高二数学测试题含答案

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南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题(含答案)

A. , 1 2,
B. , 1 2,
C. 3,
D. 3,
【答案】C 【解析】【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.
【详解】∵U R, A {x∣1 x 3}, B x∣x 2
∴ A B (,3) ，则 ðU (A B) [3, ) ，
故选：C.
2.
已知复数 z
i3
1 2i2
10. 已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1，下列不等式恒成立的有（）
A. log2 a log2 b 2
B. 3ab 1 3
C. 1 1 3 2 2 a ab
D. 1 1 2 a 1 b 2
11. 已知函数 f x 对任意 x R ，都有 f x 2 f x 0成立，且函数 f x 是奇函数，当 x 1, 0
（1）求 A 的大小；
（2）若 a 3 ，求 b2 c2 取值范围.
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南师附中 2023—2024 学年上学期高二期初测试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知U R, A {x∣1 x 3}, B x∣x 2 ，则 ðU A B （）
2c
，则 S b2 2c2
的最大值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. r
17. 已知 a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中 a 1, 2 .
（1）若 b 3 5 ，且 a//b ，求 b 的坐标；
（2）若 c 10 ，且 2a c 与 4a 3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 .

高二数学直线测试及答案

（5）直线一、选择题（本大题共10小题：每小题5分：共50分） 1．和直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是（）A ．3x +4y -5=0B ．3x +4y +5=0C ．-3x +4y -5=0D ．-3x +4y +5=02．若直线的斜率k = -5 ：则倾斜角α=（） A ．arctan(-5) B ． π-arctan(-5) C ．arctan5D ． π-arctan53．若直线ax +b y +c=0过第一、二、三象限：则（） A ．a b>0 ： bc>0 B ．a b>0 ： bc<0 C ．a b<0 ： bc>0D ．a b<0 ： bc<04．如图：直线l 1的倾斜角a 1=30° ：直线l 1⊥l 2 ：则l 2的斜率为（）A ．-33B ． 33C ．-3D ．35．若斜率为-2的直线l 经过点（0 ：8）：则l 与两坐标轴围成的三角形面积为（）A ．8B ．16C ．32D ．646．若A （-2 ：3）：B （3 ：-2）：C （21：m ）三点在同一直线上：则m 的值为（）A ．-2B ．2C ．- 21D ． 217．两条直线A 1x +B 1y +C 1=0 ： A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是（）A ． A 1 A 2+B 1 B 2=0 B ． A 1 A 2- B 1 B 2=0C ．2121B B A A = -1 D ．2121A A B B =1 8．已知两条直线l 1：y = x ： l 2：ax -y =0 ：其中a 为实数：当这两条直线的夹角在（0 ：12）内变动时：a 的取值范围是（）A ．（0 ：1）B ．(33 ： 3)C ．(33： 1) ∪(1 ： 3)D ．(1 ：3)9．已知直线l 1：y =-2x +3 ：l 2：y ==x -23：则l 1、l 2的夹角是A ．arctan3B ．arctan(-3)C ．π-arctan3D ． π-arctan(-3)10．已知直线l 1：sin θ·x +cos θ·y +m=0 ： l 2：x +cot θ·y +n=0 (θ为锐角：m ：n ∈R 且m ≠n)则y xl 2l 1a 2a 1l 1与l 2的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直二、填空题（本题共4小题：每小题6分：共24分）11．已知直线l 的方程是kx -y +2+3k =0(k ∈R) ：则直线l 必经过点． 12．若直线的倾斜角为π-arctan21：且过点（1 ：0）：则直线l 的方程为． 13．直线 2x -y -4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转45°所得的直线方程是． 14．两条平行线3x +4y -12=0和6x +8y +6=0间的距离是．三、解答题（本大题共6题：共76分）15．求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21=--=+-y x l y x l ．(12分)16．△ABC 中：BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0 ：∠A 的平分线所在直线的方程为y =0 ：若点B 的坐标为（1 ：2）：求点A 和点C 的坐标．(12分) 17．已知两点A (－1 ：－5) ：B (3 ：－2) ：直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半：求直线l 的斜率． (12分)18．在△ABC 中：已知顶点A (1 ：1) ：B (3 ：6)且△ABC 的面积等于3 ：求顶点C 的轨迹方程．(12分)19．光线从点A （2 ：3）射出：若镜面的位置在直线01:=++y x l 上：反射线经过 B （1 ：1）：求入射光线和反射光线所在直线的方程：并求光线从A 到B 所走过的路线长．（14分）20．如图：根据指令（γ ：θ）（γ≥0 ：-180°<θ≤180°）：机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时：按逆时针方向旋转θ ：θ为负时：按顺时针方向旋转θ）：再朝其面对的方向沿直线行走距离γ．（1）现机器人在平面直角坐标系的坐标原点：且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令：使其移动到点（4 ：4）．（2）机器人在完成该指令后：发现在点（17 ：0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动．已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍：若忽略机器人原地旋转所需的时间：问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果用反三角函数表示）．（14分）y4A B （1 ：2）O xy参考答案一．选择题（本大题共10小题：每小题5分：共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBDACAA二．填空题（本大题共4小题：每小题6分：共24分）11．（-3 ：2） 12．x +2 y -1=0 13．3 x + y -6=0 14． 3 三、解答题（本大题共6题：共76分） 15．(12分)[解析]:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22 022022y x y x y x 得所以： l 1与l 2的交点是(2 ：2)．设经过原点的直线方程为kx y = ：把点(2 ：2)的坐标代入以上方程：得1=k ：所以所求直线方程为.x y =（另：求直线交点与求直线方程的综合：求解直线方程也可应用两点式:020020--=--x y ：即.x y =）16．(12分)[解析]：由 ⎩⎨⎧==+-0012y y x 得顶点A （-1 ：0）又：AB 的斜率1)1(102=---=ABk因为x 轴是∠A 的平分线：故AC 的斜率为-1 ：AC 所在直线的方程为y =-( x +1) ①已知BC 上的高所在直线方程为x -2 y +1=0 ：故BC 的斜率为-2 ：BC 所在的直线方程为y -2=-2(x –1)② 联立①②解得顶点C 的坐标为（5 ：-6）． 17．(12分)[解析]：设直线l 的倾斜角α ：则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=----- 43tan 1tan 22=-∴σσ即3tan 2α+8tan α－3=0 ：解得tan α＝31或tan α＝－3． ∵tan2α＝43＞0 ：∴0°＜2α＜90° ： 0°＜α＜45° ： ∴tan α＝31．因此：直线l 的斜率是31 18．(12分)[解析]：设顶点C 的坐标为(x ：y ) ：作CH ⊥AB 于H ：则动点C 属于集合P =｛Ｃ｜321=⋅CH AB ｝：∵ｋＡＢ＝251316=--．∴直线AB 的方程是y -1=25(x -1) ：即5x -2y -3=0．∴｜ＣＨ｜＝29325)2(532522--=-+--y x y x329325292129)16()13(22=--⨯⨯∴=-+-=y x AB化简：得｜5x -2y -3｜=6 ：即5x -2y -9=0或5x -2y +3=0 ：这就是所求顶点C 的轨迹方程．19．（14分）[解析]：设点A 关于直线l 的对称点为),(00y x A 'l A A 被' 垂直平分 .34123012322000000⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++++∴y x x y y x 解得)1,1(),3,4(B A --'点在反射光线所在直线上．∴反射光线的方程为0154414313=+-++=++y x x y 即解方程组⎩⎨⎧=++=+-010154y x y x 得入射点的坐标为)31,32(--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为02453223231331=+-++=++y x x y 即光线从A 到B 所走过的路线长为41)13()14(||22=--+--='B A20．(14分)xy44OPQ[解析]：（1）如图γ=24：θ= 45 ：所下指令为（24 ： 45）（2）设机器最快在点P （x ：0）处截住小球：则因为小球速度是机器人速度的2倍：所以在相同时间内有22)40()4(217-+-=-x x即73230161232=-==-+x x ，x x或得因为要求机器人最快地去截住小球：即小球滚动距离最短：所以x =7 ：故机器人最快可在点P （7 ：0）处截住小球：又设Q （4 ：4）：机器人在Q 点旋转的角度为α- 则PQ|5)40()47(222=-+-=1=OQ k ：344740-=--=PQ k（法一）：由1=OQk ⇒∠QOP=45° ：34-=PQ k ⇒∠QPx=34arctan -π34arctan45+=∴ α ： -)34arctan 45(+-= α （法二）： PQOQ PQ OQ k k k k ⋅+-=1tan α71341)34(1-=⋅---=7arctan 180-=∴ α ：)7arctan 180(--=- α 故：所给的指令为（5 ：34arctan45--）或（5 ：7arctan 180+- ）。

高二数学__导数、定积分测试题(含答案)

高二数学导数、定积分测试题一、选择题(共10小题，每小题4分,共40分)1. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+= ( )A ．3B ．23- C ．13 D ．32- 4. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是（） A.0 B.1 C.3 D.6 5．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是（） A.4 B. 52C.3D.27．一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是（） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 8．函数313y x x =+- 有（）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（） A ．0.28J B ．0.12J C ．0.26J D ．0.18J11设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数 y =f ′(x)的图象可能是12．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)13．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________。

高二数学必修二第一章检测试题(含答案)

高二数学必修二第一章测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比（）A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：93、已知水平放置的ABC 的平面直观图A B C '''是边长为a 的正三角形，那么ABC 的面积为（） A.222a 2D. 32a4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2是：（）A. 1：3B. 1：1C. 2：1D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:96、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）A. 24πcm 2，12πcm 3B. 15πcm 2，12πcm 3C. 24πcm 2，36πcm3D. 以上都不正确7、一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为（）A.334cm π B.386cm π C. 361cm π D. 366cm π8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（）A. 3πB. 4πC. 2π D. π10、如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为（）A. 6+3B. 24+3C. 24+23D. 32一、选择题答题表二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________. 12.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 . 13、从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是_________.14、一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________.三、解答题（本大题共6小题，15、16、17、18每题13分，19、20每题14分，共80分） 15.将圆心角为1200，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.16. （如图）在底半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积A B 1正视图侧视图府视图17、如图，在四边形ABCD中，，，，，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.18．已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求长方体的对角线的长。

