信号分析基础
(3)第2章 信号分析基础
2.3 非周期信号与连续频谱
•
图2-5 非周期信号
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3.1傅立叶变换
• 当周期T趋于无穷大时,相邻谱线的间隔 趋 近于无穷小,从而信号的频谱密集成为连续频谱 。同时,各频率分量的幅度也都趋近于无穷小, 不过,这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系 。为了描述非周期信号的频谱特性,引入频谱密 度的概念。令
• 对于周期信号,在时域中求得的信号功率与在频域中求得 的信号功率相等。
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3 非周期信号与连续频谱 • 非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两种,其频谱
各有独自的特点:周期信号的频谱具有离散性,各谐波分 量的频率具有一个公约数——基频。但几个简谐具有离散 频谱的信号不一定是周期信号。只有各简谐成分的频率比 是有理数,它们才能在某个时间间隔后周而复始,合成的 信号才是周期信号。若各简谐信号的频率比不是有理数, 合成信号就不是周期信号,而是准周期信号。因此准周期 信号具有离散频谱,例如多个独立激振源激励起某对象的 振动往往是这类信号对于瞬态信号,不能直接用傅立叶级 数展开,而必须应用傅立叶变换的数学方法进行分解。
第2章 信号分析基础
2.1 信号的分类与描述
• 2.1 信号的分类与描述
• 2.1.1 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。以信 号所具有的时间函数特性分类,信号主要分为确定性信号 与随机信号、连续信号与离散信号等。
• 1. 确定性信号与随机信号
• 确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信 号。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复又可进一 步分为周期信号和非周期信号两种。
•
(2-21) F( j) lim Fn T 1 / T
6 信号分析基础
相关 所谓“相关”,是指变量之间的线性关系.对于确定性 信号来说,两个变量之间可用函数关系来描述,一一对应 并为确定的数值。两个随机变量之间就不同,但如这两个 变量之间具有某种内涵的物理联系,那么,通过大量统计 就能发现它们之间还是存在着某种虽不精确却具有相应的 表征其特性的近似关系。
2.2.2 自相关分析 1. 自相关函数的概念和性质 移后的样本(图2.6),把相关系数rx(t)x(t+t)简写为x(),那么 就有:
上式表明:对于线性系统,输出完全是由输入引起的响应。
相干分析的应用
图2.25是船用柴油机润滑油泵 压油管振动和压力脉动间的相干分 析。润滑油泵转速为n=781rpm,油 泵齿轮的齿数为z=14,测得油压脉 动信号x(t)和压油管振动信号y(t)压 油管压力脉动的基频为 f0=nz/60=182.24(Hz).
2.3 功率谱分析及其应用 (1) 功率谱密度函数的定义 随机信号的自功率谱密度函数(自谱)是该随机信号 自相关函数的傅立叶变换,记为Sx(f): 其逆变换为:
两随机信号的互功率谱密度函数(互谱)为:
其逆变换为: 由于S(f)和R( )之间是傅里叶变换对的关系,两 者是唯一对应的。S(f)中包含着R()的全部信息。因为Rx() 为实偶函数,Sx(f)亦为实偶函数。互相关函数 Rxy()并非 偶函数,因此Sxy(f)具有虚、实两部分,同样,Sxy(f)保留 了Rxy()的全部信息。
x(t)是各态历经随机过程的一个样本函数,x(t+ )是x(t)时
若用Rx()表示自相关函数,其定义为:
信号的性质不同,自相关函数有不同的表达形式。如对周期信号 (功率信号):
非周期信号(能量信号):
图2.7给出了自相关函数具有的性质。正 弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在 τ=0时具有最大值。它保留了幅值信息和频 率信息,但丢失了原正弦函数中的初始相位信 息。
