抽象函数的单调性专题
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
抽象函数单调性与奇偶性1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。
证明：令=0, 则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴又∵在（-1，1）内递减，∴3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x ＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝（0），∴ f（0）＝0，故f （－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝（－1）＝－4，∴ f（x）的值域为［－4，2］。
5. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。
∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。
∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （a b1ab++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维：抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
微专题：抽象函数
抽象函数 一、内容回顾抽象函数,即没有给出具体解析式的函数.由于抽象函数问题可以把函数的三要素、函数性质的考查集于一体，因此在高考试题中常常出现抽象函数问题.1、抽象函数性质（1）单调性：对于函数()f x ，若在定义域内某个区间上任取12,x x ，当12x x <时，都有1212()()(()())f x f x f x f x <>，则称函数()f x 在这个区间上是增（减）函数.（2）奇偶性：对于函数()f x ，若在定义域内任取x ，都有()()(()())f x f x f x f x -=-=-，则称函数()f x 为偶（奇）函数.（3）周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.T 叫这个函数的周期.（ⅰ）若0,()(),a f x a f x ≠+=-则()f x 的一个周期2T a =；（ⅱ）若10,(),()a f x a f x ≠+=±则()f x 的一个周期2T a =. （4）对称性：（ⅰ）若函数)(x f y =的定义域为R ，且()(2)f x f a x =-恒成立，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称，反之亦然；（ⅱ）若函数)(x f y =的定义域为R ，且()(2)2f x f a x b +-=恒成立，则函数)(x f y =的图像关于点(,)a b 对称，反之亦然.例1（2019上饶模拟理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.解 由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+. 优解 由性质知()()()()()114(),51(5)(3).(1)5f x f x f f f f f f f +=∴==-===- 类型二 判断抽象函数的奇偶性例2 （2019宜春模拟理）已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,则()f x 为（ ）.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定解 令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.选B.优解 联想公式cos()cos()2cos cos ,x y x y x y ++-=不妨视()cos f x x =，显然此函数为偶函数，选B.类型三 证明抽象函数单调性例3 （2019宝安单元理）设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=，求证：()f x 在R 上为增函数.证明 在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f =.若(0)0f =，令0,0x y >=，则()0f x =，与()1f x >矛盾.所以()0f x ≠，即有(0)1f =.当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0,()10x f x ->->>, 而()()(0)1f x f x f -==，所以1()0()f x f x =>-. 又当0x =时，(0)10f =>,所以对任意x R ∈，恒有()0f x >,设12x x -∞<<<+∞，则21210,()1x x f x x ->->,所以21211211()(()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->.所以()y f x =在R 上为增函数. 类型四 抽象函数的周期性例4 （2018全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足(1)(1),f x f x -=+若，则（ ）.A ．50-B ．0C ．2D ．50解 因为是定义域为的奇函数，且，所以，，，因此，，，，从而，选C ．优解 由题设知，()f x 关于原点对称，且关于直线1x =对称，类比正弦函数的图像，可知()f x 的一个周期为4(10)4,(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(2)0,T f f f f f f f f =-=∴+++=+--=，从而，选C ． 例5 （2019宝安单元理）已知函数()f x 的定义域为R ,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ； (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n ∈N ；(3)判断函数()f x 的单调性,并证明.解 (1)令12m n ==，则1111()2()2222f f +=+1(1)2f ⇒=. （2）∵1(1),2f =111(1)(1)()()()1222f n f f n f n f n +=++=++=+ ∴(1)()1f n f n +-=，∴数列{}()f n 是以12为首项,1为公差的等差数列， 故(1)(2)(3)...