同济高数课后习题答案解析

同济大学高等数学

一、求下列极限

1、sin ()

lim x x x →−−22111；

解一：()()

12sin 1cos 1lim 02x x x x

→−−==原式解二：()

()

1

1

sin 1sin 1lim lim

1

1

x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2

203解一：

00021311

lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39

x x x x x x x x x →→→==⋅=

原式解二：

sin 3~30021

lim

lim 6sin 3cos 39cos 39

x x

x x x x x x

x x →→==

=原式3、20tan 2lim sin 3x x x

x →解：

()

2tan 2~2,sin3~32

22

lim

9

3x x x x

x x

x →=原式

=

4、0lim ln(1)

x x x →+解一：

()001

lim lim 11

11x x x x

→→==+=+原式解二：

()

10

11lim

1ln ln 1x x

e

x →===+原式5、2lim x

x x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠

解一：()22

2

2lim 1x

x e

x −⋅−−→∞⎛⎞

=−=⎜⎟

⎝⎠

原式解二：

()1

211ln 2ln 22lim

lim ln

2lim

2

2

lim x x x x x

x x x x x

x x

x x x e

e

e

e

e

−−→∞

→∞→∞−

−−−−−→∞−−−=====原式

6、()1

1

1

lim 32x x x −→−解

一

：

()

()1

1

22

20

lim 12t x t

t t e

=−−−−→=−=令原式解二：

1

(2)221

1

2

2

221

lim[1(22)]

{lim[1(22)]

}x

x x x x x e

−−→−−−→=+−=

+−=i 原式7、3

0sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、11

1lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜

⎟−⎝⎠

解：

111111

ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1

ln 11

lim ln 112

x x x x x x x x x x x x x x x x

x →→→→−−+−===−−+−+

−==−

++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞

−⎜⎟+⎝

⎠⋯解：

()()22

1122lim lim

22221

lim 422

n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−

+原式10、32

9

sin lim

x x t dt

x →∫解

：

2

6

6

86003sin 1sin 1

lim lim 933

x x x x x x x →→===原式11

、arctan lim

x x tdt →+∞

。

(

)122

arctan lim

lim arctan 1

122lim arctan lim 122

x x x x x

x x x x ππ

→+∞

→+∞−→+∞→+∞==+⋅=⋅=⋅=解：原式二、求下列导数或微分

1、设4

tan 1y x x x =−+，求dy 解一：dy y dx

′=()3

2

4tan sec x x x x dx

=−−解二：()

3

4tan tan dy x

dx xdx xd x =−+()3

2

3

2

4tan sec 4tan sec x dx xdx x xdx x x x x dx

=−−⋅=−−2、设21cos x

y x =+，求y ′

()()

()

()

()

2

2

2ln 21cos 2sin 1cos 2sin cos ln 2ln 2 1cos x

x

x

x x y x x x x ⋅+−−′=++⋅+=

+解:3、设51

log sin y x =，求

y ′

()221cos

111cos 11ln 5sin ln 5sin x y x x x x x

−′=⋅⋅−=−⋅⋅解 4

、设ln(y x =+，求y ′′