第二章信号分析基础(频谱)
(1)
A0 a0
An
an bn
2
2
bn n arctg an
周期信号的频谱分析
西安工业大学机电学院
复指数形式: 将三角函数形式中的正余弦用欧拉公式代换
e j e j cos 2
则:
e j e j sin 2j
带入并合并同类项
a0 an jbn jn0t an jbn jn0t f (t ) [ e e ] 2 n 1 2 2 a0 an jbn jn0t an jbn jn0t e e 2 n 1 2 2 n 1 an jbn jn0t e Cn e jn0t 2 n n
则:c1x1(t)+c2x2(t) ←→ c1X1(f)+c2X2(f)
例子:求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
2.4 傅立叶变换的性质 c.对称性
西安工业大学机电学院
若 x(t) ←→ X(f),则 X(t) ←→ x(-f)
证明: 以-t替换t: 以f换t: 所以:
x(t )
∴当T0→∞时,Δω→0 上式变为:
T / 2
0
T0 / 2
f (t )e jn0t dt ]e jn0t
f (t )
+
1 + [ f (t )e jt dt ]e jt d 2
1 + jt F e d 2
西安工业大学机电学院
X ( f )e j 2ft df X ( f )e j 2ft df
x(t )
x( f ) X (t )e j 2ft dt
工程测试技术 第2章 信号分析基础-3
第二章、信号分析基础
Page 2 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为 频域信号X(f),从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特 征。
傅里叶 变换
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
第二章、信号分析基础
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 25 华中科技大学机械学院
吉布斯现象(Gibbs)
• 吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛 引起的。
• 例:方波信号
x(t)
T
T
t
2.5 信号的频域分析
频域分析
Page 26 华中科技大学机械学院
N=1
2.5 信号的频域分析
Page 27 华中科技大学机械学院
用线性叠加定理简化
X1(f)
+Page 38 华中科技大学机械学院
5、频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量,是信号分析 中最常用的一种手段。
在齿轮箱故障诊断中,可
以通过齿轮箱振动信号频谱分 析,确定最大频率分量,然后 根据机床转速和传动链,找出 故障齿轮。
2 T
T /2
T /2 x(t) sin n0tdt;
ω0―基波圆频率; f0 ―基频:f0= ω0/2π
An an2 bn2 ;
n
arctan bn an
;
2.5 信号的频域分析
傅里叶级数的复数表达形式:
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...) n
Page 9 华中科技大学机械学院
2.5 信号的频域分析
【复习笔记】信号分析基础
第二章 信号分析基础1、信号分析中常用函数包括:δ函数、sinc(t)函数、复指数函数e st① δ函数具有“抽样(乘积)、筛选(积分)、卷积”特性,其拉氏变换和傅氏变换的值均为1。
② 卷积特性的表达式为)()()()()(t f d t f t t f =-=*⎰+∞∞-ττδτδ,τ为两信号之间的时差。
③ sinc(t)函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数,分别对应其用处:闸门(或抽样)、低通滤波、采样信号复原时sinc(t)函数叠加构成非采样点波形。
④ 复指数函数e st 中出现的“负频率”是与负指数相关联的,是数学运算的结果,并无确切的物理含义。
2、一个信号不能够在时域或频域都是有限的。