浙江省宁波市镇海2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷含答案

镇海2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（）A.11B.13C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前n 项和表达式即可得到方程，解出即可.【详解】设等差数列的公差为d ，则3111215S a a d a d =++++=，即6315d +=，解得3d =，则4132911a a d =+=+=.故选：A.2.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（）A .1B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出关于m 的等式，即可得解.【详解】对于抛物线24y x =，24p =，可得2p =，12p=，故该抛物线的焦点为()10F ,，由题意可知，椭圆的右焦点为()10F ,，则22221c a b m =-=-=，解得3m =，故选：B.3.若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（）A.2x y =B.2y x= C.24x y= D.24y x=【答案】D 【解析】【分析】分析可知点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，即可得解.【详解】因为点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，所以，点P 的轨迹是以点()1,0为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22y px =，则12p=，可得2p =，故点P 的轨迹方程为24y x =.故选：D.4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（）A.4720B.4722C.4723D.4725【答案】C 【解析】【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可【详解】1234561,4,2,1,4,2,a a a a a a ====== ,可知数列{}n a 是以3为周期的数列，因为202423674-=⨯，所以()2024674142144723S =⨯++++=，故选：C5.已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（）A.()()0f x g x ''+>B.()()0f xg x ''->C.()()0f x g x ''> D.()()0f x g x ''>【答案】B 【解析】【分析】通过函数的奇偶性与导函数的符号，判断当0x <时导函数的符号结合不等式性质即可判断各项.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数在对称区间上单调性相同，又当0x >时，()0f x '>；所以当0x <时，()0f x '>；因为函数()g x 是偶函数，所以函数在对称区间上单调性相反；又当0x >时，()0g x '>；所以当0x <时，()0g x '<；而当()()g x f x ''>时，()()0f x g x ''+<，故A 错；由()0g x '<，则()0g x '->，又()0f x '>，所以()()0f x g x ''->，故B 对；()(),f x g x ''异号，所以()()0f x g x ''<，()()0f x g x ''<，故CD 错；故选：B6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（）A.43k ≥-B.1k ≤- C.1k ≤ D.43k ≤-【答案】D 【解析】【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可【详解】由()211kx f x x +=+，得()()22221kx x k f x x --++'=，又()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以′≥0在[)2,+∞上恒成立，即220kx x k +-≤在[)2,+∞上恒成立，即21k x x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需求出21x x-的最小值即可，又1t x x =-在[)2,+∞单调递减，所以32t ≤-，则2103t -≤<，所以4203t-≤<，故43k ≤-.故选：D7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A【解析】【分析】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，利用导数分析函数()f x 在()1,+∞上的单调性，可得出()2023a f =，()2024b f =，()2025c f =，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()()ln 1ln x f x x+=，其中1x >，当1x >时，11x x +>>，()ln 1ln 0x x +>>，由不等式的性质可得()()1ln 1ln x x x x ++>，()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 110ln 1ln x x x x x x x x f x x x x x +--+++'==<+⋅，所以，函数()f x 在()1,+∞上为减函数，因为()2023ln 2024log 20242023ln 2023a f ===，()2024ln 2025log 20252024ln 2024b f ===，()2025ln 2026log 20262025ln 2025c f ===，所以，()()()202320242025f f f >>，即a b c >>，故选：A.8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（）A.4336- B.4339- C.42339- D.4333-【答案】B 【解析】【分析】以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，推导出92cos PF θ=-，同理可得出92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后利用三角恒等变换化简可得出123FP FQ FR++的最小值.【详解】在椭圆C 中，6a =，b =3c =，如下图所示：椭圆的左准线为212a x c=-=-，以F 为顶点，x 轴的正方向为θ始边的方向，FP 为角θ的终边，当π02θ<<时，过点P 作PN l ⊥，过点F 作FM PN ^，垂足分别为点N 、M ，易知四边形EFMN 为矩形，则21239a MN EF c c==-=-=，由椭圆第二定义可得12PF e PN==，则2PN PF =，又因为//PN x 轴，则FPN θ∠=，所以，cos PM PFθ=，所以，cos PM PF θ=，因为PN PM MN =+，即2cos 9PF PF θ=+，所以，92cos PF θ=-，同理可知，当θ为任意角时，等式92cos PF θ=-仍然成立，同理可得92π2cos 3FQ θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，94π2cos 3FR θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因此，2π4π42cos 63cos 1232cos 33999FP FQ FR θθθ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++=++412π4πcos 2cos 3cos 3933θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦413cos cos cos 3922θθθθθ⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭4134πsin cos 3922393θθθ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故123FP FQ FR ++的最小值为4339-.故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.1y x =，21y x'=- B.2x y =，2ln2x y '=C.ln y x =，1y x'=D.cos2y x =，sin2y x=-'【答案】ABC 【解析】【分析】对于ABC ，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D ，由复合函数的求导法则即可求出函数cos2y x =的导函数，从而得解.【详解】对于A ，1y x =，则21y x'=-，故A 正确；对于B ，2x y =，则2ln2x y '=，故B 正确；对于C ，ln y x =，则1y x'=，故C 正确；对于D ，cos2y x =，则()22sin 2sin2x x y =⨯=--'，故D 错误.故选：ABC.10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（）A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关【答案】BCD 【解析】【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B 选项；求出M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可判断C 选项；利用点差法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如下图所示：抛物线的焦点为()10F ,，准线为:1l x =-，设点A 在直线l 上的射影点为D ，由抛物线的定义可得AD AF =，则AB AF AB AD +=+，当且仅当A 、B 、D 三点共线时，即当BD l ⊥时，AB AF +取最小值314+=，A 错；对于B 选项，若直线l 过焦点F ，则122=++MN x x ，线段MN 的中点E 到直线l 的距离为1212x x d +=+，所以，2MN d =，因此，以MN 为直径的圆与1x =-相切，B 对；对于C 选项，当MN OF ⊥时，直线MN 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，不妨取()1,2M 、()1,2N -，则OM ON ==，此时，5OM ON ⋅=，C 对；对于D 选项，线段MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，若MN x ⊥轴，则线段MN 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以直线MN 的斜率存在，由题意可得12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以，121212004422MN y y k x x y y y y -====-+，D 对.故选：BCD.11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（）A .1050a > B.20500a < C.10100a < D.20500a >【答案】AD 【解析】【分析】根据数列的递推关系可判断各项的取值范围.【详解】由题意得，数列{}n a 为递增数列.n *∀∈N ，21n n n a a a ++>+，11a =，22a =，所以，3213a a a >+=，4325a a a >+>，5438a a a >+>，65413a a a >+>，76521a a a >+>，87634a a a >+>，98755a a a >+>，109889a a a >+>，11109144a a a >+>，121110233a a a >+>，131211377a a a >+>，141312610a a a >+>，151413987a a a >+>，1615141597a a a >+>，1716152584a a a >+>，1817164181a a a >+>，1918176765a a a >+>，20191810946a a a >+>.故选：AD.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用递推公式逐项求解各项的范围即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知1n a +=，11a =，则100a =__________.【答案】110##0.1【解析】【分析】把递推公式变形并判断数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后求出通项即可求得【详解】由1n a +=，得221111n n a a +-=，又11a =，则2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列，所以21nn a =，又1n a +=可得10nn a a +>，又11a =，所以0n a >，得n a =，所以100110a ==，故答案为：11013.已知双曲线22221x y a b-=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为_____.【答案】2【解析】【分析】根据点差法可求,a b 的关系，从而可求离心率.