()f f f f n ++++=(1)22n n n -+=22n =. (3)任取1212,,x x x x ∈<R 且,则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-()f x (,)-∞+∞(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…()f x (),-∞+∞()()11f x f x -=+()()11f x f x +=--()()()311f x f x f x ∴+=-+=-4T ∴=()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()3142f f f f =-=-，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()22220f f f f =-=-∴=()()()()()1235012f f f f f ++++==()()()()22220f f f f =-=-∴=()()()()()1235012f f f f f ++++==211121211111()()()()()()0,2222f x x f x f x f x x f x x f =-++-=-+=-+>> 12()().f x f x ∴<故函数()f x 是R 上的单调增函数.三、方法总结1.计算函数数值：抽象函数值的计算，一般采用赋值方法.如何赋值，不但取决于函数定义域，还需要根据题设的具体情况.如果自变量的数值较大，则可能要关注抽象函数的周期情况.2.判断奇偶性质：解题时，应紧扣定义，先判断定义域是否关于原点对称，再看是否满足()(),f x f x -=或()()f x f x -=-；若给出的条件涉及x 、y 两个变量，则可考虑对其中一个变量以恰当的特值，如0，使之变成一个变量.3.证明单调性质：首先是基于函数定义域，在依照函数单调性定义进行证明. 如遇思维受阻，可以透过所给抽象函数关系，寻觅隐藏在背后的具体函数进行类比推理证明.4.性质综合求解：综合求解问题，不仅可以涉及以上纵向的多层面的知识方法，还可涉及不等式、数列等横向的数学知识方法.解决此类问题的关键在于，搞清问题结构，针对问题题型，采取相应的求解策略，如对选填题，常常可以采取特值法，归纳推理求解；对于解答题，可以采取化整为零的解题策略.四、高考链接1.（2014全国1卷）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）.A..()f x ()g x 是偶函数B.()f x |()g x 是奇函数C..()f x |()g x |是奇函数D.|()f x ()g x |是奇函数解析 设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.2. (2014湖南理)已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x -=321x x ++，＝（ ）.A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 用x -换x ，得32()()()()1f x g x x x ---=-+-+，化简得 32()()1f x g x x x +=-++，令1x =，得(1)(1)1f g +=，选C ．3.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<解析 由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．4.（2017全国1卷）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）.A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，选D ．(),()f x g x (1)(1)f g +则5. (2014山东理)对于函数()fx ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）.A ．()f x x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+解析 由()(2)f x f a x =-可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；选D ．6.(2011陕西理)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+= ,则()y f x =的图像可能是（ ）.解析 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B ，D 符合；由得是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，选B ．7. (2016山东理)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时， ；当 时， ；当 时，，则f (6)= （ ）. A ．−2B ．−1C ．0D ．2 解析 当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，选D ．8.( 2016全国2卷理)已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）.A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析 由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，选B ． ()()f x f x -=()y f x =()y f x =y (2)()f x f x +=()y f x =3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-9. (2018北京理)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．解析这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如()sin f x x =，答案不唯一．10.(2014全国2卷)偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=___．解析 ∵函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==．11.(2016天津理)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32. 