普通状况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表预计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
练一练
1.课本第39页 1 2.-2与10的等差中项为—————— 3.在等差数列{an}中,已知a3=21 ，a8=36 ,求通项公
式an 。
课堂小结
本节课学习的重要内容： 1.等差数列的定义； 2.等差中项的定义； 3.求等差数列通项公式。
课外作业
课本第40页A组 第1题
解得 n 100
例2 在等差数列an中，已知a5 10, a12 31,求： 数列an 的通项公式。
解：由题意得：
a1 4d 10 a1 11d 来自1解得：a1 2, d 3
等差数列市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案小班
等差数列教案小班一、教学目标1. 理解等差数列的概念和特点。
2. 学会求等差数列的通项公式。
3. 能够利用等差数列的性质解决实际问题。
二、教学准备1. 教学课件。
2. 黑板、粉笔。
3. 教材及练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）老师将黑板上的标题写出来：“等差数列教案小班”。
引导学生思考什么是等差数列，并提问：你们在生活中遇到过什么样的等差数列的实例？引导学生回答。
2. 概念讲解（15分钟）通过课件呈现等差数列的定义：等差数列是指一个数列，其任意相邻两项之差相等。
也可以说，一个数列，如果从第二项开始，每一项减去前一项得到的差相等，则该数列是等差数列。
然后通过一个具体的实例，如1, 4, 7, 10, ...，引导学生找出其中的规律，即每一项都比前一项大3。
通过这个实例，教师可以进一步解释等差数列的特点。
3. 等差数列的通项公式（20分钟）教师通过课件向学生介绍等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
然后，教师通过具体的例子解释如何利用通项公式求解等差数列的某一项。
例如对于等差数列1, 4, 7, 10, ...，要求第10项的值，可以利用通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=3，n=10，得到an= 1 + (10-1)3 = 1 + 9*3 = 28。
接着，教师通过一些练习题让学生巩固掌握等差数列的通项公式的运用。
4. 实际问题应用（15分钟）教师通过实际问题的应用，让学生将等差数列的概念和求解方法应用到实际生活中。
例如：小明每天从家里到学校的路上，每走100米就会看到一棵树。
已知第一棵树距离家500米，第二棵树距离家600米，求第10棵树距离家的距离。
通过引导，学生可以找到题目中的等差数列，并利用等差数列的通项公式解决问题。
5. 拓展练习（15分钟）教师提供一些拓展练习，让学生进一步巩固和扩展在等差数列方面的知识和技巧。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
等差数列教案第一课时市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
等差数列教案第一课时一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和；3. 能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。
二、教学重点：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和。
三、教学难点：能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入（5分钟）教师可以通过提问的方式导入，例如：“小明种植了一排树木，第一棵树距离大门10米，第二棵树距离第一棵树20米，第三棵树距离第二棵树30米，以此类推，你能发现什么规律？这些数之间有什么特点？”2. 概念解释（15分钟）引导学生讨论并总结出等差数列的概念：“等差数列是指数之间的差值相等的数列。
在等差数列中，我们称这个差值为公差，用d表示。
”教师可以给出示例，如1, 3, 5, 7, ...等，并解释数列中的每个数依次加上公差d就可以得到下一个数。
3. 列出通项公式（15分钟）通过示例引导学生找出等差数列的通项公式。
以示例1, 3, 5, 7, ...为例，学生可以发现每个数都可以表示为a + (n-1)d的形式，其中a为第一个数，n为项数，d为公差。
因此，该等差数列的通项公式为an = a + (n-1)d。
4. 使用通项公式求值（15分钟）教师通过例题演示如何使用通项公式求等差数列中的某一项的值。
例如：“求等差数列1, 3, 5, 7, ...中第10项的值。
”学生可以利用通项公式an = a + (n-1)d，将a设为1，d设为2，n设为10，代入公式计算得到an的值为...5. 求等差数列的和（15分钟）引导学生思考如何求等差数列的和，并给出等差数列求和的公式：Sn = n/2 (2a + (n-1)d)，其中Sn表示等差数列的和。
教师通过例题演示如何使用求和公式计算等差数列的和。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
公式2
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
等差数列课件公开课
an=a1+(n-1)d=4n-1 ∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得
n=107/7 N
∴102不是这个数列的项。
∴a10=33
数学建模思想
课时小结
• 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定
义及数学表达式： an+1-an=d(n∈N*);
• 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n ∈N*)
• 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中 任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
解得：a1=-4，a2=-1， a3=2，a4=5， a5=8
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3 求前五项
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3
解得： a1=3，
a5=a4+1=7
a2=a1+1=3+1=4，
连州市第二中学 高一(5)班 刘望
复习回顾
数列的定义及简单表示法： 按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
数列有哪几种表示方法？ 通项公式法、列表法、图象法、递推公式.
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列·的通项公式。
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000···
n
a -a =d（n=2，3, 22 1 , 23, 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26...
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四：总结 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式及其简单运用 3. 等差数列与一次函数的关系。
五：巩固练习
1. 课本P39 第4题做在课堂作业本上，其余4题 做在书本上 2. 课本P40页1，3，4做在书本上。
3. 创新设计等差数列（一）
思考
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
( 3 ) a,
(
ab ) ,
2
b
（2）-12，( -6 ) ，0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫Fra biblioteka与b的等差中项。
A ab 2
2. 已知等差数列 an 的递推公式为 an1 an d 首项为 a1 ，探究等差数列的通项公式。
三：深入探究
3. 直角坐标系中画出通项公式为 an 3n 5 的 图像，图像有什么特点？
4. 直角坐标系中画出函数为 y 3x 5 的图像，比较 两个图像的关系。
5. 一般地 ， an pn q 的图像与 y px q 的图 像的关系？
2. 一般地，若一个数列具有上述特点，称之为什么数列？
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表 示. 即 an1 an d或an1 an d
3. 数列①②③④是等差数列吗？如果是，公差 分别等于多少？
2.2 等差数列
教师 ：李文 赤水一中 数学组
2017. 5. 11
一：复习引人
1．数列定义，数列分类，数列的表示方法。
2．数列是一列数，而对于数我们有加，减，乘， 除运算，能不能像研究实数一样，研究数列项与 项之间的关系？
二：自主学习
1. 阅读课本 P36 页, 并小组讨论数列①②③④ 有什么共同特点？ 答：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
答：是；5，5，-2.5，72。 4. 你能举一些日常生活中等差数列的例子吗？
路灯，楼梯，衣服尺码......
5. 最简单的等差数列是什么？应含有几项？
答：由三个数 a, A,b 组成的数列可以看成最简单
的等差数列。其中A 叫做 a 与 b 的等差中项。
三：深入探究 1. 你能否利用归纳猜想的方法给出①②③④等差 数列的通项公式？