【详解】设1,1,2,2，AB 中点为M ，则23M x =-，故53M y =-，因为2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，故()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+-=，所以()()12122225330x x y y a a ⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而1AB k =，故2225033a b -+=，故22222522b a c a ==-，故2c a =，故答案为：214.已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】5a ≤【解析】【分析】就0a >、0a ≤分类讨论，前者再就05,5a a ≤≤>分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【详解】当0a >时，()()15e 55e ,011x x a a f x a a x x x '=+--=+++-->，设()()5e ,011xa g x a x x =++-->，则()()25e 1x a g x x '=-+因为0a >，故()25e 1,xay x y =-+=均为()0,∞+上的增函数，故()g x '在()0,∞+上为增函数，若50a -≥即05a <≤，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，故()g x 在()0,∞+上为增函数，故()()00g x g >=恒成立，故()f x 为()0,∞+上为增函数，故()()00f x f >=恒成立，故05a <≤符合，若50a -<即5a >，此时()050g a '=-<，而)1110g '=->，故存在()01x ∈，使得()00g x '=，且()00,x x ∀∈，()0g x '<即()g x 在()00,x 上为减函数，故()00,x x ∀∈，()()00g x g <=即()f x 在()00,x 上为减函数，故()()00f x f <=，与题设矛盾，当0a ≤时，设()()ln 1,0s x x x x =-+>，则()01xs x x '=>+，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00sx s >=即ln(1)0,0x x x -+>>，设()e 1,0xt x x x =-->，则()e 10xt x '=->，()t x 在()0,∞+上为增函数，故()()00t x t >=即e 10,0x x x -->>，而0a ≤，故()()5e 1ln 10xx a x x ⎡⎤----+>⎣⎦，即()()5e ln 1550xa x a x ++-+->即()0f x >，故()0f x ≥也成立，综上，5a ≤，故答案为：5a ≤.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e xf x x =.（1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.【答案】（1）()min 1ef x =-（2）2e e y x =-【解析】【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，结合单调性可求最小值；（2）求出函数在1x =处的导数后可求切线方程.【小问1详解】()()1e x f x x '=+，当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>，故()f x 在(),1∞--上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，故()()min 11ef x f =-=-.【小问2详解】由（1）可得()12e f '=，而()1e f =，故切线方程为：()2e 1e 2e e y x x =-+=-，即切线方程为：2e e y x =-.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）()12n n a -=--（2）42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题设的递归关系可得212n n a a ++=-，故可得公比，从而可求通项；（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】因为122n n n S S S ++=+，所以12122n n n n S S S S +++-=-，所以212n n a a ++=-，而为等比数列，故公比2q =-，故()12n n a -=--.【小问2详解】()()()1111122nnn n nnn n a ---⋅-⋅⎛⎫==- ⎪⎝⎭--，故012111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以01213111111222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112211322332n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故42219332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.17.已知双曲线22:13y C x -=（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.【答案】（1）y =（2）83-【解析】【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；（2）设点1,1、2,2，将直线PQ 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合韦达定理可求得12λλ+的值.【小问1详解】在双曲线22:13y C x -=中，1a =，b =，所以，该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.【小问2详解】由题意可知，直线PQ 的方程为124x y+=，即24y x =-+，且()2,4PQ =- ，设点1,1、2,2，联立222433y x x y =-+⎧⎨-=⎩，可得216190x x -+=，2164190∆=-⨯>，由韦达定理可得1216x x +=，1219x x =，()112,QA x y =- ，()222,QB x y =- ，且1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，则()()()1112222,42,2,x y x y λλ-=-=-，所以，()()1122222x x λλ-=-=，()()()()()12121212121212242422222224x x x x x x x x x x x x λλ+-+-+=+==-----++()216424819216493⨯-===--⨯+-.18.已知函数()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，()21e 1x g x x x x=---，其中()f x 在1x =处取得极值（1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）增区间为()0,1，减区间为()1,+∞（3）(],1-∞【解析】【分析】（1）由题意可得()10f '=，可求出m 的值，然后检验即可；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得出ln 1e xx n x +≤-，利用导数求出函数()ln 1e xx h x x+=-在0,+∞上的最小值，即可得出实数n 的取值范围.【小问1详解】因为()()21ln f x mx x m x =+-∈R ，则()2112f x mx x x=++'，其中0x >，因为函数()f x 在1x =处取得极值，则()1220f m +'==，解得1m =-，经检验，合乎题意.因此，1m =-.【小问2详解】由（1）可知，()21ln f x x x x=-+-，其中0x >，则()()()23222122111212x x x x x f x x x x x x--++-++=-++=='，由()0f x '=，可得1x =，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为0,1，减区间为1,+∞.【小问3详解】()()2211e 1ln e ln 1x x g x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----+-=-- ⎪⎝⎭，当0x >时，由()()e ln 1xnx g x f x x x ≤-=--，可得ln 1e xx n x+≤-，令()ln 1e xx h x x +=-，其中0x >，则()()22221ln 1ln e ln e e x x x x x x x x x h x x x x ⋅-++=-=+='，令()2e ln xp x x x =+，其中0x >，则′=2+2e +1>0，所以，函数()p x 在区间0,+∞上单调递增，因为1=e >0，11e2e21e 1e 10e ep -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，存在唯一的1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2e ln 0t t t +=，即111e ln ln tt t t t t=-=，即11e ln e ln t ttt=，令()ln q x x x =，其中1x >，则′=1+ln >0，所以，函数()q x 在1,+∞上为增函数，因为1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则e 1t >，11t >，由11e ln e ln t tt t =，可得()1etq q t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1e tt =，所以，1ln ln tt t ==-，且当0x t <<时，()0p x <，即ℎ′<0，当x t >时，()0p x >，即ℎ′>0，所以，函数ℎ的减区间为()0,t ，增区间为(),t ∞+，所以，()()min ln 111e 1tt th x h t t t t+-==-=-=，则1n ≤，所以，实数n 的取值范围是(],1-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数=的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线=在点0,0处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线=在点1,1处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线=在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l+，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；（3()1*1N i i n x n ∑=<<+∈.【答案】（1）132x =；21712x =（2）21122n n n x x x --+=，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题干中的1x 为r 的1次近似值和2x 为r 的2次近似值的定义即可求解；（2）求出直线n l 的方程，直接求横截距即可.（3）借助第（22n x <≤，后面再根据此不等式进行放缩得到()2211224n n x x --<-，再进行放缩得12n n x <+，利用不等式的性质和数列分组求和即可【小问1详解】()2f x x '=，()24f '=，()1:242l y x -=-，令0y =，得132x =，332f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以213:342l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0y =，得21712x =，【小问2详解】由题意得，()()2111:22n n n n l y x x x x -----=-，令0y =，得21122n n n x x x --+=【小问3详解】由（2）知，2111121222n n n n n x x x x x ----⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，所以221211444n n n x x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由几何意义易知：2n x <≤，1iinx∑=<，由22nx>得，()222211121141414464424n n n nnx x x xx----⎛⎫⎛⎫=++<++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()221164n nx x-<+，所以()()22210112222444nn n nx x x-⎛⎫-<-<<-=⎪⎝⎭，所以12n nx<<，所以21111122111212nii nnx∑=⎛⎫-⎪⎝⎭<+=+-<+-，()1*1Niinx n∑=<<+∈【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是对新定义的理解，然后结合所学知识进行每一个的处理即可得出，第（2）问的关键是求出切线n l的方程即可得证，第（3）问的关键是由几何意义得到2nx<≤，从而可以放缩，放缩后的类比等比数列的构造，为不等式的证明提供了关键性的处理.。

