勾股定理及逆定理

勾股定理

【知识点梳理】

1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222c b a =+。

2、勾股数

满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10； （4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 【考点解析】

考点一：勾股定理的直接应用

例1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A 、第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10

例2．如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ， 则正方形M 与正方形N 的面积之和为2_____cm

例3. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家， 若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家， 小红和小颖家的直线距离为（ ）。

A 、600米

B 、800米

C 、1000米

D 、不能确定

考点二：求第三条边的长

例1．若Rt ABC 中，90C ︒∠=且c=37,a=12，则b=（ ） A 、50 B 、35 C 、34 D 、26

例2．若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, 22144,25a b ==,则2c =（ ）

A 、169

B 、119

C 、169或119

D 、13或25

考点三：与高、面积有关

例1．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．3

10 C.25 D ．

5

12 例2．等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是2_____cm

【变式练习】

1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25

B 、14

C 、7

D 、7或25

2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3

B 、a=7,b=24,c=25

C 、a=6, b=8, c=10

D 、a=3,b=4,c=5

3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形;

B. 钝角三角形;

C. 直角三角形;

D. 锐角三角形.

4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）

A 、24cm 2

B 、36cm 2

C 、48cm 2

D 、60cm 2

5、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。 A ．122

cm B ．62

cm C ．8 2

cm D ．92

cm

6．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56

B 、48

C 、40

D 、32

7．Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ）

A 、121

B 、120

C 、90

D 、不能确定

8．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A 、25海里

B 、30海里

C 、35海里

D 、40海里

勾股定理的逆定理

【知识点介绍】 1、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1）先确定最大边（如c ）

（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系

（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形； 若2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。

【例题精讲】

例1．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格” ）

例2．试判断：三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是不是直角三角形？

【变式练习】

1．在△ABC 中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m ，求△ABC 三边的长。

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为362cm ，642cm ，则以斜边为边长的

正方形的面积为__________2

cm .

3. 在△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =__________.

4. 一个三角形的三边之比为3：4：5，这个三角形的形状是__________. 5．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 6、直角三角形的三边长为连续偶数，则其这三个数分别为__________.

7. 一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处．旗杆折断之前有__________米.

8. 如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是__________m.

勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

【例题精讲】

题型一：勾股定理的综合应用 例1、 如图1，︒=∠90ACB ，BC=8，

AB=10，CD 是斜边的高，求CD 的长？ （面积法应用）