不定积分小结、习题课

x
C
二、基本公式与基本方法
１. 基本积分公式
（8） csc2 xdx cot x C
或
(9)
1
1 x
2
dx
arctanx C
(10)
1 dx arcsinx C
1 x2
(11) secx tan xdx sec x C
(12) cscx cot xdx csc x C
1 s in 2
性质 4.1
不定积分与微分运算互为逆运算，即
(1) [ f (x)dx] f (x) 或 d[ f (x)dx] ；f (x)dx (2) F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ．
二、基本公式与基本方法
１. 基本积分公式
(1) kdx kx C (k 是常数)
三.综合举例
2. 被积函数为有理分式
例2
计算下列各不定积分 (2)
x4 1 x2 dx
解：
x4 dx 1 x2
x4 11 1 x2 dx
(x2
1
1 1 x2
)dx
1 x3 x arctanx C 3
三.综合举例 2. 被积函数为有理分式
例2
Leabharlann Baidu
计算下列各不定积分
(3)
3
dx 2x
x
2
可导函数 F(x) ，使对于任意的 x I ，都有
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx
则称 F(x) 是函数 f (x) 在 I 上的一个原函数．
第四章 不定积分
三.综合举例 1. 原函数与不定积分
例1
sin x （1）已知F(x)是 x 的一个原函数，求d (F(x2))，
e
x
dx
ex (1 1 ex )dx
x ln(1 ex ) C
此题是否还可用其它方法？如，令
1 ex t
三.综合举例
2. 被积函数中均含有因子e x 的情形
例3
计算下列各不定积分 (2)
e2x dx 1 ex
解：
e2x dx ex 11 d(ex )
1 ex
1 ex
( 1 ex 1 )dx 2 1 ex (ex 2) C
x
dx
cot
x
C
二、基本公式与基本方法
１. 基本积分公式（续）
(13) tan xdx ln cosx C;
(14) cot xdx ln sin x C; *(15) sec xdx ln sec x tan x C;
*(16) csc xdx ln csc x cot x C;
*(17)
(x
dx a)(x
b)
1 ln ab
xa xb
C
一、基本概念与基本性质 2.基本性质 (2) 代数运算性质
性质 4.2 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
kf (x)dx k f (x)dx ( k 0 ).
性质 4.3
两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的 代数和．
解： 已知 F(x) sin x x
则
F ( x 2
)
sin x2 x2
2x
d (F (x2 )) 2sin x2 dx x
第四章 不定积分
三.综合举例 1. 原函数与不定积分
例1
（2）设 f (x)
x2 , 2x 1
求 f (x 1)dx.
解： 已知 f (x) x 2 2x 1
则 f (x 1)dx d[ f (x 1)]
第5章 小结、习题课
一、基本概念与基本性质 二、基本公式 三、综合举例
基本概念、公式、方法关系图
原函数
不定积分
选
分部
直接
择
积分法
积分法
积分法
基
u
本
有
积
效
分
方
表
法
第一换元法
第二换元法
经济数学 一、基本概念与基本性质 1.基本概念 (1) 原函数的定义
定义4·1
设 f (x)是定义在区间 I 内的已知函数．如果存在
(2) xdx x1 C ( 1) 1
(3)
dx x
ln
x
C
(4) a xdx a x C 特别
ln a
(5) sin xdx cosx C
exdx ex C
(6) cosxdx sin x C
（7） sec2 xdx tan x C 或
1 c os2
x
dx
tan
解：
dx 3 2x x2
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
2 arctan x 1 C
2
2
注：以上各小题被积函数均为有理分式，但积分方法不 尽相同！
三.综合举例
2. 被积函数中均含有因子e x 的情形
例3
计算下列各不定积分
(1)
dx 1 ex
解：
dx 1 ex
1
ex 1
ex
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx．
三.综合举例 2. 被积函数为有理分式
例2
计算下列各不定积分
(1)
2 x2 (1
3
x2 x2
dx )
解：
2 3x2
x2 (1 x2 )dx
2(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
2 x2
dx
dx 1 x
2
2 arctanx C x
f (x 1) C
x 1 C 2x 1
一、基本概念与基本性质 １.基本概念 (2) 不定积分的定义
定义4·2
如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数 F(x)+C（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作
f ( x)dx F( x) C
一、基本概念与基本性质 2.基本性质 (1)互逆运算性质
1 ex
3
此题可用其它方法求解，请同学们自行思考！
三.综合举例
3. 被积函数中均含有因子 sin ax或cosbx 的情形
例4
计算不定积分 (1) sin 3x sin 2xdx
解：sin Asin B 1 [cos( A B) cos( A B)], 2
sin 3x sin 2x 1 (cosx cos5x), 2
2x)dx
1 4
(1
2
cos2x
1
cos4x 2
)dx
3x sin 2x sin 4x C.
84
32
第4章 小结、习题课
作业
1. 已知F ( x)是 e x2 的一个原函数，求 d(F ( x ))
dx
2.已知 f ( x)dx sin x x C ，求 e x f (e x 1)dx
sin
3x
sin
2xdx
1 2
(cosx
cos5x)dx
1 sin x 1 sin 5x C
2
10
三.综合举例
3. 被积函数中均含有因子 sin ax或cosbx 的情形
例4 解：
计算不定积分 (2) cos4 xdx.
cos4 xdx
1
cos 2
2x
2
dx
1 4
(1
2
cos2x
cos2