12. (2014湖北理)设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(b a c b a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数． (Ⅰ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数；(Ⅱ)当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数b a ab +2； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析 过点(,())a f a ，(,())b f b -的直线的方程为()()()()f a f b y f a x a a b +-=--， 令0y =得()()()()af b bf a c f a f b +=+．()()()()af b bf a f a f b +=+()()()()a b bf a af b ⇒+=+，可取()0)f x x =>． （Ⅱ）令调和平均数2()()()()ab af b bf a a b f a f b +=++，得()()()()ab ba af b bf a a b f a f b ++=++，可取()(0)f x x x =>．五、巩固提高1.（2019邵阳联考理）若函数()f x 的定义域为[0,6]，则函数()3f x x -的定义域为（ ）. A.(0,3) B.[1,3](3,8] C.[1,3) D.[0,3)解析 ∵函数()f x 的定义域为[0,6] ,由02603,30,x x x ≤≤⇒≤≤-≠∴函数()3f x x -的定义域为[0,3)．选D ．2.（2019九江模拟理）已知函数()f x 满足：①对任意,()()0,x f x f x ∈+-=R(4)()0f x f x ++-=成立；②当(0,2)x ∈]时，()(2),f x x x =-则(2019)f =（ ）.A ．1B ．0C ．2D ．﹣1解析 ()()0,()f x f x f x +-=∴为奇函数. (4)()0,f x f x ++-=(4)(),f x f x ∴+=故()f x 是以4为周期的奇函数，(2019)1)(1)1,f f f ∴=-=-=选A ．3. (2019湖南师大附中月考理)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)都是偶函数，且f (1)＝1，则f (－1)＋f (7)＝（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ∵y ＝f (－x )为偶函数，∴f (－(－x ))＝f (－x )，∴f (－x )＝f (x )，∴y ＝f (x )为偶函数，∴当x ＝1时，有f (－1)＝f (1)＝1.又y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，∴f (x －2)＝f (x ＋2)．则f (x )＝f (x ＋4)，∴函数y ＝f (x )为周期函数，且周期为4.∴f (7)＝f (8－1)＝f (－1)＝1.故f (－1)＋f (7)＝2.选C.4. (2019唐山期末理)已知偶函数f x 在0,单调递减，若20f ，则满足10xf x 的x 的取值范围是（ ）.A.,10,3B.1,03,C.,11,3D.1,01,3解析 ∵偶函数在单调递减，且，∴函数在单调递增，且．结合图象可得不等式等价于 或，即或，解得或． 故的取值范围为．选A ．5.（2019东北师大附中摸底理）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）.A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )为周期函数，且周期为8，因此f (－25)＝f (－1)<f (0)＝f (80)<f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．选D.6. (2019宜春模拟理)已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1),f x f x +=-且在[1,+∞)上是增函数,不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）. A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1] D.[-2,1]解析 由定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C 两个选项的集合中,B 中集合是D 中集合的子集,故可通过验证a 的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等()f x [)0,+∞()20f -=()f x (),0-∞()20f =()10xf x ->()0{10x f x >->()0{ 10x f x <-<0{ 13x x >-<<0{ 1x x <<-03x <<1x <-x ()(),10,3-∞-⋃式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除A,C 两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤12 ,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除D 选项.综上可知,选B.7. (2019宝安检测理)已知定义在R 上的函数()2y f x =-是奇函数，且满足(1)1,f -=则(0)(1)f f += .解析 函数()2y f x =-为奇函数，(0)20,()2(()2),()()4,f f x f x f x f x -=--=---+=(1)(1)4,(1)3,(0)(1) 5.f f f f f +-==+=8. (2019广东百校联考)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则=-+-)1()1(g f．解析： 由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)] 4.f g f g f g -+-=-+=--=-9. (2019湛江模拟理)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1＋m )＋f (m )<0，则实数德州模拟理已知定义在上的函数在区间上单调递增，且(1)y f x =-的图像关于1x =对称，若满足12(log )(2),f x f <-则a 的取值范围是____________．