概率论与数理统计浙大版第四章 优质课件

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计算乙的平均成绩： 8 20 9 65 1015 100
8
20 100
9
65 100
10
15 100
8.95
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对于甲来说, 10 100
、80 100
、10 100
分别是8环、9环、10环的概率；
对于乙来说, 20 100
、65 100
、15 100
第四章 随机变量的数字特征
关键词：
数学期望 方差 协方差 相关系数
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；



e
2x
dx
0



2

e
2x
|0

2
从而E
(
N
)

2
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。
解：X的分布律为：
指 数 分 布 的
密
Fmin (x)
1
(1
F ( x))2

1

e
2x
0
x0 x0

f
min
(
x)


2


e
2x
0
x0 x0
度 函 数
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
E(N)

x
0
2


e
2x
dx



xe
2x
|0
P( X xk ) pk , k 1, 2,


若 g(xk )pk绝对收敛，则有E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk
k 1
k 1
X是连续型随机变量，它的概率密度为f (x)
若

g(x) f (x)dx
绝对收敛

则有E(Y ) E(g( X ))
分别是8环、9环、10环的概率；
若用它们相应的概率表示，就得到了数学期望，
也称为均值(加权均值)。
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,


若级数 xk pk绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
k 1

的数学期望，记为E X ,即 E X xk pk k 1
例5：设 X (),求E( X )。
解：X的分布律为：P( X

k)

k e
k!
k 0,1,
X的数学期望为：
E(X )

k
k 0
k e
k!

e
k 1
k 1
(k 1)!
0
e e
即 E(X )
例6：设 X U (a,b)，求E( X )。
解：X的概率密度为：
f
(x)


1 b－a
a xb
0
其他
X的数学期望为：

E( X ) xf (x)dx
b

x dx a b
a ba
2
即数学期望位于区间(a, b)的中点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b(n, p),则E( X ) np
2、 设X ~ ( ),则E( X )
服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接
f
(x)


1
0
e

x
x0 x0
0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
是
解：
Xk
(k

1,
2)
的分布函数F ( x)

1

e
x
x0
0
x0
串联情况下，N min X1, X2 ,故N的分布函数为：
X 01 2
X 01 2

8 28 21 pk 10 10 9 10 9
pk 4 5 8 45 1 45
E(X百度文库)

0
4 5
1
8 45
2
1 45

2 9
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？
3、 设X ~ U (a, b),则E( X ) a b 2
4、 设X ~ N (, 2 ),则E( X ) 5、 设X服 从 参 数 为的 指 数 分 布,则E( X ) 1

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定理：设Y是随机变量X的函数：Y g(X )g是连续函数,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
则 X ~ b(5, 0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P(Y 10) P(X 0) (1 0.2)5 0.328,
其余同理可得，于是Y的分布率为：
Y 2 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328 于是 E(Y ) 5.21（6 万元）

g(x) f (x)dx

定理的重要意义在于我们求E(Y )时，不必算出Y的分布律或 概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了。
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
定理：设Z是随机变量X ,Y的函数：Z g(X ,Y)g是连续函数,
若二维离散型随机变量 X,Y 的分布律为：
定义：设连续型随机变量X的概率概率为f x,若积分
xf (x)dx
绝对收敛
(即
x f x dx <)


则称积分

xf (x)dx
的值为随机变量X的数学期望，记为E(X )

即 E(X )

xf (x)dx

数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk k 1,2,
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩
如下：
甲 8 9 10 次数 10 80 10
乙 8 9 10 次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。
解：计算甲的平均成绩：
810 980 10 10 100

8
10 100

9

80 100

10

10 100