3、信号的时域统计分析:均值x μ、均方值ψ2x 、方差σ2x 。
三者具有如下关系:2x2x 2x μσψ+= 式中,ψ2x (又称平均功率,平均能量的一种表达)表达了信号的强度; σ2x 描述了信号的波动量; μ2x 描述了信号的静态量。
4、各态历经过程:此过程中的任一个样本函数x(t)都经历了过程的各种状态,从它的一个样本函数x(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。
5、相关函数的性质:① 自相关函数R x (τ)是τ的偶函数,满足:)()(ττ-=x x R R 。
② 互相关函数R xy (τ)是τ的非奇非偶函数,满足:)()(ττ-=yx xy R R 。
③ 当τ=0时,自相关函数具有最大值。
对于功率信号,若均值μx =0,则在τ=0点处,有ψ2x =σ2x =R x (τ)。
④ 周期信号的R x (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号,但不具有原信号的相位信息。
⑤ 两周期信号(同频)的R xy (τ)仍然是与原信号同频率的周期信号,但保留了原信号的相位信息。
⑥ 两个不同频的周期信号互不相关,其互相关函数R xy (τ)=0。
⑦ 随机信号的R x (τ)将随|τ|值增大而很快趋于0。
有限带宽白噪声信号的R x (τ)是一个sinc(τ)型函数,即可说明。
2 信号分析基础(频谱分析)
(2.69)
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
式2.68称为 x t 的傅立叶变换,称式2.69为 X 的 傅立叶逆变换,两者称为傅立叶变换对,可记为
x t X
IFT
FT
2 f 代入傅立叶积分式中,则式2.68, 2.69变为
X f x t e j 2 ft dt
Im[X ( f )] ( f ) arctgRe[ X ( f )]
x (t ) 1 X ( )e jt d 2 X ( ) x (t )e jt dt
X f 连续幅值谱
f
连续相位谱
X 频谱密度函数
2.2 周期信号的频谱分析 第 二 章
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变 换为频域信号X(f),从另一个角度来了解信号的特征。
信 X(t)= sin(2πnft) 号 分 0 析 基 础
傅里叶 变换
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
0
f
频域分析的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
傅 里 叶 变 换 与 非 周 期 信 号 的 分 解
T0 T0 , 设有一个周期信号x(t)在区间 2 2
以傅立叶级数表示为
x t
n
ce
n
jn0t
1 式中 cn T0
T0 2 T 0 2
x t e
jn0t
dt
将其代入上式则得
n n
幅频谱 相频谱
频谱图的概念 周 期 信 号 的 频 谱 分 析
信号分析基础
确定性信号又可分为周期信号和非周期信号 随机信号又可分平稳和非平稳的信号两种
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号, 满足条件:
x(t)=x(t+Nt) 式中:T——周期,T=2π/ω0;
ω0——基频 N=0,十1…
确定信号与随机信号
• 当信号是一确定的时间函数时,给定某一时 间值,就可以确定一相应的函数值。这样的 信号称为确定信号。
x(t)x(t) x(t )x(t ) 2x(t)x(t )
两边取时间T的平均值并取极限
lim 1
T
x(t)x(t)dt lim
1
T
x(t )x(t )dt
lim
1
T
2x(t)x(x )dt
T T 0
T T 0
T T 0
R(0) R( )
这个性质极为重要,它是相关技术 确定同名点的依据
3、数字相关
数字相关是利用计算机对数字影像进 行数值计算的方式完成影像的相关 二维相关
搜 索 区
目标区
测相 度似
性
c,r
maxij
i j
i0 j0
l
2 k
2
n 2
, , i0
l 2
n 2
m 2
, , i0
k 2
m 2
4.工程应用