解析 由于(1)y f x =-的图像关于1x =对称，所以()f x 是偶函数，又()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，故由12(log )(2),f a f <-可得 11221(|log |)(2),|log |2(,4).4f a f a a <∴<⇒∈ 11. (2019宝安单元理)已知函数是定义在上的增函数，且满足对于任意的正实数、，都有()()()f xy f x f y =+，且（1）求的值；（2）解不等式解（1）(2)1,(4)(2)(2)2,(8)(4)(2)21 3.f f f f f f f ==+==+=+=（2）.由函数是定义在上的增函数，则即， 依题设，有，，从而不等式的解集为. )(x f ),0(+∞x y .1)2(=f )8(f .3)2()(+->x f x f )]2(8[)()8()2()(3)2()(->⇔+->⇔+->x f x f f x f x f x f x f )(x f ),0(+∞)2(8->x x 716<x ⎩⎨⎧>->020x x ∴2>x )716,2(12. (2019宝安单元理)已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明：(0)1,0()1f x f x =<>且时,；(2)证明: ()f x 在R 上单调递减；(3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f >,B={(,)(2)1,x y f ax y a -+=∈R }，若,A B =∅试确定a 的取值范围.解 (1)证明 令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=⋅.∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x <<.∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-⇒==>--. (2)证明: 任取1212,,x x x x ∈<R 且,则2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=--211[()1]()f x x f x =--.∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x >∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x >.∴函数()f x 是R 上的单调减函数.(3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =>⇒+>。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域()1,1-内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小4. 已知函数()x f 对任意实数y x ,，均有())()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ， 求()x f 在区间[]1,2-上的值域。
5. 已知函数()x f 对任意R y x ∈,，满足条件())()(y f x f y x f +=+2-，且当0>x 时，()2>x f ，5)3(=f ，求不等式()3222<--a a f 的解。
6.设函数()x f 的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在21x x ≠，使得()()21x f x f ≠，对任何y x ,，())()(y f x f y x f =+成立。
求：（1）()0f ； （2）对任意值x ，判断()x f 值的正负。
7.是否存在函数()x f ，使下列三个条件：①0)(>x f ，N x ∈；② N b a b f a f b a f ∈=+,),()()(；③4)2(=f 。
同时成立？若存在，求出()x f 的解析式，如不存在，说明理由。
8.设()x f 是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f求：（1）()1f ；（2）若()x f ＋()28≤-x f ，求x 的取值范围。
9. 已知函数()x f 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f xy f =，且()11=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，()[)1,0∈x f 。
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。
小专题之抽象函数的单调性
(2)任取 x 1 x 2 ，令 a x 1 x 2 ，b x 2 ， 得 f (x1 x2 x2) f (x1 x2) f (x2) 2024 ， 化简得 f (x1) f (x1 x 2 ) f (x 2 ) 2024 ， 即 f (x1) f (x 2) f (x1 x 2) 2024 ， 因为 x 1 x 2 0 ，所以 f (x 1 x 2 ) 2 0 2 4， 所以 f (x1) f (x 2 ) 0，故有 f (x 1) f (x 2 ) ， 所以 f (x) 在 R 上单调递增.
解：(1)令 a b 0 ，得 f (0) f (0) f (0) 1 解得 f (0) 1 .
(2)任取 x 1 x 2 ，令 a x 1 x 2 ，b x 2 ， 得 f (x1 x 2 x 2) f (x1 x 2) f (x 2) 1 ， 化简得 f (x1) f (x1 x 2 ) f (x 2 ) 1 ， 即 f (x1) f (x 2) f (x1 x 2) 1 ， 因为 x 1 x 2 0 ，所以 f (x 1 x 2 ) 1 ， 所以 f (x1) f (x 2 ) 0，故有 f (x 1) f (x 2 ) ， 所以 f (x) 在 R 上单调递增.
(3)因为 f (1) 2025 ，所以 f (2) f (1) f (1) 2024 2026 ， 所以 f (x 2 x) 2026 就等价于 f (x 2 x) f (2) ， 由(2)知 f (x) 在 R 上单调递增，
所以有 x 2 x 2 ，解得 1 x 2 ， 所以解集为 (1，2) .
解：(1)令 x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) 解得 f (0) 0 或 f (0) 1 ， 若 f (0) 0 ，令 x 1，y 0 ，则 f (1) f (1) f (0) 0 ，矛盾 所以 f (0) 1 .