高二数学测试题(含答案)

高二数学测试题（含答案）一.选择题1.设集合{}{}6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ，则Q P ⋂等于（）A.{1，2}B. {3，4}C.{1}D. {-2，-1，0，1，2} 2.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A.x x f sin )(= B.1)(+-=x x f C.()x x a a x f -+=21)( D.xxx f +-=22ln)( 3.若函数123)(+-=a ax x f 在区间[1,1]-上无零点,则函数)43)(51()(3+--=x x a x g 的递减区间是（）()A (2,2)- ()B (1,1)- ()C (,1)-∞- ()D ),1()1,(∞+⋃--∞•••4.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，c b a +--21213，0），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为A 、平面B 、直线C 、圆D 、线段5.下列说法中错误．．的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =与a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.A 、2B 、3C 、4D 、5 二．填空题1.命题“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是：．2.与曲线1492422=+y x 共焦点并且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为 .3.右面的程序框图输出的结果是4.已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是。

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题(含解析)

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中数学调研测试试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知a ，b 为两条直线，，为两个平面，且满足，，，αβa α⊂b β⊂l αβ= ，则“与异面”是“直线与l 相交”的（）//a l a b b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）22113x y k k +=--k A ．B ．1k <13k <<C ．D ．或3k >1k <3k >3．两平行直线与之间的距离为（）320mx y --=4670x y --=A ．B ．C ．D ．4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作22221x y a b +=0a b >>AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a99a100a101a5．已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则A 240x y +-=B 22(1)1x y ++=(1,0)C 的最小值为（）2AB BC +A ．B ．C ．D ．6．在四棱锥中，平面，二面角的大小为P ABCD -PA ⊥,ABCD AB BC ⊥P CD A --，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ 45,2AD CD ︒+=P A B C D ,,,,O O ）A ．B ．C ．D ．3π8π37．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）C ()()222229xy xy +=-A ．曲线的图象不关于原点对称C B ．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C C ．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为y kx =C k (],1-∞-D ．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3C O 8．已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一A B PA PBλ=0λ>1λ≠P 个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，AB 21AB λλ⋅-故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，1111ABCD A B C D -P 2PA PB=则点的轨迹长度为（）P A ．B ．C ．D ．2π4π34π3(2π二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法命题正确的是（）A ．已知，，则在上的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b 110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．若直线l 的方向向量为，平面的法向量为，则()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ //l αC ．已知三棱锥，点P 为平面ABC 上的一点，且O ABC -，则()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R12m n -=D ．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底p mx ny kz =++,,x y z p 下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则{},,x y z (,,)m n k p {,,}a b c (1,2,3)在基底下的坐标为p {,,}a b a b c -+13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知，是双曲线E ：的左、右焦点，过作倾斜角为1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>1F 的直线分别交y 轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是6πM P 1MP MF =（）A ．B．的离心率等于123F PF π∠=E C ．双曲线渐近线的方程为D ．的内切圆半径是y =12PF F 1c ⎛ ⎝11．在直三棱柱中，，，M 是的中点，N111ABC A B C -12AA AB BC ===π2ABC ∠=AB 是的中点，点P 在线段上，点Q 是线段上靠近M 的三等分点，R 是线段11A C 1B NCM 的中点，若面，则（）．1AC PR ∥1B CMA ．B ．P 为的中点1PR B Q∥1B N C ．三棱锥的体积为D ．三棱锥的外接球表面积为1P B CM -23P ABC -748π81三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆：与圆：交于A ，B 两点，当变1C 2216x y +=2C 22160x y kx y m ++++-=k化时，的最小值为．ABm =13．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，点E 为AB 的中点，把4AB BD ==沿DE 折起，使点A 到达点P 的位置，且平面平面BCDE ，则异面直线ADE V PDE ⊥PD 与BC 所成角的余弦值为．14．倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲l 2222:1(0)3x y C m m m -=>1F 线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则,A B AB C 2F 直线的斜率为.l四、解答题（本大题共5小题）15．如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，111ABC A B C -1AA 5AB =，点分别为的中点.13,4AA AC BC ===,P D 1,AB C B(1)求证：；BC PD ⊥(2)求点到平面的距离C 1PBC 16．已知圆.22:4O x y +=(1)直线截圆的弦长为的值.430x y a -+=O a(2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点O x y ,A B Q 的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.Q O 17．如图，四棱锥中，P ABCD -，，，平面平面，且4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB ⋂PCD l =平面，平面平面.//l ABCD PAD ⊥ABCD(1)求四棱锥的体积；P ABCD -(2)设Q 为上一点，若，求二面角的大小.PC QA QB =Q AB C --18．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．M C x P (1)求椭圆的方程；C (2)点是椭圆C 上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；R M MPR 24MR(3)过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，P C D E D E N FP 直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．NE MF Q T DF TQ 19．在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以O xyz -(,,)u a b c =()0000,,P x y z l 为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为u0P l ；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式000(0)x x y y z z abc a b c ---==≠αu 0P α方程表示为.()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为l 112x z-==1α，求直线与平面所成角的正弦值；y +-50z +=l 1α(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点2α2320x y z ++-=(1,2,1)P 到平面的距离;P 2α(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S 求几何体的体积；S （ii ）若集合，记集合中所有点构成的{(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N 几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.T T答案1．【正确答案】C【详解】当“与异面”，若直线与l 不相交，由于，则，a b b ,b l β⊂//b l 又，则，这与和异矛盾，故直线与l 相交，//a l //a b a b b 故“与异面”是“直线与l 相交”的充分条件；a b b 当“直线与l 相交”，若与不异面，则与平行或相交，b a b a b 若与平行，又，则，这与直线和l 相交相矛盾；a b //a l //l b b 若与相交，设，则且，得，a b a b A = A α∈A β∈A l ∈即A 为直线的公共点，这与相矛盾；,a l //a l 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l 相交”的必要条件；a b a b b 所以“与异面”是“直线与l 相交”的充分必要条件.a b b 故选：C.2．【正确答案】B【详解】若方程表示双曲线，22113x y k k +=--则，得.()()130k k --<13k <<故选：B3．【正确答案】C【详解】由题意知，所以，32467m --=≠--2m =则化为，4670x y --=72302x y --=所以两平行直线与之间的距离为23x y --20=4670x y --=d ==故选：C ．4．【正确答案】D【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P ⋯99Py ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a +=故所求的值为．101a 故选：D ．5．【正确答案】C 【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的()()011,0,,D x B x y 2BC BD=D 坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得2AB BC+()2AB BD +AB BD+解.【详解】设，不妨令，()()011,0,,D x B xy 2BC BD=则=整理得，()2221103134x y x ++=-+110484x x x ++又，所以，()22113133x y ++=2011044810x x x x ---=则，解得，()()001212410x x x +--=012x =-所以存在定点，使得，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭2BC BD=要使最小，即最小，2AB BC+()2AB BD +则，B ，D 三点共线，且DA 垂直于直线时取得最小值，如图所示，A 240xy +-=所以的最小值为．2AB BC+故选C.【关键点拨】设，令，将所求转化为求的最小值，()()011,0,,D x B x y 2BC BD=AB BD+是解决本题的关键.6．【正确答案】C【详解】由题设，，，，在一个圆上，故，又，A B C D 180ADC ABC ∠+∠=︒AB BC ⊥所以，即，故是四边形外接圆的直径，90ADC ∠=︒AD CD ⊥AC ABCD由平面，，，平面，则，PA ⊥ABCD BC CD AC ⊂ABCD PA BC ⊥，，PA CD ⊥PA AC ⊥由，，平面，则平面，平面，则，PA AB A = PA AB ⊂PAB ⊥BC PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥由，，平面，则平面，平面，则PA AD A= PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PA ⊂PAD ，CD PA ⊥故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外PBC △PCD △PCA V PC PC P ABCD -接球球心，且为二面角的平面角，故，PDA ∠P CD A --45PDA ∠=︒因为，，45PDA ∠=︒2AD CD +=令且，则，，AD x =02x <<PA x =2CD x =-故，AC ==所以外接球半径，11222PC R ====当时，的表面积的最小值为．23x =min R O 284ππ3⨯=故选：C7．【正确答案】D【详解】对于A ，结合曲线：，将代入，C ()()222229x y x y +=-(),x y --方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A 错误；C 对于B ，令，则，解得，0y =()2229x x=3x =±令，则，解得，1x =±()()222191y y +=-21y =令，则，解得，2x =±()()222494y y +=-22y =<故曲线经过的整点只能是，B 错误；C ()()()0,0,3,0,3,0-对于C ，直线与曲线：必有公共点，y kx =C ()()222229x y x y +=-()0,0因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，y kx =C ()()222229x y xy y kx⎧+=-⎪⎨=⎪⎩()0,0即只有一个解为，即时，无解，()()24222191x k x k +=-0x =0x ≠()()24222191x k x k +=-故，即实数的取值范围为，C 错误，210k -≤k (][),11,-∞-+∞ 对于D ，由，可得，时取等号，()()222229xy x y +=-()22222299x y x y x y -+=≤+0y =则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D 正确，CO 3=≤d 故选：D8．