2.4 信号的频域分析
确定信号的时间特性
• 表示信号的时间函数,包含了信号的全部 信息量,信号的特性首先表现为它的时间 特性。
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
信号分析基础(时域波形分析、相关分析、随机信号) [自动保存的]
Ra(t)呈周期性
1 1 f 6Hz T 0.5/ 3
浙江工业大学 4.互相关函数
对于各态历经随机过程,两个随机信号x(t)、y(t)的互相关 函数定义为 T
Rxy ( ) lim x(t ) y(t )dt
T 0
(3-15)
互相关函数Rxy(τ)——描述一个系统中的一处测点上所得 的数据x(t)与同一系统的另外一测点数据y(t)互相比较得出它 们之间的关系。也就是说,Rxy(τ)是表示两个随机信号x(t)、 y(t)相关性的统计量。
x ( )
2 Rx ( ) x 2 x
(3-5)
2 2 Rx ( ) x ( ) x x
(3-6)
xy ( )
Rx, y ( ) x y
x y
(3-3)
浙江工业大学
(1).自相关函数的性质 1) Rx(τ)的值限制范围为
2 2 2 2 x x Rx ( ) x x
R
概率分布函数又称之为累积概率,表示了落在某 一区间的概率。
信号的幅值域分析
实验图谱
浙江工业大学
浙江工业大学
相关分析及应用
1.相关的概念
确定性信号:两个变量 t、 y之间用函数关系来描述 y=10sin(2π ƒ t+υ 0) 人的身高和体重的关系
相关:指两变量之间的线性关系
(a)
(b)
互相关函数rxy的工程应用确定信号通过一给定系统所需要的时间一个信号xt经过测试系统后输出yt的时间这个时间就是由rxy的互相关图中峰值的位置来确定利用互相关分析确定信号通过系统的时间互相关函数的性质浙江工业大学2消除噪声影响提取有用信息利用互相关分析仪消除噪声的工作原理图a正弦波加随机噪声信号b正弦波加随机噪声信号的自相关函数测试对象互相关分析仪输出响应噪声浙江工业大学3对复杂信号进行频谱分析利用互相关分析仪分析信号频谱的工作原理图t的互相关函数互相关分析仪正弦信号发生器已知的正弦信号待分析的复杂信号含有与已知正弦信号同频的成分时有输出不同频时输出为零频率和幅值输出321320浙江工业大学4地下输油管道漏损位置的探测s1s2浙江工业大学传输通路分析巴塞伐尔paseval定理在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量32434功率谱分析及应用沿频率轴的能量分布密度浙江工业大学2
信号分析基础
二、信号旳描述
信号旳描述是揭示信号本身旳特征旳基础,是我们获取分析 问题、处理问题所需要旳信息旳基础。
根据实际测控系统旳不同要求,信号需要从不同旳角度描 述——时域描述和频域描述。
1.信号旳时域描述
信号旳时域描述是指以时间为独立变量来描述信号,反应信 号幅值随时间变化旳情况,描述信号幅值与时间旳相应关系,是 信号旳自然体现形式,是实际系统响应过程旳一种直观描述。
1.自有关
信号 f t旳自有关函数定义为
R
lim 1 T T
T
0
f
t f
t
dt
(1-17)
实际应用时采用有限长样本,即自有关函数旳估计值为:
⑵频限信号 频限信号分:频域有限信号,频域无限信号。 频域有限信号是指信号在有限频率区间内存在不全为零旳函数值, 而区间外恒为零; 频域无限信号是指信号出目前无限旳频率区间上。
例如,窗函数是时域有限信号,其傅立叶变换是频域无限信号, 如图1-5(a)所示;sinc(t)函数是时域无限信号,其傅立叶变换, 是频域有限信号,如图1-5(b)所示。
式中:
T — —周期,T 2 0 0 — —基频
(1-1)
周期信号又可分为:简谐周期信号,复杂周期信号。 简谐周期信号即单一频率旳正弦信号; 复杂周期信号是由若干正弦信号合成,各正弦信号旳频率比为有 理数。 如图1-1所示。
x(t) x(t)
0
t
0
(a)
t (b)
(a)简谐周期信号 (b)复杂周期信号 图1-1 周期性信号
总时间; 如图1-13所示。
f(t)
△t1
△t2
f+△f f
△t3 △t4
t 0
T
第3章 PPT 信号分析基础 4 工程测试技术
● 周期信号及其频谱分析
■ 三角函数展开式
sin 0t
n
ce