抽象函数的一般解题,单调性构造,方程形式
一、抽象函数常见问题：1、定义域（就是自变量x 取值范围）：整体替换，2、简单求值问题：主要就是赋值，主要赋值有0、1、2、-1、-23、综合问题（求值和解不等式）：一般2种方向：赋值和构造函数 其目的就是构造f(x)<f(m)或f(x)=f(n)的形式，从而达到去掉“马甲 ”f, 难题可以多次赋值，从而达到构造目的二、抽象函数单调性常见构造形式：1、f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1）+f(x 1)即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1）2、f(x 1)+f(x 2)=f(x 1+x 2)-a构造为f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)-a3、f(x 1/x 2)=f(x 1)-f(x 2) 直接设x 1，x 2，函数直接作差即可4、f(x 1*x 2)=f(x 1)*f(x 2)构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)*f(x 1)即f(x 2)/f(x 1)=f(x 2-x 1)三、几个常见抽象函数的方程：(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.f(x/y)=f(x)-f(y)(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()c o f x x =,正弦函数()s i g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x →==.（6）正切函数f(x)=tanx,f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1-f(x)f(y))或f(x-y)=(f(x)-f(y))/(1+f(x)f(y))。
抽象函数难点突破---单调性和奇偶性综合习题
D f ( ) f (2) f (3)
3.已知偶函数
f (x) 在区间0, ) 单调递增，则满足
f (2x 1) ＜
f (1) 3 的x
取值范围是
12
2
12
A．（ 3 ， 3 ） B．（ ， 3 ） C．（ 2 ， 3 ）
2 , D． 3
4.已知定义域为(－1，1)的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a－3)+f(9－ a 2 )<0, 则 a 的取值范围是( )
A． a 1 ，b＝0 3
B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0
D．a＝3，b＝0
3．已知 f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且 f（－2）＝10，那么 f（2）等于（ ）
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
x2 2
4．函数 f (x)
的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
1 x2
，满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当 x＞0 时，f（x）＞2，f（3） 的解。
12、设 f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足 （1）f（1）； （2）若 f（x）＋f（x－8）≤2，求 x 的取值范围。
第 8 页 共 10 页
，求：
九州教育习题
13.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x＞0 时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是 R 上的增函数；
第 7 页 共 10 页
九州教育习题
9．设
是定义在
上的增函数，
，且
的 x 的取值范围.
，求满足不等式
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
专题三抽象函数的单调性与奇偶性抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力，同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。
因此，抽象函数问题倍受命题者的青睐，体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。
然而，由于抽象函数问题比较抽象，学生难以理解和接受，教材也没有很好地讲解处理，因此这类问题时常困惑着不少师生。
但是，这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。
因此，本文将从解题思路及方法方面谈点看法。
首先，我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型，如正比例函数、幂函数、指数函数等。
若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质，这样一种认识规律。
对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意；同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。
其次，对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。
比如，抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值，抽象函数单调性的判断一般用定义，解关于抽象函数的不等式，一般利用用单调性脱去f。
综上所述，虽然抽象函数问题比较抽象，但是通过利用特殊模型和特殊方法，我们可以更好地解决这类问题，培养学生的数学思维能力和创新思维。
3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有$f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时，$f(x)<0$。
已知$f(1)=-2$。
高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。
而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 （定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；第三步 （去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规X.例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，某某数a 的取值X 围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得231231a -<<，而2313-<-，所以3231a -≤<， 综上，实数a 的取值X 围是(]5,3-- 【变式演练1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值X 围为（ ） A.22t -≤≤ B.2t ≤-或2t ≥ C.0t ≤或2t ≥ D.2t ≤-或2t ≥或0t = 【答案】D 【解析】试题分析：由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1，所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立，当0t ≠时，则220t at -≥成立，又[1,1]a ∈-，令()22,[1,1]g a at t a =-∈-，当0t >时，()g a 是减函数，故令()10g ≥，解得2t ≥；当0t <时，()g a 是增函数，故令()10g -≥，解得2t ≤-，综上所述，2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值X 围是（ ）A. (),0-∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,+∞ 【答案】D【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=； （3）解不等式1(2)()02f f x +-≤．