列表法和树状图求概率

1 （1）点数为2只有1种结果，P（点数为2） ； 6
6 2
（2）点数是奇数有3种可能，即点数为1，3，5，P（点数是奇 数） 3 1 ；
（3）点数大于2且不大于5有3种可能，即3，4，5，P（点数 大于2且不大于5）3 1 .
6 2
例1变式 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面 的点数， （1）求掷得点数为2或4或6的概率； （2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得点数 2，求他第六次掷得点数2的概率。 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可 能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可 能性相等。 （1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种结果， 3 1 ； 因此P（A） 6 2 （2）小明前五次都没掷得点数2，可他第六次掷得点数 仍然可能为1，2，3，4，5，6，共6种。他第六次掷得 点数2(记为事件B)有1种结果，因此P(B) 1 .
7 14 = 36 18
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
5.小明和小丽都想去看 电影,但只有一张电影 票.小明提议:利用这三 张牌,洗匀后任意抽一 张,放回,再洗匀抽一张 牌.连续抽的两张牌结 果为一张5一张4小明 去,抽到两张5的小丽去, 两张4重新抽.小明的办 法对双方公平吗?
例题讲解---树形图
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E； 丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。
从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
例2 如图：是一个转盘，转盘分成7个相同的 扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转 盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置， （指针指向交线时，当作指向右边的扇形）求下列事 件的概率： （1）指向红色； （2）指向红色或黄色； （3）不指向红色。 解：把7个扇形分别记为红1，红2，红3，绿1， 绿2，黄1，黄2，一共有7个等可能的结果，且这7个结 果发生的可能性相等， （2）指向指向红色或黄色有5个结果，即红1，红2， 红3，黄1，黄2 P(指向红色或黄色)= 5 7
• 2.抛掷一个骰子，它落地时向上的点数有几种 可能？ 6种等可能的结果 • 3.从分别标有1.2.3.4.5.的5根纸签中随机抽取一 根，抽出的签上的标号有几种可能？ 5种等可能的结果。
等可能性事件
等可能性事件
等可能性事件的两种特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
改动后所有可能出现的结 果没有变化
练习: 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张
后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除 第二次取出的数字的概率是多少？
解：由列表得，两次抽取卡片后， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等. 满足第一次取出的数字能够整 除第二次取出的数字（记为事件A） 的结果有14个，则
第 第 一张 二张
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
P（A）=
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相 同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分 别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
解：由题意画出树状图： 红 蓝 红 由树状图可以看出， 开 蓝 所有可能出现的结果 始 红 共有6个，都是蓝色珠 蓝 红 子的结果有1个。 蓝
1 故 P 都是蓝色 6
用列举法求概率
口袋中一红三黑共4个小球，一次从中取出两个小球， 求 “取出的小球都是黑球”的概率 直接列举 解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能出现的 结果共6个，即 （红，黑1）（红，黑2）（红，黑3） （黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） 且它们出现的可能性相等。
一黑一红两张牌.抽一张 牌 ,放回,洗匀后再抽一张 牌.这样先后抽得的两张 牌有哪几种不同的可能? 他们的概率各是多少?
红,红; 红,黑; 黑,红; 黑,黑.
画树状图 第一次抽出 一张牌 第二次抽出 一张牌 红牌 红牌 黑牌 红牌 黑牌 黑牌
枚举
列 表 第一次抽 出一张牌 第二次抽 出一张牌 红牌
上面的问题中,都有两个共同的特点: 1)在一次实验中,可能出现的结果有限多个. 2) 在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. 一般地,如果在一次实验中,有n种可能的结果,
并且它们发生的可能性相等,事件A包含其中的
m种结果,那么事件A发生的概率为:
m P A n
m 在概率公式 P ( A) 中m、n取何值， n
2、如果把上一个例题中的 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) “同时掷两个骰子”改为“把 一个骰子掷两次”，所有可能 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 出现的结果有变化吗？
1
2
3
4
5
6
3 4 5 6
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
列举法就是把要数的对象一一列举出来 分析求解的方法．
例1 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求 下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数是奇数 （3）点数大于2且不大于5． 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1， 2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
复习引入
• 必然事件； 在一定条件下必然发生的事件， • 不可能事件； 在一定条件下不可能发生的事件 • 随机事件； 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，
随机事件及其概率
事件 A 的概率的定义: 一般地，刻画一个随机事件A发
生的可能性大小的数值,称为随机事
件A的概率.记为P(A)
实验
1.从分别标有1,2,3,4,5号的5根纸签中随 机地抽取一根,有几种可能性,每种可能性的 概率相等吗?各是多少? 2.掷一个骰子，向上一面的点数共有____种 可能.每种可能性的概率为 . 3.口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一 个球，摸到白球的概率为_________．摸到 黑球的概率为 .