n
jn0t
1 j ( 1).0t 1 j (1).0t je je 2 2
1
Cn
1 2 1 2
2
An
n
0
0 o
2
0
o
0
o
0
正弦信号双边幅频谱图、双边相频谱图、单边幅频谱图
eg:求方波信号的频谱 解: x(t )傅里叶级数的三角函数展开
x(t ) 4
1 1 1 cos(0t ) cos(30t ) cos(50t ) cos(70t ) 2 3 2 5 2 7 2
An
4
bn 初相角 n arctan 2 an
x (t ) dt
2
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
9
■ 信号的分类及其描述域
功率信号 在所分析的区间(-∞,∞),能量不是有限值。此时,研究信 号的平均功率更为合适。
1 T T T
lim
T
x (t )dt
2
一般持续时间无限的信号都属于功率信号:
10
记录被测物理量随时间的变化情况。
A(t)
0
t 信号波形图
3
信号分析基础
2
信号的分类
为深入了解信号的物理实质,从不同角度观察信号,可分为:
从信号可否确定分 -- 确定性信号、非确定性信号
从信号的幅值和能量分
-- 能量信号、功率信号
工程测试技术 信号分析基础
t1 2
24
yzs (t)
⑤ 3≤t 时
2 1 d 1 t2 1 t 3
t1 2
4 24
29 f ( t -τ) h(τ) = 0,故 yzs(t) = 0
0
t-1 t t-1 t t-1 t 2
τt
h(τ )f (t -τ )
0 t t-1 1t t-1 2 3 τ yf (t )
-T0
T0
h(T0/2- )
-T0
T0
A2
-T0
T0
2.6 卷积分
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t) y(t)
2A2T0
-2T0
t= T0时:
0
2T0
y(T0)=A2 T0
10
x()
-T0
T0
h(T0- )
-T0
T0
A2
-T0
T0
2.6 卷积分
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t) y(t)
x(t)
(1)换元
h(t)
反折;
0
t (2)平移;
0
t
x(t)
(4)积分
(3)相乘; h(-)
(1)反折
(4)积分。
0
x(t)
h(t1 -)
t (3)相乘
0
h(t1 -)
(2)平移
00
t
23
0
2.6 卷积分
图解法一般比较繁琐,确定积分的上下限是关键。
e(t)或e( )
h(t)或h( )
• 举例 1
t (6 e2te3 e ) d
e2t t (6 e3 ) d t e d
e2t 2 e3
数字通信原理_2:信号分析基础
1 2
P e
j
d
R 0
2010 Copyright
1 2
P d P
SCUT DT&P Labs
10
第二章 信号分析基础
M 进制通信系统信号序列:
f t ,
k
k 1, 2 ,..., M
信号设计时,一般尽量使得个信号间相关性最小
P f df
2010 Copyright
SCUT DT&P Labs
7
第二章 信号分析基础
相关函数:相关运算在通信系统中起着至关重要的作用, 可以非常有效地实现特定的信号提取。
能量信号的互相关运算定义为
R12
f 1 t f 2 t dt
功率信号的互相关运算定义为
2
N i 1
a mi
2
m 1, 2 ,..., M
2010 Copyright
SCUT DT&P Labs
17
第二章 信号分析基础
正交基示例:二维信号空间中的一组基函数
sin 2 f C t ,
cos 2 f C t ,
0 t TS
0 t TS
其中 T S kT k
标准正交基:特别地,满足下列条件的一种基 k t 称之
i t , j t
T
0
1, i j i t j t dt 0, i j
2010 Copyright
SCUT DT&P Labs
信号分析基础
瞬态信号:连续时间有限旳信号,如 x(t)= e-bt
瞬态信号
第一节 信号类型
2.非拟定性信号 不能用数学式描述,其幅值、相位变化不可预知
旳信号。 用概率统计措施估计。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特征变异