【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ．考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x yf x f y f x y++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）21111()()()()1119553f f f f n n +++>++，其中*n N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题（3）211()1(3)(2)23()[][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++ 1111()()()()2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111()()()111955f f f n n +++++111111[()()][()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()()3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111()()()333f f f n +->+．故21111()()()()1119553f f f f n n +++>++．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和． 【高考再现】1.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值X 围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 【解析】又()f x 在()-∞+∞，单调递减 【解析】121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D2.【2017某某理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C3. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.4.【2015高考，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.5. 【2014高考某某版理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D6. 【2014某某理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．12πD ．18【答案】B 【解析】考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.7. 【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)22考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 【反馈练习】1. 【2017-2018学年某某省某某市高一上学期第一次联考数学试题】函数()y f x =在R 上为增函数，且()()29f m f m >+，则实数m 的取值X 围是( )A. ()9+∞，B. [)9+∞，C. (),9-∞-D. (]9-∞， 【答案】A2．【2018届某某省某某市第一中学高三10月调研数学（理）试题】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A. ()()2,02,-⋃+∞B. ()(),20,2-∞-⋃C. ()(),22,-∞-⋃+∞D. ()()2,00,2-⋃【答案】D 【解析】函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，()()0f x f x x--<，化为()20f x x<，等价于()0xf x <，当0x >时，解得02x <<，当0x <时，20x -<<，不等式的解集为：()()2,00,2-⋃，选D.3．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值X 围是（ ）A. B. C. D.【答案】C4．【2017届某某市滨海新区高三上学期八校联考（理科）数学试卷】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =， ()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】A【解析】设120x x << ，则()()()()122112120f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R上的偶函数，因此()0.20.24.14.1f a =()()0.24.11gg =<， ()2.12.10.40.4f b =()()()2.120.40.40.5gg g =>> ，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =()()()0.251log 4.1log 4.11,2g g g g ⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c b << ，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 5．【2017届某某省高三教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值X 围为（ ） A. ()3,-+∞ B. (),3-∞- C. ()3,+∞ D. (),3-∞ 【答案】C7．【2018届某某省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴0<x −2<2， ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)， ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减， ∴−2<x −2<0，∴0<x <2.综上可得：不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D. 8.【2017—2018学年某某省某某市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的(]0a b ∈-∞，，，当a b ≠时，都有()()0f a f b a b->-.若()()121f m f m +<-，则实数m 的取值X 围为_________. 【答案】(0,2)9. 【2017届某某省某某师X 大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________． 【答案】[)0,1【解析】当0x >时，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，即()()1f x x x -=+，所以()()1f x x x =-+，结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减，所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤，解之得01m ≤<，应填答案[)0,1。
必修一数学抽象函数习题精选含答案
1.抽象函数的图像判断单调性
例1．如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是( )
A.增函数且最小值为 B.增函数且最大值为
C.减函数且最小值为 D.减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在 上的偶函数 满足 ，并且 在 上为增函数。若 ，则实数 的取值范围.
（2）证明解：（1）令 得 ， 或 。
若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾， 。
（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由
，
（3）由 得
得 （2）
从（1）、（2）中消去 得 ，因为
即 。
例9. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ,若 时，有 .（1）判断函数 在 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+ )＜f( ).