【正确答案】C【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O 位置及半径，P 在空间内轨迹为以O 为球心的球，球与面，，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，ABCD 11ABB A 11BCC B 求出在截面内的圆弧的长度即可.【详解】在平面中，图①中以B 为原点以AB 为x 轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，(),0O a r ，2222,2,32123PA PA PB r AB PB=∴=∴=⋅=⨯=- 设圆O 与AB 交于M ,由阿氏圆性质知，2AM MBλ==，||2||2,||2||42BM BO a AM BM a =-=-∴==- ，422633,1,(1,0)a a a a O ∴-+-=-=∴=∴P 在空间内轨迹为以O 为球心半径为2的球，若P 在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M ，R ，所以P 在四边11ABB A 1AB BB ，形内的轨迹为，11ABB A MR在中2,1,RO BO == Rt O RB △，，60ROB ∠= π22π33MR∴⨯==当P 在面内部的轨迹长为，∴11ABB A 2π3同理，当P 在面内部的轨迹长为，ABCD 2π3当P 在面时,如图③所示，11BCCB 面，平面截球所得小OB ⊥11BCC B 11BCC B 圆是以B 为圆心，以BP 为半径的圆，截面圆与分别交于，且1BB BC ，R Q ，BP ===P 在正方形内的轨迹为，∴11BCC BRQ ，∴π2RQ=综上：P 的轨迹长度为.224πππ333+=故选C.9．【正确答案】CD【分析】根据投影向量公式计算判断A ，应用向量共线判断B ，判断四点共面判断C ，根据基底运算判断 D.【详解】对于A ，由于，，则在的投影向量为(0,1,1)a = (0,0,1)b =- a b ，故A 错误；()()0010,0,10,0,111a b b b b ⋅+-⎛⎫⋅=-= ⎪⨯⎝⎭对于B ，因为直线l 的方向向量为，平面的法向量为，所以()1,0,3e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以或，B 错误；·220e n =-+=//l αl α⊂对于C ，因为P 为平面ABC 上的一点，所以四点共面，,,,P A B C 则由空间向量共面定理以及可得，()1,2OP OA mOB nOC n m =+-∈R，所以，C 正确；112m n +-=12m n -=对于D ，在单位正交基底下的坐标为，即，p {,,}a b c ()1,2,323a b c p +=+ 所以在基底下满足：p{},,a b a b c-+ ，()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc -+++=++-+23a b c =++ 故，，，可得，，，1x y +=2y x -=3z =12x =-32y =3z =则在基底下的坐标为，故D 正确.p {,,}a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭故选CD.10．【正确答案】ACD 【详解】如图所示，因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，,M O 1PF 12F F 12PF F 2PF MO ∥2PF x ⊥A 选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A 正确；1PF 6π123F PF π∠=B 选项中，直角中，，，，12PF F 122F F c =2PF =1PF =所以，得：，故B 不正确；122PF PF a -====ce aC 选项中，由，即，即，即222c a b =+223c a =2223a b a +=ba =所以双曲线的渐近线方程为：，故C 正确；by x a =±=D 选项中，的周长为，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有12PF F (2c +，得：，故D 正确(22cr c +=1r c ⎛= ⎝故选：ACD.11．【正确答案】ACD【详解】对于选项AB ，连接并延长交于S ，连接，BQ CA NS由平面几何知识可得：S 是的中点，且N ，R ，S 三点共线，是重心，CA Q ABC V 因为面，平面，平面平面，所以，PR ∥1B CM PR ⊂1B NSB 1B NSB 11B CM B Q =1PR B Q ∥作交于，由直棱柱性质有，因此是平行四边形，1//SK B Q 1B N K 1//B N BS 1B KSQ ，111133B K SQ BS B N===又由平面几何知识知是中点，因此是中点，R NS P NK 从而，即P 为上靠近N 的三等分点，所以A 正确，1111212233NP NK B N B N ==⨯=1B N B 错误；对于选项C ，，因此是平行四边形，所以与互相平分，123B P BQ BS ==1B PQB BP 1B Q 从而与点到平面的距离相等，三棱锥的体积等于三棱锥P B 1B CM1P B CM -的体积，1B B CM-而，所以C 正确；11112212323B B CM B BCM V V --==⨯⨯⨯⨯=对于选项D ，∵的外心是S ，由得平面，ABC V 1//NS CC NS ⊥ABC ∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，P ABC -NS设三棱锥的外接球球心为O ，半径为R ，，P ABC -OS h =则，22222222R OA SA SO hh ==+=+=+，()222222238249R OP NP ON h h h ==+=+-=-+∴，解得：，，2238249h h h +=-+59h =22518728181R =+=球表面积为，所以D 正确．27484ππ81S R ==故选：ACD ．12．【正确答案】2±【详解】与相减，2216x y +=22160x y kx y m ++++-=可得两圆的公共弦所在线的方程为：，kx y m ++由圆：可得，圆的半径为4， 1C 2216x y +=()10,0C圆心到AB 直线的距离为1C d =，AB =211k +≥所以时等号成立，≥0k =又因为的最小值为|AB |所以，解得.=2m =±故答案为.2±13．【正确答案】/340.75【详解】因为，故或其补角就是异面直线PD 与BC 所成的角，//BC AD PDA ∠连接PA ，易知，，4PD AD ==2PE AE ==因为平面平面，菱形中，，PDE BCDE DE =ABCD AB BD =即是正三角形，为中点，则，所以，又，ABD E AB AE DE ⊥PE DE ⊥BE DE ⊥所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，PEB ∠PDE BCDE 因为平面平面，PDE ⊥BCDE 所以，，所以，90PEB ∠= 90PEA ∠=PE AE ⊥所以中，PA ==PDA由余弦定理得，2223cos 24PD AD PAPDA PD AD+-∠===⋅所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为．34故答案为.3414．【正确答案【详解】设中点为，两渐近线可写成，设，AB M 2203x y -=()()1122,A x y B x y 则，且1212(,)22x x y y M ++221122220303x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②①-②可得，()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+整理得，，即(*)，121212122321y y y y x x x x +-⋅=+-13OM AB k k ⋅=如图，在中，，则,12Rt F MF △1211||||||2OM F F OF ==212MOF MF O ∠=∠故，即，121212tan tan tan 21tan MF O MOF MF O MF O ∠∠=∠=-∠221ABOM ABk k k =-将此式代入（*）得，解得依题意，，则.2221,13AB AB k k =-21,7AB k =0AB k>AB k =故答案为15．【正确答案】(1)证明见解析；【详解】（1）由，得，则，即5,3,4AB AC BC ===222AB AC BC =+90ACB ∠=︒，BC AC ⊥由平面，平面，则，1AA ⊥ABC ⊂BC ABC 1AA BC ⊥而，平面，于是平面，连接，1AA AC A = 1,AA AC ⊂11ACC A ⊥BC 11ACC A 1AC 又平面，则，由点分别为的中点，得，1AC ⊂11ACC A 1BC AC ⊥,P D 1,AB C B 1//AC PD 所以.BC PD ⊥（2）连接，交于点E ，连接BE ，过点C 作，F为垂足，1AC 1AC CF BE ⊥由，侧棱垂直于底面，得且，13AA AC ==1AA 1CE AC ⊥CE =又，，平面CBE ，则平面CBE ，1CB AC ⊥CB CE C = ,CB CE ⊂1AC ⊥又平面CBE ，则，又，，平面，CF ⊂1CF AC ⊥CF BE ⊥1BE AC E = 1,BE AC ⊂1ABC 因此平面，即CF 为点C 到平面的距离，CF ⊥1BC A 1PBC 由平面，平面，得，⊥BC 11ACC A CE ⊂11ACC A BC CE ⊥BE ==所以点C 到平面的距离．1PBC BC CECF BE⋅===16．【正确答案】(1)5a =±(2)有，公共弦长为【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得O 430x y a -+=5a d =2245a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；5a =±（2），设，(2,0),(0,2)A B (,)Q x y 2222(2)2(2)x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦化简得：，即，224840x y x y ++-+=22(2)(4)16x y ++-=所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，Q ()2,4E 圆心距，，两圆相交，OE ==4224-<<+所以两圆有两个公共点，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，220x y -+=圆心到公共弦的距离为.()0,0==17．【正确答案】(1)6；(2).45︒【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，//l ABCD l ⊂PAB PAB ⋂ABCD AB =所以，同理得，所以，//l AB //l CD //AB CD 因为，，，所以，4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒120BCD ∠=︒所以且30DBCBDC ∠=∠=︒BD ===所以且，30DBA ∠=︒2AD ===底面梯形的高为，ABCD sin sin 30h BD ABD =∠==所以底面梯形的面积ABCD 1(24)2S =⨯+=在中，，，PAD △4PA =2AD=PD =所以，所以，222PA AD PD =+PD AD ⊥因为平面平面，平面平面，，平面PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂，PAD 所以平面，PD ⊥ABCD 所以四棱锥的体积.P ABCD -11633V S PD =⋅=⨯=（2）因为，，所以即，2AD =BD =4AB =222AB AD BD =+BD AD ⊥所以，，两两垂直，可以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系DB AD DP ，D xyz -则，，，，，()0,0,0D A (2,0,0)()0,B C (−1,3,0)(0,0,P 所以，，，(1,CP =()3,CA =()CB =设，(,,)CQ CP λλ==所以，，()3,,QA CA CQ λ=-=--()1,QB CB CQ λ=-=-- 因为，所以，QA QB =222222(331213)(1)(112)()λλλλλλ-++=+--++解得，因此，，12λ=12QB ⎛=⎝5,2QA ⎛= ⎝ 设为平面的法向量，则，m =(x,y,z )PAQ QB m QA m ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩则，102502QB m x y QA m x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩取，则，即，1y=x =2z =m =因为平面，所以平面的法向量为，PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则，Q AB C --θcos 所以由图二面角的大小为.Q AB C --45︒18．【正确答案】(1)22198x y +=(2)83y x =(3)2【详解】（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C MF x ⊥2c 则，1c =将代入中，得，x c =2222:1(0)x y C a b a b +=>>2b y a =±则，结合，283b a =2221a b c -==从而，，29a =28b =椭圆C 方程为；∴22198x y +=（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，M C 0故设，与椭圆联立，:l x my n =+22198x y +=得，由椭圆与直线只有一个交点，()22289168720m y mny n +++-=令，即①，0∆=22890m n -+=又过，则②，:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭813m n =+联立①②可得，则，即得点为．39m n =-⎧⎨=⎩:39l x y =+-P ()9,0设原点，由，，O (0,0)1891223OPM S =⨯⨯= 24MPRS = 故，2MPR OPM S S = 从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，R l O l 2R l O 又在椭圆上，从而，关于对称，R M R O 故直线方程为MR 83y x =（3）设，，，则，()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=()()11229,9,x y x y λ--=-则①，212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩又由，()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得②，1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-结合①②可得，，254x λλ-+=又，，，，()9,0P F (1,0)()5,0N ()22,E x y 则直线的方程为，NE ()22055y y x x -=--轴，直线与交于，MF x ⊥NE MF Q 则，故，1Q x =221245Q y y y y x λ==-=-故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=D 故线段的最大值为.TQ 219．【正确答案】(1)(3)（i ）16；（ii ）2π3【详解】（1）因为直线的标准式方程为，l 112x z-==所以直线的方向向量为，l ()1,2u =又平面的点法式方程可表示为，1αy +-50z +=所以平面的法向量为，1α11)n =-所以，111cos ,u n u n u n ⋅===所以直线与平面所成角的正弦值为l 1α（2）因为平面的点法式方程可表示为，2α2320x y z ++-=所以平面的法向量为，2α(2,3,1)n =设点是平面上一点，则，()000,,Q x y z 2α000232x y z ++=不妨令，则，即点是平面上一点，00x y ==02z =(0,0,2)Q 2α所以，()1,2,1PQ =--所以点到平面的距离P 2α||||PQ n d n ⋅==（3）（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面，2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩然后得到几何体为S 因为集合，记集合中所有点构成的几何体为，{(,,)|||||2,||1}M x y z x yz =+≤≤M S 所以几何体为底面为边长为的长方体，S 2所以的体积为.S 2216⨯=（ii ）由（i ）可知，的图像是一个完全对称(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时，0,0,0x y z >>>得，{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，2,2x y y z +=+=所以两个平面的法向量分别为，()()231,1,0,0,1,1n n == 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.232312n n n n -=- 2π3。

