直接证明和间接证明基础+复习+习题+练习)

课题：直接证明和间接证明

教学目标：

1.掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用综合法和分析法证明不等式.

2. 了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 教学重点：

灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的变形、配凑，会灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题 .

教材复习

比较法证明不等式的基本步骤：⎧⎫⎪⎪⎪

⎪

→→⎨

⎬⎪⎪⎪⎪⎭

⎩

配方法分解法作差（商）变形判断通分法放缩法有理化

综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不

等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。

分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至

找到题设条件或已经证明的基本不等式。可简称为“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“⇐”或“⇔”表达。

反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；

换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；

常用的换元有三角换元有：

已知2

2

2

a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；

已知12

2

≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；

放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,

要注意放缩的适度。常用的方法是：

①添加或舍去一些项，如：a a >+12

，n n n >+)1(，2

2

131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

②将分子或分母放大（或缩小）

③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则

a a m

b b m

+<

+ ④利用基本不等式，如：

4lg 16lg 15lg )2

5lg 3lg (

5lg 3log 2

=<=+<⋅；

⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2

x x -

≥

1

4

()x R ∈；2

0x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：

2

=>=

()*

,1k N k ∈>

，

2=<=()*

,1k N k ∈>

Ⅱ、

k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112

+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、

)1

111(21)1)(1(111122+--=+-=-

典例分析：

考点一

用综合法证明不等式

问题1．()1已知0,0,0a b c >>>，且互不相等，1abc =，

(1)

2

n n ++<

111

a b c

<++

考点二用分析法证明不等式

问题2．设0,0,2

a b c a b

>>>+，求证：c a c

<

问题3．已知0

a>，0

b>，且a b

≠

>

用比较法、综合法、分析法证明，用尽可能多的方法）

考点三 用反证法证明不等式

问题4．已知332x y +=，求证：x y +≤2．

考点四 用放缩法证明不等式

问题5．求证：2231111

12212n n n

-

<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)

课后作业：

1.已知：222121n a a a ++

+=，222121n x x x +++=，*n N ∈

求证: 1122n n a x a x a x +++≤1．

2.下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中

.A 至少有一式小于1- .B 都小于1- .C 都大于等于1-，.D 至少有一式大于等于1-

3.若a ≥3,求证：321---<--a a a a ．

4.已知221x y +=，求证：≤y ax -

5.若,,a b c R +∈，1a b c ++=,求证：()1()2111

(1)(1)(1)a b c

---≥8

6.求证：1-≤

2

11x x x --+≤1

3

7.求证：22

2

111

1223n +

+++

<

8.

||1||a b a b +++≤||||

1||1||

a b a b +++

9.已知ABC △的三边长为a 、b 、c ，若1a 、1b 、1

c

成等差数列.求证：B 不可能是钝角.

10.求证：21

<+⋅⋅⋅<()*n N ∈.

11.设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：1

03

c -<<．

12. 已知 1≤22x y +≤2，求证：1

2

≤22x xy y -+≤3.

13.设0,0,,111x y x y

x y A B x y x y

+>>=

=+++++，则,A B 的大小关系是