第一节 信号类型
(二) 能量信号与功率信号
1.能量信号 在所分析区间(-∞,∞)内,能量为有限值旳信号。 满足条件:
(b)正弦信号 + 随机信号
(d)宽带随机噪声
第三节 信号时域分析
五、时域有关分析 1.有关概念
变量之间旳依赖关系,统计学中用有关系数描述 变量x,y之间旳有关性。
y y y
x xy 1
x xy 1
x xy 0
第三节 信号时域分析
2.自有关函数
各态历经随机信号,自有关函数:
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t ) d t
0
性质
a. 实偶函数
b. Rx(0)= 2x
c. Rx(∞)=μ2x d. μ2x –σx2≤Rx(τ)≤μ2x +σx2 e. 周期信号x(t), Rx(τ)是与原信号同频率旳周期信号, 但不具有原信号旳相位信息
第三节 信号时域分析
例:求正弦信号x(t)=x0sin(ωt+φ)旳自有关函数
b1
d x(t) dt
b0 x(t)
第二节 系统
时不变线性系统性质:
1)叠加原理
x1(t) x2 (t) y1(t) y2 (t)
2)百分比特
征 ax1(t) bx2 (t) ay1(t) by2 (t)
信号分析基础(非周期信号频域分析)
频谱函数(相当于原来的Cn)为:
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数,则X(jƒ)是复函数; b.若x(t)为实偶函数,则ImX(jƒ)=0,而X(jƒ)是实偶函数,即 X(jƒ)= ReX(jƒ); c.若x(t)为实奇函数,则ReX(jƒ)=0,而X(jƒ)是虚奇函数,即 X(jƒ)=-j ImX(jƒ); d.若x(t)为虚偶函数,则ImX(jƒ)=0,而X(jƒ)是虚偶函数; e.若x(t)为虚奇函数,则ReX(jƒ)=0,而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图: Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 = 1
lim S t) ( t) (
1.2信号分析基础(时域波形分析、相关分析、随机信号)
浙江工业大学
∫
T
0
(x(t ) − µ x )2 dt
大方差
小方差
方差:反映了信号绕均值的波动程度。 方差:反映了信号绕均值的波动程度。
第二章、 第二章、信号分析基础
浙江工业大学
2.4 信号的幅值域分析
1 概率密度函数 以幅值大小为横坐标,以每个幅值间隔内出现 以幅值大小为横坐标, 的概率为纵坐标进行统计分析的方法。 的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信 号落在不同幅值强度区域内的概率情况。 号落在不同幅值强度区域内的概率情况。
2.5 信号的时差域相关分析
浙江工业大学
(5)两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周 期信号,且保留原了信号的相位信息。 期信号,且保留原了信号的相位信息。 (6)两个非同频率的周期信号互不相关。 两个非同频率的周期信号互不相关。
2.5 信号的时差域相关分析
浙江工业大学
2.5 信号的时差域相关分析
µ x = E [ x (t )] = lim
T 1 T 0 T → ∞
∫
x (t ) dt
µx
Байду номын сангаас
均值:反映了信号变化的中心趋势, 均值:反映了信号变化的中心趋势,也称之 为直流分量。 为直流分量。
2.3 信号的时域波形分析
浙江工业大学
5、均方值 信号的均方值E[x2(t)],表达了信号的强度; 信号的均方值E[x (t)],表达了信号的强度; 其正平方根值,又称为有效值(RMS) (RMS), 其正平方根值,又称为有效值(RMS),也是信号 平均能量的一种表达。 平均能量的一种表达。
浙江工业大学
相关分析的工程应用
案例:机械加工表面粗糙度自相关分析 案例:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
x(t ) a0 a1 cos 0t b1 sin 0t a2 cos 20t b2 sin 20t a0 an cos n0t bn sin n0t