高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案

高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知，＇，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛，，｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。

山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)

运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。

答案一律写在答题卡上。

注意事项：１答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２答题时使用０５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

３请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，ＡＵ，ＢＵ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ＡＤ．６瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附：２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”：ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａｂ）－ｃ与（ａ－ｃ）（ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２）（ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ｘ）（－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学　张阳朋运城中学　吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=，当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增，此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值，此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分（3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=，即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分所以()11052E ξ=⨯=． ………8分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分（3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。

河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试数学含答案

2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。

重庆市中学2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题含答案

高2025届高二下数学（答案在最后）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.函数()sin f x x x=+在区间[0,]π上的平均变化率为（）A.1B.2C.πD.0【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的计算即可求解.【详解】()sin f x x x =+在区间[0,]π上的平均变化率为()()π0πsin π0sin 01π0πf f -+--==-，故选：A2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3t 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度是（）A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.11m/s【答案】D 【解析】【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.【详解】质点M 在t ＝2s 时位移的平均变化率为S t ＝()()2222322232t t t+++-⨯-⨯ ＝11＋2Δt ，当Δt 无限趋近于0时，St无限趋近于11m/s.故选：D.3.曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为（）A.41y x =--B.47y x =--C.41y x =-D.47y x =+【答案】A 【解析】【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数4y x '=，当=1x -时，()414y '=⨯-=-，∴曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为：()341y x -=-+，即41y x =--.故选：A.4.已知函数()1f x x =，则()()011lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A.-1B.1C.-2D.0【答案】A 【解析】【分析】根据导数的定义及导数的运算法则即可求解.【详解】由()1f x x =，得()21f x x'=-.21(1)11f '∴=-=-()()11lim(1)1x f x f f x∆→+∆-'∴==-∆.故选：A.5.若函数()()22'1f x xf x =+，则()()'11f f --等于（）A.34-B.34C.65-D.56-【答案】C 【解析】【分析】利用导数的运算法则求出f ′（x ），令x ＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【详解】f′（x ）＝2f′（1）+2x ，令x ＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x ）＝2x-4，()24f x x x=-+∴f′（-1）＝-6,又()15f -=，∴()()'11f f -=-65-故选C ．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x 赋值是解题的关键．6.设曲线1y x=在点()1,1P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积等于（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据导数的定义求出曲线1y x=在点()1,1P 处的切线的斜率，写出切线方程，求出直线在坐标轴上的截距，即可得解.【详解】()()()111x x x y x x x x x x x x x x x x --+∆∆+∆===-∆∆+∆⋅∆+∆，所以()2011lim x y x x x x ∆→⎡⎤'=-=-⎢⎥+∆⎣⎦，故在点()1,1P 处的切线的斜率为1-，切线方程为()11y x -=--，即2y x =-+．令0x =，得2y =，令0y =，得2x =，所以12222OAB S =⨯⨯=△，故选：B7.若一射线OP 从OA 处开始，绕O 点匀速逆时针旋转（到OB 处为止），所扫过的图形内部的面积S 是时间t 的函数，()S t 的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.【详解】因为OP 是匀速旋转，选项A ，OP 扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；选项B ，OP 扫过的14圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；选项C ，OP 扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；选项D ，OP 扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D 符合故选：D8.已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A.0B.2C.2019D.2020【答案】B 【解析】【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值.【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x xx x x x x f x x x x ++++++===++++ ，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导数运算正确的有（）A.()22sin 2sin cos x x x x x x'=+ B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()31log 3ln x x'=D.()1ln x x'=【答案】AD 【解析】【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可.【详解】解：()22sin 2sin cos x x x x x x '=+，故A 正确；211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 错误；()31log ln 3x x '=，故C 错误；()1ln x x'=，故D 正确.故选：AD.10.已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为 2-+=x xe e ch x ，双曲正弦函数为2--=x xe e sh x ．则下列结论中正确的是（）A.( ) '=ch x sh xB.22( )( )1+=sh x ch xC. 22 =⋅sh x sh x ch xD. ch x 是奇函数【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，直接求导判断，对于BC ，通过计算判断，对于D ，由奇偶函数的定义判断【详解】解：对于A ，()''22x x x xe e e e ch x shx --⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭，所以A 正确，对于B ，因为222222222()( )( )12242x x x x x x x xe e e e e e e e sh x ch x ----⎛⎫⎛⎫-++++=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误，对于C ，因为22 22x x e e sh x --=，222 2222x x x x x xe e e e e e sh x ch x ----+-⋅=⋅⋅=，所以 22 =⋅sh x sh x ch x ，所以C 正确，对于D ，因为( )2x xe e ch x chx -+-==，所以 ch x 是偶函数，所以D 错误，故选：AC11.已知y kx =是函数()sin f x x x =的一条切线，则实数k 的值可以为（）A.0B.1C.12D.1-【答案】ABD 【解析】【分析】根据()f x 的切线过原点求得切点的横坐标，结合导数求得k 的可能取值.【详解】设(),sin t t t 是函数()sin f x x x =图象上的一点，()()''sin cos ,sin cos f x x x x f t t t t =+=+，所以在点(),sin t t t 的切线方程为()()sin sin cos y t t t t t x t -=+-①，直线y kx =过原点，由①令0x y ==得()()sin sin cos t t t t t t -=+⋅-，22sin sin cos ,cos 0t t t t t t t t =+=，所以0=t 或ππ,Z 2t n n =+∈，当0=t 时，()'00k f ==，当ππ,Z 2t n n =+∈时，'πππππsin ππcos π2222k f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin π12n ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，综上所述，k 的可能取值为0,1±.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________.【答案】0x y -=【解析】【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点为()0,0，()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，故切线方程为y x =，即0x y -=.故答案为：0x y -=13.函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________【答案】(e,e)【解析】【分析】设切点坐标为()000,ln x x x ，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为()000,ln x x x ，由函数()ln g x x x =可得()ln 1g x x '=+，因为函数()ln g x x x =有一条斜率为2的切线，所以0ln 12x +=，解得0e x =，所以切点坐标为(e,e)，故答案为：(e,e).14.若曲线()1e xy x =+过点(),0P a 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a >-或5a <-【解析】【分析】设切点()(),1ett t +，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点(),0P a 的坐标代入切线方程化简，得到关于t 的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由0∆>可求得答案.【详解】()2e xy x '=+，设切点()(),1ett t +，则切线的斜率为()2e tk t =+，故切线方程为()()22e 1e tty t x t t =++--+，取x a =，0y =代入，得()()221e 0t a t t t ⎡⎤++--+=⎣⎦，∵e 0t ≠，∴()21210t a t a -+-++=有两个不等实根，故()()22Δ1421650a a a a =-++=++>，解之，得1a >-或5a <-，故答案为：1a >-或5a <-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.若函数()1f x x x=-，（1）用定义求()f x '；（2）求其图象在与x 轴交点处的切线方程．【答案】15.()211f x x ='+16.22y x =-和22y x =+【解析】【分析】（1）根据函数的导数的定义求出()f x '；（2）由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程.【小问1详解】由导数定义可得，()()()0001111lim lim limx x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x f x ∆→∆→∆→⎛'⎫⎛⎫+∆---∆+- ⎪ ⎪+∆-+∆⎝⎭⎝⎭+∆=∆∆==∆()2011lim 11x x x x x ∆→⎡⎤=+=+⎢+∆⎣⎦【小问2详解】函数()1f x x x=-的图象与x 轴有两个交点，交点坐标分别为()1,0A ，()1,0B -，∴()12f '=，∴在()1,0A 处的切线方程为()2122y x x =-=-；同理，在()1,0B -处的切线方程为22y x =+．16.求下列函数的导数：（1）23cos y x x =+；（2）()1ln y x x =+；（3）tan ,,2y x x x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】（1）6sin y x x'=-（2）1ln 1y x x'=++（3）2sin cos cos x x xy x+'=【解析】【分析】（1）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案；（3）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案.【小问1详解】()23cos 6sin y x x x x ''=+=-；【小问2详解】()()()()11ln 1ln 1ln ln 1y x x x x x x x x''''⎡⎤=+=+++=+⎣⎦；【小问3详解】()()()2sin cos sin cos sin tan cos cos x x x x x x x x y x x x x '''-⎛⎫''=⋅==⎪⎝⎭()222sin cos cos sin sin cos cos cos x x x x x x x x x xx+++==．17.已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x xax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21nn a =-（2）()12212n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题中已知条件2n n S a n =-，得出2n ≥时，()1121n n S a n --=--此两式作差整理即可得到1n a +所满足的关系，从而可求出数列{}1n a +的通项公式得到所求；（2）根据数列{}n b 的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【小问1详解】∵2n n S a n =-，当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，2n n S a n =-，①1121n n S a n --=-+，②①-②得121n n a a -=+即()1121n n a a -+=+，∵1120a +=≠，∴110n a -+≠，∴1121n n a a -+=+，∴{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，则11222n n n a -+=⋅=，∴21n n a =-；【小问2详解】由上可知：()212n n b n =+⋅，所以()()231325272212212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，()()23412325272212212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅++⋅，∴()()2341622222212n n n T n +-=++++⋯+-+⋅，∴()12212n n T n +=+-⋅.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）3-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。

福建省漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

漳州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.曲线在原点处的切线斜率为（）A. B.0C. D.12.某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）相关系数相关系数相关系数相关系数A. B.C. D.3.已知事件，相互独立，且，，那么（）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.754.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（）A.1B.2C.3D.45.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（）A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86sin y x =1-cos11r 2r 3r 4r 24310r r r r <<<<24130r r r r <<<<42130r r r r <<<<42310r r r r <<<<A B ()0.3P A =()0.4P B =(|)P A B =(1,0,2)a =r (2,1,2)b =--r (0,1,)c λ=r a r b r c rλ=AI AI A B C A B C A B C 0.40.40.26.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则（）A.0B. C. D.7.若关于的不等式有唯一的整数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

高二数学试题大全

高二数学试题答案及解析1.用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以，你认为这个推理（）A．是正确的B．大前题错误C．小前题错误D．推理形式错误【答案】：B【解析】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误。

2.复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】∵z==，在复平面上对应的点为，∴点在第一象限，故选A3.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略4.已知为偶函数，且，则_____________．【答案】8【解析】略5.能使平面∥平面的一个条件是（）A．存在一条直线，∥，∥B．存在一条直线，,∥C 存在两条直线，，，，∥，∥D．存在两条异面直线，，，，∥，∥【答案】D【解析】略6.（本小题满分12分）已知函数(1)求的最小正周期(2)求的的最大值和最小值；(3) 求的的单调增区间【答案】【解析】略7.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )A.B.C.D.【答案】A【解析】略8.设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。

（1）求;（2）若直线的斜率为1，求b的值。

【答案】（1）由椭圆定义知又 (4)（2）L的方程式为y=x+c,其中设,则A，B 两点坐标满足方程组 (6)化简得则 (8)因为直线AB的斜率为1，所以即 . (10)则解得.【解析】略9.若关于的不等式的解集是，则实数=_____.【答案】略【解析】略10.研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则。

参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为【答案】【解析】略11.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略12.【解析】略13.直线经过两条直线：和的交点，且分这两条直线与轴围成的三角形面积为两部分，求直线的一般式方程。

江苏省无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试(9月)数学试卷(含答案)