例7．已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。
解：设 且 ，则 ， ，则
，
，故 为增函数，
又
因此不等式 的解集为 。
五、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。
例8.设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。（1）证明 ；
解：（1）设任意x1,x2∈［－1,1］,且x1<x2.由于f(x)是定义在 上的奇函数，
∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1).因为x1<x2,所以x2+(－x1)≠0,
由已知有 ＞0，∵x2+(－x1)=x2－x1>0
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。
抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：证明单调性和奇偶性1.证明单调性例．已知函数f(x)= 1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R)求证： f(x)是R 上的增函数例．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。
2.证明奇偶性例．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f x y f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
例．已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
例．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
高中数学总结归纳 抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断判断抽象函数的单调性，若能从“源头”入手，设法找出此类函数的原型函数．据原型函数的单调性先作出判断，再类比其论证方法，即可轻松获解．例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x Q 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数， 于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0, 当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由． 解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===g ＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．。
抽象函数中的单调性问题
抽象函数中的单调性问题摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。
介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。
关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。
函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。
同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。
[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。
对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。
一、特定函数单调性判断法（一）定义的方法通常情况下，设定f是定义于D中的函数。
若对任何x1、x2∈D，当x1f（x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。
[2]应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序：（1）设元，任取x1,x2∈D且x1（2）作差f（x1）-f（x2）；（3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）；（4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）；（5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。
例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。
证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00，每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个减函数；当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。
总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。
本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。
利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。
抽象函数的单调性
抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。
思路：添项法。
类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。
函数满足：或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，判断()f x 在R 上的单调性。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
2、定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x)< 2。
例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f yx f -=且当01x <<时，()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f ； 2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式2(21)2f x -<3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽象函数的单调性专题突破
或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在
[]3,3x ∈-上的值域。
例2、()f x 对任意实数x 与y 都有
()()()2f x f y f x y -=--,当0x >时,()2f x >
（1）求证:()f x 在R 上是增函数； （2）若5
(1)2
f =
,解不等式(23)3f a -<
【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，
求不等式f a a ()2
223--<的解集。
2、定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ，y ∈R 都有
()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时
(1)求证()f x 为奇函数； (2)若f(k ·3x
)+f(3x
-9x
-2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
或例1、()f x 是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) (1)f 和1()9
f 的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b
=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,
【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y
x
f -=且当01x <<时，
()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x
f x f ；
2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式
2(21)2f x -<
3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。
（1）求证：()()()x
f f x f y y
=-； （2）若(5)1f =，解不等式(1)(2) 2.f x f x +-<
或例1、定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，,1)(>x f 且对任意,,R y x ∈有()()(),f x y f x f y +=⋅
又知
(1) 2.f = （1）求)0(f 的值； （2）求证：对任意R x ∈都有0)(>x f ；
（3）解不等式4)3(2
>-x x f ；
【专练】：1、定义在R 上的函数()y f x =对任意的,m n 都有()()()f m n f m f n +=g ，且当0x >时，
0()1f x <<，（I ）证明：R x ∈都有0)(>x f ；（II ）求证：()y f x =在R 上为减函数；（III ）解不等式f(x)·f(2x-x 2
)>1。
2、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ； （1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式4
1)5()3(2
≤-⋅-x f x f ；
或
例1、已知函数()f x 满足：①对任意,x y R ∈，都有()()()f xy f x f y =g ，②(1)1,(27)9,01f f x -==≤<且当时，[)()0,1f x ∈。
（I ）判断()f x 的奇偶性，（II ）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并证明。
（III ）若0a ≥，
且(1)f a +≤
a 的取值范围。
例1、定义在[]1,1-上的奇函数()y f x =有(1)1f =,且当[],1,1m n ∈-时,总有:()()
0,()f m f n m n m n
+>≠+,
（I ）证明:()f x 在[]1,1-上为增函数,(II)解不等式:11
()(
)21
f x f x +<-,(III)若2()21f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数t 的取值范围.
例2、定义在（
）上的函数
满足，对任意
都有
，且当
时，有， （1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；
【专练】：1、已知定义在(),1(1,)-∞-+∞U 上的奇函数满足：①(3)1f =；②对任意的2x >，均有()0f x >；
③对任意的,x y R +
∈，均有(1)(1)(1)f x f y f xy +++=+；
（1）试求(2)f 的值；（2）求证：()f x 在(1,)+∞上是单调递增；（3）已知对任意的(0,)θπ∈，不等式
2(cos sin )3f a θθ+<恒成立，求a 的取值范围，
2、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x -y ）=
f (x )·f (y )＋1
f (y )－f (x )
成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．
3、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．
（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若
2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．。