练习
二、耐心填一填
3.从一幅充分均匀混合的扑克牌中，随机抽取一张，抽到大王的概率是
1 ），抽到牌面数字是6的概率是（ 2 ），抽到黑桃的概率是 54 27 （ 13 ）。 54
（
形的概率是（ 0.75 ），抽到中心对称图形的概率是（ 0.75
4.四张形状、大小、质地相同的卡片上分别画上圆、平行四边形、等边 ）。
m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。 0 ≤ m≤n, m、n为自然数
m ∵0 ≤ n≤ 1, ∴0≤P(A) ≤1.
当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1， 当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=0.
0≤P(A) ≤1
• 1.掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？
。正反面向上2种可能性相等
（3）满足至少有一个骰子的点数为 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 2（记为事件C）的结果有11个，则
11 36
小结: 1、什么时候用“列表法”方便？
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
第 第 一次 二次
三角形、正方形，然后反扣在桌面上，洗匀后随机抽取一张，抽到轴对称图 5. 某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲，作为课前三 分钟唱歌曲目：歌唱祖国，我和我的祖国，五星红旗，相信自己，隐形的翅
膀，超越梦想，校园的早晨，她随机从中抽取一支歌，抽到“相信自己”这
1 首歌的概率是（ 7
）.
3.如图，小明周末到外婆家，走到十字路 口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那 么他能一次选对路的概率是 。
红牌 黑牌
黑牌
红牌 黑牌
可能产生的结果共4个。每种出现的可
1 1 能性相等。各为 。即概率都为 4 4
利用枚举（把事件可能出现的结果一一列 出）、列表（用表格列出事件可能出现的结 果）、画树状图（按事件发生的次序，列出 事件可能出现的结果）。的方法求出共出现 的结果n和A事件出现的结果m，在用公式
1
2
3
Hale Waihona Puke Baidu
4
5
6
2 3 4 5 6
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) （记为事件B）的结果有4个，则
4 1 P（B）= = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 36 9
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) P（C）= (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第 第 一个 二个
解：由列表得，同时掷两个骰子， 可能出现的结果有36个，它们出现 的可能性相等。 （1）满足两个骰子的点数相同（记 为事件A）的结果有6个，则
6 1 P（A）= = 36 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) （2）满足两个骰子的点数之和是9
m P A 求出A事件的概率的方法为列举法 n
试一试
1.随机掷两枚均匀的硬币，求下列事件的 概率: （1）两枚正面都朝上 ； （2）一 枚正面都朝上，另一枚反面都朝上。
注意：用列举法求解的步骤
2.一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝 色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中 一次任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率为多少？
6
例2 如图：是一个转盘，转盘分成7个相同的 扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转 盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置， （指针指向交线时，当作指向右边的扇形）求下列事 件的概率： （1）指向红色； （2）指向红色或黄色； （3）不指向红色。 解：把7个扇形分别记为红1，红2，红3，绿1， 绿2，黄1，黄2，一共有7个等可能的结果，且这7个结 果发生的可能性相等， （1）指向红色有3个结果，即红1，红2，红3， P(指向红色)= 3 7
例2 如图：是一个转盘，转盘分成7个相同的 扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转 盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置， （指针指向交线时，当作指向右边的扇形）求下列事 件的概率： （1）指向红色； （2）指向红色或黄色； （3）不指向红色。 解：把7个扇形分别记为红1，红2，红3，绿1， 绿2，黄1，黄2，一共有7个等可能的结果，且这7个结 果发生的可能性相等， （3）不指向指向红色有个结果，即黄1，黄2，绿1， 绿2， P(指向红色或黄色)= 4 7
满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有3个，
即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则 3 1 P（A）= = 6 2
用列举法求概率
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件 的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2