无锡市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次基础测试（9月）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )A. B. C. D.2．已知为直线l 的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法：①；②；③；④.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3．已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.4．，，是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )5．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )6．已知实数x，y 满足A. B.()2,1,1A yOz (2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)-(2,1,1)--v 1n 2n αβαβ12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥ 1////v n l α⇔1//v n l α⊥⇔()0,0,1a =()1,1,1b =- a b + a ()0,0,2()0,0,1()0,0,1-()0,0,2-PA PB PC 60︒PC PAB ABCD ⊥ABEF ABEF ABCD 60DAB ∠=︒AC FB 15y x =-2x ≤≤[)1,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. D.7．已知直线l 和平面，且，l 的方向向量为，平面的一个法向量为，A.2B.4C.8．在三棱锥中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且.若M 为该三棱锥外接球上的一点,则的最大值为( )A.2B.4C.二、多项选择题9．如图,四棱柱中,M 为的中点,Q 为上靠近点的五等分点,则( )A. B.C. D.10．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是( )A. B.C.点A 到直线11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M ，N 分别是线段，的中点，Q 是线段上的一个动点（含端点D ，C ），则下列说法正确的是( )(][),13,-∞-+∞ []1,3-α//l α()2,,1l m =α()1,1,n n =- (0,0m n >>P ABC -2PA PB PC ===MB MC ⋅2++1111ABCD A B C D -1CD 1CA 1A 11132AM AB AD AA =++ 122AM AB AD AA =++1133545AQ AB AD AA =++ 154AQ AB AD AA =++ ()1,1,0A -()2,2,1B ()1,1,1C ()0,2,3D AB CD⊥AD =ABC ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA 22SA AB DE ===BC SB DCA.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题12．已知向量，，且，则________.13．已知三点,,在同一直线上,则实数a 的值是________.四、双空题14．定义：设是空间的一组基，若向量，则称实数组为向量在基下的坐标.已知是空间向量的标准正交基，是空间向量的另一组基，若向量在基下的坐标为，则向量在基下的坐标是________，向量的模是________.五、解答题15．已知空间三点,,.设,.(2)求与的夹角;(3)若向量与互相垂直,求实数k 的值.16．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，.求：NQ SB⊥NQ SA 60︒Q AMN -DC QMN (1,2,3)a m n =-+ (3,41,25)b m n =+- //a b m n +=(1,1)A -(,3)B a (4,5)C {}123,,a a a123p xa ya za =++(,,)x y z p{}123,,a a a {},,a b c {},,2a b a b c +- p {},,2a b a b c+- (1,2,3)p {},,a b c p ()4,0,4A -()2,2,4B -()3,2,3C -a AB = b BC =a b ka b + 2ka b -P ABCD -ABCD //AD BC 2AD =90ABC ∠=︒PA ⊥ABCD 1PA AB BC ===(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)点A 到平面的距离.17．如图，在长方体中，，，点E 在棱上移动.(1)当点E 在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；(2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.（1）求的长；（2）a 为何值时，的长最小？（3）当的长最小时求平面与平面夹角的余弦值.19．图①是直角梯形，，，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点C 到达的位置，且PCD PBA PCD 1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB AB 1D EC 1DCD AE 1A D 1D EC ABCD ABEF AC BF CM BN CM BN a ==(0a <<MN MN MN MNA MNB ABCD //AB CD 90D ∠=︒ABCE 60BCE ∠=︒BE BCE △1C 1AC =(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点P ，使得点P 到平面与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由.1BC E ABED 1DC ABC EP 1ABC参考答案1．答案：A解析：在空间直角坐标系中,点关于平面对称点的坐标为．故选：A.2．答案：B解析：因为，不重合，对①，平面，平行等价于平面，的法向量平行，故①正确；对②，平面，垂直等价于平面，的法向量垂直，故②正确；对③，若，故③错误；对④，或，故④错误.故选：B.3．答案：A解析：因为向量，，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：A.4．答案：B 解析：解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点G ，于点H ，连接，(2,1,1)A yOz (2,1,1)-αβαβαβαβαβ1//v n l α⇔⊥1//v n l α⊥⇔l α⊂()0,0,1a =()1,1,1b =- ()1,1,2a b +=-a b + a()()()220,0,10,0,21a b a a a+⋅⋅=⋅=PC PAB PD CG PD ⊥CH PA ⊥HG易得，又，平面，则平面，又平面，则，有故.已知，，故解法二：如图所示，把，，放在正方体中，，，的夹角均为.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则令，则，，所以，所以设直线与平面所成角为，所以所以故选B.CG PA ⊥CH CG C = ,CH CG ⊂CHG PA ⊥CHG HG ⊂CHG PA HG ⊥cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠60APC ∠=︒30APD ∠=︒cos cos 60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==PA PB PC PA PB PC 60︒(1,0,0)P (0,0,1)C (1,1,1)A (0,1,0)B (1,0,1)PC =- (0,1,1)PA = (1,1,0)PB =-PAB (,,)n x y z = 00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =1y =1z =-(1,1,1)n =-cos ,PC n PC n PC n⋅===⋅PC PAB θsin cos ,PC n θ==cos θ==5．答案：D解析：取的中点O ，连接，四边形为菱形，，所以，由于平面平面，且两平面交线为，，平面，故平面，又四边形为正方形，故以O 为坐标原点，为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，，，，故，，则故直线，故选：D.6．答案：A解析：由于点满足关系式，可知在线段上移动，且，设，则，因为点在线段，故选：A.AB OD ABCD 60DAB ∠=︒DO AB ⊥ABCD ⊥ABEF AB DO AB ⊥DO ⊂ABCD DO ⊥ABEF ABEF AB ABEF (0,1,0)A -(0,1,0)B (2,1,0)F -(0,C AC = (2,2,0)BF =-cos ,AC BF AC BF AC BF ⋅===⋅AC (),x y 15y x =23x ≤≤(),M x y AB (2,1)A --(3,0)B ()1,2Q -()()21312QA k --==---201132QB k -==---(),M x y AB [)1,3,2⎤-∞-+∞⎥⎦7．答案：A解析：由得：，因为，，，当且仅当等号成立，故选：A.8．答案：C解析：如图,将三棱锥放置在正方体中,三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心为正方体对角线的交点,,,,,,,设三棱锥外接球的半径为R ,,,,,,,,//l α()()02,,11,1,202l n m n m n m n ⋅=⇒⋅-=-++=⇒+=()11111222n m m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m >n >2m n +≥=()112222n +≥+=1m n ==()0,0,0P ()2,0,0A ()0,2,0B ()0,0,2C ()1,1,1O (),,M x y z 2R ==R =()()MB MC MO OB MO OC ⋅=+⋅+ ()2MO OB OC MO OB OC =++⋅+⋅ 223MO R == ()1,1,1OB =-- ()1,1,1OC =-- ()2,0,0OB OC +=- 1111OB OC ⋅=--=-,所以当时,取得最大值故选:C 9．答案：BD解析：,即,故A 错误、B 正确;,即,故C 错误,D 正确.故选:BD.10．答案：ABD解析：对于选项A:结合题意可得，，因为，所以，故选项A 正确；对于选项B:结合题意可得对于选项C ：结合题意可得取，，所以故选项C错误；对于选项D：结合题意可得，，，设平面的法向量为，()cos ,,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO +⋅=++=+ 3,12,MB MC OB OC MO OB OC ⋅=++-=++ cos ,1OB OC MO += MB MC ⋅2+()112AM AB CM A BC B CD AD CC =++=+++1111112222AD AA AD A A B A B A AB =+-+=++ 122AM AB AD AA =++()11111111111155A Q A C A AQ AA AA AA D C D C C=+=+=+++ ()11111145555A AD AB AB A A A A D A A =++-=++ 154AQ AB AD AA =++()3,1,1AB = ()1,1,2CD =-3120AB CD ⋅=-++=AB CD ⊥AD ==()1,1,0BC =--()3,1,1a BA ==--- )1,1,0BC u BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭2a =u ⋅= BC ==()3,1,1AB = ()2,0,1AC = ()1,1,3AD =ABC (),,n x y z =则，令，则，所以点D到平面的距离为故选：ABD.11．答案：ACD解析：以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点Q与D重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，，B错误；3020n AB x y zn AC x z⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x=()1,1,2n=--ABC dABADAS()0,0,0A()2,0,0B()2,2,0C()0,2,0D()0,2,1E()0,0,2S()1,0,1N()2,1,0M()(),2,002Q m m≤≤NQ SB⊥()1,2,1NQ m=--()2,0,2SB=-()2120NQ SB m⋅=-+=m=NQ SB⊥()(),2,002Q m m≤≤NQ SA60︒()1,2,1NQ m=--()0,0,2SA=-,NQ SANQ SANQ SA⋅===⋅对于C ，连接，，，设，因为所以当，即点Q 与点D 重合时，取得最大值2；又点N 到平面的距离，所以对于D ，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以当点Q 自D 向C 处运动时，m 的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D 正确.故选：ACD12．答案：解析：向量，，，AQ AM AN ()02DQ m m =≤≤2AMQ ABCD ABM QCM ADQ S S S S S =---= △△△△0m =AMQ S △AMQ 112d SA ==()()max max 1213Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=()1,2,1NQ m =-- ()1,1,1NM =-(),,m x y z = NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ()1,2,3m m m =-- ()2,0,0DC = DC QMN θπ0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin DC n DC n θ⋅===⋅ sin θsin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ21-(1,2,3)a m n =-+ (3,41,2b m n =+- 412m m +==-7m =-14n =-所以.故答案为：.13．答案：3解析：三点,,在同一直线上,,.故答案为:3.14．答案：解析：因为向量在基，下的坐标为，所以，所以向量在基下的坐标是，又因为是空间向量的标准正交基，，且，故答案为：15．答案：（1）（3）解析：（1）因为,,所以,所以因为,,所以（2）由（1）可知21m n +=-21- (1,1)A -(,3)B a (4,5)C AB AC k k ∴=∴41a =-3=(3,-p {},,2a b a b c +- (1,2,3)()()23236p a b a b c a b c =++-+⨯=-+ p {},,a b c (3,1,6)-{},,a b c 0a b b c c a ⋅=⋅=⋅= ====(3,-k =()4,0,4A -()2,2,4B -()2,2,0a AB == a == ()2,2,4B -()3,2,3C -(1,0,1b BC ==-- =cos ,a b a b a b〈〉===⋅⋅又,所以与（3）由（1）可知,,又向量与互相垂直,所以,所以,即,解得解析：（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，设平面法向量，则，令，则，，所以，取平面法向量为，与面（2）因为，平面法向量为，所以点A到平面的距离(2)当时，直线与平面[]0,π,a b〈〉∈,a b〈〉=b()21,2,1ka b k k+=--()22,22,2kka kb-=+ka b+2ka b-()()20kaka bb-+⋅=()()21,2,122,2,20k k k k--⋅+=()()22122420k k k-++-=k=AB AD AP (0,0,0)A(1,0,0)B()1,1,0C(0,2,0)D(0,0,1)P(0,2,1)PD=-(1,1,1)PC=-PCD(,,)n x y z=20y zx y z-=⎧⎨+-=⎩2z=1y=1x= (1,1,2)n=PBA(0,1,0)m==(0,2,0)AD=PCD(1,1,2)n=PCD||||AD nnd⋅==2AE=1A D1D EC解析：（1）以D 为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱的中点时，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，所以所以平面与平面（2）设，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，DA DC 1DD AB 1(0,0,1)D (1,1,0)E (0,2,0)C (0,0,0)D (1,0,0)A 1(1,1,1)ED =-- (1,1,0)EC =- (1,0,0)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1x =1y =2z =1D EC (1,1,2)n = 1DCD (1,0,0)DA = ·cos ,DA n DA n DA n===⋅ 1D EC DCD AE m =1(0,0,1)D (1,,0)E m (0,2,0)C (0,0,0)D 1(1,0,1)A 1(1,,1)ED m =-- (1,2,0)EC m =-- (02)m ≤≤1(1,0,1)DA = 1D EC (,,)n x y z = 1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ 1y =2x m =-2z =1D EC (2,1,2)n m =- 1A D 1D EC θ则令，则当时，（2）解析：解析：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，.当（3）由（2）可知，当M ，N 为中点时，最短，11sin n DA n DA θ⋅===⋅ 4[2,4]m t -=∈sin θ====2t =sin θMN =a =()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E CM BN a == M ∴-N ⎫⎪⎭MN ==MN ==a =MN则，，取的中点G ，连接，，则，，，，，是平面与平面的夹角或其补角.，，平面与平面19．答案：(1)证明过程见解析；(2)存在，直线与平面解析：（1）取的中点F ，连接，，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，均为等边三角形，故，，且因为，由勾股定理逆定理得：，又因为，是平面内两条相交直线，11,0,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN AG BG 111,,244G ⎛⎫ ⎪⎝⎭AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥AGB ∴∠MNA MNB 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =--- cos ,GA GB GA GB GA GB⋅∴=⋅ ==∴MNA MNB EP ABC BE AF 1C F ABCE 60BCE ∠=︒ABE △1BEC △AF BE ⊥1C F BE ⊥1AF C F ==1AC =22211AF C F AC +=1AF C F ⊥AF BE ABE所以平面，即平面，因为平面，所以平面平面；(2)以F 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，故，解得：，，故，设平面的法向量为，则，，，故，令，则，故，其中1CF ⊥ABE 1C F ⊥ABED 1C F ⊂1BEC 1BC E ⊥ABED FA FB 1C F()0,0,0F )A ()0,1,0B (1C ()0,1,0E -3,02D ⎫-⎪⎪⎭(,,)P m n t 1DP DC λ= [0,1]λ∈[]33,,0,122m n t λλ⎛⎫⎛-+=∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝m =32n λ==33,22P λ⎫--⎪⎪⎭1ABC (,,)v x y z = (AB = 1(AC = 100v AB y v AC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =y =1z =v = 33(,)22AP λ=-则解得：，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面d λ=3(4AP =- 14EP = EP 1ABC θsin =cos ,EP v EP v EP vθ⋅==⋅ EP ABC。