2013/12/30
Song Yonggang
7
② 瞬变非周期信号:在一定时间区域内存在,或随着时间的增长而衰减 至零的信号。
A x(t ) 0
[t1 t t 2 ] (t1 t , t t 2 )
x(t ) x0e at sin( 0t 0 )
2、随机信号:是无法用数学解析式来表达的,也无法预见未来任何时刻 的瞬时值的信号。由于随机信号具有某些统计特征,可以用概率统计 的方法由其过去来估计未来,但它只能近似的描述,存在误差。
jn0t jn0t C e C e n n n 1 1
则:
x(t ) Cn e jn0t
(n 0,1,2, )
这就是傅立叶级数的复指数展开式。其中 Cn 为复数傅立叶 系数。
1 T Cn 2T x(t )e jn0t dt T 2
x(t ) x(t nT ) 其中:n =±1,±2,±3……
T 为周期
例如:正弦信号的时域描述为:
sin t sin( t 2n )
2013/12/30 Song Yonggang 6
(2)非周期性信号:指不具有周期性重复的信号称为非周期性信号。又分为 准周期信号和瞬变非周期信号 ① 准周期信号:由两种以上的周期信号组成,但其组成分量间不存在 公共周期,因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。设信号x(t)由两 个简谐信号合成,即
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。
非周期信号又分为准周期信号和瞬变非周期信号。
非确定性信号(随机信号)又分为平稳随机信号和非平稳随机信号。
2013/12/30
Song Yonggang
2
信号的分类:
2013/12/30
Song Yonggang
3
三、按信号取值情况分:连续信号和离散信号。
1、连续信号:信号的数学表达式中的独立变量取值是连续的;
1 a0 T
T 2 T 2
x(t )dt
余弦分量幅值:
2 T an 2T x(t ) cos n0tdt T 2
2013/12/30
正弦分量幅值:
2 T bn 2T xSong (t ) sin n0tdt Yonggang T 2
11
利用信号的奇偶性计算三个系数
将方括弧中的部分用下式表示,则有
1 x(t ) 2 ,则有
x(t )e jt dt e jt d
傅立叶变换
X ( ) x(t )e jt dt
1 jt x(t ) X ( ) e d 傅立叶反变换 2 X 表示角频率为 处的单位频带宽度内的频率分量的幅值和相位, 称为函数 x(t ) 的频率密度函数。频率密度函数为复数:
2013/12/30 Song Yonggang 5
三、信号的时域描述方法: 1、确定性信号:指可以精确地用明确的数学关系式描述的信号,它 可用一个确定的时间函数,按它的波形是否有规律的重复,还可分 为周期性信号和非周期性信号。 (1)周期性信号:是按一定周期重复出现的信号,可用数学表达式表 示为:
令:
C 0 a0 1 Cn an jbn 2 1 C n an jbn 2
所以:
2013/12/30
x(t ) C0 Cn e jn0t C n e jn0t
n 1 n 1
Song Yonggang 19
将上式第三项中n的取值变成从-1到-∞,则第三项变为:
若 x(t ) 为奇函数,即 x(t ) x(t ) ,则
a0 0
an 0
bn 0
对应的: x(t )
b
n 1
n
sin n0t
若 x(t ) 为偶函数,即
x(t ) x(t ) ,则
a0 0
2013/12/30
an 0
对应的: x(t ) a0
它表示了该周期信号的频率组成,根据该式可以作出频谱图。频谱 图由幅频图和相频图组成,分别表示各分量的幅值、相位与频率的关系。 以周期方波为例,其频谱图如下:
2013/12/30
Song Yonggang
13
2013/12/30
Song Yonggang
14
2、频谱的特点: 由频谱图可以看出周期信号的频谱具有以下特点:
X X e j X R jX I
2 X I2 X X R
幅频函数 相频函数
21
2013/12/30
tg 1
X I X R