高中数学必修二综合测试题(含答案)

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。

高二数学题及答案

高二数学题及答案【篇一：高二数学文科数列测试题附答案】>一、选择题1、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（b）a．40 b．53c．63d．762、设sn为等比数列?an?的前项和，已知3s3?a4?2，3s2?a3?2，则公比q?b（a）33、已知a?（b）4（c）5（d）61?2,b?13?2,则a,b的等差中项为（a）a．b．c．1 d．124、已知等差数列{an}的前n项和为sn，若a4?18?a5,则s8等于（ d ）a．18b．36 c．54 d．72 5、6、设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，则a．2a1?a2的值为（a ）2a3?a4c．1 4b．1 21 8d．17、在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?)，则an?( a )1na．2?lnnb．2?(n?1)lnnc．2?nlnnd．1?n?lnn8、等差数列{an}中，a1?0，sn为第n项，且s3?s16，则sn取最大值时，n的值（ c ）a．9 b．10c．9或10d．10或11 9 设sn为等差数列{an}的前项和，若s3?3，s6?24，则a9?（a ） a. 15 b. 45c. 192d. 2710某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ b ）a．511个 b．512个 c．1023个d．1024个11、等比数列?an?中，a2?a3?6,a2a3?8,则q?（ c）a．2b．1 2c．2或1 2d．－2或?1 212、已知?an?是等比数列，an＞0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于（ a） a．6 b．12 c．18 d．24 13已知an?n?79n?80，（n?n?），则在数列｛an｝的前50项中最小项和最大项分别是（c ）a.a1,a50b.a1,a8c. a8,a9d.a9,a50 14、某人于2000年7月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，计划2001年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r不变，则到2005年7月1日他将所有的存款和本息全部取出时，取出的钱共为（d ）a．a(1＋r)4元 c．a(1＋r)6元b．a(1＋r)5元 d．a［(1＋r)6－(1＋r)］元 r二、填空题（每题3分，共15分） 15、两个等差数列?an??,bn?, a1?a2?...?an7n?2a65?,则5=___________.12b1?b2?...?bnn?3b516 数列?an?的前ｎ项的和sn =3n2＋ n＋1，则此数列的通项公式an=_??5,n?1?6n?2,n?21an?1?1，则a4?17、数列?an?中，a1?1,an?18 设sn是等差数列?an?的前n项和，且s5?s6?s7?s8 ，则下列结论一定正确的有 (1)(2)(5)。

全国高二高中数学同步测试带答案解析

全国高二高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则P(B|A)等于________．2.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.3.设A、B是两个事件，0＜P(A)＜1，P(|A)＝1.则下列结论：①P(AB)＝0；②P(A＋)＝P(A)；③P()＝P(B)；④P(A)＝P()．其中正确的是________．4.一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．5.6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学在第二跑道的概率为________．6.抛掷两颗均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一颗是6点的概率为________．7.一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8.已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．9.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．10.已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P()＝________.11.将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．12.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．13.有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________．14.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．15.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．16.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．17.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．二、解答题1.某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，求它能活到25岁的概率．2.盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．4.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？5.设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．6.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．7.如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．8.甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为和，试求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率；(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？全国高二高中数学同步测试答案及解析一、填空题1.把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A ，第二次出现正面为事件B ，则P(B|A)等于________．【答案】【解析】事件A 与事件B 相互独立，故P(B|A)＝P(B)＝.2.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________. 【答案】【解析】P(B|A)＝＝＝.3.设A 、B 是两个事件，0＜P(A)＜1，P(|A)＝1. 则下列结论：①P(AB)＝0；②P(A ＋)＝P(A)；③P()＝P(B)；④P(A)＝P()．其中正确的是________．【答案】①【解析】由P(|A)＝1，得P(B|A)＝0，即＝0，所以P(AB)＝0.4.一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．【答案】【解析】设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，则P(A)＝，P(AB)＝＝.∴P(B|A)＝＝.5.6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学在第二跑道的概率为________．【答案】【解析】甲排在第一跑道，其他5位同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以P ＝＝.6.抛掷两颗均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一颗是6点的概率为________．【答案】【解析】事件A 为至少有一颗是6点，事件B 为两颗骰子点数不同，则n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，P(A|B)＝＝.7.一个家庭中有两个小孩，假定生男，生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．【答案】【解析】一个家庭的两个小孩只有4种可能{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}， ∴P(B|A)＝＝＝.8.已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，则这种产品的一级品率为________．【答案】19%【解析】A ＝“产品为合格品”，B ＝“产品为一级品”，P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%.9.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．【答案】【解析】记事件A ：“用满3000小时不坏”，P(A)＝；记事件B ：“用满8000小时不坏”， P(B)＝.因为B ⊂A ，所以P(AB)＝P(B)＝，则P(B|A)＝＝＝×＝.10.已知A 、B 是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A )＝________；P()＝________.【答案】【解析】P(A)＝，∴P()＝，P()＝1－P(B)＝.∵A、B相互独立，∴A与，与也相互独立，∴P(A)＝P(A)·P()＝，∴P()＝P()·P()＝.11.将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．【答案】【解析】每一次出现正面朝上的概率为，且它们相互独立，所以P＝5＝.12.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】【解析】设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝.13.有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是，乙能解决的概率为，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________．【答案】【解析】都未解决的概率为×＝.14.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．【答案】【解析】设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋”，且事件A、B相互独立∴P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为.15.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．【答案】0.240.96【解析】每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A，三人中至少有一人达标为事件B，则P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.16.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．【答案】0.128【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．【答案】【解析】两项都不合格的概率为P＝×＝，∴至少有一项合格的概率是1－＝.二、解答题1.某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，求它能活到25岁的概率．【答案】0.5【解析】解:设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4.而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝＝＝＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率为0.5.2.盒子里装有16只球，其中6只是玻璃球，另外10只是木质球．而玻璃球中有2只是红色的，4只是蓝色的；木质球中有3只是红色的，7只是蓝色的，现从中任取一只球，如果已知取到的是蓝色的球，求这个球是玻璃球的概率．【答案】【解析】解:设A表示“任取一球，是玻璃球”，B表示“任取一球，是蓝色的球”，则AB表示“任取一球是蓝色玻璃球”．P(B)＝，P(AB)＝，P(A|B)＝＝.3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【答案】(1) (2)【解析】解:(1)①P(A)＝＝.②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝＝.③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.4.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？【答案】【解析】解:记事件A＝{从2号箱中取出的是红球}，事件B＝{从1号箱中取出的是红球}．P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.P(A|B)＝，P(A|)＝＝. 从而P(A)＝P(A)＋P(AB)＝×＋×＝.即从2号箱取出红球的概率是.5.设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．【答案】0.94 0.44【解析】解:设A k 表示“第k 人命中目标”，k ＝1,2,3.这里，A 1，A 2，A 3独立，且P(A 1)＝0.7，P(A 2)＝0.6，P(A 3)＝0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1－P(1·2·3)＝1－P(1)P(2)P(3)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94. 恰有两人命中目标的概率为 P(A 1·A 2·3＋A 1·2·A 3＋1·A 2·A 3) ＝P(A 1·A 2·3)＋P(A 1·2·A 3)＋P(1·A 2·A 3) ＝P(A 1)P(A 2)P(3)＋P(A 1)P(2)P(A 3)＋P(1)P(A 2)P(A 3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44.∴至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.6.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．【答案】(1) 0.902 (2) 0.254【解析】解:记“甲理论考核合格”为事件A 1，“乙理论考核合格”为事件A 2，“丙理论考核合格”为事件A 3，记事件i 为A i 的对立事件，i ＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B 1，“乙实验考核合格”为事件B 2，“丙实验考核合格”为事件B 3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记为事件C 的对立事件， P(C)＝P(A 1A 2A 3＋A 1A 2＋A 1A 3＋A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2)＋P(A 1A 3)＋P(A 2A 3)＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902. 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902. (2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D. P(D)＝P[(A 1·B 1)·(A 2·B 2)·(A 3·B 3)] ＝P(A 1·B 1)·P(A 2·B 2)·P(A 3·B 3) ＝P(A 1)·P(B 1)·P(A 2)·P(B 2)·P(A 3)·P(B 3) ＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.7.如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．【答案】(1)p ＝0.9 (2)0.9891【解析】解:记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4.A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流．B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过．(1)＝1·2·3，A 1，A 2，A 3相互独立， P()＝P(1·2·3)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3，又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p ＝0.9. (2)B ＝A 4＋(4·A 1·A 3)∪(4·1·A 2·A 3) P(B)＝P(A 4)＋P(4·A 1·A 3＋4·1·A 2·A 3)，＝P(A 4)＋P(4)P(A 1)P(A 3)＋P(4)P(1)P(A 2)P(A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.8.甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为和，试求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率；(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？【答案】（1）（2）（3）（4）（5）16个【解析】解:设事件A 为“甲能译出”，事件B 为“乙能译出”，则A 、B 相互独立，从而A 与、与B 、与均相互独立．(1)“两人都能译出”为事件AB ，则 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)“两人都不能译出”为事件，则 P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝＝.(3)“恰有一人能译出”为事件A ＋B ，又A与B 互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝. (4)“至多一人能译出”为事件A ＋B ＋，且A 、B 、互斥，故P(A ＋B ＋)＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() ＝×＋×＋×＝.(5)设至少需n 个乙这样的人，而n 个乙这样的人译不出的概率为n，故n 个乙这样的人能译出的概率为1－n≈99%.解得n ＝16.故至少需16个乙这样的人，才能使译出的概率为99%.。