⑴离散性:频谱是由不连续的谱线组成,每条谱线代表一 个谐波分量。这种频谱称为离散频谱。
⑵谐波性:每条谱线只能出现在基波频率的整数倍。谱线 之间的间隔等于基频率的整数倍。 ⑶收敛性:各频率分量的谱线高度表是该谐波的幅值或相 位角工程中常见的周期信号,其谐波幅度总的趋势是随谐波次 数的增高而减小的。
2013/12/30
取不同的谐波分量时,近似波形与实际波形的差别:
2013/12/30
Song Yonggang
16
工程上提出了一个信号频带宽度的概念。信号频带的大小 与允许误差的大小有关。通常把频谱中幅值下降到最大幅值的 1/10时所对应的频率作为信号的频宽,称为1/10法则。 除此之外,还可以根据信号的变化剧烈程度既是否有突变来 近似地用下列方法确定信号的频带宽度:
当信号周期T→∞时,n0 , 0 , 为无穷小量,即 n0 的取值间隔为无穷小,所以, n0 由离散量变成连续量,周期 信号变成非周期信号。用 代替 n0 以及 T 2 / 0,则上 式为: 2013/12/30 Song Yonggang 20
当 T , d ,
x(t)=A1sin√2 t+A2sin(3t+θ)
可见,两个信号均为简谐信号,即为周期信号,但二者的角频率分别为 ω1=√2 ,ω2=3,其周期T1=√2 π,T2=2π/3,两个周期没有最小公倍数,即角频 率的比值为无理数,说明二者之间没有公共周期,所以,信号x(t)是非周 期的,但又是由周期信号合成的,故称之为准周期信号。
第一章
信号分析基础
信号的概念:信号是某一特定信息的载体,它包含着反映被测物理系统的 状态或特性的某些信息。
1-1信号的分类
一、根据信号的物理性质分为非电信号和电信号。 非电信号:随时间变化的力、位移、速度等信号
电信号:随时间变化的电流、电压、磁通等信号。
非电信号和电信号可以借助于一定的装置互相转换。在实际中,对被 测的非电信号通常都是通过传感器转换成电信号,再对此电信号进行测量。
2、离散信号:信号的独立变量取离散值,不连续。 连续信号与离散信号的联系: 将连续信号等时距采样后的结果就是离散信号。
2013/12/30
Song Yonggang
4
1-2信号的描述
一、时域描述:人们直接观测或记录的信号一般是随时间变化的物理量,以 时间作为独立变量的描述方法。它的特点是:只能反映信号的幅值随时间变 化的规律。从时域图形中可以知道信号的周期、峰值和平均值等,可以反映 信号变化的快慢和波动情况,比较直观、形象,便于观察和记录。
Song Yonggang
15
3、取值的多少与信号的频带宽度
因为谐波的幅度总趋势是随谐波次数的增高而减小的,信号的能量 主要集中在低频分量,所以谐波次数过高的那些分量,所占能量很少, 高频分量可忽略不计。例如,周期方波的取值范围与波形的关系如下:
x(t ) 4A 4A sin 30t sin 50t 3 5 4A 4A 4A cos(0t ) cos(30t ) cos(50t ) 2 3 2 5 2 sin 0t 4A
bn n arctg a Song Yonggang n
(式1-5)
10
式(1-4)(1-5)表明周期信号可以用一个常值分量A0和无限多个谐 波分量之和表示。其中A1cos(ω0t-φ1)为一次谐波分量。基波的频率与信号 的频率相同,高次谐波的频率为基频的整数倍。高次谐波又可分为奇次 谐波(n为奇数)和偶次谐波(n为偶数),这种把一个周期信号x(t)分解 为一个直流分量A0和无数个谐波分量之和的方法称为傅立叶分析法。 由上面分解的过程可见,只要求得以下三个系数,即可容易地获 得周期信号的的傅立叶三角级数展开式。 常值分量:
n 1
(式1-4)
式中: 0 为基波角频率,0 2 / T 2f 0 ; n 为自然数, n 1,2,3 将上式合并同频率项,得
x(t ) A0 An cos( n0t n )
N 1 2 n
An a b
2 n
2013/12/30
信号波形有突变:
100
信号波形无突变:
2013/12/30
30
Song Yonggang 17
1-4非周期信号的频谱
一、频谱密度函数 当周期信号的周期趋于无限大时,周期信号将演变成非周 期信号。因此,借用研究周期信号的方法来研究非周期信号。 傅立叶级数的复指数展开式: jt e cos t j sin t jt cos t j sin t e
x(t ) 2t